Statements of Mathlib
(commit c31114ff81), each with its Lean source, its translation to
Dedukti by Export.lean, and its informalization by
Informath, in
English, as a formula, and in French, Czech, German and Swedish,
which the buttons at each entry show there, and the check boxes above the entries everywhere. The Dedukti translation drops implicit and
instance arguments and maps Lean's arithmetic and logic to Informath's base
(mapping.tsv); the other Mathlib constants are worded by the symbol table
mathlib.dkgf, whose English wordings Informath also renders in the other languages. Constants without a wording appear as
$\mathrm{name}$.
Let $n$ be a natural number. Then the factorization of $n$ is an element of $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ defined as $\operatorname{toFinsupp}$ applied to the multiset of the prime factorization of $n$.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Alors la factorisation de $n$ est un élément de $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ défini comme $\operatorname{toFinsupp}$ appliqué à le multiensemble de la factorisation première de $n$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Tedy faktorizace $n$ je prvek $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ definovaný jako $\operatorname{toFinsupp}$ aplikovaný na multimnožinu prvočíselné faktorizace $n$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann ist die Faktorisierung von $n$ ein Element von $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ definiert als $\operatorname{toFinsupp}$ angewandt auf $\operatorname{ofList}$ angewandt auf die prime Faktorisierung von $n$.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Då är faktoriseringen av $n$ ett element av $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ definierat som $\operatorname{toFinsupp}$ applicerat på $\operatorname{ofList}$ applicerat på den prima faktoriseringen av $n$.
Let $n$ and $p$ be natural numbers. Then the multiplicity of $p$ in the prime factorization of $n$ is equal to the multiplicity of $p$ in $n$.
French
Soient $n$ et $p$ des nombres naturels. Alors la multiplicité de $p$ dans la factorisation première de $n$ est égale à la multiplicité de $p$ dans $n$.
Czech
Nechť $n$ a $p$ je přirozené číslo. Tedy násobnost $p$ v prvočíselné faktorizaci $n$ je rovná násobnosti $p$ v $n$.
German
Seien $n$ und $p$ natürliche Zahlen. Dann ist die Vielfachheit von $p$ in der primen Faktorisierung von $n$ gleich der Vielfachheit von $p$ in $n$.
Swedish
Låt $n$ och $p$ vara naturliga tal. Då är multipliciteten av $p$ i den prima faktoriseringen av $n$ lika med multipliciteten av $p$ i $n$.
We can write both n.factorization p and n.factors.count p to represent the power
of p in the factorization of n: we declare the former to be the simp-normal form.
Lean
@[simp]
theorem factorization_def (n : ℕ) {p : ℕ} (pp : p.Prime) : n.factorization p = padicValNat p n :=
Let $n$ be a natural number. Then the factorization of $n$ is equal to $\operatorname{toFinsupp}$ applied to the multiset of the prime factorization of $n$.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Alors la factorisation de $n$ est égale à $\operatorname{toFinsupp}$ appliqué à le multiensemble de la factorisation première de $n$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Tedy faktorizace $n$ je rovná do $\operatorname{toFinsupp}$ aplikovaný na multimnožinu prvočíselné faktorizace $n$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann ist die Faktorisierung von $n$ nach $\operatorname{toFinsupp}$ angewandt auf $\operatorname{ofList}$ angewandt auf die prime Faktorisierung von $n$ gleich.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Då är faktoriseringen av $n$ lika till $\operatorname{toFinsupp}$ applicerat på $\operatorname{ofList}$ applicerat på den prima faktoriseringen av $n$.
Let $n$ be an element of $\Natural$ such that $n \neq 0$. Then $\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}= n$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soit $n$ un élément de $\Natural$ tel que $n \neq 0$. Alors $\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}= n$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $n$ je prvek $\Natural$ takový, že $n \neq 0$. Tedy $\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}= n$. (forced symbolic: no wording found)
German
Sei $n$ ein Element von $\Natural$ derart, dass $n \neq 0$. Dann $\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}= n$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $n$ vara ett element av $\Natural$ sådant att $n \neq 0$. Då $\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}= n$. (forced symbolic: no wording found)
theorem eq_of_factorization_eq {a b : ℕ} (ha : a ≠ 0) (hb : b ≠ 0)
(h : ∀ p : ℕ, a.factorization p = b.factorization p) : a = b :=
Dedukti
1 lines
Nat__eq_of_factorization_eq : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (ha : Proof (Neq a 0)) -> (hb : Proof (Neq b 0)) -> (h : Proof (forall Nat (p => Eq (Nat__factorization__app a p) (Nat__factorization__app b p)))) -> Proof (Eq a b).
English
Let $a$ and $b$ be natural numbers such that $a \neq 0$, $b \neq 0$ and for all natural numbers $p$, $\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}= \NatfactorizationappMACRoI {b}{p}$. Then $a = b$.
French
Soient $a$ et $b$ des nombres naturels tels que $a \neq 0$, $b \neq 0$ et pour tous des nombres naturels $p$, $\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}= \NatfactorizationappMACRoI {b}{p}$. Alors $a = b$.
Czech
Nechť $a$ a $b$ je přirozené číslo takové, že $a \neq 0$, $b \neq 0$ a pro všechna přirozená čísla $p$, násobnost $p$ v $a$ je rovná násobnosti $p$ v $b$. Tedy $a = b$.
German
Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen derart, dass $a \neq 0$, $b \neq 0$ und für alle natürliche Zahlen $p$, $\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}= \NatfactorizationappMACRoI {b}{p}$. Dann $a = b$.
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara naturliga tal sådana att $a \neq 0$, $b \neq 0$ och för alla naturliga tal $p$, $\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}= \NatfactorizationappMACRoI {b}{p}$. Då $a = b$.
Formula
$a , b \in \Natural , a \neq 0 , b \neq 0 , \forall p \in \Natural . \NatfactorizationappMACRoL {a}{p}= \NatfactorizationappMACRoL {b}{p}\vdash a = b$
theorem eq_of_factorization_eq' {a b : ℕ} (ha : a ≠ 0) (hb : b ≠ 0)
(h : a.factorization = b.factorization) : a = b :=
eq_of_factorization_eq ha hb (congrFun (congrArg DFunLike.coe h))
Dedukti
2 lines
def Nat__eq_of_factorization_eq' : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (ha : Proof (Neq a 0)) -> (hb : Proof (Neq b 0)) -> (h : Proof (Eqt (Finsupp Nat Nat) (Nat__factorization a) (Nat__factorization b))) -> Proof (Eq a b) :=
a => b => ha => hb => h => Nat__eq_of_factorization_eq a b ha hb (congrFun Nat (x => Nat) (DFunLike__coe (Nat__factorization a)) (DFunLike__coe (Nat__factorization b)) (congrArg (Finsupp Nat Nat) (Elem Nat -> Nat) (Nat__factorization a) (Nat__factorization b) DFunLike__coe h)).
English
Let $a$ and $b$ be natural numbers such that $a \neq 0$, $b \neq 0$ and the factorization of $a$ is equal to the factorization of $b$. Then $a = b$.
French
Soient $a$ et $b$ des nombres naturels tels que $a \neq 0$, $b \neq 0$ et la factorisation de $a$ soit égale à la factorisation de $b$. Alors $a = b$.
Czech
Nechť $a$ a $b$ je přirozené číslo takové, že $a \neq 0$, $b \neq 0$ a faktorizace $a$ je rovná do faktorizace $b$. Tedy $a = b$.
German
Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen derart, dass $a \neq 0$, $b \neq 0$ und die Faktorisierung von $a$ nach der Faktorisierung von $b$ gleich ist. Dann $a = b$.
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara naturliga tal sådana att $a \neq 0$, $b \neq 0$ och faktoriseringen av $a$ är lika till faktoriseringen av $b$. Då $a = b$.
Formula
$a , b \in \Natural , a \neq 0 , b \neq 0 , \EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b}}\vdash a = b$
Proof
7 lines
1.
Let $a$ and $b$ be elements of $\Natural$.
2.
Assume that $a \neq 0$.
3.
Assume that $b \neq 0$.
4.
Assume that $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b}}$.
5.
$\operatorname{coe}$ applied to $\NatfactorizationMACRoK {a}$ is equal to $\operatorname{coe}$ applied to $\NatfactorizationMACRoK {b}$.
congrArg 4
6.
The coercion of $\NatfactorizationMACRoK {a}$ and $a$ is equal to the coercion of $\NatfactorizationMACRoK {b}$ and $a$.
If $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b}}$, then $a = b$.
ifI 14 [h]
16.
If $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{1} . \mathrm{Neq} (x_{1} , 0))}{b}$, then if $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b}}$, then $a = b$.
ifI 15 [hb]
17.
For all elements $b$ of $\Natural$, if $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{2} . \mathrm{Neq} (x_{2} , 0))}{b}$, then if $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b}}$, then $a = b$.
forallI 1, 16 [b]
18.
If $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{3} . \mathrm{Neq} (x_{3} , 0))}{a}$, then for all elements $b_{1}$ of $\Natural$, if $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{4} . \mathrm{Neq} (x_{4} , 0))}{b_{1}}$, then if $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b_{1}}}$, then $a = b_{1}$.
ifI 17 [ha]
19.
For all elements $a$ of $\Natural$, if $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{6} . \mathrm{Neq} (x_{6} , 0))}{a}$, then for all elements $b_{2}$ of $\Natural$, if $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{5} . \mathrm{Neq} (x_{5} , 0))}{b_{2}}$, then if $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b_{2}}}$, then $a = b_{2}$.
Si $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b}}$, alors $a = b$.
ifI 14 [h]
16.
Si $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{1} . \mathrm{Neq} (x_{1} , 0))}{b}$, alors si $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b}}$, alors $a = b$.
ifI 15 [hb]
17.
Pour tous les éléments $b$ de $\Natural$, si $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{2} . \mathrm{Neq} (x_{2} , 0))}{b}$, alors si $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b}}$, alors $a = b$.
forallI 1, 16 [b]
18.
Si $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{3} . \mathrm{Neq} (x_{3} , 0))}{a}$, alors pour tous les éléments $b_{1}$ de $\Natural$, si $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{4} . \mathrm{Neq} (x_{4} , 0))}{b_{1}}$, alors si $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b_{1}}}$, alors $a = b_{1}$.
ifI 17 [ha]
19.
Pour tous les éléments $a$ de $\Natural$, si $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{6} . \mathrm{Neq} (x_{6} , 0))}{a}$, alors pour tous les éléments $b_{2}$ de $\Natural$, si $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{5} . \mathrm{Neq} (x_{5} , 0))}{b_{2}}$, alors si $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b_{2}}}$, alors $a = b_{2}$.
Jestliže $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b}}$, pak $a = b$.
ifI 14 [h]
16.
Jestliže $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{1} . \mathrm{Neq} (x_{1} , 0))}{b}$, pak jestliže $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b}}$, pak $a = b$.
ifI 15 [hb]
17.
Pro všechny prvky $b$ $\Natural$, jestliže $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{2} . \mathrm{Neq} (x_{2} , 0))}{b}$, pak jestliže $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b}}$, pak $a = b$.
forallI 1, 16 [b]
18.
Jestliže $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{3} . \mathrm{Neq} (x_{3} , 0))}{a}$, pak pro všechny prvky $b_{1}$ $\Natural$, jestliže $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{4} . \mathrm{Neq} (x_{4} , 0))}{b_{1}}$, pak jestliže $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b_{1}}}$, pak $a = b_{1}$.
ifI 17 [ha]
19.
Pro všechny prvky $a$ $\Natural$, jestliže $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{6} . \mathrm{Neq} (x_{6} , 0))}{a}$, pak pro všechny prvky $b_{2}$ $\Natural$, jestliže $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{5} . \mathrm{Neq} (x_{5} , 0))}{b_{2}}$, pak jestliže $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b_{2}}}$, pak $a = b_{2}$.
forallI 1, 18 [a]
Proof, German
19 lines
1.
Seien $a$ und $b$ elemente von $\Natural$.
2.
Nimm an, dass $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{3} . \mathrm{Neq} (x_{3} , 0))}{a}$.
3.
Nimm an, dass $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{1} . \mathrm{Neq} (x_{1} , 0))}{b}$.
4.
Sei $p$ ein Element von $\Natural$.
5.
Nimm an, dass $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b}}$.
6.
$\operatorname{coe}$ angewandt auf $\NatfactorizationMACRoK {a}$ ist nach $\operatorname{coe}$ angewandt auf $\NatfactorizationMACRoK {b}$ gleich.
congrArg 5
7.
Die Koerzion von $\NatfactorizationMACRoK {a}$ und $p$ ist nach der Koerzion von $\NatfactorizationMACRoK {b}$ und $p$ gleich.
Wenn $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b}}$, dann $a = b$.
ifI 14 [h]
16.
Wenn $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{1} . \mathrm{Neq} (x_{1} , 0))}{b}$, dann wenn $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b}}$, dann $a = b$.
ifI 15 [hb]
17.
Für alle Elemente $b$ von $\Natural$, wenn $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{2} . \mathrm{Neq} (x_{2} , 0))}{b}$, dann wenn $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b}}$, dann $a = b$.
forallI 1, 16 [b]
18.
Wenn $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{3} . \mathrm{Neq} (x_{3} , 0))}{a}$, dann für alle Elemente $b_{1}$ von $\Natural$, wenn $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{4} . \mathrm{Neq} (x_{4} , 0))}{b_{1}}$, dann wenn $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b_{1}}}$, dann $a = b_{1}$.
ifI 17 [ha]
19.
Für alle Elemente $a$ von $\Natural$, wenn $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{6} . \mathrm{Neq} (x_{6} , 0))}{a}$, dann für alle Elemente $b_{2}$ von $\Natural$, wenn $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{5} . \mathrm{Neq} (x_{5} , 0))}{b_{2}}$, dann wenn $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b_{2}}}$, dann $a = b_{2}$.
Om $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b}}$, så $a = b$.
ifI 14 [h]
16.
Om $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{1} . \mathrm{Neq} (x_{1} , 0))}{b}$, så om $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b}}$, så $a = b$.
ifI 15 [hb]
17.
För alla element $b$ av $\Natural$, om $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{2} . \mathrm{Neq} (x_{2} , 0))}{b}$, så om $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b}}$, så $a = b$.
forallI 1, 16 [b]
18.
Om $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{3} . \mathrm{Neq} (x_{3} , 0))}{a}$, så för alla element $b_{1}$ av $\Natural$, om $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{4} . \mathrm{Neq} (x_{4} , 0))}{b_{1}}$, så om $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b_{1}}}$, så $a = b_{1}$.
ifI 17 [ha]
19.
För alla element $a$ av $\Natural$, om $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{6} . \mathrm{Neq} (x_{6} , 0))}{a}$, så för alla element $b_{2}$ av $\Natural$, om $\MembershipmemMACRoAA {\operatorname{ofPred} (\lambda x_{5} . \mathrm{Neq} (x_{5} , 0))}{b_{2}}$, så om $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b_{2}}}$, så $a = b_{2}$.
Let $n$ and $p$ be natural numbers. Then $\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}= 0$, if and only if $p$ is not prime, $p$ does not divide $n$ or $n = 0$.
French
Soient $n$ et $p$ des nombres naturels. Alors $\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}= 0$ si et seulement si $p$ n'est pas premier, $p$ ne divise pas $n$ ou $n = 0$.
Czech
Nechť $n$ a $p$ je přirozené číslo. Tedy násobnost $p$ v $n$ je rovná $0$, právě tehdy, když $p$ není prvočíselné, $p$ nedělí $n$ nebo $n = 0$.
German
Seien $n$ und $p$ natürliche Zahlen. Dann $\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}= 0$, genau dann, wenn ist $p$ nicht prim, $p$ nicht $n$ teilt oder $n = 0$.
Swedish
Låt $n$ och $p$ vara naturliga tal. Då $\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}= 0$, om och endast om $p$ inte är primt, $p$ inte delar $n$ eller $n = 0$.
Formula
$n , p \in \Natural \vdash \NatfactorizationappMACRoL {n}{p}= 0 \leftrightarrow \neg \mathrm{prime} (p)\vee (\neg (\divides {p}{n})\vee n = 0)$
For nonzero a and b, the power of p in a * b is the sum of the powers in a and b
Lean
@[simp]
theorem factorization_mul {a b : ℕ} (ha : a ≠ 0) (hb : b ≠ 0) :
(a * b).factorization = a.factorization + b.factorization :=
Dedukti
1 lines
Nat__factorization_mul : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (ha : Proof (Neq a 0)) -> (hb : Proof (Neq b 0)) -> Proof (Eqt (Finsupp Nat Nat) (Nat__factorization (times a b)) (plus (Nat__factorization a) (Nat__factorization b))).
English
Let $a$ and $b$ be natural numbers such that $a \neq 0$ and $b \neq 0$. Then the factorization of $a \times b$ is equal to the sum of the factorization of $a$ and the factorization of $b$.
French
Soient $a$ et $b$ des nombres naturels tels que $a \neq 0$ et $b \neq 0$. Alors la factorisation de $a \times b$ est égale à la somme de la factorisation de $a$ et de la factorisation de $b$.
Czech
Nechť $a$ a $b$ je přirozené číslo takové, že $a \neq 0$ a $b \neq 0$. Tedy faktorizace $a \times b$ je rovná do součtu faktorizace $a$ a faktorizace $b$.
German
Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen derart, dass $a \neq 0$ und $b \neq 0$. Dann ist die Faktorisierung von $a \times b$ nach der Summe von der Faktorisierung von $a$ und der Faktorisierung von $b$ gleich.
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara naturliga tal sådana att $a \neq 0$ och $b \neq 0$. Då är faktoriseringen av $a \times b$ lika till summan av faktoriseringen av $a$ och faktoriseringen av $b$.
Formula
$a , b \in \Natural , a \neq 0 , b \neq 0 \vdash \EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {(a \times b)}}{\NatfactorizationMACRoK {a}+ \NatfactorizationMACRoK {b}}$
Let $d$ and $n$ be natural numbers such that $d \neq 0$ and $n \neq 0$. Then the factorization of $d$ is less than or equal to the factorization of $n$, if and only if $d$ divides $n$.
French
Soient $d$ et $n$ des nombres naturels tels que $d \neq 0$ et $n \neq 0$. Alors la factorisation de $d$ est inférieure ou égale à la factorisation de $n$ si et seulement si $d$ divise $n$.
Czech
Nechť $d$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $d \neq 0$ a $n \neq 0$. Tedy faktorizace $d$ je menší nebo rovná než faktorizace $n$, právě tehdy, když $d$ dělí $n$.
German
Seien $d$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $d \neq 0$ und $n \neq 0$. Dann ist die Faktorisierung von $d$ kleiner oder gleich der Faktorisierung von $n$, genau dann, wenn $d$ $n$ teilt.
Swedish
Låt $d$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $d \neq 0$ och $n \neq 0$. Då är faktoriseringen av $d$ mindre än eller lika med faktoriseringen av $n$, om och endast om $d$ delar $n$.
Formula
$d , n \in \Natural , d \neq 0 , n \neq 0 \vdash \NatfactorizationMACRoK {d}\leq \NatfactorizationMACRoK {n}\leftrightarrow \divides {d}{n}$
For any p : ℕ and any function g : α → ℕ that's non-zero on S : Finset α,
the power of p in S.prod g equals the sum over x ∈ S of the powers of p in g x.
Generalises factorization_mul, which is the special case where #S = 2 and g = id.
Lean
theorem factorization_prod {α : Type*} {S : Finset α} {g : α → ℕ} (hS : ∀ x ∈ S, g x ≠ 0) :
(S.prod g).factorization = S.sum fun x => (g x).factorization :=
Dedukti
1 lines
Nat__factorization_prod : (x : Set) -> (S : Elem (Finset x)) -> (g : (Elem x -> Nat)) -> (hS : Proof (forall x (x3 => if (Membership__mem S x3) (Neq (g x3) 0)))) -> Proof (Eqt (Finsupp Nat Nat) (Nat__factorization (Finset__prod S (x1 => g x1))) (Finset__sum S (x2 => Nat__factorization (g x2)))).
English
Let $x$ be a set. Let $S$ be a finite set of $x$. Let $g$ be a function from elements of $x$ to elements of $\Natural$ such that for all elements $x_{3}$ of $x$, if $\MembershipmemMACRoT {S}{x_{3}}$, then $g (x_{3})\neq 0$. Then $\EqtMACRoH {\operatorname{factorization} (\FinsetProd {S}{x_{1}}{g (x_{1})})}{\FinsetSum {S}{x_{2}}{\operatorname{factorization} (g (x_{2}))}}$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $S$ un ensemble fini de $x$. Soit $g$ une fonction des éléments de $x$ à des éléments de $\Natural$ telle que pour tous les éléments $x_{3}$ de $x$, si $\MembershipmemMACRoT {S}{x_{3}}$, alors $g (x_{3})\neq 0$. Alors $\EqtMACRoH {\operatorname{factorization} (\FinsetProd {S}{x_{1}}{g (x_{1})})}{\FinsetSum {S}{x_{2}}{\operatorname{factorization} (g (x_{2}))}}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $S$ je konečná množina $x$. Nechť $g$ je funkce z prvků $x$ do prvků $\Natural$ taková, že pro všechny prvky $x_{3}$ $x$, jestliže $\MembershipmemMACRoT {S}{x_{3}}$, pak $g (x_{3})\neq 0$. Tedy $\EqtMACRoH {\operatorname{factorization} (\FinsetProd {S}{x_{1}}{g (x_{1})})}{\FinsetSum {S}{x_{2}}{\operatorname{factorization} (g (x_{2}))}}$. (forced symbolic: no wording found)
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $S$ eine endliche Menge von $x$. Sei $g$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Elementen von $\Natural$ derart, dass für alle Elemente $x_{3}$ von $x$, wenn $\MembershipmemMACRoT {S}{x_{3}}$, dann $g (x_{3})\neq 0$. Dann $\EqtMACRoH {\operatorname{factorization} (\FinsetProd {S}{x_{1}}{g (x_{1})})}{\FinsetSum {S}{x_{2}}{\operatorname{factorization} (g (x_{2}))}}$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $S$ vara en ändlig mängd av $x$. Låt $g$ vara en funktion från element av $x$ till element av $\Natural$ sådan att för alla element $x_{3}$ av $x$, om $\MembershipmemMACRoT {S}{x_{3}}$, så $g (x_{3})\neq 0$. Då $\EqtMACRoH {\operatorname{factorization} (\FinsetProd {S}{x_{1}}{g (x_{1})})}{\FinsetSum {S}{x_{2}}{\operatorname{factorization} (g (x_{2}))}}$. (forced symbolic: no wording found)
Formula
$x \in \mathrm{Set} , S \in \mathrm{Finset} (x), g \in x \rightarrow \Natural , \forall x_{3} \in x . \MembershipmemMACRoAA {S}{x_{3}}\rightarrow g (x_{3})\neq 0 \vdash \EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {(\FinsetProd {S}{x_{1}}{g (x_{1})})}}{\FinsetSum {S}{x_{2}}{\NatfactorizationMACRoK {g (x_{2})}}}$
Let $n$ and $k$ be elements of $\Natural$. Then $\EqtMACRoH {\operatorname{factorization} (n ^ {k})}{\HSMulhSMulMACRoAL {k}{\operatorname{factorization} (n)}}$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soient $n$ et $k$ des éléments de $\Natural$. Alors $\EqtMACRoH {\operatorname{factorization} (n ^ {k})}{\HSMulhSMulMACRoAL {k}{\operatorname{factorization} (n)}}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $n$ a $k$ je prvek $\Natural$. Tedy $\EqtMACRoH {\operatorname{factorization} (n ^ {k})}{\HSMulhSMulMACRoAL {k}{\operatorname{factorization} (n)}}$. (forced symbolic: no wording found)
German
Seien $n$ und $k$ elemente von $\Natural$. Dann $\EqtMACRoH {\operatorname{factorization} (n ^ {k})}{\HSMulhSMulMACRoAL {k}{\operatorname{factorization} (n)}}$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $n$ och $k$ vara element av $\Natural$. Då $\EqtMACRoH {\operatorname{factorization} (n ^ {k})}{\HSMulhSMulMACRoAL {k}{\operatorname{factorization} (n)}}$. (forced symbolic: no wording found)
Let $n$ be a natural number. Then $n$ is a square, if and only if for all natural numbers $p$, if $p$ is prime, then the multiplicity of $p$ in $n$ is even.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Alors $n$ est un carré si et seulement si pour tous les nombres naturels $p$, si $p$ est premier, alors $\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}$ est pair.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Tedy $n$ je čtverec, právě tehdy, když pro všechna přirozená čísla $p$, jestliže $p$ je prvočíselné, pak násobnost $p$ v $n$ je sudá.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann ist $n$ ein Quadrat, genau dann, wenn für alle natürliche Zahlen $p$, wenn $p$ prim ist, dann die Vielfachheit von $p$ in $n$ gerade ist.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Då är $n$ en kvadrat, om och endast om för alla naturliga tal $p$, om $p$ är primt, så är multipliciteten av $p$ i $n$ jämn.
Let $n$ be an integer. Then $n$ is a square, if and only if $0 \leq n$ and for all natural numbers $p$, if $p$ is prime, then the multiplicity of $p$ in $\IntnatAbsMACRoY {n}$ is even.
French
Soit $n$ un entier. Alors $n$ est un carré si et seulement si $0 \leq n$ et pour tous des nombres naturels $p$, si $p$ est premier, alors $\NatfactorizationappMACRoI {\IntnatAbsMACRoY {n}}{p}$ est pair.
Czech
Nechť $n$ je celé číslo. Tedy $n$ je čtverec, právě tehdy, když $0 \leq n$ a pro všechna přirozená čísla $p$, jestliže $p$ je prvočíselné, pak násobnost $p$ v $\IntnatAbsMACRoY {n}$ je sudá.
German
Sei $n$ eine ganze Zahl. Dann ist $n$ ein Quadrat, genau dann, wenn $0 \leq n$ und für alle natürliche Zahlen $p$, wenn $p$ prim ist, dann die Vielfachheit von $p$ in $\IntnatAbsMACRoY {n}$ gerade ist.
Swedish
Låt $n$ vara ett heltal. Då är $n$ en kvadrat, om och endast om $0 \leq n$ och för alla naturliga tal $p$, om $p$ är primt, så är multipliciteten av $p$ i $\IntnatAbsMACRoY {n}$ jämn.
Let $n$ and $p$ be natural numbers such that $n \neq 0$ and $p$ is prime. Then $p ^ {(\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}+ 1)}$ does not divide $n$.
French
Soient $n$ et $p$ des nombres naturels tels que $n \neq 0$ et $p$ soit premier. Alors $p ^ {(\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}+ 1)}$ ne divise pas $n$.
Czech
Nechť $n$ a $p$ je přirozené číslo takové, že $n \neq 0$ a $p$ je prvočíselné. Tedy $p ^ {(\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}+ 1)}$ nedělí $n$.
German
Seien $n$ und $p$ natürliche Zahlen derart, dass $n \neq 0$ und $p$ prim ist. Dann teilt $p ^ {(\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}+ 1)}$ nicht $n$.
Swedish
Låt $n$ och $p$ vara naturliga tal sådana att $n \neq 0$ och $p$ är primt. Då delar $p ^ {(\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}+ 1)}$ inte $n$.
Formula
$n , p \in \Natural , n \neq 0 , \mathrm{prime} (p)\vdash \neg (\divides {p ^ {(\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}+ 1)}}{n})$
Let $f$ be an element of $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ such that for all natural numbers $p$, if $p$ is an element of the support of $f$, then $p$ is prime. Then the factorization of $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$ is equal to $f$.
French
Soit $f$ un élément de $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ tel que pour tous les nombres naturels $p$, si $p$ est un élément du support de $f$, alors $p$ soit premier. Alors la factorisation de $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$ est égale à $f$.
Czech
Nechť $f$ je prvek $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ takový, že pro všechna přirozená čísla $p$, jestliže $p$ je element nosiče $f$, pak $p$ je prvočíselné. Tedy faktorizace $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$ je rovná do $f$.
German
Sei $f$ ein Element von $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ derart, dass für alle natürliche Zahlen $p$, wenn $p$ ein Element vom Träger von $f$ ist, dann $p$ prim ist. Dann ist die Faktorisierung von $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$ nach $f$ gleich.
Swedish
Låt $f$ vara ett element av $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ sådant att för alla naturliga tal $p$, om $p$ är ett element av stödet av $f$, så är $p$ primt. Då är faktoriseringen av $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$ lika till $f$.
Let $n$ be a natural number. Let $f$ be an element of $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$. Assume that $n \neq 0$. Assume that for all natural numbers $p$, if $p$ is an element of the support of $f$, then $p$ is prime. Then $f$ is equal to the factorization of $n$, if and only if $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}= n$.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Soit $f$ un élément de $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$. Supposons que $n \neq 0$. Supposons que pour tous les nombres naturels $p$, si $p$ est un élément du support de $f$, alors $p$ est premier. Alors $f$ est égal à la factorisation de $n$ si et seulement si $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}= n$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Nechť $f$ je prvek $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$. Předpokládejme, že $n \neq 0$. Předpokládejme, že pro všechna přirozená čísla $p$, jestliže $p$ je element nosiče $f$, pak $p$ je prvočíselné. Tedy $f$ je rovné do faktorizace $n$, právě tehdy, když $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}= n$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Sei $f$ ein Element von $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$. Nimm an, dass $n \neq 0$. Nimm an, dass für alle natürliche Zahlen $p$, wenn $p$ ein Element vom Träger von $f$ ist, dann $p$ prim ist. Dann ist $f$ nach der Faktorisierung von $n$ gleich, genau dann, wenn $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}= n$.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Låt $f$ vara ett element av $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$. Anta att $n \neq 0$. Anta att för alla naturliga tal $p$, om $p$ är ett element av stödet av $f$, så är $p$ primt. Då är $f$ lika till faktoriseringen av $n$, om och endast om $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}= n$.
Formula
$n \in \Natural , f \in \FinsuppMACRoX {\Natural}{\Natural}, n \neq 0 , \forall p \in \Natural . \MembershipmemMACRoAA {\FinsuppsupportMACRoY {f}}{p}\rightarrow \mathrm{prime} (p)\vdash \EqtMACRoJ {f}{\NatfactorizationMACRoK {n}}\leftrightarrow \FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}= n$
theorem factorization_prod_pow_eq_self_of_le_factorization (hf : f ≤ n.factorization) :
(f.prod (· ^ ·)).factorization = f :=
factorization_prod_pow_eq_self fun _ hp ↦ prime_of_mem_primeFactors <| support_mono hf hp
Dedukti
2 lines
def Nat__factorization_prod_pow_eq_self_of_le_factorization : (n : Elem Nat) -> (f : Elem (Finsupp Nat Nat)) -> (hf : Proof (Leq f (Nat__factorization n))) -> Proof (Eqt (Finsupp Nat Nat) (Nat__factorization (Finsupp__prod f (x => x1 => pow x x1))) f) :=
n => f => hf => Nat__factorization_prod_pow_eq_self f (forallI Nat (x => if (Membership__mem (Finsupp__support f) x) (prime x)) (x => ifI (Membership__mem (Finsupp__support f) x) (prime x) (hp => Nat__prime_of_mem_primeFactors n x (Finsupp__support_mono Nat Nat f (Nat__factorization n) hf x hp)))).
English
Let $n$ be a natural number. Let $f$ be an element of $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ such that $f$ is less than or equal to the factorization of $n$. Then the factorization of $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$ is equal to $f$.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Soit $f$ un élément de $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ tel que $f$ soit inférieur ou égal à la factorisation de $n$. Alors la factorisation de $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$ est égale à $f$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Nechť $f$ je prvek $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ takový, že $f$ je menší nebo rovné než faktorizace $n$. Tedy faktorizace $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$ je rovná do $f$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Sei $f$ ein Element von $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ derart, dass $f$ kleiner oder gleich der Faktorisierung von $n$ ist. Dann ist die Faktorisierung von $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$ nach $f$ gleich.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Låt $f$ vara ett element av $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ sådant att $f$ är mindre än eller lika med faktoriseringen av $n$. Då är faktoriseringen av $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$ lika till $f$.
Formula
$n \in \Natural , f \in \FinsuppMACRoX {\Natural}{\Natural}, f \leq \NatfactorizationMACRoK {n}\vdash \EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {(\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})})}}{f}$
Proof
9 lines
1.
Let $n$ be an element of $\Natural$.
2.
Let $f$ be an element of $\FinsuppMACRoX {\Natural}{\Natural}$.
Let $n$ be a natural number. Let $f$ be an element of $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ such that $f$ is less than or equal to the factorization of $n$. Then $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$ divides $n$.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Soit $f$ un élément de $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ tel que $f$ soit inférieur ou égal à la factorisation de $n$. Alors $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$ divise $n$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Nechť $f$ je prvek $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ takový, že $f$ je menší nebo rovné než faktorizace $n$. Tedy $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$ dělí $n$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Sei $f$ ein Element von $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ derart, dass $f$ kleiner oder gleich der Faktorisierung von $n$ ist. Dann teilt $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$ $n$.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Låt $f$ vara ett element av $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ sådant att $f$ är mindre än eller lika med faktoriseringen av $n$. Då delar $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$ $n$.
Formula
$n \in \Natural , f \in \FinsuppMACRoX {\Natural}{\Natural}, f \leq \NatfactorizationMACRoK {n}\vdash \divides {\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}}{n}$
Let $n$ be a natural number. Let $f$ be an element of $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$. Assume that $n \neq 0$. Assume that the factorization of $n$ is less than or equal to $f$. Then $n$ divides $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Soit $f$ un élément de $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$. Supposons que $n \neq 0$. Supposons que la factorisation de $n$ est inférieure ou égale à $f$. Alors $n$ divise $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Nechť $f$ je prvek $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$. Předpokládejme, že $n \neq 0$. Předpokládejme, že faktorizace $n$ je menší nebo rovná než $f$. Tedy $n$ dělí $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Sei $f$ ein Element von $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$. Nimm an, dass $n \neq 0$. Nimm an, dass die Faktorisierung von $n$ kleiner oder gleich $f$ ist. Dann teilt $n$ $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Låt $f$ vara ett element av $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$. Anta att $n \neq 0$. Anta att faktoriseringen av $n$ är mindre än eller lika med $f$. Då delar $n$ $\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$.
Formula
$n \in \Natural , f \in \FinsuppMACRoX {\Natural}{\Natural}, n \neq 0 , \NatfactorizationMACRoK {n}\leq f \vdash \divides {n}{\FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}}$
theorem dvd_iff_exists_le_factorization {d : ℕ} (hd : d ≠ 0) (hn : n ≠ 0) :
d ∣ n ↔ ∃ f ≤ n.factorization, d = f.prod (· ^ ·) :=
Dedukti
1 lines
Nat__dvd_iff_exists_le_factorization : (n : Elem Nat) -> (d : Elem Nat) -> (hd : Proof (Neq d 0)) -> (hn : Proof (Neq n 0)) -> Proof (iff (divide d n) (exists (Finsupp Nat Nat) (f => and (Leq f (Nat__factorization n)) (Eq d (Finsupp__prod f (x => x1 => pow x x1)))))).
English
Let $n$ and $d$ be natural numbers such that $d \neq 0$ and $n \neq 0$. Then $d$ divides $n$, if and only if there exists an element $f$ of $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$, such that $f$ is less than or equal to the factorization of $n$ and $d = \FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$.
French
Soient $n$ et $d$ des nombres naturels tels que $d \neq 0$ et $n \neq 0$. Alors $d$ divise $n$ si et seulement si il existe un élément $f$ de $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ tel que $f$ soit inférieur ou égal à la factorisation de $n$ et $d = \FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$.
Czech
Nechť $n$ a $d$ je přirozené číslo takové, že $d \neq 0$ a $n \neq 0$. Tedy $d$ dělí $n$, právě tehdy, když existuje prvek $f$ $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$, takový, že $f$ je menší nebo rovné než faktorizace $n$ a $d = \FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$.
German
Seien $n$ und $d$ natürliche Zahlen derart, dass $d \neq 0$ und $n \neq 0$. Dann teilt $d$ $n$, genau dann, wenn es ein Element $f$ von $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ gibt, derart, dass $f$ kleiner oder gleich der Faktorisierung von $n$ ist und $d = \FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$.
Swedish
Låt $n$ och $d$ vara naturliga tal sådana att $d \neq 0$ och $n \neq 0$. Då delar $d$ $n$, om och endast om det finns ett element $f$ av $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$, så att $f$ är mindre än eller lika med faktoriseringen av $n$ och $d = \FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})}$.
Formula
$n , d \in \Natural , d \neq 0 , n \neq 0 \vdash \divides {d}{n}\leftrightarrow (\exists f \in \FinsuppMACRoX {\Natural}{\Natural}. f \leq \NatfactorizationMACRoK {n}\wedge d = \FinsuppProd {f}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})})$
The factorization equivalence is an element of $\EquivMACRoAE {\PNatMACRoAD}{(\SubtypeSet {f}{\mathrm{forall} (\Natural , \lambda p . \mathrm{if} (\MembershipmemMACRoT {\FinsuppsupportMACRoR {f}}{p}, \mathrm{prime} (p)))})}$. (forced symbolic: no wording found)
French
L'équivalence de factorisations est un élément de $\EquivMACRoAE {\PNatMACRoAD}{(\SubtypeSet {f}{\mathrm{forall} (\Natural , \lambda p . \mathrm{if} (\MembershipmemMACRoT {\FinsuppsupportMACRoR {f}}{p}, \mathrm{prime} (p)))})}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Faktorizaceekvivalence je prvek $\EquivMACRoAE {\PNatMACRoAD}{(\SubtypeSet {f}{\mathrm{forall} (\Natural , \lambda p . \mathrm{if} (\MembershipmemMACRoT {\FinsuppsupportMACRoR {f}}{p}, \mathrm{prime} (p)))})}$. (forced symbolic: no wording found)
German
Die FaktorisierungÄquivalenz ist ein Element von $\EquivMACRoAE {\PNatMACRoAD}{(\SubtypeSet {f}{\mathrm{forall} (\Natural , \lambda p . \mathrm{if} (\MembershipmemMACRoT {\FinsuppsupportMACRoR {f}}{p}, \mathrm{prime} (p)))})}$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Faktoriseringekvivalensen är ett element av $\EquivMACRoAE {\PNatMACRoAD}{(\SubtypeSet {f}{\mathrm{forall} (\Natural , \lambda p . \mathrm{if} (\MembershipmemMACRoT {\FinsuppsupportMACRoR {f}}{p}, \mathrm{prime} (p)))})}$. (forced symbolic: no wording found)
Let $x$ be an element of $\PNatMACRoAD$. Then $\EqtMACRoH {\operatorname{factorizationEquiv} (x)}{\mathrm{Nat\_\_factorizationEquiv\_\_match\_1} (\lambda x_{1} . \SubtypeSet {f_{2}}{\mathrm{forall} (\Natural , \lambda p_{2} . \mathrm{if} (\MembershipmemMACRoT {\FinsuppsupportMACRoR {f_{2}}}{p_{2}}, \mathrm{prime} (p_{2})))}, x , \lambda n . \lambda h_{3} . \operatorname{factorization} (n))}$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soit $x$ un élément de $\PNatMACRoAD$. Alors $\EqtMACRoH {\operatorname{factorizationEquiv} (x)}{\mathrm{Nat\_\_factorizationEquiv\_\_match\_1} (\lambda x_{1} . \SubtypeSet {f_{2}}{\mathrm{forall} (\Natural , \lambda p_{2} . \mathrm{if} (\MembershipmemMACRoT {\FinsuppsupportMACRoR {f_{2}}}{p_{2}}, \mathrm{prime} (p_{2})))}, x , \lambda n . \lambda h_{3} . \operatorname{factorization} (n))}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $x$ je prvek $\PNatMACRoAD$. Tedy $\EqtMACRoH {\operatorname{factorizationEquiv} (x)}{\mathrm{Nat\_\_factorizationEquiv\_\_match\_1} (\lambda x_{1} . \SubtypeSet {f_{2}}{\mathrm{forall} (\Natural , \lambda p_{2} . \mathrm{if} (\MembershipmemMACRoT {\FinsuppsupportMACRoR {f_{2}}}{p_{2}}, \mathrm{prime} (p_{2})))}, x , \lambda n . \lambda h_{3} . \operatorname{factorization} (n))}$. (forced symbolic: no wording found)
German
Sei $x$ ein Element von $\PNatMACRoAD$. Dann $\EqtMACRoH {\operatorname{factorizationEquiv} (x)}{\mathrm{Nat\_\_factorizationEquiv\_\_match\_1} (\lambda x_{1} . \SubtypeSet {f_{2}}{\mathrm{forall} (\Natural , \lambda p_{2} . \mathrm{if} (\MembershipmemMACRoT {\FinsuppsupportMACRoR {f_{2}}}{p_{2}}, \mathrm{prime} (p_{2})))}, x , \lambda n . \lambda h_{3} . \operatorname{factorization} (n))}$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $x$ vara ett element av $\PNatMACRoAD$. Då $\EqtMACRoH {\operatorname{factorizationEquiv} (x)}{\mathrm{Nat\_\_factorizationEquiv\_\_match\_1} (\lambda x_{1} . \SubtypeSet {f_{2}}{\mathrm{forall} (\Natural , \lambda p_{2} . \mathrm{if} (\MembershipmemMACRoT {\FinsuppsupportMACRoR {f_{2}}}{p_{2}}, \mathrm{prime} (p_{2})))}, x , \lambda n . \lambda h_{3} . \operatorname{factorization} (n))}$. (forced symbolic: no wording found)
Let $x$ be an element of $\SubtypeSet {f_{2}}{\mathrm{forall} (\Natural , \lambda p_{2} . \mathrm{if} (\MembershipmemMACRoT {\FinsuppsupportMACRoR {f_{2}}}{p_{2}}, \mathrm{prime} (p_{2})))}$. Then $\operatorname{symm} (\operatorname{factorizationEquiv} , x)= \FinsuppProd {x}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})}$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soit $x$ un élément de $\SubtypeSet {f_{2}}{\mathrm{forall} (\Natural , \lambda p_{2} . \mathrm{if} (\MembershipmemMACRoT {\FinsuppsupportMACRoR {f_{2}}}{p_{2}}, \mathrm{prime} (p_{2})))}$. Alors $\operatorname{symm} (\operatorname{factorizationEquiv} , x)= \FinsuppProd {x}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})}$. (forced symbolic: no wording found)
For coprime a and b, the power of p in a * b is the sum of the powers in a and b
Lean
theorem factorization_mul_apply_of_coprime {p a b : ℕ} (hab : Coprime a b) :
(a * b).factorization p = a.factorization p + b.factorization p :=
Dedukti
1 lines
Nat__factorization_mul_apply_of_coprime : (p : Elem Nat) -> (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (hab : Proof (Nat__Coprime a b)) -> Proof (Eq (Nat__factorization__app (times a b) p) (plus (Nat__factorization__app a p) (Nat__factorization__app b p))).
English
Let $p$, $a$ and $b$ be natural numbers such that $a$ and $b$ are coprime. Then $\NatfactorizationappMACRoI {(a \times b)}{p}= \NatfactorizationappMACRoI {a}{p}+ \NatfactorizationappMACRoI {b}{p}$.
French
Soient $p$, $a$ et $b$ des nombres naturels tels que $\NatCoprimeMACRoC {a}{b}$. Alors $\NatfactorizationappMACRoI {(a \times b)}{p}= \NatfactorizationappMACRoI {a}{p}+ \NatfactorizationappMACRoI {b}{p}$.
Czech
Nechť $p$, $a$ a $b$ je přirozené číslo takové, že $a$ a $b$ je nesoudělné. Tedy násobnost $p$ v $a \times b$ je rovná součtu násobnosti $p$ v $a$ a násobnosti $p$ v $b$.
German
Seien $p$, $a$ und $b$ natürliche Zahlen derart, dass $\NatCoprimeMACRoC {a}{b}$. Dann $\NatfactorizationappMACRoI {(a \times b)}{p}= \NatfactorizationappMACRoI {a}{p}+ \NatfactorizationappMACRoI {b}{p}$.
Swedish
Låt $p$, $a$ och $b$ vara naturliga tal sådana att $\NatCoprimeMACRoC {a}{b}$. Då $\NatfactorizationappMACRoI {(a \times b)}{p}= \NatfactorizationappMACRoI {a}{p}+ \NatfactorizationappMACRoI {b}{p}$.
Formula
$p , a , b \in \Natural , \NatCoprimeMACRoD {a}{b}\vdash \NatfactorizationappMACRoL {(a \times b)}{p}= \NatfactorizationappMACRoL {a}{p}+ \NatfactorizationappMACRoL {b}{p}$
For coprime a and b, the power of p in a * b is the sum of the powers in a and b
Lean
theorem factorization_mul_of_coprime {a b : ℕ} (hab : Coprime a b) :
(a * b).factorization = a.factorization + b.factorization :=
Dedukti
1 lines
Nat__factorization_mul_of_coprime : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (hab : Proof (Nat__Coprime a b)) -> Proof (Eqt (Finsupp Nat Nat) (Nat__factorization (times a b)) (plus (Nat__factorization a) (Nat__factorization b))).
English
Let $a$ and $b$ be natural numbers such that $a$ and $b$ are coprime. Then the factorization of $a \times b$ is equal to the sum of the factorization of $a$ and the factorization of $b$.
French
Soient $a$ et $b$ des nombres naturels tels que $\NatCoprimeMACRoC {a}{b}$. Alors la factorisation de $a \times b$ est égale à la somme de la factorisation de $a$ et de la factorisation de $b$.
Czech
Nechť $a$ a $b$ je přirozené číslo takové, že $a$ a $b$ je nesoudělné. Tedy faktorizace $a \times b$ je rovná do součtu faktorizace $a$ a faktorizace $b$.
German
Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen derart, dass $\NatCoprimeMACRoC {a}{b}$. Dann ist die Faktorisierung von $a \times b$ nach der Summe von der Faktorisierung von $a$ und der Faktorisierung von $b$ gleich.
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara naturliga tal sådana att $\NatCoprimeMACRoC {a}{b}$. Då är faktoriseringen av $a \times b$ lika till summan av faktoriseringen av $a$ och faktoriseringen av $b$.
We introduce the notations ordProj[p] n for the largest power of the prime p that
divides n and ordCompl[p] n for the complementary part. The ord naming comes from
the $p$-adic order/valuation of a number, and proj and compl are for the projection and
complementary projection. The term n.factorization p is the $p$-adic order itself.
For example, ordProj[2] n is the even part of n and ordCompl[2] n is the odd part.
Lean
notation "ordProj[" p "] " n:arg => p ^ Nat.factorization n p
We introduce the notations ordProj[p] n for the largest power of the prime p that
divides n and ordCompl[p] n for the complementary part. The ord naming comes from
the $p$-adic order/valuation of a number, and proj and compl are for the projection and
complementary projection. The term n.factorization p is the $p$-adic order itself.
For example, ordProj[2] n is the even part of n and ordCompl[2] n is the odd part.
Lean
@[inherit_doc «termOrdProj[_]_»]
notation "ordCompl[" p "] " n:arg => n / ordProj[p] n
lemma ordProj_dvd_ordProj_iff_dvd (ha : a ≠ 0) (hb : b ≠ 0) :
(∀ p : ℕ, ordProj[p] a ∣ ordProj[p] b) ↔ a ∣ b :=
Dedukti
1 lines
Nat__ordProj_dvd_ordProj_iff_dvd : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (ha : Proof (Neq a 0)) -> (hb : Proof (Neq b 0)) -> Proof (iff (forall Nat (p => divide (pow p (Nat__factorization__app a p)) (pow p (Nat__factorization__app b p)))) (divide a b)).
English
Let $a$ and $b$ be natural numbers such that $a \neq 0$ and $b \neq 0$. Then for all natural numbers $p$, $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}$ divides $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}$, if and only if $a$ divides $b$.
French
Soient $a$ et $b$ des nombres naturels tels que $a \neq 0$ et $b \neq 0$. Alors pour tous les nombres naturels $p$, $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}$ divise $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}$ si et seulement si $a$ divise $b$.
Czech
Nechť $a$ a $b$ je přirozené číslo takové, že $a \neq 0$ a $b \neq 0$. Tedy pro všechna přirozená čísla $p$, mocnina $p$ na násobnost $p$ v $a$ dělí $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}$, právě tehdy, když $a$ dělí $b$.
German
Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen derart, dass $a \neq 0$ und $b \neq 0$. Dann für alle natürliche Zahlen $p$, teilt $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}$ $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}$, genau dann, wenn $a$ $b$ teilt.
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara naturliga tal sådana att $a \neq 0$ och $b \neq 0$. Då för alla naturliga tal $p$, delar $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}$ $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}$, om och endast om $a$ delar $b$.
Formula
$a , b \in \Natural , a \neq 0 , b \neq 0 \vdash (\forall p \in \Natural . \divides {p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {a}{p}}}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {b}{p}}})\leftrightarrow \divides {a}{b}$
If a = ∏ pᵢ ^ nᵢ and b = ∏ pᵢ ^ mᵢ, then factorizationLCMLeft = ∏ pᵢ ^ kᵢ, where
kᵢ = nᵢ if mᵢ ≤ nᵢ and 0 otherwise. Note that the product is over the divisors of lcm a b,
so if one of a or b is 0 then the result is 1.
Lean
def factorizationLCMLeft (a b : ℕ) : ℕ :=
(Nat.lcm a b).factorization.prod fun p n ↦
if b.factorization p ≤ a.factorization p then p ^ n else 1
Dedukti
2 lines
def Nat__factorizationLCMLeft : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> Elem Nat :=
a => b => Finsupp__prod (Nat__factorization (Nat__lcm a b)) (p => n => ite (Leq (Nat__factorization__app b p) (Nat__factorization__app a p)) (pow p n) 1).
English
Let $a$ and $b$ be elements of $\Natural$. Then $\NatfactorizationLCMLeftMACRoV {a}{b}$ is an element of $\Natural$ defined as $\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (\NatlcmMACRoX {a}{b})}{p}{n}{(\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}, \NatfactorizationappMACRoI {a}{p})}{(p ^ {n})}{1})}$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soient $a$ et $b$ des éléments de $\Natural$. Alors $\NatfactorizationLCMLeftMACRoV {a}{b}$ est un élément de $\Natural$ défini comme $\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (\NatlcmMACRoX {a}{b})}{p}{n}{(\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}, \NatfactorizationappMACRoI {a}{p})}{(p ^ {n})}{1})}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $a$ a $b$ je prvek $\Natural$. Tedy $\NatfactorizationLCMLeftMACRoV {a}{b}$ je prvek $\Natural$ definovaný jako $\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (\NatlcmMACRoX {a}{b})}{p}{n}{(\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}, \NatfactorizationappMACRoI {a}{p})}{(p ^ {n})}{1})}$. (forced symbolic: no wording found)
German
Seien $a$ und $b$ elemente von $\Natural$. Dann ist $\NatfactorizationLCMLeftMACRoV {a}{b}$ ein Element von $\Natural$ definiert als $\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (\NatlcmMACRoX {a}{b})}{p}{n}{(\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}, \NatfactorizationappMACRoI {a}{p})}{(p ^ {n})}{1})}$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara element av $\Natural$. Då är $\NatfactorizationLCMLeftMACRoV {a}{b}$ ett element av $\Natural$ definierat som $\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (\NatlcmMACRoX {a}{b})}{p}{n}{(\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}, \NatfactorizationappMACRoI {a}{p})}{(p ^ {n})}{1})}$. (forced symbolic: no wording found)
If a = ∏ pᵢ ^ nᵢ and b = ∏ pᵢ ^ mᵢ, then factorizationLCMRight = ∏ pᵢ ^ kᵢ, where
kᵢ = mᵢ if nᵢ < mᵢ and 0 otherwise. Note that the product is over the divisors of lcm a b,
so if one of a or b is 0 then the result is 1. Note that factorizationLCMRight a b is notfactorizationLCMLeft b a: the difference is
that in factorizationLCMLeft a b there are the primes whose exponent in a is bigger or equal
than the exponent in b, while in factorizationLCMRight a b there are the primes whose
exponent in b is strictly bigger than in a. For example factorizationLCMLeft 2 2 = 2, but
factorizationLCMRight 2 2 = 1.
Lean
def factorizationLCMRight (a b : ℕ) :=
(Nat.lcm a b).factorization.prod fun p n ↦
if b.factorization p ≤ a.factorization p then 1 else p ^ n
Dedukti
2 lines
def Nat__factorizationLCMRight : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> Elem Nat :=
a => b => Finsupp__prod (Nat__factorization (Nat__lcm a b)) (p => n => ite (Leq (Nat__factorization__app b p) (Nat__factorization__app a p)) 1 (pow p n)).
English
Let $a$ and $b$ be elements of $\Natural$. Then $\NatfactorizationLCMRightMACRoW {a}{b}$ is an element of $\Natural$ defined as $\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (\NatlcmMACRoX {a}{b})}{p}{n}{(\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}, \NatfactorizationappMACRoI {a}{p})}{1}{(p ^ {n})})}$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soient $a$ et $b$ des éléments de $\Natural$. Alors $\NatfactorizationLCMRightMACRoW {a}{b}$ est un élément de $\Natural$ défini comme $\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (\NatlcmMACRoX {a}{b})}{p}{n}{(\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}, \NatfactorizationappMACRoI {a}{p})}{1}{(p ^ {n})})}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $a$ a $b$ je prvek $\Natural$. Tedy $\NatfactorizationLCMRightMACRoW {a}{b}$ je prvek $\Natural$ definovaný jako $\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (\NatlcmMACRoX {a}{b})}{p}{n}{(\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}, \NatfactorizationappMACRoI {a}{p})}{1}{(p ^ {n})})}$. (forced symbolic: no wording found)
German
Seien $a$ und $b$ elemente von $\Natural$. Dann ist $\NatfactorizationLCMRightMACRoW {a}{b}$ ein Element von $\Natural$ definiert als $\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (\NatlcmMACRoX {a}{b})}{p}{n}{(\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}, \NatfactorizationappMACRoI {a}{p})}{1}{(p ^ {n})})}$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara element av $\Natural$. Då är $\NatfactorizationLCMRightMACRoW {a}{b}$ ett element av $\Natural$ definierat som $\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (\NatlcmMACRoX {a}{b})}{p}{n}{(\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}, \NatfactorizationappMACRoI {a}{p})}{1}{(p ^ {n})})}$. (forced symbolic: no wording found)
theorem factorization_eq_zero_of_lt {n p : ℕ} (h : n < p) : n.factorization p = 0 :=
Finsupp.notMem_support_iff.mp (mt le_of_mem_primeFactors (not_le_of_gt h))
Dedukti
2 lines
def Nat__factorization_eq_zero_of_lt : (n : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> (h : Proof (Lt n p)) -> Proof (Eq (Nat__factorization__app n p) 0) :=
n => p => h => iffEl (not (Membership__mem (Finsupp__support (Nat__factorization n)) p)) (Eq (Nat__factorization__app n p) 0) (Finsupp__notMem_support_iff Nat Nat (Nat__factorization n) p) (mt (Membership__mem (Finsupp__support (Nat__factorization n)) p) (Leq p n) (Nat__le_of_mem_primeFactors n p) (not_le_of_gt Nat n p h)).
English
Let $n$ and $p$ be natural numbers such that $n < p$. Then $\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}= 0$.
French
Soient $n$ et $p$ des nombres naturels tels que $n < p$. Alors $\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}= 0$.
Czech
Nechť $n$ a $p$ je přirozené číslo takové, že $n < p$. Tedy násobnost $p$ v $n$ je rovná $0$.
German
Seien $n$ und $p$ natürliche Zahlen derart, dass $n < p$. Dann $\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}= 0$.
Swedish
Låt $n$ och $p$ vara naturliga tal sådana att $n < p$. Då $\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}= 0$.
Formula
$n , p \in \Natural , n < p \vdash \NatfactorizationappMACRoL {n}{p}= 0$
Proof
7 lines
1.
Let $n$ and $p$ be elements of $\Natural$.
2.
It is not the case that $\MembershipmemMACRoAA {\FinsuppsupportMACRoY {\NatfactorizationMACRoK {n}}}{p}$, if and only if $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {n}}{0}$.
It is not the case that $\MembershipmemMACRoAA {\FinsuppsupportMACRoY {\NatfactorizationMACRoK {n}}}{p}$.
mt 3, 5
7.
$\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}= 0$.
iffEl 2, 6
Proof, French
7 lines
1.
Soient $n$ et $p$ des éléments de $\Natural$.
2.
Il n'est pas le cas que $\MembershipmemMACRoAA {\FinsuppsupportMACRoY {\NatfactorizationMACRoK {n}}}{p}$ si et seulement si $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {n}}{0}$.
Il n'est pas le cas que $\MembershipmemMACRoAA {\FinsuppsupportMACRoY {\NatfactorizationMACRoK {n}}}{p}$.
mt 3, 5
7.
$\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}= 0$.
iffEl 2, 6
Proof, Czech
7 lines
1.
Nechť $n$ a $p$ je prvek $\Natural$.
2.
Není případ že $\MembershipmemMACRoAA {\FinsuppsupportMACRoY {\NatfactorizationMACRoK {n}}}{p}$, právě tehdy, když $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {n}}{0}$.
Není případ že $\MembershipmemMACRoAA {\FinsuppsupportMACRoY {\NatfactorizationMACRoK {n}}}{p}$.
mt 3, 5
7.
$\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}= 0$.
iffEl 2, 6
Proof, German
7 lines
1.
Seien $n$ und $p$ elemente von $\Natural$.
2.
Es ist nicht der Fall dass $\MembershipmemMACRoAA {\FinsuppsupportMACRoY {\NatfactorizationMACRoK {n}}}{p}$, genau dann, wenn $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {n}}{0}$.
Es ist nicht der Fall dass $\MembershipmemMACRoAA {\FinsuppsupportMACRoY {\NatfactorizationMACRoK {n}}}{p}$.
mt 3, 5
7.
$\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}= 0$.
iffEl 2, 6
Proof, Swedish
7 lines
1.
Låt $n$ och $p$ vara element av $\Natural$.
2.
Det är inte fallet att $\MembershipmemMACRoAA {\FinsuppsupportMACRoY {\NatfactorizationMACRoK {n}}}{p}$, om och endast om $\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {n}}{0}$.
Let $p$, $r$ and $i$ be natural numbers such that $p$ is prime and $r \neq 0$. Then $p$ does not divide $r$, if and only if $\NatfactorizationappMACRoI {(p \times i + r)}{p}= 0$.
French
Soient $p$, $r$ et $i$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier et $r \neq 0$. Alors $p$ ne divise pas $r$ si et seulement si $\NatfactorizationappMACRoI {(p \times i + r)}{p}= 0$.
Czech
Nechť $p$, $r$ a $i$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné a $r \neq 0$. Tedy $p$ nedělí $r$, právě tehdy, když násobnost $p$ v $p \times i + r$ je rovná $0$.
German
Seien $p$, $r$ und $i$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist und $r \neq 0$. Dann teilt $p$ nicht $r$, genau dann, wenn $\NatfactorizationappMACRoI {(p \times i + r)}{p}= 0$.
Swedish
Låt $p$, $r$ och $i$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt och $r \neq 0$. Då delar $p$ inte $r$, om och endast om $\NatfactorizationappMACRoI {(p \times i + r)}{p}= 0$.
Formula
$p , r , i \in \Natural , \mathrm{prime} (p), r \neq 0 \vdash \neg (\divides {p}{r})\leftrightarrow \NatfactorizationappMACRoL {(p \times i + r)}{p}= 0$
Modified version of factorization_prod that accounts for inputs.
Lean
theorem factorization_prod_apply {α : Type*} {p : ℕ}
{S : Finset α} {g : α → ℕ} (hS : ∀ x ∈ S, g x ≠ 0) :
(S.prod g).factorization p = S.sum fun x => (g x).factorization p :=
Dedukti
1 lines
Nat__factorization_prod_apply : (x : Set) -> (p : Elem Nat) -> (S : Elem (Finset x)) -> (g : (Elem x -> Nat)) -> (hS : Proof (forall x (x3 => if (Membership__mem S x3) (Neq (g x3) 0)))) -> Proof (Eq (Nat__factorization__app (Finset__prod S (x1 => g x1)) p) (Finset__sum S (x2 => Nat__factorization__app (g x2) p))).
English
Let $x$ be a set. Let $p$ be a natural number. Let $S$ be a finite set of $x$. Let $g$ be a function from elements of $x$ to natural numbers such that for all elements $x_{3}$ of $x$, if $x_{3}$ is an element of $S$, then $g (x_{3})\neq 0$. Then $\NatfactorizationappMACRoI {(\FinsetProd {S}{x_{1}}{g (x_{1})})}{p}= \FinsetSum {S}{x_{2}}{(\NatfactorizationappMACRoI {g (x_{2})}{p})}$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $p$ un nombre naturel. Soit $S$ un ensemble fini de $x$. Soit $g$ une fonction des éléments de $x$ à des nombres naturels telle que pour tous les éléments $x_{3}$ de $x$, si $x_{3}$ est un élément de $S$, alors $g (x_{3})\neq 0$. Alors $\NatfactorizationappMACRoI {(\FinsetProd {S}{x_{1}}{g (x_{1})})}{p}= \FinsetSum {S}{x_{2}}{(\NatfactorizationappMACRoI {g (x_{2})}{p})}$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $p$ je přirozené číslo. Nechť $S$ je konečná množina $x$. Nechť $g$ je funkce z prvků $x$ do přirozených čísl taková, že pro všechny prvky $x_{3}$ $x$, jestliže $x_{3}$ je element $S$, pak $g (x_{3})\neq 0$. Tedy násobnost $p$ v $\FinsetProd {S}{x_{1}}{g (x_{1})}$ je rovná $\FinsetSum {S}{x_{2}}{(\NatfactorizationappMACRoI {g (x_{2})}{p})}$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $p$ eine natürliche Zahl. Sei $S$ eine endliche Menge von $x$. Sei $g$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach natürlichen Zahlen derart, dass für alle Elemente $x_{3}$ von $x$, wenn $\MembershipmemMACRoT {S}{x_{3}}$, dann $g (x_{3})\neq 0$. Dann $\NatfactorizationappMACRoI {(\FinsetProd {S}{x_{1}}{g (x_{1})})}{p}= \FinsetSum {S}{x_{2}}{(\NatfactorizationappMACRoI {g (x_{2})}{p})}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $p$ vara ett naturligt tal. Låt $S$ vara en ändlig mängd av $x$. Låt $g$ vara en funktion från element av $x$ till naturliga tal sådan att för alla element $x_{3}$ av $x$, om $x_{3}$ är ett element av $S$, så $g (x_{3})\neq 0$. Då $\NatfactorizationappMACRoI {(\FinsetProd {S}{x_{1}}{g (x_{1})})}{p}= \FinsetSum {S}{x_{2}}{(\NatfactorizationappMACRoI {g (x_{2})}{p})}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , p \in \Natural , S \in \mathrm{Finset} (x), g \in x \rightarrow \Natural , \forall x_{3} \in x . \MembershipmemMACRoAA {S}{x_{3}}\rightarrow g (x_{3})\neq 0 \vdash \NatfactorizationappMACRoL {(\FinsetProd {S}{x_{1}}{g (x_{1})})}{p}= \FinsetSum {S}{x_{2}}{(\NatfactorizationappMACRoL {g (x_{2})}{p})}$
A product over n.factorization can be written as a product over n.primeFactors;
Lean
lemma prod_factorization_eq_prod_primeFactors {β : Type*} [CommMonoid β] (f : ℕ → ℕ → β) :
n.factorization.prod f = ∏ p ∈ n.primeFactors, f p (n.factorization p) := rfl
Dedukti
2 lines
def Nat__prod_factorization_eq_prod_primeFactors : (n : Elem Nat) -> (x : Set) -> (_ : Proof (CommMonoid x)) -> (f : (Elem Nat -> Elem Nat -> x)) -> Proof (Eqt x (Finsupp__prod (Nat__factorization n) (x2 => x3 => f x2 x3)) (Finset__prod (Nat__primeFactors n) (p => f p (Nat__factorization__app n p)))) :=
n => x => x1 => f => rfl.
English
Let $n$ be an element of $\Natural$. Let $x$ be a set such that $x$ is a commutative monoid. Let $f$ be a function from elements of $\Natural$ and elements of $\Natural$ to elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{x_{2}}{x_{3}}{f (x_{2} , x_{3})}}{\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{p}{f (p , \NatfactorizationappMACRoI {n}{p})}}$. Proof. Let $n$ be arbitrary. Let $x$ be arbitrary. Let $x_{1}$ be arbitrary. Let $f$ be arbitrary. By rfl. (forced symbolic: no wording found)
French
Soit $n$ un élément de $\Natural$. Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un monoïde commutatif. Soit $f$ une fonction des éléments de $\Natural$ et des éléments de $\Natural$ à des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{x_{2}}{x_{3}}{f (x_{2} , x_{3})}}{\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{p}{f (p , \NatfactorizationappMACRoI {n}{p})}}$. Démonstration. Soit $n$ arbitraire. Soit $x$ arbitraire. Soit $x_{1}$ arbitraire. Soit $f$ arbitraire. Par rfl. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $n$ je prvek $\Natural$. Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je komutativní monoid. Nechť $f$ je funkce z prvků $\Natural$ a prvků $\Natural$ do prvků $x$. Tedy $\EqtMACRoH {\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{x_{2}}{x_{3}}{f (x_{2} , x_{3})}}{\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{p}{f (p , \NatfactorizationappMACRoI {n}{p})}}$. Důkaz. Nechť $n$ je libovolné. Nechť $x$ je libovolné. Nechť $x_{1}$ je libovolné. Nechť $f$ je libovolné. Pomocí rfl. (forced symbolic: no wording found)
German
Sei $n$ ein Element von $\Natural$. Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein kommutatives Monoid ist. Sei $f$ eine Funktion aus Elementen von $\Natural$ und Elementen von $\Natural$ nach Elementen von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{x_{2}}{x_{3}}{f (x_{2} , x_{3})}}{\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{p}{f (p , \NatfactorizationappMACRoI {n}{p})}}$. Beweis. Sei $n$ beliebig. Sei $x$ beliebig. Sei $x_{1}$ beliebig. Sei $f$ beliebig. Mit rfl. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $n$ vara ett element av $\Natural$. Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är en kommutativ monoid. Låt $f$ vara en funktion från element av $\Natural$ och element av $\Natural$ till element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{x_{2}}{x_{3}}{f (x_{2} , x_{3})}}{\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{p}{f (p , \NatfactorizationappMACRoI {n}{p})}}$. Bevis. Låt $n$ vara godtyckligt. Låt $x$ vara godtyckligt. Låt $x_{1}$ vara godtyckligt. Låt $f$ vara godtyckligt. Med rfl. (forced symbolic: no wording found)
A product over n.primeFactors can be written as a product over n.factorization;
Lean
lemma prod_primeFactors_prod_factorization {β : Type*} [CommMonoid β] (f : ℕ → β) :
∏ p ∈ n.primeFactors, f p = n.factorization.prod (fun p _ ↦ f p) := rfl
Dedukti
2 lines
def Nat__prod_primeFactors_prod_factorization : (n : Elem Nat) -> (x : Set) -> (_ : Proof (CommMonoid x)) -> (f : (Elem Nat -> x)) -> Proof (Eqt x (Finset__prod (Nat__primeFactors n) (p => f p)) (Finsupp__prod (Nat__factorization n) (p1 => x2 => f p1))) :=
n => x => x1 => f => rfl.
English
Let $n$ be an element of $\Natural$. Let $x$ be a set such that $x$ is a commutative monoid. Let $f$ be a function from elements of $\Natural$ to elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{p}{f (p)}}{\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{p_{1}}{x_{2}}{f (p_{1})}}$. Proof. Let $n$ be arbitrary. Let $x$ be arbitrary. Let $x_{1}$ be arbitrary. Let $f$ be arbitrary. By rfl. (forced symbolic: no wording found)
French
Soit $n$ un élément de $\Natural$. Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un monoïde commutatif. Soit $f$ une fonction des éléments de $\Natural$ à des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{p}{f (p)}}{\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{p_{1}}{x_{2}}{f (p_{1})}}$. Démonstration. Soit $n$ arbitraire. Soit $x$ arbitraire. Soit $x_{1}$ arbitraire. Soit $f$ arbitraire. Par rfl. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $n$ je prvek $\Natural$. Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je komutativní monoid. Nechť $f$ je funkce z prvků $\Natural$ do prvků $x$. Tedy $\EqtMACRoH {\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{p}{f (p)}}{\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{p_{1}}{x_{2}}{f (p_{1})}}$. Důkaz. Nechť $n$ je libovolné. Nechť $x$ je libovolné. Nechť $x_{1}$ je libovolné. Nechť $f$ je libovolné. Pomocí rfl. (forced symbolic: no wording found)
German
Sei $n$ ein Element von $\Natural$. Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein kommutatives Monoid ist. Sei $f$ eine Funktion aus Elementen von $\Natural$ nach Elementen von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{p}{f (p)}}{\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{p_{1}}{x_{2}}{f (p_{1})}}$. Beweis. Sei $n$ beliebig. Sei $x$ beliebig. Sei $x_{1}$ beliebig. Sei $f$ beliebig. Mit rfl. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $n$ vara ett element av $\Natural$. Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är en kommutativ monoid. Låt $f$ vara en funktion från element av $\Natural$ till element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{p}{f (p)}}{\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{p_{1}}{x_{2}}{f (p_{1})}}$. Bevis. Låt $n$ vara godtyckligt. Låt $x$ vara godtyckligt. Låt $x_{1}$ vara godtyckligt. Låt $f$ vara godtyckligt. Med rfl. (forced symbolic: no wording found)
Formula
$n \in \Natural , x \in \mathrm{Set} , \mathrm{CommMonoid} (x), f \in \Natural \rightarrow x \vdash \EqtMACRoJ {\FinsetProd {\NatprimeFactorsMACRoM {n}}{p}{f (p)}}{\FinsuppProd {\NatfactorizationMACRoK {n}}{p_{1}}{x_{2}}{f (p_{1})}}$
Proof
2 lines
1.
Let $n$ be an element of $\Natural$.
2.
For all sets $x$ and elements $a$ of $x$, $\EqtMACRoJ {a}{a}$.
rfl
Proof, French
2 lines
1.
Soit $n$ un élément de $\Natural$.
2.
Pour tous les ensembles $x$ et les éléments $a$ de $x$, $\EqtMACRoJ {a}{a}$.
rfl
Proof, Czech
2 lines
1.
Nechť $n$ je prvek $\Natural$.
2.
Pro všechny množiny $x$ a prvky $a$ $x$, $\EqtMACRoJ {a}{a}$.
rfl
Proof, German
2 lines
1.
Sei $n$ ein Element von $\Natural$.
2.
Für alle Mengen $x$ und Elemente $a$ von $x$, $\EqtMACRoJ {a}{a}$.
rfl
Proof, Swedish
2 lines
1.
Låt $n$ vara ett element av $\Natural$.
2.
För alla mängder $x$ och element $a$ av $x$, $\EqtMACRoJ {a}{a}$.
Let $n$, $p$ and $k$ be natural numbers such that $n \neq 0$ and the factorization of $n$ is equal to $\FinsuppsingleMACRoS {p}{k}$. Then $n = p ^ {k}$.
French
Soient $n$, $p$ et $k$ des nombres naturels tels que $n \neq 0$ et la factorisation de $n$ soit égale à $\FinsuppsingleMACRoS {p}{k}$. Alors $n = p ^ {k}$.
Czech
Nechť $n$, $p$ a $k$ je přirozené číslo takové, že $n \neq 0$ a faktorizace $n$ je rovná do $\FinsuppsingleMACRoS {p}{k}$. Tedy $n = p ^ {k}$.
German
Seien $n$, $p$ und $k$ natürliche Zahlen derart, dass $n \neq 0$ und die Faktorisierung von $n$ nach $\FinsuppsingleMACRoS {p}{k}$ gleich ist. Dann $n = p ^ {k}$.
Swedish
Låt $n$, $p$ och $k$ vara naturliga tal sådana att $n \neq 0$ och faktoriseringen av $n$ är lika till $\FinsuppsingleMACRoS {p}{k}$. Då $n = p ^ {k}$.
Formula
$n , p , k \in \Natural , n \neq 0 , \EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {n}}{\FinsuppsingleMACRoZ {p}{k}}\vdash n = p ^ {k}$
theorem ordCompl_dvd (n p : ℕ) : ordCompl[p] n ∣ n :=
div_dvd_of_dvd (ordProj_dvd n p)
Dedukti
2 lines
def Nat__ordCompl_dvd : (n : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> Proof (divide (div n (pow p (Nat__factorization__app n p))) n) :=
n => p => Nat__div_dvd_of_dvd (pow p (Nat__factorization__app n p)) n (Nat__ordProj_dvd n p).
English
Let $n$ and $p$ be natural numbers. Then $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$ divides $n$.
French
Soient $n$ et $p$ des nombres naturels. Alors $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$ divise $n$.
Czech
Nechť $n$ a $p$ je přirozené číslo. Tedy $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$ dělí $n$.
German
Seien $n$ und $p$ natürliche Zahlen. Dann teilt $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$ $n$.
Swedish
Låt $n$ och $p$ vara naturliga tal. Då delar $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$ $n$.
theorem ordProj_le {n : ℕ} (p : ℕ) (hn : n ≠ 0) : ordProj[p] n ≤ n :=
le_of_dvd hn.bot_lt (Nat.ordProj_dvd n p)
Dedukti
2 lines
def Nat__ordProj_le : (n : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> (hn : Proof (Neq n 0)) -> Proof (Leq (pow p (Nat__factorization__app n p)) n) :=
n => p => hn => Nat__le_of_dvd (pow p (Nat__factorization__app n p)) n (Ne__bot_lt Nat n hn) (Nat__ordProj_dvd n p).
English
Let $n$ and $p$ be natural numbers such that $n \neq 0$. Then $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}\leq n$.
French
Soient $n$ et $p$ des nombres naturels tels que $n \neq 0$. Alors $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}\leq n$.
Czech
Nechť $n$ a $p$ je přirozené číslo takové, že $n \neq 0$. Tedy $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}\leq n$.
German
Seien $n$ und $p$ natürliche Zahlen derart, dass $n \neq 0$. Dann $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}\leq n$.
Swedish
Låt $n$ och $p$ vara naturliga tal sådana att $n \neq 0$. Då $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}\leq n$.
Formula
$n , p \in \Natural , n \neq 0 \vdash p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}}\leq n$
theorem ordCompl_le (n p : ℕ) : ordCompl[p] n ≤ n :=
Nat.div_le_self _ _
Dedukti
2 lines
def Nat__ordCompl_le : (n : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> Proof (Leq (div n (pow p (Nat__factorization__app n p))) n) :=
n => p => Nat__div_le_self n (pow p (Nat__factorization__app n p)).
English
Let $n$ and $p$ be natural numbers. Then $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}\leq n$.
French
Soient $n$ et $p$ des nombres naturels. Alors $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}\leq n$.
Czech
Nechť $n$ a $p$ je přirozené číslo. Tedy $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}\leq n$.
German
Seien $n$ und $p$ natürliche Zahlen. Dann $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}\leq n$.
Swedish
Låt $n$ och $p$ vara naturliga tal. Då $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}\leq n$.
theorem ordProj_mul_ordCompl_eq_self (n p : ℕ) : ordProj[p] n * ordCompl[p] n = n :=
Nat.mul_div_cancel' (ordProj_dvd n p)
Dedukti
2 lines
def Nat__ordProj_mul_ordCompl_eq_self : (n : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> Proof (Eq (times (pow p (Nat__factorization__app n p)) (div n (pow p (Nat__factorization__app n p)))) n) :=
n => p => Nat__mul_div_cancel' (pow p (Nat__factorization__app n p)) n (Nat__ordProj_dvd n p).
English
Let $n$ and $p$ be natural numbers. Then $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}\times \frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}= n$.
French
Soient $n$ et $p$ des nombres naturels. Alors $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}\times \frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}= n$.
Czech
Nechť $n$ a $p$ je přirozené číslo. Tedy $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}\times \frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}= n$.
German
Seien $n$ und $p$ natürliche Zahlen. Dann $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}\times \frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}= n$.
Swedish
Låt $n$ och $p$ vara naturliga tal. Då $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}\times \frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}= n$.
Formula
$n , p \in \Natural \vdash p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}}\times \frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}}}= n$
theorem ordProj_mul {a b : ℕ} (p : ℕ) (ha : a ≠ 0) (hb : b ≠ 0) :
ordProj[p] (a * b) = ordProj[p] a * ordProj[p] b :=
Dedukti
1 lines
Nat__ordProj_mul : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> (ha : Proof (Neq a 0)) -> (hb : Proof (Neq b 0)) -> Proof (Eq (pow p (Nat__factorization__app (times a b) p)) (times (pow p (Nat__factorization__app a p)) (pow p (Nat__factorization__app b p)))).
English
Let $a$, $b$ and $p$ be elements of $\Natural$ such that $a \neq 0$ and $b \neq 0$. Then $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(a \times b)}{p}}= p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}\times p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}$.
French
Soient $a$, $b$ et $p$ des éléments de $\Natural$ tels que $a \neq 0$ et $b \neq 0$. Alors $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(a \times b)}{p}}= p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}\times p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}$.
Czech
Nechť $a$, $b$ a $p$ je prvek $\Natural$ takový, že $a \neq 0$ a $b \neq 0$. Tedy $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(a \times b)}{p}}= p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}\times p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $a$, $b$ och $p$ vara element av $\Natural$ sådana att $a \neq 0$ och $b \neq 0$. Då $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(a \times b)}{p}}= p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}\times p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}$.
Formula
$a , b , p \in \Natural , a \neq 0 , b \neq 0 \vdash p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {(a \times b)}{p}}= p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {a}{p}}\times p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {b}{p}}$
theorem ordCompl_mul (a b p : ℕ) : ordCompl[p] (a * b) = ordCompl[p] a * ordCompl[p] b :=
Dedukti
1 lines
Nat__ordCompl_mul : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> Proof (Eq (div (times a b) (pow p (Nat__factorization__app (times a b) p))) (times (div a (pow p (Nat__factorization__app a p))) (div b (pow p (Nat__factorization__app b p))))).
English
Let $a$, $b$ and $p$ be elements of $\Natural$. Then $\frac{ a \times b}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(a \times b)}{p}}}= \frac{ a}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}}\times \frac{ b}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}}$.
French
Soient $a$, $b$ et $p$ des éléments de $\Natural$. Alors $\frac{ a \times b}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(a \times b)}{p}}}= \frac{ a}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}}\times \frac{ b}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}}$.
Czech
Nechť $a$, $b$ a $p$ je prvek $\Natural$. Tedy $\frac{ a \times b}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(a \times b)}{p}}}= \frac{ a}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}}\times \frac{ b}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}}$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $a$, $b$ och $p$ vara element av $\Natural$. Då $\frac{ a \times b}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(a \times b)}{p}}}= \frac{ a}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}}\times \frac{ b}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}}$.
Formula
$a , b , p \in \Natural \vdash \frac{ a \times b}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {(a \times b)}{p}}}= \frac{ a}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {a}{p}}}\times \frac{ b}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {b}{p}}}$
theorem factorization_prime_le_iff_dvd {d n : ℕ} (hd : d ≠ 0) (hn : n ≠ 0) :
(∀ p : ℕ, p.Prime → d.factorization p ≤ n.factorization p) ↔ d ∣ n :=
Dedukti
1 lines
Nat__factorization_prime_le_iff_dvd : (d : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (hd : Proof (Neq d 0)) -> (hn : Proof (Neq n 0)) -> Proof (iff (forall Nat (p => if (prime p) (Leq (Nat__factorization__app d p) (Nat__factorization__app n p)))) (divide d n)).
English
Let $d$ and $n$ be natural numbers such that $d \neq 0$ and $n \neq 0$. Then for all natural numbers $p$, if $p$ is prime, then $\NatfactorizationappMACRoI {d}{p}\leq \NatfactorizationappMACRoI {n}{p}$, if and only if $d$ divides $n$.
French
Soient $d$ et $n$ des nombres naturels tels que $d \neq 0$ et $n \neq 0$. Alors pour tous les nombres naturels $p$, si $p$ est premier, alors $\NatfactorizationappMACRoI {d}{p}\leq \NatfactorizationappMACRoI {n}{p}$ si et seulement si $d$ divise $n$.
Czech
Nechť $d$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $d \neq 0$ a $n \neq 0$. Tedy pro všechna přirozená čísla $p$, jestliže $p$ je prvočíselné, pak násobnost $p$ v $d$ je menší nebo rovná než násobnost $p$ v $n$, právě tehdy, když $d$ dělí $n$.
German
Seien $d$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $d \neq 0$ und $n \neq 0$. Dann für alle natürliche Zahlen $p$, wenn $p$ prim ist, dann $\NatfactorizationappMACRoI {d}{p}\leq \NatfactorizationappMACRoI {n}{p}$, genau dann, wenn $d$ $n$ teilt.
Swedish
Låt $d$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $d \neq 0$ och $n \neq 0$. Då för alla naturliga tal $p$, om $p$ är primt, så $\NatfactorizationappMACRoI {d}{p}\leq \NatfactorizationappMACRoI {n}{p}$, om och endast om $d$ delar $n$.
Formula
$d , n \in \Natural , d \neq 0 , n \neq 0 \vdash (\forall p \in \Natural . \mathrm{prime} (p)\rightarrow \NatfactorizationappMACRoL {d}{p}\leq \NatfactorizationappMACRoL {n}{p})\leftrightarrow \divides {d}{n}$
theorem factorization_le_factorization_mul_left {a b : ℕ} (hb : b ≠ 0) :
a.factorization ≤ (a * b).factorization :=
Dedukti
1 lines
Nat__factorization_le_factorization_mul_left : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (hb : Proof (Neq b 0)) -> Proof (Leq (Nat__factorization a) (Nat__factorization (times a b))).
English
Let $a$ and $b$ be natural numbers such that $b \neq 0$. Then the factorization of $a$ is less than or equal to the factorization of $a \times b$.
French
Soient $a$ et $b$ des nombres naturels tels que $b \neq 0$. Alors la factorisation de $a$ est inférieure ou égale à la factorisation de $a \times b$.
Czech
Nechť $a$ a $b$ je přirozené číslo takové, že $b \neq 0$. Tedy faktorizace $a$ je menší nebo rovná než faktorizace $a \times b$.
German
Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen derart, dass $b \neq 0$. Dann ist die Faktorisierung von $a$ kleiner oder gleich der Faktorisierung von $a \times b$.
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara naturliga tal sådana att $b \neq 0$. Då är faktoriseringen av $a$ mindre än eller lika med faktoriseringen av $a \times b$.
Formula
$a , b \in \Natural , b \neq 0 \vdash \NatfactorizationMACRoK {a}\leq \NatfactorizationMACRoK {(a \times b)}$
theorem factorization_le_factorization_mul_right {a b : ℕ} (ha : a ≠ 0) :
b.factorization ≤ (a * b).factorization :=
Dedukti
1 lines
Nat__factorization_le_factorization_mul_right : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (ha : Proof (Neq a 0)) -> Proof (Leq (Nat__factorization b) (Nat__factorization (times a b))).
English
Let $a$ and $b$ be natural numbers such that $a \neq 0$. Then the factorization of $b$ is less than or equal to the factorization of $a \times b$.
French
Soient $a$ et $b$ des nombres naturels tels que $a \neq 0$. Alors la factorisation de $b$ est inférieure ou égale à la factorisation de $a \times b$.
Czech
Nechť $a$ a $b$ je přirozené číslo takové, že $a \neq 0$. Tedy faktorizace $b$ je menší nebo rovná než faktorizace $a \times b$.
German
Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen derart, dass $a \neq 0$. Dann ist die Faktorisierung von $b$ kleiner oder gleich der Faktorisierung von $a \times b$.
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara naturliga tal sådana att $a \neq 0$. Då är faktoriseringen av $b$ mindre än eller lika med faktoriseringen av $a \times b$.
Formula
$a , b \in \Natural , a \neq 0 \vdash \NatfactorizationMACRoK {b}\leq \NatfactorizationMACRoK {(a \times b)}$
Let $p$, $k$ and $n$ be natural numbers such that $p$ is prime and $n \neq 0$. Then $p ^ {k}$ divides $n$, if and only if $k \leq \NatfactorizationappMACRoI {n}{p}$.
French
Soient $p$, $k$ et $n$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier et $n \neq 0$. Alors $p ^ {k}$ divise $n$ si et seulement si $k \leq \NatfactorizationappMACRoI {n}{p}$.
Czech
Nechť $p$, $k$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné a $n \neq 0$. Tedy $p ^ {k}$ dělí $n$, právě tehdy, když $k \leq \NatfactorizationappMACRoI {n}{p}$.
German
Seien $p$, $k$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist und $n \neq 0$. Dann teilt $p ^ {k}$ $n$, genau dann, wenn $k \leq \NatfactorizationappMACRoI {n}{p}$.
Swedish
Låt $p$, $k$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt och $n \neq 0$. Då delar $p ^ {k}$ $n$, om och endast om $k \leq \NatfactorizationappMACRoI {n}{p}$.
Formula
$p , k , n \in \Natural , \mathrm{prime} (p), n \neq 0 \vdash \divides {p ^ {k}}{n}\leftrightarrow k \leq \NatfactorizationappMACRoL {n}{p}$
theorem Prime.pow_dvd_iff_dvd_ordProj {p k n : ℕ} (pp : Prime p) (hn : n ≠ 0) :
p ^ k ∣ n ↔ p ^ k ∣ ordProj[p] n :=
Dedukti
1 lines
Nat__Prime__pow_dvd_iff_dvd_ordProj : (p : Elem Nat) -> (k : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> (hn : Proof (Neq n 0)) -> Proof (iff (divide (pow p k) n) (divide (pow p k) (pow p (Nat__factorization__app n p)))).
English
Let $p$, $k$ and $n$ be natural numbers such that $p$ is prime and $n \neq 0$. Then $p ^ {k}$ divides $n$, if and only if $p ^ {k}$ divides $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}$.
French
Soient $p$, $k$ et $n$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier et $n \neq 0$. Alors $p ^ {k}$ divise $n$ si et seulement si $p ^ {k}$ divise $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}$.
Czech
Nechť $p$, $k$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné a $n \neq 0$. Tedy $p ^ {k}$ dělí $n$, právě tehdy, když $p ^ {k}$ dělí mocninu $p$ na násobnost $p$ v $n$.
German
Seien $p$, $k$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist und $n \neq 0$. Dann teilt $p ^ {k}$ $n$, genau dann, wenn $p ^ {k}$ $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}$ teilt.
Swedish
Låt $p$, $k$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt och $n \neq 0$. Då delar $p ^ {k}$ $n$, om och endast om $p ^ {k}$ delar $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}$.
Formula
$p , k , n \in \Natural , \mathrm{prime} (p), n \neq 0 \vdash \divides {p ^ {k}}{n}\leftrightarrow \divides {p ^ {k}}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}}}$
theorem Prime.dvd_iff_one_le_factorization {p n : ℕ} (pp : Prime p) (hn : n ≠ 0) :
p ∣ n ↔ 1 ≤ n.factorization p :=
Iff.trans (by simp) (pp.pow_dvd_iff_le_factorization hn)
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime__dvd_iff_one_le_factorization : (p : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> (hn : Proof (Neq n 0)) -> Proof (iff (divide p n) (Leq 1 (Nat__factorization__app n p))) :=
p => n => pp => hn => Iff__trans (divide p n) (divide (pow p 1) n) (Leq 1 (Nat__factorization__app n p)) (of_eq_true (iff (divide p n) (divide (pow p 1) n)) (Eq__trans Prop (iff (divide p n) (divide (pow p 1) n)) (iff (divide p n) (divide p n)) True (congrArg Prop Prop (divide (pow p 1) n) (divide p n) (iff (divide p n)) (congrFun' Nat Prop (divide (pow p 1)) (divide p) (congrArg Nat (Elem Nat -> Prop) (pow p 1) p divide (pow_one Nat p)) n)) (iff_self (divide p n)))) (Nat__Prime__pow_dvd_iff_le_factorization p 1 n pp hn).
English
Let $p$ and $n$ be natural numbers such that $p$ is prime and $n \neq 0$. Then $p$ divides $n$, if and only if $1 \leq \NatfactorizationappMACRoI {n}{p}$.
French
Soient $p$ et $n$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier et $n \neq 0$. Alors $p$ divise $n$ si et seulement si $1 \leq \NatfactorizationappMACRoI {n}{p}$.
Czech
Nechť $p$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné a $n \neq 0$. Tedy $p$ dělí $n$, právě tehdy, když $1 \leq \NatfactorizationappMACRoI {n}{p}$.
German
Seien $p$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist und $n \neq 0$. Dann teilt $p$ $n$, genau dann, wenn $1 \leq \NatfactorizationappMACRoI {n}{p}$.
Swedish
Låt $p$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt och $n \neq 0$. Då delar $p$ $n$, om och endast om $1 \leq \NatfactorizationappMACRoI {n}{p}$.
Formula
$p , n \in \Natural , \mathrm{prime} (p), n \neq 0 \vdash \divides {p}{n}\leftrightarrow 1 \leq \NatfactorizationappMACRoL {n}{p}$
theorem exists_factorization_lt_of_lt {a b : ℕ} (ha : a ≠ 0) (hab : a < b) :
∃ p : ℕ, a.factorization p < b.factorization p :=
Dedukti
1 lines
Nat__exists_factorization_lt_of_lt : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (ha : Proof (Neq a 0)) -> (hab : Proof (Lt a b)) -> Proof (exists Nat (p => Lt (Nat__factorization__app a p) (Nat__factorization__app b p))).
English
Let $a$ and $b$ be natural numbers such that $a \neq 0$ and $a < b$. Then there exists a natural number $p$, such that $\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}< \NatfactorizationappMACRoI {b}{p}$.
French
Soient $a$ et $b$ des nombres naturels tels que $a \neq 0$ et $a < b$. Alors il existe un nombre naturel $p$ tel que $\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}< \NatfactorizationappMACRoI {b}{p}$.
Czech
Nechť $a$ a $b$ je přirozené číslo takové, že $a \neq 0$ a $a < b$. Tedy existuje přirozené číslo $p$, takový, že násobnost $p$ v $a$ je menší než násobnost $p$ v $b$.
German
Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen derart, dass $a \neq 0$ und $a < b$. Dann gibt es eine natürliche Zahl $p$, derart, dass $\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}< \NatfactorizationappMACRoI {b}{p}$.
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara naturliga tal sådana att $a \neq 0$ och $a < b$. Då finns det ett naturligt tal $p$, så att $\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}< \NatfactorizationappMACRoI {b}{p}$.
Formula
$a , b \in \Natural , a \neq 0 , a < b \vdash \exists p \in \Natural . \NatfactorizationappMACRoL {a}{p}< \NatfactorizationappMACRoL {b}{p}$
Let $d$ and $n$ be natural numbers such that $d$ divides $n$. Then the factorization of $\frac{ n}{d}$ is equal to the difference between the factorization of $n$ and the factorization of $d$.
French
Soient $d$ et $n$ des nombres naturels tels que $d$ divise $n$. Alors la factorisation de $\frac{ n}{d}$ est égale à la différence entre la factorisation de $n$ et la factorisation de $d$.
Czech
Nechť $d$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $d$ dělí $n$. Tedy faktorizace $\frac{ n}{d}$ je rovná do rozdílu mezi faktorizací $n$ a faktorizací $d$.
German
Seien $d$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $d$ $n$ teilt. Dann ist die Faktorisierung von $\frac{ n}{d}$ nach der Differenz zwischen der Faktorisierung von $n$ und der Faktorisierung von $d$ gleich.
Swedish
Låt $d$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $d$ delar $n$. Då är faktoriseringen av $\frac{ n}{d}$ lika till skillnaden mellan faktoriseringen av $n$ och faktoriseringen av $d$.
theorem dvd_ordProj_of_dvd {n p : ℕ} (hn : n ≠ 0) (pp : p.Prime) (h : p ∣ n) : p ∣ ordProj[p] n :=
dvd_pow_self p (Prime.factorization_pos_of_dvd pp hn h).ne'
Dedukti
2 lines
def Nat__dvd_ordProj_of_dvd : (n : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> (hn : Proof (Neq n 0)) -> (pp : Proof (prime p)) -> (h : Proof (divide p n)) -> Proof (divide p (pow p (Nat__factorization__app n p))) :=
n => p => hn => pp => h => dvd_pow_self Nat p (Nat__factorization__app n p) (LT__lt__ne' Nat (Nat__factorization__app n p) 0 (Nat__Prime__factorization_pos_of_dvd n p pp hn h)).
English
Let $n$ and $p$ be natural numbers such that $n \neq 0$, $p$ is prime and $p$ divides $n$. Then $p$ divides $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}$.
French
Soient $n$ et $p$ des nombres naturels tels que $n \neq 0$, $p$ soit premier et $p$ divise $n$. Alors $p$ divise $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}$.
Czech
Nechť $n$ a $p$ je přirozené číslo takové, že $n \neq 0$, $p$ je prvočíselné a $p$ dělí $n$. Tedy $p$ dělí mocninu $p$ na násobnost $p$ v $n$.
German
Seien $n$ und $p$ natürliche Zahlen derart, dass $n \neq 0$, $p$ prim ist und $p$ $n$ teilt. Dann teilt $p$ $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}$.
Swedish
Låt $n$ och $p$ vara naturliga tal sådana att $n \neq 0$, $p$ är primt och $p$ delar $n$. Då delar $p$ $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}$.
Formula
$n , p \in \Natural , n \neq 0 , \mathrm{prime} (p), \divides {p}{n}\vdash \divides {p}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}}}$
theorem not_dvd_ordCompl {n p : ℕ} (hp : Prime p) (hn : n ≠ 0) : ¬p ∣ ordCompl[p] n :=
Dedukti
1 lines
Nat__not_dvd_ordCompl : (n : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> (hn : Proof (Neq n 0)) -> Proof (not (divide p (div n (pow p (Nat__factorization__app n p))))).
English
Let $n$ and $p$ be natural numbers such that $p$ is prime and $n \neq 0$. Then $p$ does not divide $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$.
French
Soient $n$ et $p$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier et $n \neq 0$. Alors $p$ ne divise pas $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$.
Czech
Nechť $n$ a $p$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné a $n \neq 0$. Tedy $p$ nedělí $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$.
German
Seien $n$ und $p$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist und $n \neq 0$. Dann teilt $p$ nicht $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$.
Swedish
Låt $n$ och $p$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt och $n \neq 0$. Då delar $p$ inte $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$.
Formula
$n , p \in \Natural , \mathrm{prime} (p), n \neq 0 \vdash \neg (\divides {p}{\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}}}})$
theorem coprime_ordCompl {n p : ℕ} (hp : Prime p) (hn : n ≠ 0) : Coprime p (ordCompl[p] n) :=
(or_iff_left (not_dvd_ordCompl hp hn)).mp <| coprime_or_dvd_of_prime hp _
Dedukti
2 lines
def Nat__coprime_ordCompl : (n : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> (hn : Proof (Neq n 0)) -> Proof (Nat__Coprime p (div n (pow p (Nat__factorization__app n p)))) :=
n => p => hp => hn => iffEl (or (Nat__Coprime p (div n (pow p (Nat__factorization__app n p)))) (divide p (div n (pow p (Nat__factorization__app n p))))) (Nat__Coprime p (div n (pow p (Nat__factorization__app n p)))) (or_iff_left (divide p (div n (pow p (Nat__factorization__app n p)))) (Nat__Coprime p (div n (pow p (Nat__factorization__app n p)))) (Nat__not_dvd_ordCompl n p hp hn)) (Nat__coprime_or_dvd_of_prime p hp (div n (pow p (Nat__factorization__app n p)))).
English
Let $n$ and $p$ be natural numbers such that $p$ is prime and $n \neq 0$. Then $p$ and $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$ are coprime.
French
Soient $n$ et $p$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier et $n \neq 0$. Alors $\NatCoprimeMACRoC {p}{\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}}$.
Czech
Nechť $n$ a $p$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné a $n \neq 0$. Tedy $p$ a $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$ je nesoudělné.
German
Seien $n$ und $p$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist und $n \neq 0$. Dann $\NatCoprimeMACRoC {p}{\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}}$.
Swedish
Låt $n$ och $p$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt och $n \neq 0$. Då $\NatCoprimeMACRoC {p}{\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}}$.
Formula
$n , p \in \Natural , \mathrm{prime} (p), n \neq 0 \vdash \NatCoprimeMACRoD {p}{\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}}}}$
Proof
7 lines
1.
Let $n$ and $p$ be elements of $\Natural$.
2.
Assume that $p$ is prime.
3.
Assume that $n \neq 0$.
4.
It is not the case that $\divides {p}{\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}}}}$.
$\NatCoprimeMACRoD {p}{\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}}}}$ or $\divides {p}{\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}}}}$, if and only if $\NatCoprimeMACRoD {p}{\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}}}}$.
$\NatCoprimeMACRoD {p}{\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}}}}$ ou $\divides {p}{\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}}}}$ si et seulement si $\NatCoprimeMACRoD {p}{\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}}}}$.
$\NatCoprimeMACRoD {p}{\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}}}}$ eller $\divides {p}{\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}}}}$, om och endast om $\NatCoprimeMACRoD {p}{\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}}}}$.
theorem factorization_ordCompl (n p : ℕ) :
(ordCompl[p] n).factorization = n.factorization.erase p :=
Dedukti
1 lines
Nat__factorization_ordCompl : (n : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> Proof (Eqt (Finsupp Nat Nat) (Nat__factorization (div n (pow p (Nat__factorization__app n p)))) (Finsupp__erase p (Nat__factorization n))).
English
Let $n$ and $p$ be natural numbers. Then the factorization of $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$ is equal to $\operatorname{erase}$ applied to $p$ and the factorization of $n$.
French
Soient $n$ et $p$ des nombres naturels. Alors la factorisation de $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$ est égale à $\operatorname{erase}$ appliqué à $p$ et la factorisation de $n$.
Czech
Nechť $n$ a $p$ je přirozené číslo. Tedy faktorizace $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$ je rovná do $\operatorname{erase}$ aplikovaný na $p$ a faktorizaci $n$.
German
Seien $n$ und $p$ natürliche Zahlen. Dann ist die Faktorisierung von $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$ nach $\operatorname{erase}$ angewandt auf $p$ und die Faktorisierung von $n$ gleich.
Swedish
Låt $n$ och $p$ vara naturliga tal. Då är faktoriseringen av $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$ lika till $\operatorname{erase}$ applicerat på $p$ och faktoriseringen av $n$.
theorem ordCompl_self_pow_mul (n k : ℕ) {p : ℕ} (hp : Prime p) :
ordCompl[p] (p ^ k * n) = ordCompl[p] n :=
Dedukti
1 lines
Nat__ordCompl_self_pow_mul : (n : Elem Nat) -> (k : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> Proof (Eq (div (times (pow p k) n) (pow p (Nat__factorization__app (times (pow p k) n) p))) (div n (pow p (Nat__factorization__app n p)))).
English
Let $n$, $k$ and $p$ be natural numbers such that $p$ is prime. Then $\frac{ p ^ {k}\times n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(p ^ {k}\times n)}{p}}}= \frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$.
French
Soient $n$, $k$ et $p$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier. Alors $\frac{ p ^ {k}\times n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(p ^ {k}\times n)}{p}}}= \frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$.
Czech
Nechť $n$, $k$ a $p$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné. Tedy $\frac{ p ^ {k}\times n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(p ^ {k}\times n)}{p}}}= \frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $n$, $k$ och $p$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt. Då $\frac{ p ^ {k}\times n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(p ^ {k}\times n)}{p}}}= \frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$.
Formula
$n , k , p \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash \frac{ p ^ {k}\times n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {(p ^ {k}\times n)}{p}}}= \frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}}}$
theorem ordCompl_eq_self_iff_zero_or_not_dvd (n : ℕ) {p : ℕ} (hp : Prime p) :
ordCompl[p] n = n ↔ n = 0 ∨ ¬p ∣ n :=
Dedukti
1 lines
Nat__ordCompl_eq_self_iff_zero_or_not_dvd : (n : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> Proof (iff (Eq (div n (pow p (Nat__factorization__app n p))) n) (or (Eq n 0) (not (divide p n)))).
English
Let $n$ and $p$ be natural numbers such that $p$ is prime. Then $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}= n$, if and only if $n = 0$ or $p$ does not divide $n$.
French
Soient $n$ et $p$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier. Alors $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}= n$ si et seulement si $n = 0$ ou $p$ ne divise pas $n$.
Czech
Nechť $n$ a $p$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné. Tedy $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}= n$, právě tehdy, když $n = 0$ nebo $p$ nedělí $n$.
German
Seien $n$ und $p$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist. Dann $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}= n$, genau dann, wenn $n = 0$ oder $p$ nicht $n$ teilt.
Swedish
Låt $n$ och $p$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt. Då $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}= n$, om och endast om $n = 0$ eller $p$ inte delar $n$.
Formula
$n , p \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash \frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}}}= n \leftrightarrow n = 0 \vee \neg (\divides {p}{n})$
theorem ordCompl_pow_mul_of_not_dvd {m : ℕ} (k : ℕ) {p : ℕ} (hp : p.Prime) (hm : ¬p ∣ m) :
ordCompl[p] (p ^ k * m) = m :=
Dedukti
1 lines
Nat__ordCompl_pow_mul_of_not_dvd : (m : Elem Nat) -> (k : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> (hm : Proof (not (divide p m))) -> Proof (Eq (div (times (pow p k) m) (pow p (Nat__factorization__app (times (pow p k) m) p))) m).
English
Let $m$, $k$ and $p$ be natural numbers such that $p$ is prime and $p$ does not divide $m$. Then $\frac{ p ^ {k}\times m}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(p ^ {k}\times m)}{p}}}= m$.
French
Soient $m$, $k$ et $p$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier et $p$ ne divise pas $m$. Alors $\frac{ p ^ {k}\times m}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(p ^ {k}\times m)}{p}}}= m$.
Czech
Nechť $m$, $k$ a $p$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné a $p$ nedělí $m$. Tedy $\frac{ p ^ {k}\times m}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(p ^ {k}\times m)}{p}}}= m$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $m$, $k$ och $p$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt och $p$ inte delar $m$. Då $\frac{ p ^ {k}\times m}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(p ^ {k}\times m)}{p}}}= m$.
Formula
$m , k , p \in \Natural , \mathrm{prime} (p), \neg (\divides {p}{m})\vdash \frac{ p ^ {k}\times m}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {(p ^ {k}\times m)}{p}}}= m$
theorem ordCompl_pow_mul_eq_self_iff (k m : ℕ) {p : ℕ} (hp : p.Prime) :
ordCompl[p] (p ^ k * m) = m ↔ m = 0 ∨ ¬p ∣ m :=
Dedukti
1 lines
Nat__ordCompl_pow_mul_eq_self_iff : (k : Elem Nat) -> (m : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> Proof (iff (Eq (div (times (pow p k) m) (pow p (Nat__factorization__app (times (pow p k) m) p))) m) (or (Eq m 0) (not (divide p m)))).
English
Let $k$, $m$ and $p$ be natural numbers such that $p$ is prime. Then $\frac{ p ^ {k}\times m}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(p ^ {k}\times m)}{p}}}= m$, if and only if $m$ is equal to $0$ or $p$ does not divide $m$.
French
Soient $k$, $m$ et $p$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier. Alors $\frac{ p ^ {k}\times m}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(p ^ {k}\times m)}{p}}}= m$ si et seulement si $m$ est égal à $0$ ou $p$ ne divise pas $m$.
Czech
Nechť $k$, $m$ a $p$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné. Tedy $\frac{ p ^ {k}\times m}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(p ^ {k}\times m)}{p}}}= m$, právě tehdy, když $m$ je rovné $0$ nebo $p$ nedělí $m$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $k$, $m$ och $p$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt. Då $\frac{ p ^ {k}\times m}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(p ^ {k}\times m)}{p}}}= m$, om och endast om $m$ är lika med $0$ eller $p$ inte delar $m$.
Formula
$k , m , p \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash \frac{ p ^ {k}\times m}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {(p ^ {k}\times m)}{p}}}= m \leftrightarrow m = 0 \vee \neg (\divides {p}{m})$
theorem ordCompl_div_pow_of_dvd (k : ℕ) {x p : ℕ} (hp : p.Prime) (hx : p ^ k ∣ x) :
ordCompl[p] (x / p ^ k) = ordCompl[p] x :=
Dedukti
1 lines
Nat__ordCompl_div_pow_of_dvd : (k : Elem Nat) -> (x : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> (hx : Proof (divide (pow p k) x)) -> Proof (Eq (div (div x (pow p k)) (pow p (Nat__factorization__app (div x (pow p k)) p))) (div x (pow p (Nat__factorization__app x p)))).
English
Let $k$, $x$ and $p$ be natural numbers such that $p$ is prime and $p ^ {k}$ divides $x$. Then $\frac{ \frac{ x}{p ^ {k}}}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(\frac{ x}{p ^ {k}})}{p}}}$ is equal to $\frac{ x}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {x}{p}}}$.
French
Soient $k$, $x$ et $p$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier et $p ^ {k}$ divise $x$. Alors $\frac{ \frac{ x}{p ^ {k}}}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(\frac{ x}{p ^ {k}})}{p}}}$ est égal à $\frac{ x}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {x}{p}}}$.
Czech
Nechť $k$, $x$ a $p$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné a $p ^ {k}$ dělí $x$. Tedy $\frac{ \frac{ x}{p ^ {k}}}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(\frac{ x}{p ^ {k}})}{p}}}$ je rovné $\frac{ x}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {x}{p}}}$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $k$, $x$ och $p$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt och $p ^ {k}$ delar $x$. Då är $\frac{ \frac{ x}{p ^ {k}}}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(\frac{ x}{p ^ {k}})}{p}}}$ lika med $\frac{ x}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {x}{p}}}$.
Nat__ordCompl_div_of_dvd : (x : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> (hx : Proof (divide p x)) -> Proof (Eq (div (div x p) (pow p (Nat__factorization__app (div x p) p))) (div x (pow p (Nat__factorization__app x p)))).
English
Let $x$ and $p$ be natural numbers such that $p$ is prime and $p$ divides $x$. Then $\frac{ \frac{ x}{p}}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(\frac{ x}{p})}{p}}}= \frac{ x}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {x}{p}}}$.
French
Soient $x$ et $p$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier et $p$ divise $x$. Alors $\frac{ \frac{ x}{p}}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(\frac{ x}{p})}{p}}}= \frac{ x}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {x}{p}}}$.
Czech
Nechť $x$ a $p$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné a $p$ dělí $x$. Tedy $\frac{ \frac{ x}{p}}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(\frac{ x}{p})}{p}}}= \frac{ x}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {x}{p}}}$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ och $p$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt och $p$ delar $x$. Då $\frac{ \frac{ x}{p}}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {(\frac{ x}{p})}{p}}}= \frac{ x}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {x}{p}}}$.
theorem dvd_ordCompl_of_dvd_not_dvd {p d n : ℕ} (hdn : d ∣ n) (hpd : ¬p ∣ d) :
d ∣ ordCompl[p] n :=
Dedukti
1 lines
Nat__dvd_ordCompl_of_dvd_not_dvd : (p : Elem Nat) -> (d : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (hdn : Proof (divide d n)) -> (hpd : Proof (not (divide p d))) -> Proof (divide d (div n (pow p (Nat__factorization__app n p)))).
English
Let $p$, $d$ and $n$ be natural numbers such that $d$ divides $n$ and $p$ does not divide $d$. Then $d$ divides $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$.
French
Soient $p$, $d$ et $n$ des nombres naturels tels que $d$ divise $n$ et $p$ ne divise pas $d$. Alors $d$ divise $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$.
Czech
Nechť $p$, $d$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $d$ dělí $n$ a $p$ nedělí $d$. Tedy $d$ dělí $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$.
German
Seien $p$, $d$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $d$ $n$ teilt und $p$ nicht $d$ teilt. Dann teilt $d$ $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$.
Swedish
Låt $p$, $d$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $d$ delar $n$ och $p$ inte delar $d$. Då delar $d$ $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}$.
Formula
$p , d , n \in \Natural , \divides {d}{n}, \neg (\divides {p}{d})\vdash \divides {d}{\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}}}}$
If n is a nonzero natural number and p ≠ 1, then there are natural numbers e
and n' such that n' is not divisible by p and n = p^e * n'.
Lean
theorem exists_eq_pow_mul_and_not_dvd {n : ℕ} (hn : n ≠ 0) (p : ℕ) (hp : p ≠ 1) :
∃ e n' : ℕ, ¬p ∣ n' ∧ n = p ^ e * n' :=
Dedukti
1 lines
Nat__exists_eq_pow_mul_and_not_dvd : (n : Elem Nat) -> (hn : Proof (Neq n 0)) -> (p : Elem Nat) -> (hp : Proof (Neq p 1)) -> Proof (exists Nat (e => exists Nat (n' => and (not (divide p n')) (Eq n (times (pow p e) n'))))).
English
Let $n$ and $p$ be natural numbers such that $n \neq 0$ and $p \neq 1$. Then there exist natural numbers $e$ and $\mathrm{n'}$, such that $p$ does not divide $\mathrm{n'}$ and $n = p ^ {e}\times \mathrm{n'}$.
French
Soient $n$ et $p$ des nombres naturels tels que $n \neq 0$ et $p \neq 1$. Alors il existent des nombres naturels $e$ et $\mathrm{n'}$ tel que $p$ ne divise pas $\mathrm{n'}$ et $n = p ^ {e}\times \mathrm{n'}$.
Czech
Nechť $n$ a $p$ je přirozené číslo takové, že $n \neq 0$ a $p \neq 1$. Tedy existují přirozená čísla $e$ a $\mathrm{n'}$, takový, že $p$ nedělí $\mathrm{n'}$ a $n = p ^ {e}\times \mathrm{n'}$.
German
Seien $n$ und $p$ natürliche Zahlen derart, dass $n \neq 0$ und $p \neq 1$. Dann gibt es natürliche Zahlen $e$ und $\mathrm{n'}$, derart, dass $p$ nicht $\mathrm{n'}$ teilt und $n = p ^ {e}\times \mathrm{n'}$.
Swedish
Låt $n$ och $p$ vara naturliga tal sådana att $n \neq 0$ och $p \neq 1$. Då finns det naturliga tal $e$ och $\mathrm{n'}$, så att $p$ inte delar $\mathrm{n'}$ och $n = p ^ {e}\times \mathrm{n'}$.
Formula
$n \in \Natural , n \neq 0 , p \in \Natural , p \neq 1 \vdash \exists e \in \Natural . \exists \mathrm{n'} \in \Natural . \neg (\divides {p}{\mathrm{n'}})\wedge n = p ^ {e}\times \mathrm{n'}$
Any nonzero natural number is the product of an odd part m and a power of
two 2 ^ k.
Lean
theorem exists_eq_two_pow_mul_odd {n : ℕ} (hn : n ≠ 0) :
∃ k m : ℕ, Odd m ∧ n = 2 ^ k * m :=
Dedukti
1 lines
Nat__exists_eq_two_pow_mul_odd : (n : Elem Nat) -> (hn : Proof (Neq n 0)) -> Proof (exists Nat (k => exists Nat (m => and (odd m) (Eq n (times (pow 2 k) m))))).
English
Let $n$ be a natural number such that $n \neq 0$. Then there exist natural numbers $k$ and $m$, such that $m$ is odd and $n = 2 ^ {k}\times m$.
French
Soit $n$ un nombre naturel tel que $n \neq 0$. Alors il existent des nombres naturels $k$ et $m$ tel que $m$ soit impair et $n = 2 ^ {k}\times m$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo takové, že $n \neq 0$. Tedy existují přirozená čísla $k$ a $m$, takový, že $m$ je liché a $n = 2 ^ {k}\times m$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass $n \neq 0$. Dann gibt es natürliche Zahlen $k$ und $m$, derart, dass $m$ ungerade ist und $n = 2 ^ {k}\times m$.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal sådant att $n \neq 0$. Då finns det naturliga tal $k$ och $m$, så att $m$ är udda och $n = 2 ^ {k}\times m$.
Formula
$n \in \Natural , n \neq 0 \vdash \exists k \in \Natural . \exists m \in \Natural . \mathrm{odd} (m)\wedge n = 2 ^ {k}\times m$
Let $d$ and $n$ be natural numbers such that $d \neq 0$ and $d \leq n$. Then $d$ divides $n$, if and only if the factorization of $\frac{ n}{d}$ is equal to the difference between the factorization of $n$ and the factorization of $d$.
French
Soient $d$ et $n$ des nombres naturels tels que $d \neq 0$ et $d \leq n$. Alors $d$ divise $n$ si et seulement si la factorisation de $\frac{ n}{d}$ est égale à la différence entre la factorisation de $n$ et la factorisation de $d$.
Czech
Nechť $d$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $d \neq 0$ a $d \leq n$. Tedy $d$ dělí $n$, právě tehdy, když faktorizace $\frac{ n}{d}$ je rovná do rozdílu mezi faktorizací $n$ a faktorizací $d$.
German
Seien $d$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $d \neq 0$ und $d \leq n$. Dann teilt $d$ $n$, genau dann, wenn die Faktorisierung von $\frac{ n}{d}$ nach der Differenz zwischen der Faktorisierung von $n$ und der Faktorisierung von $d$ gleich ist.
Swedish
Låt $d$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $d \neq 0$ och $d \leq n$. Då delar $d$ $n$, om och endast om faktoriseringen av $\frac{ n}{d}$ är lika till skillnaden mellan faktoriseringen av $n$ och faktoriseringen av $d$.
Formula
$d , n \in \Natural , d \neq 0 , d \leq n \vdash \divides {d}{n}\leftrightarrow \EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {(\frac{ n}{d})}}{\NatfactorizationMACRoK {n}- \NatfactorizationMACRoK {d}}$
theorem ordProj_dvd_ordProj_of_dvd {a b : ℕ} (hb0 : b ≠ 0) (hab : a ∣ b) (p : ℕ) :
ordProj[p] a ∣ ordProj[p] b :=
Dedukti
1 lines
Nat__ordProj_dvd_ordProj_of_dvd : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (hb0 : Proof (Neq b 0)) -> (hab : Proof (divide a b)) -> (p : Elem Nat) -> Proof (divide (pow p (Nat__factorization__app a p)) (pow p (Nat__factorization__app b p))).
English
Let $a$, $b$ and $p$ be natural numbers such that $b \neq 0$ and $a$ divides $b$. Then $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}$ divides $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}$.
French
Soient $a$, $b$ et $p$ des nombres naturels tels que $b \neq 0$ et $a$ divise $b$. Alors $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}$ divise $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}$.
Czech
Nechť $a$, $b$ a $p$ je přirozené číslo takové, že $b \neq 0$ a $a$ dělí $b$. Tedy mocnina $p$ na násobnost $p$ v $a$ dělí $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $a$, $b$ och $p$ vara naturliga tal sådana att $b \neq 0$ och $a$ delar $b$. Då delar $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}$ $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}$.
Formula
$a , b \in \Natural , b \neq 0 , \divides {a}{b}, p \in \Natural \vdash \divides {p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {a}{p}}}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {b}{p}}}$
theorem ordCompl_dvd_ordCompl_of_dvd {a b : ℕ} (hab : a ∣ b) (p : ℕ) :
ordCompl[p] a ∣ ordCompl[p] b :=
Dedukti
1 lines
Nat__ordCompl_dvd_ordCompl_of_dvd : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (hab : Proof (divide a b)) -> (p : Elem Nat) -> Proof (divide (div a (pow p (Nat__factorization__app a p))) (div b (pow p (Nat__factorization__app b p)))).
English
Let $a$, $b$ and $p$ be natural numbers such that $a$ divides $b$. Then $\frac{ a}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}}$ divides $\frac{ b}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}}$.
French
Soient $a$, $b$ et $p$ des nombres naturels tels que $a$ divise $b$. Alors $\frac{ a}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}}$ divise $\frac{ b}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}}$.
Czech
Nechť $a$, $b$ a $p$ je přirozené číslo takové, že $a$ dělí $b$. Tedy $\frac{ a}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}}$ dělí $\frac{ b}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}}$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $a$, $b$ och $p$ vara naturliga tal sådana att $a$ delar $b$. Då delar $\frac{ a}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}}$ $\frac{ b}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}}$.
theorem ordCompl_dvd_ordCompl_iff_dvd (a b : ℕ) :
(∀ p : ℕ, ordCompl[p] a ∣ ordCompl[p] b) ↔ a ∣ b :=
Dedukti
1 lines
Nat__ordCompl_dvd_ordCompl_iff_dvd : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> Proof (iff (forall Nat (p => divide (div a (pow p (Nat__factorization__app a p))) (div b (pow p (Nat__factorization__app b p))))) (divide a b)).
English
Let $a$ and $b$ be natural numbers. Then for all natural numbers $p$, $\frac{ a}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}}$ divides $\frac{ b}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}}$, if and only if $a$ divides $b$.
French
Soient $a$ et $b$ des nombres naturels. Alors pour tous les nombres naturels $p$, $\frac{ a}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}}$ divise $\frac{ b}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}}$ si et seulement si $a$ divise $b$.
Czech
Nechť $a$ a $b$ je přirozené číslo. Tedy pro všechna přirozená čísla $p$, $\frac{ a}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}}$ dělí $\frac{ b}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}}$, právě tehdy, když $a$ dělí $b$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara naturliga tal. Då för alla naturliga tal $p$, delar $\frac{ a}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {a}{p}}}$ $\frac{ b}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {b}{p}}}$, om och endast om $a$ delar $b$.
theorem dvd_iff_prime_pow_dvd_dvd (n d : ℕ) :
d ∣ n ↔ ∀ p k : ℕ, Prime p → p ^ k ∣ d → p ^ k ∣ n :=
Dedukti
1 lines
Nat__dvd_iff_prime_pow_dvd_dvd : (n : Elem Nat) -> (d : Elem Nat) -> Proof (iff (divide d n) (forall Nat (p => forall Nat (k => if (prime p) (if (divide (pow p k) d) (divide (pow p k) n)))))).
English
Let $n$ and $d$ be natural numbers. Then $d$ divides $n$, if and only if for all natural numbers $p$ and $k$, if $p$ is prime, then if $p ^ {k}$ divides $d$, then $\divides {p ^ {k}}{n}$.
French
Soient $n$ et $d$ des nombres naturels. Alors $d$ divise $n$ si et seulement si pour tous les nombres naturels $p$ et $k$, si $p$ est premier, alors si $p ^ {k}$ divise $d$, alors $\divides {p ^ {k}}{n}$.
Czech
Nechť $n$ a $d$ je prvek $\Natural$. Tedy $d$ dělí $n$, právě tehdy, když pro všechna přirozená čísla $p$ a $k$, jestliže $p$ je prvočíselné, pak jestliže $p ^ {k}$ dělí $d$, pak $p ^ {k}$ dělí $n$.
German
Seien $n$ und $d$ natürliche Zahlen. Dann teilt $d$ $n$, genau dann, wenn für alle natürliche Zahlen $p$ und $k$, wenn $p$ prim ist, dann wenn $p ^ {k}$ $d$ teilt, dann $\divides {p ^ {k}}{n}$.
Swedish
Låt $n$ och $d$ vara naturliga tal. Då delar $d$ $n$, om och endast om för alla naturliga tal $p$ och $k$, om $p$ är primt, så om $p ^ {k}$ delar $d$, så $\divides {p ^ {k}}{n}$.
Formula
$n , d \in \Natural \vdash \divides {d}{n}\leftrightarrow (\forall p \in \Natural . \forall k \in \Natural . \mathrm{prime} (p)\rightarrow \divides {p ^ {k}}{d}\rightarrow \divides {p ^ {k}}{n})$
theorem factorization_gcd {a b : ℕ} (ha_pos : a ≠ 0) (hb_pos : b ≠ 0) :
(gcd a b).factorization = a.factorization ⊓ b.factorization :=
Dedukti
1 lines
Nat__factorization_gcd : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (ha_pos : Proof (Neq a 0)) -> (hb_pos : Proof (Neq b 0)) -> Proof (Eqt (Finsupp Nat Nat) (Nat__factorization (gcd a b)) (Min__min (Nat__factorization a) (Nat__factorization b))).
English
Let $a$ and $b$ be natural numbers such that $a \neq 0$ and $b \neq 0$. Then the factorization of the greatest common divisor of $a$ and $b$ is equal to the minimum of the factorization of $a$ and the factorization of $b$.
French
Soient $a$ et $b$ des nombres naturels tels que $a \neq 0$ et $b \neq 0$. Alors la factorisation du diviseur commun plus grand de $a$ et de $b$ est égale au minimum de la factorisation de $a$ et la factorisation de $b$.
Czech
Nechť $a$ a $b$ je přirozené číslo takové, že $a \neq 0$ a $b \neq 0$. Tedy faktorizace největšího společného dělitele $a$ a $b$ je rovná do minima faktorizace $a$ a faktorizace $b$.
German
Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen derart, dass $a \neq 0$ und $b \neq 0$. Dann ist die Faktorisierung vom großen gemeinsamen Teiler von $a$ und $b$ nach dem Minimum von der Faktorisierung von $a$ und die Faktorisierung von $b$ gleich.
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara naturliga tal sådana att $a \neq 0$ och $b \neq 0$. Då är faktoriseringen av det största gemensama delaret av $a$ och $b$ lika till minimet av faktoriseringen av $a$ och faktoriseringen av $b$.
Formula
$a , b \in \Natural , a \neq 0 , b \neq 0 \vdash \EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {\mathrm{gcd} (a , b)}}{\MinminMACRoAN {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b}}}$
theorem factorization_lcm {a b : ℕ} (ha : a ≠ 0) (hb : b ≠ 0) :
(a.lcm b).factorization = a.factorization ⊔ b.factorization :=
Dedukti
1 lines
Nat__factorization_lcm : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (ha : Proof (Neq a 0)) -> (hb : Proof (Neq b 0)) -> Proof (Eqt (Finsupp Nat Nat) (Nat__factorization (Nat__lcm a b)) (Max__max (Nat__factorization a) (Nat__factorization b))).
English
Let $a$ and $b$ be natural numbers such that $a \neq 0$ and $b \neq 0$. Then the factorization of $\NatlcmMACRoX {a}{b}$ is equal to the maximum of the factorization of $a$ and the factorization of $b$.
French
Soient $a$ et $b$ des nombres naturels tels que $a \neq 0$ et $b \neq 0$. Alors la factorisation de $\NatlcmMACRoX {a}{b}$ est égale au maximum de la factorisation de $a$ et la factorisation de $b$.
Czech
Nechť $a$ a $b$ je přirozené číslo takové, že $a \neq 0$ a $b \neq 0$. Tedy faktorizace $\NatlcmMACRoX {a}{b}$ je rovná do maxima faktorizace $a$ a faktorizace $b$.
German
Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen derart, dass $a \neq 0$ und $b \neq 0$. Dann ist die Faktorisierung von $\NatlcmMACRoX {a}{b}$ nach dem Maximum von der Faktorisierung von $a$ und die Faktorisierung von $b$ gleich.
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara naturliga tal sådana att $a \neq 0$ och $b \neq 0$. Då är faktoriseringen av $\NatlcmMACRoX {a}{b}$ lika till maximet av faktoriseringen av $a$ och faktoriseringen av $b$.
Formula
$a , b \in \Natural , a \neq 0 , b \neq 0 \vdash \EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {(\NatlcmMACRoAE {a}{b})}}{\MaxmaxMACRoAM {\NatfactorizationMACRoK {a}}{\NatfactorizationMACRoK {b}}}$
Nat__sum_primeFactors_gcd_add_sum_primeFactors_mul : (x : Set) -> (_ : Proof (AddCommMonoid x)) -> (m : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (f : (Elem Nat -> x)) -> Proof (Eqt x (plus (Finset__sum (Nat__primeFactors (gcd m n)) (x2 => f x2)) (Finset__sum (Nat__primeFactors (times m n)) (x3 => f x3))) (plus (Finset__sum (Nat__primeFactors m) (x4 => f x4)) (Finset__sum (Nat__primeFactors n) (x5 => f x5)))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is an additive commutative monoid. Let $m$ and $n$ be elements of $\Natural$. Let $f$ be a function from elements of $\Natural$ to elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\FinsetSum {\operatorname{primeFactors} (\mathrm{gcd} (m , n))}{x_{2}}{f (x_{2})}+ \FinsetSum {\operatorname{primeFactors} (m \times n)}{x_{3}}{f (x_{3})}}{\FinsetSum {\operatorname{primeFactors} (m)}{x_{4}}{f (x_{4})}+ \FinsetSum {\operatorname{primeFactors} (n)}{x_{5}}{f (x_{5})}}$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un monoïde commutatif additif. Soient $m$ et $n$ des éléments de $\Natural$. Soit $f$ une fonction des éléments de $\Natural$ à des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\FinsetSum {\operatorname{primeFactors} (\mathrm{gcd} (m , n))}{x_{2}}{f (x_{2})}+ \FinsetSum {\operatorname{primeFactors} (m \times n)}{x_{3}}{f (x_{3})}}{\FinsetSum {\operatorname{primeFactors} (m)}{x_{4}}{f (x_{4})}+ \FinsetSum {\operatorname{primeFactors} (n)}{x_{5}}{f (x_{5})}}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je aditivní komutativní monoid. Nechť $m$ a $n$ je prvek $\Natural$. Nechť $f$ je funkce z prvků $\Natural$ do prvků $x$. Tedy $\EqtMACRoH {\FinsetSum {\operatorname{primeFactors} (\mathrm{gcd} (m , n))}{x_{2}}{f (x_{2})}+ \FinsetSum {\operatorname{primeFactors} (m \times n)}{x_{3}}{f (x_{3})}}{\FinsetSum {\operatorname{primeFactors} (m)}{x_{4}}{f (x_{4})}+ \FinsetSum {\operatorname{primeFactors} (n)}{x_{5}}{f (x_{5})}}$. (forced symbolic: no wording found)
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein additives kommutatives Monoid ist. Seien $m$ und $n$ elemente von $\Natural$. Sei $f$ eine Funktion aus Elementen von $\Natural$ nach Elementen von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\FinsetSum {\operatorname{primeFactors} (\mathrm{gcd} (m , n))}{x_{2}}{f (x_{2})}+ \FinsetSum {\operatorname{primeFactors} (m \times n)}{x_{3}}{f (x_{3})}}{\FinsetSum {\operatorname{primeFactors} (m)}{x_{4}}{f (x_{4})}+ \FinsetSum {\operatorname{primeFactors} (n)}{x_{5}}{f (x_{5})}}$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är en additiv kommutativ monoid. Låt $m$ och $n$ vara element av $\Natural$. Låt $f$ vara en funktion från element av $\Natural$ till element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\FinsetSum {\operatorname{primeFactors} (\mathrm{gcd} (m , n))}{x_{2}}{f (x_{2})}+ \FinsetSum {\operatorname{primeFactors} (m \times n)}{x_{3}}{f (x_{3})}}{\FinsetSum {\operatorname{primeFactors} (m)}{x_{4}}{f (x_{4})}+ \FinsetSum {\operatorname{primeFactors} (n)}{x_{5}}{f (x_{5})}}$. (forced symbolic: no wording found)
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{AddCommMonoid} (x), m , n \in \Natural , f \in \Natural \rightarrow x \vdash \EqtMACRoJ {\FinsetSum {\NatprimeFactorsMACRoM {\mathrm{gcd} (m , n)}}{x_{2}}{f (x_{2})}+ \FinsetSum {\NatprimeFactorsMACRoM {(m \times n)}}{x_{3}}{f (x_{3})}}{\FinsetSum {\NatprimeFactorsMACRoM {m}}{x_{4}}{f (x_{4})}+ \FinsetSum {\NatprimeFactorsMACRoM {n}}{x_{5}}{f (x_{5})}}$
@[to_additive sum_primeFactors_gcd_add_sum_primeFactors_mul]
theorem prod_primeFactors_gcd_mul_prod_primeFactors_mul {β : Type*} [CommMonoid β] (m n : ℕ)
(f : ℕ → β) :
(m.gcd n).primeFactors.prod f * (m * n).primeFactors.prod f =
m.primeFactors.prod f * n.primeFactors.prod f :=
Dedukti
1 lines
Nat__prod_primeFactors_gcd_mul_prod_primeFactors_mul : (x : Set) -> (_ : Proof (CommMonoid x)) -> (m : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (f : (Elem Nat -> x)) -> Proof (Eqt x (times (Finset__prod (Nat__primeFactors (gcd m n)) (x2 => f x2)) (Finset__prod (Nat__primeFactors (times m n)) (x3 => f x3))) (times (Finset__prod (Nat__primeFactors m) (x4 => f x4)) (Finset__prod (Nat__primeFactors n) (x5 => f x5)))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a commutative monoid. Let $m$ and $n$ be elements of $\Natural$. Let $f$ be a function from elements of $\Natural$ to elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (\mathrm{gcd} (m , n))}{x_{2}}{f (x_{2})}\times \FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (m \times n)}{x_{3}}{f (x_{3})}}{\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (m)}{x_{4}}{f (x_{4})}\times \FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{x_{5}}{f (x_{5})}}$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un monoïde commutatif. Soient $m$ et $n$ des éléments de $\Natural$. Soit $f$ une fonction des éléments de $\Natural$ à des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (\mathrm{gcd} (m , n))}{x_{2}}{f (x_{2})}\times \FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (m \times n)}{x_{3}}{f (x_{3})}}{\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (m)}{x_{4}}{f (x_{4})}\times \FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{x_{5}}{f (x_{5})}}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je komutativní monoid. Nechť $m$ a $n$ je prvek $\Natural$. Nechť $f$ je funkce z prvků $\Natural$ do prvků $x$. Tedy $\EqtMACRoH {\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (\mathrm{gcd} (m , n))}{x_{2}}{f (x_{2})}\times \FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (m \times n)}{x_{3}}{f (x_{3})}}{\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (m)}{x_{4}}{f (x_{4})}\times \FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{x_{5}}{f (x_{5})}}$. (forced symbolic: no wording found)
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein kommutatives Monoid ist. Seien $m$ und $n$ elemente von $\Natural$. Sei $f$ eine Funktion aus Elementen von $\Natural$ nach Elementen von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (\mathrm{gcd} (m , n))}{x_{2}}{f (x_{2})}\times \FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (m \times n)}{x_{3}}{f (x_{3})}}{\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (m)}{x_{4}}{f (x_{4})}\times \FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{x_{5}}{f (x_{5})}}$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är en kommutativ monoid. Låt $m$ och $n$ vara element av $\Natural$. Låt $f$ vara en funktion från element av $\Natural$ till element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (\mathrm{gcd} (m , n))}{x_{2}}{f (x_{2})}\times \FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (m \times n)}{x_{3}}{f (x_{3})}}{\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (m)}{x_{4}}{f (x_{4})}\times \FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{x_{5}}{f (x_{5})}}$. (forced symbolic: no wording found)
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{CommMonoid} (x), m , n \in \Natural , f \in \Natural \rightarrow x \vdash \EqtMACRoJ {\FinsetProd {\NatprimeFactorsMACRoM {\mathrm{gcd} (m , n)}}{x_{2}}{f (x_{2})}\times \FinsetProd {\NatprimeFactorsMACRoM {(m \times n)}}{x_{3}}{f (x_{3})}}{\FinsetProd {\NatprimeFactorsMACRoM {m}}{x_{4}}{f (x_{4})}\times \FinsetProd {\NatprimeFactorsMACRoM {n}}{x_{5}}{f (x_{5})}}$
theorem setOfPred_pow_dvd_eq_Icc_factorization {n p : ℕ} (pp : p.Prime) (hn : n ≠ 0) :
{ i : ℕ | i ≠ 0 ∧ p ^ i ∣ n } = Set.Icc 1 (n.factorization p) :=
Dedukti
1 lines
Nat__setOfPred_pow_dvd_eq_Icc_factorization : (n : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> (hn : Proof (Neq n 0)) -> Proof (Eqt (powerset Nat) (Set__ofPred (i => and (Neq i 0) (divide (pow p i) n))) (Set__Icc 1 (Nat__factorization__app n p))).
English
Let $n$ and $p$ be natural numbers such that $p$ is prime and $n \neq 0$. Then $\EqtMACRoH {\operatorname{ofPred} (\lambda i . \mathrm{and} (\mathrm{Neq} (i , 0), \divides {(p ^ {i})}{n}))}{\SetIccMACRoP {1}{(\NatfactorizationappMACRoI {n}{p})}}$.
French
Soient $n$ et $p$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier et $n \neq 0$. Alors $\EqtMACRoH {\operatorname{ofPred} (\lambda i . \mathrm{and} (\mathrm{Neq} (i , 0), \divides {(p ^ {i})}{n}))}{\SetIccMACRoP {1}{(\NatfactorizationappMACRoI {n}{p})}}$.
Czech
Nechť $n$ a $p$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné a $n \neq 0$. Tedy $\EqtMACRoH {\operatorname{ofPred} (\lambda i . \mathrm{and} (\mathrm{Neq} (i , 0), \divides {(p ^ {i})}{n}))}{\SetIccMACRoP {1}{(\NatfactorizationappMACRoI {n}{p})}}$.
German
Seien $n$ und $p$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist und $n \neq 0$. Dann $\EqtMACRoH {\operatorname{ofPred} (\lambda i . \mathrm{and} (\mathrm{Neq} (i , 0), \divides {(p ^ {i})}{n}))}{\SetIccMACRoP {1}{(\NatfactorizationappMACRoI {n}{p})}}$.
Swedish
Låt $n$ och $p$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt och $n \neq 0$. Då $\EqtMACRoH {\operatorname{ofPred} (\lambda i . \mathrm{and} (\mathrm{Neq} (i , 0), \divides {(p ^ {i})}{n}))}{\SetIccMACRoP {1}{(\NatfactorizationappMACRoI {n}{p})}}$.
Formula
$n , p \in \Natural , \mathrm{prime} (p), n \neq 0 \vdash \EqtMACRoJ {\operatorname{ofPred} (\lambda i . \mathrm{and} (\mathrm{Neq} (i , 0), \divides {(p ^ {i})}{n}))}{\SetIccMACRoW {1}{(\NatfactorizationappMACRoL {n}{p})}}$
Let $n$ and $p$ be natural numbers such that $p$ is prime. Then $\EqtMACRoH {\FinsetIccMACRoAH {1}{(\NatfactorizationappMACRoI {n}{p})}}{\FinsetFilter {i}{(\divides {(p ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{n})}}$.
French
Soient $n$ et $p$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier. Alors $\EqtMACRoH {\FinsetIccMACRoAH {1}{(\NatfactorizationappMACRoI {n}{p})}}{\FinsetFilter {i}{(\divides {(p ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{n})}}$.
Czech
Nechť $n$ a $p$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné. Tedy $\EqtMACRoH {\FinsetIccMACRoAH {1}{(\NatfactorizationappMACRoI {n}{p})}}{\FinsetFilter {i}{(\divides {(p ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{n})}}$.
German
Seien $n$ und $p$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist. Dann $\EqtMACRoH {\FinsetIccMACRoAH {1}{(\NatfactorizationappMACRoI {n}{p})}}{\FinsetFilter {i}{(\divides {(p ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{n})}}$.
Swedish
Låt $n$ och $p$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt. Då $\EqtMACRoH {\FinsetIccMACRoAH {1}{(\NatfactorizationappMACRoI {n}{p})}}{\FinsetFilter {i}{(\divides {(p ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{n})}}$.
Let $n$ and $p$ be natural numbers such that $p$ is prime. Then $\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}= \FinsetcardMACRoM {(\FinsetFilter {i}{(\divides {(p ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{n})})}$.
French
Soient $n$ et $p$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier. Alors $\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}= \FinsetcardMACRoM {(\FinsetFilter {i}{(\divides {(p ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{n})})}$.
Czech
Nechť $n$ a $p$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné. Tedy násobnost $p$ v $n$ je rovná mohutnosti $\FinsetFilter {i}{(\divides {(p ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{n})}$.
German
Seien $n$ und $p$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist. Dann $\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}= \FinsetcardMACRoM {(\FinsetFilter {i}{(\divides {(p ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{n})})}$.
Swedish
Låt $n$ och $p$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt. Då $\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}= \FinsetcardMACRoM {(\FinsetFilter {i}{(\divides {(p ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{n})})}$.
Let $n$, $p$ and $b$ be natural numbers such that $p$ is prime, $n \neq 0$ and $n \leq p ^ {b}$. Then $\EqtMACRoH {\FinsetFilter {i}{(\divides {(p ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{n})}}{\FinsetFilter {i_{1}}{(\divides {(p ^ {i_{1}})}{n})}{(\FinsetIccMACRoAH {1}{b})}}$.
French
Soient $n$, $p$ et $b$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier, $n \neq 0$ et $n \leq p ^ {b}$. Alors $\EqtMACRoH {\FinsetFilter {i}{(\divides {(p ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{n})}}{\FinsetFilter {i_{1}}{(\divides {(p ^ {i_{1}})}{n})}{(\FinsetIccMACRoAH {1}{b})}}$.
Czech
Nechť $n$, $p$ a $b$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné, $n \neq 0$ a $n \leq p ^ {b}$. Tedy $\EqtMACRoH {\FinsetFilter {i}{(\divides {(p ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{n})}}{\FinsetFilter {i_{1}}{(\divides {(p ^ {i_{1}})}{n})}{(\FinsetIccMACRoAH {1}{b})}}$.
German
Seien $n$, $p$ und $b$ natürliche Zahlen derart, dass ist $p$ prim, $n \neq 0$ und $n \leq p ^ {b}$. Dann $\EqtMACRoH {\FinsetFilter {i}{(\divides {(p ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{n})}}{\FinsetFilter {i_{1}}{(\divides {(p ^ {i_{1}})}{n})}{(\FinsetIccMACRoAH {1}{b})}}$.
Swedish
Låt $n$, $p$ och $b$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt, $n \neq 0$ och $n \leq p ^ {b}$. Då $\EqtMACRoH {\FinsetFilter {i}{(\divides {(p ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{n})}}{\FinsetFilter {i_{1}}{(\divides {(p ^ {i_{1}})}{n})}{(\FinsetIccMACRoAH {1}{b})}}$.
Formula
$n , p , b \in \Natural , \mathrm{prime} (p), n \neq 0 , n \leq p ^ {b}\vdash \EqtMACRoJ {\FinsetFilter {i}{(\divides {(p ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoV {1}{n})}}{\FinsetFilter {i_{1}}{(\divides {(p ^ {i_{1}})}{n})}{(\FinsetIccMACRoAP {1}{b})}}$
Let $n$, $p$ and $b$ be natural numbers such that $p$ is prime, $n \neq 0$ and $n < p ^ {b}$. Then $\EqtMACRoH {\FinsetFilter {i}{(\divides {(p ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{n})}}{\FinsetFilter {i_{1}}{(\divides {(p ^ {i_{1}})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{b})}}$.
French
Soient $n$, $p$ et $b$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier, $n \neq 0$ et $n < p ^ {b}$. Alors $\EqtMACRoH {\FinsetFilter {i}{(\divides {(p ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{n})}}{\FinsetFilter {i_{1}}{(\divides {(p ^ {i_{1}})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{b})}}$.
Czech
Nechť $n$, $p$ a $b$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné, $n \neq 0$ a $n < p ^ {b}$. Tedy $\EqtMACRoH {\FinsetFilter {i}{(\divides {(p ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{n})}}{\FinsetFilter {i_{1}}{(\divides {(p ^ {i_{1}})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{b})}}$.
German
Seien $n$, $p$ und $b$ natürliche Zahlen derart, dass ist $p$ prim, $n \neq 0$ und $n < p ^ {b}$. Dann $\EqtMACRoH {\FinsetFilter {i}{(\divides {(p ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{n})}}{\FinsetFilter {i_{1}}{(\divides {(p ^ {i_{1}})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{b})}}$.
Swedish
Låt $n$, $p$ och $b$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt, $n \neq 0$ och $n < p ^ {b}$. Då $\EqtMACRoH {\FinsetFilter {i}{(\divides {(p ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{n})}}{\FinsetFilter {i_{1}}{(\divides {(p ^ {i_{1}})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{b})}}$.
Formula
$n , p , b \in \Natural , \mathrm{prime} (p), n \neq 0 , n < p ^ {b}\vdash \EqtMACRoJ {\FinsetFilter {i}{(\divides {(p ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoV {1}{n})}}{\FinsetFilter {i_{1}}{(\divides {(p ^ {i_{1}})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoV {1}{b})}}$
The factorization of m in n is the number of positive natural numbers i such that m ^ i
divides n. Note m is prime. This set is expressed by filtering Ico 1 b where b is any bound
greater than log m n.
Lean
theorem factorization_eq_card_pow_dvd_of_lt (hm : m.Prime) (hn : 0 < n) (hb : n < m ^ b) :
n.factorization m = #{i ∈ Ico 1 b | m ^ i ∣ n} :=
Dedukti
1 lines
Nat__factorization_eq_card_pow_dvd_of_lt : (b : Elem Nat) -> (m : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (hm : Proof (prime m)) -> (hn : Proof (Lt 0 n)) -> (hb : Proof (Lt n (pow m b))) -> Proof (Eq (Nat__factorization__app n m) (Finset__card (Finset__filter (i => divide (pow m i) n) (Finset__Ico 1 b)))).
English
Let $b$, $m$ and $n$ be natural numbers such that $m$ is prime and $0 < n < m ^ {b}$. Then $\NatfactorizationappMACRoI {n}{m}= \FinsetcardMACRoM {(\FinsetFilter {i}{(\divides {(m ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{b})})}$.
French
Soient $b$, $m$ et $n$ des nombres naturels tels que $m$ soit premier et $0 < n < m ^ {b}$. Alors $\NatfactorizationappMACRoI {n}{m}= \FinsetcardMACRoM {(\FinsetFilter {i}{(\divides {(m ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{b})})}$.
Czech
Nechť $b$, $m$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $m$ je prvočíselné a $0 < n < m ^ {b}$. Tedy násobnost $m$ v $n$ je rovná mohutnosti $\FinsetFilter {i}{(\divides {(m ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{b})}$.
German
Seien $b$, $m$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $m$ prim ist und $0 < n < m ^ {b}$. Dann $\NatfactorizationappMACRoI {n}{m}= \FinsetcardMACRoM {(\FinsetFilter {i}{(\divides {(m ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{b})})}$.
Swedish
Låt $b$, $m$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $m$ är primt och $0 < n < m ^ {b}$. Då $\NatfactorizationappMACRoI {n}{m}= \FinsetcardMACRoM {(\FinsetFilter {i}{(\divides {(m ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoO {1}{b})})}$.
Formula
$b , m , n \in \Natural , \mathrm{prime} (m), 0 < n , n < m ^ {b}\vdash \NatfactorizationappMACRoL {n}{m}= \FinsetcardMACRoT {(\FinsetFilter {i}{(\divides {(m ^ {i})}{n})}{(\FinsetIcoMACRoV {1}{b})})}$
If p is a prime factor of a then the power of p in a is the same that in a * b,
for any b coprime to a.
Lean
theorem factorization_eq_of_coprime_left {p a b : ℕ} (hab : Coprime a b)
(hpa : p ∈ a.primeFactorsList) : (a * b).factorization p = a.factorization p :=
Dedukti
1 lines
Nat__factorization_eq_of_coprime_left : (p : Elem Nat) -> (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (hab : Proof (Nat__Coprime a b)) -> (hpa : Proof (Membership__mem (Nat__primeFactorsList a) p)) -> Proof (Eq (Nat__factorization__app (times a b) p) (Nat__factorization__app a p)).
English
Let $p$, $a$ and $b$ be natural numbers such that $a$ and $b$ are coprime and $p$ is an element of the prime factorization of $a$. Then $\NatfactorizationappMACRoI {(a \times b)}{p}= \NatfactorizationappMACRoI {a}{p}$.
French
Soient $p$, $a$ et $b$ des nombres naturels tels que $\NatCoprimeMACRoC {a}{b}$ et $p$ soit un élément de la factorisation première de $a$. Alors $\NatfactorizationappMACRoI {(a \times b)}{p}= \NatfactorizationappMACRoI {a}{p}$.
Czech
Nechť $p$, $a$ a $b$ je přirozené číslo takové, že $a$ a $b$ je nesoudělné a $p$ je element prvočíselné faktorizace $a$. Tedy násobnost $p$ v $a \times b$ je rovná násobnosti $p$ v $a$.
German
Seien $p$, $a$ und $b$ natürliche Zahlen derart, dass $\NatCoprimeMACRoC {a}{b}$ und $p$ ein Element von der primen Faktorisierung von $a$ ist. Dann $\NatfactorizationappMACRoI {(a \times b)}{p}= \NatfactorizationappMACRoI {a}{p}$.
Swedish
Låt $p$, $a$ och $b$ vara naturliga tal sådana att $\NatCoprimeMACRoC {a}{b}$ och $p$ är ett element av den prima faktoriseringen av $a$. Då $\NatfactorizationappMACRoI {(a \times b)}{p}= \NatfactorizationappMACRoI {a}{p}$.
Formula
$p , a , b \in \Natural , \NatCoprimeMACRoD {a}{b}, \MembershipmemMACRoAA {\NatprimeFactorsListMACRoN {a}}{p}\vdash \NatfactorizationappMACRoL {(a \times b)}{p}= \NatfactorizationappMACRoL {a}{p}$
If p is a prime factor of b then the power of p in b is the same that in a * b,
for any a coprime to b.
Lean
theorem factorization_eq_of_coprime_right {p a b : ℕ} (hab : Coprime a b)
(hpb : p ∈ b.primeFactorsList) : (a * b).factorization p = b.factorization p :=
Dedukti
1 lines
Nat__factorization_eq_of_coprime_right : (p : Elem Nat) -> (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (hab : Proof (Nat__Coprime a b)) -> (hpb : Proof (Membership__mem (Nat__primeFactorsList b) p)) -> Proof (Eq (Nat__factorization__app (times a b) p) (Nat__factorization__app b p)).
English
Let $p$, $a$ and $b$ be natural numbers such that $a$ and $b$ are coprime and $p$ is an element of the prime factorization of $b$. Then $\NatfactorizationappMACRoI {(a \times b)}{p}= \NatfactorizationappMACRoI {b}{p}$.
French
Soient $p$, $a$ et $b$ des nombres naturels tels que $\NatCoprimeMACRoC {a}{b}$ et $p$ soit un élément de la factorisation première de $b$. Alors $\NatfactorizationappMACRoI {(a \times b)}{p}= \NatfactorizationappMACRoI {b}{p}$.
Czech
Nechť $p$, $a$ a $b$ je přirozené číslo takové, že $a$ a $b$ je nesoudělné a $p$ je element prvočíselné faktorizace $b$. Tedy násobnost $p$ v $a \times b$ je rovná násobnosti $p$ v $b$.
German
Seien $p$, $a$ und $b$ natürliche Zahlen derart, dass $\NatCoprimeMACRoC {a}{b}$ und $p$ ein Element von der primen Faktorisierung von $b$ ist. Dann $\NatfactorizationappMACRoI {(a \times b)}{p}= \NatfactorizationappMACRoI {b}{p}$.
Swedish
Låt $p$, $a$ och $b$ vara naturliga tal sådana att $\NatCoprimeMACRoC {a}{b}$ och $p$ är ett element av den prima faktoriseringen av $b$. Då $\NatfactorizationappMACRoI {(a \times b)}{p}= \NatfactorizationappMACRoI {b}{p}$.
Formula
$p , a , b \in \Natural , \NatCoprimeMACRoD {a}{b}, \MembershipmemMACRoAA {\NatprimeFactorsListMACRoN {b}}{p}\vdash \NatfactorizationappMACRoL {(a \times b)}{p}= \NatfactorizationappMACRoL {b}{p}$
Two positive naturals are equal if their prime padic valuations are equal
Lean
theorem eq_iff_prime_padicValNat_eq (a b : ℕ) (ha : a ≠ 0) (hb : b ≠ 0) :
a = b ↔ ∀ p : ℕ, p.Prime → padicValNat p a = padicValNat p b :=
Dedukti
1 lines
Nat__eq_iff_prime_padicValNat_eq : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (ha : Proof (Neq a 0)) -> (hb : Proof (Neq b 0)) -> Proof (iff (Eq a b) (forall Nat (p => if (prime p) (Eq (padicValNat p a) (padicValNat p b))))).
English
Let $a$ and $b$ be natural numbers such that $a \neq 0$ and $b \neq 0$. Then $a = b$, if and only if for all natural numbers $p$, if $p$ is prime, then $\padicValNatMACRoL {p}{a}= \padicValNatMACRoL {p}{b}$.
French
Soient $a$ et $b$ des nombres naturels tels que $a \neq 0$ et $b \neq 0$. Alors $a = b$ si et seulement si pour tous les nombres naturels $p$, si $p$ est premier, alors $\padicValNatMACRoL {p}{a}= \padicValNatMACRoL {p}{b}$.
Czech
Nechť $a$ a $b$ je přirozené číslo takové, že $a \neq 0$ a $b \neq 0$. Tedy $a = b$, právě tehdy, když pro všechna přirozená čísla $p$, jestliže $p$ je prvočíselné, pak valuace $a$ v $p$ je rovná valuaci $b$ v $p$.
German
Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen derart, dass $a \neq 0$ und $b \neq 0$. Dann $a = b$, genau dann, wenn für alle natürliche Zahlen $p$, wenn $p$ prim ist, dann $\padicValNatMACRoL {p}{a}= \padicValNatMACRoL {p}{b}$.
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara naturliga tal sådana att $a \neq 0$ och $b \neq 0$. Då $a = b$, om och endast om för alla naturliga tal $p$, om $p$ är primt, så $\padicValNatMACRoL {p}{a}= \padicValNatMACRoL {p}{b}$.
Formula
$a , b \in \Natural , a \neq 0 , b \neq 0 \vdash a = b \leftrightarrow (\forall p \in \Natural . \mathrm{prime} (p)\rightarrow \padicValNatMACRoS {p}{a}= \padicValNatMACRoS {p}{b})$
Let $n$ and $m$ be elements of $\Natural$ such that $n \neq 0$ and $n < m$. Then $\FinsetProd {(\FinsetFilter {p}{\mathrm{prime} (p)}{\FinsetrangeMACRoN {m}})}{p_{1}}{(p_{1} ^ {\padicValNatMACRoL {p_{1}}{n}})}= n$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soient $n$ et $m$ des éléments de $\Natural$ tels que $n \neq 0$ et $n < m$. Alors $\FinsetProd {(\FinsetFilter {p}{\mathrm{prime} (p)}{\FinsetrangeMACRoN {m}})}{p_{1}}{(p_{1} ^ {\padicValNatMACRoL {p_{1}}{n}})}= n$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $n$ a $m$ je prvek $\Natural$ takový, že $n \neq 0$ a $n < m$. Tedy $\FinsetProd {(\FinsetFilter {p}{\mathrm{prime} (p)}{\FinsetrangeMACRoN {m}})}{p_{1}}{(p_{1} ^ {\padicValNatMACRoL {p_{1}}{n}})}= n$. (forced symbolic: no wording found)
German
Seien $n$ und $m$ elemente von $\Natural$ derart, dass $n \neq 0$ und $n < m$. Dann $\FinsetProd {(\FinsetFilter {p}{\mathrm{prime} (p)}{\FinsetrangeMACRoN {m}})}{p_{1}}{(p_{1} ^ {\padicValNatMACRoL {p_{1}}{n}})}= n$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $n$ och $m$ vara element av $\Natural$ sådana att $n \neq 0$ och $n < m$. Då $\FinsetProd {(\FinsetFilter {p}{\mathrm{prime} (p)}{\FinsetrangeMACRoN {m}})}{p_{1}}{(p_{1} ^ {\padicValNatMACRoL {p_{1}}{n}})}= n$. (forced symbolic: no wording found)
Formula
$n \in \Natural , n \neq 0 , m \in \Natural , n < m \vdash \FinsetProd {(\FinsetFilter {p}{\mathrm{prime} (p)}{\FinsetrangeMACRoU {m}})}{p_{1}}{(p_{1} ^ {\padicValNatMACRoS {p_{1}}{n}})}= n$
theorem prod_primeFactors_pow_factorization (hn : n ≠ 0) :
n = ∏ p ∈ n.primeFactors, p ^ n.factorization p :=
prod_factorization_pow_eq_self hn |>.symm.trans <| prod_factorization_eq_prod_primeFactors _
Dedukti
2 lines
def Nat__prod_primeFactors_pow_factorization : (n : Elem Nat) -> (hn : Proof (Neq n 0)) -> Proof (Eq n (Finset__prod (Nat__primeFactors n) (p => pow p (Nat__factorization__app n p)))) :=
n => hn => Eq__trans Nat n (Finsupp__prod (Nat__factorization n) (x => x1 => pow x x1)) (Finset__prod (Nat__primeFactors n) (p => pow p (Nat__factorization__app n p))) (Eq__symm Nat (Finsupp__prod (Nat__factorization n) (x2 => x3 => pow x2 x3)) n (Nat__prod_factorization_pow_eq_self n hn)) (Nat__prod_factorization_eq_prod_primeFactors n Nat (x4 => x5 => pow x4 x5)).
English
Let $n$ be an element of $\Natural$ such that $n \neq 0$. Then $n = \FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{p}{(p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}})}$. Proof. Let $n$ be arbitrary. Let $\mathrm{hn}$ be arbitrary. By Nat. By n. By n. By Nat__factorization. Let $x$ be arbitrary. Let $x_{1}$ be arbitrary. By x. By x1. By pow. By Finsupp__prod. By n. By Nat__primeFactors. Let $p$ be arbitrary. By p. By n. By p. By Nat__factorization__app. By pow. By Finset__prod. By Nat. By n. By Nat__factorization. Let $x_{2}$ be arbitrary. Let $x_{3}$ be arbitrary. By x2. By x3. By pow. By Finsupp__prod. By n. By n. By hn. By Nat__prod_factorization_pow_eq_self. By Eq__symm. By n. By Nat. Let $x_{4}$ be arbitrary. Let $x_{5}$ be arbitrary. By x4. By x5. By pow. By Nat__prod_factorization_eq_prod_primeFactors. By Eq__trans. (forced symbolic: no wording found)
French
Soit $n$ un élément de $\Natural$ tel que $n \neq 0$. Alors $n = \FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{p}{(p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}})}$. Démonstration. Soit $n$ arbitraire. Soit $\mathrm{hn}$ arbitraire. Par Nat. Par n. Par n. Par Nat__factorization. Soit $x$ arbitraire. Soit $x_{1}$ arbitraire. Par x. Par x1. Par pow. Par Finsupp__prod. Par n. Par Nat__primeFactors. Soit $p$ arbitraire. Par p. Par n. Par p. Par Nat__factorization__app. Par pow. Par Finset__prod. Par Nat. Par n. Par Nat__factorization. Soit $x_{2}$ arbitraire. Soit $x_{3}$ arbitraire. Par x2. Par x3. Par pow. Par Finsupp__prod. Par n. Par n. Par hn. Par Nat__prod_factorization_pow_eq_self. Par Eq__symm. Par n. Par Nat. Soit $x_{4}$ arbitraire. Soit $x_{5}$ arbitraire. Par x4. Par x5. Par pow. Par Nat__prod_factorization_eq_prod_primeFactors. Par Eq__trans. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $n$ je prvek $\Natural$ takový, že $n \neq 0$. Tedy $n = \FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{p}{(p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}})}$. Důkaz. Nechť $n$ je libovolné. Nechť $\mathrm{hn}$ je libovolné. Pomocí Nat. Pomocí n. Pomocí n. Pomocí Nat__factorization. Nechť $x$ je libovolné. Nechť $x_{1}$ je libovolné. Pomocí x. Pomocí x1. Pomocí pow. Pomocí Finsupp__prod. Pomocí n. Pomocí Nat__primeFactors. Nechť $p$ je libovolné. Pomocí p. Pomocí n. Pomocí p. Pomocí Nat__factorization__app. Pomocí pow. Pomocí Finset__prod. Pomocí Nat. Pomocí n. Pomocí Nat__factorization. Nechť $x_{2}$ je libovolné. Nechť $x_{3}$ je libovolné. Pomocí x2. Pomocí x3. Pomocí pow. Pomocí Finsupp__prod. Pomocí n. Pomocí n. Pomocí hn. Pomocí Nat__prod_factorization_pow_eq_self. Pomocí Eq__symm. Pomocí n. Pomocí Nat. Nechť $x_{4}$ je libovolné. Nechť $x_{5}$ je libovolné. Pomocí x4. Pomocí x5. Pomocí pow. Pomocí Nat__prod_factorization_eq_prod_primeFactors. Pomocí Eq__trans. (forced symbolic: no wording found)
German
Sei $n$ ein Element von $\Natural$ derart, dass $n \neq 0$. Dann $n = \FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{p}{(p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}})}$. Beweis. Sei $n$ beliebig. Sei $\mathrm{hn}$ beliebig. Mit Nat. Mit n. Mit n. Mit Nat__factorization. Sei $x$ beliebig. Sei $x_{1}$ beliebig. Mit x. Mit x1. Mit pow. Mit Finsupp__prod. Mit n. Mit Nat__primeFactors. Sei $p$ beliebig. Mit p. Mit n. Mit p. Mit Nat__factorization__app. Mit pow. Mit Finset__prod. Mit Nat. Mit n. Mit Nat__factorization. Sei $x_{2}$ beliebig. Sei $x_{3}$ beliebig. Mit x2. Mit x3. Mit pow. Mit Finsupp__prod. Mit n. Mit n. Mit hn. Mit Nat__prod_factorization_pow_eq_self. Mit Eq__symm. Mit n. Mit Nat. Sei $x_{4}$ beliebig. Sei $x_{5}$ beliebig. Mit x4. Mit x5. Mit pow. Mit Nat__prod_factorization_eq_prod_primeFactors. Mit Eq__trans. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $n$ vara ett element av $\Natural$ sådant att $n \neq 0$. Då $n = \FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{p}{(p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}})}$. Bevis. Låt $n$ vara godtyckligt. Låt $\mathrm{hn}$ vara godtyckligt. Med Nat. Med n. Med n. Med Nat__factorization. Låt $x$ vara godtyckligt. Låt $x_{1}$ vara godtyckligt. Med x. Med x1. Med pow. Med Finsupp__prod. Med n. Med Nat__primeFactors. Låt $p$ vara godtyckligt. Med p. Med n. Med p. Med Nat__factorization__app. Med pow. Med Finset__prod. Med Nat. Med n. Med Nat__factorization. Låt $x_{2}$ vara godtyckligt. Låt $x_{3}$ vara godtyckligt. Med x2. Med x3. Med pow. Med Finsupp__prod. Med n. Med n. Med hn. Med Nat__prod_factorization_pow_eq_self. Med Eq__symm. Med n. Med Nat. Låt $x_{4}$ vara godtyckligt. Låt $x_{5}$ vara godtyckligt. Med x4. Med x5. Med pow. Med Nat__prod_factorization_eq_prod_primeFactors. Med Eq__trans. (forced symbolic: no wording found)
Formula
$n \in \Natural , n \neq 0 \vdash n = \FinsetProd {\NatprimeFactorsMACRoM {n}}{p}{(p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}})}$
lemma pairwise_coprime_pow_primeFactors_factorization :
Pairwise (Function.onFun Nat.Coprime fun (p : n.primeFactors) ↦ p ^ n.factorization p) :=
Dedukti
1 lines
Nat__pairwise_coprime_pow_primeFactors_factorization : (n : Elem Nat) -> Proof (Pairwise (Function__onFun Nat__Coprime (p => pow p (Nat__factorization__app n p)))).
English
Let $n$ be a natural number. Then $\operatorname{onFun}$ applied to $\NatCoprimeMACRoC$ and the function that maps $p$ to $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}$ is pairwise.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Alors $\mathrm{Pairwise}$ tient pour $\operatorname{onFun}$ appliqué à $\NatCoprimeMACRoC$ et la fonction qui envoie $p$ à $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Tedy $\operatorname{onFun}$ aplikovaný na $\NatCoprimeMACRoC$ a funkci která zobrazuje $p$ na mocninu $p$ na násobnost $p$ v $n$ je párové.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann hält $\mathrm{Pairwise}$ für $\operatorname{onFun}$ angewandt auf $\NatCoprimeMACRoC$ und die Funktion, die $p$ als $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}$ abbildet.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Då håller $\mathrm{Pairwise}$ för $\operatorname{onFun}$ applicerat på $\NatCoprimeMACRoC$ och funktionen som avbildar $p$ som $p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}$.
Formula
$n \in \Natural \vdash \mathrm{Pairwise} (\operatorname{onFun} (\NatCoprimeMACRoD , \lambda p . p ^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{p}}))$
Let $n$ be an element of $\Natural$ such that $n \neq 0$. Then $\divides {n}{(\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{p}{p})^ {n}}$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soit $n$ un élément de $\Natural$ tel que $n \neq 0$. Alors $\divides {n}{(\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{p}{p})^ {n}}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $n$ je prvek $\Natural$ takový, že $n \neq 0$. Tedy $\divides {n}{(\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{p}{p})^ {n}}$. (forced symbolic: no wording found)
German
Sei $n$ ein Element von $\Natural$ derart, dass $n \neq 0$. Dann $\divides {n}{(\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{p}{p})^ {n}}$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $n$ vara ett element av $\Natural$ sådant att $n \neq 0$. Då $\divides {n}{(\FinsetProd {\operatorname{primeFactors} (n)}{p}{p})^ {n}}$. (forced symbolic: no wording found)
theorem dvd_pow_self_iff {n k : ℕ} (hn : n ≠ 0) (hk : k ≠ 0) :
n ∣ k ^ n ↔ n.primeFactors ⊆ k.primeFactors :=
Dedukti
1 lines
Nat__dvd_pow_self_iff : (n : Elem Nat) -> (k : Elem Nat) -> (hn : Proof (Neq n 0)) -> (hk : Proof (Neq k 0)) -> Proof (iff (divide n (pow k n)) (Leq (Nat__primeFactors n) (Nat__primeFactors k))).
English
Let $n$ and $k$ be natural numbers such that $n \neq 0$ and $k \neq 0$. Then $n$ divides $k ^ {n}$, if and only if the set of prime factors of $n$ is less than or equal to the set of prime factors of $k$.
French
Soient $n$ et $k$ des nombres naturels tels que $n \neq 0$ et $k \neq 0$. Alors $n$ divise $k ^ {n}$ si et seulement si l'ensemble des facteurs premiers de $n$ est inférieur ou égal à l'ensemble des facteurs premiers de $k$.
Czech
Nechť $n$ a $k$ je přirozené číslo takové, že $n \neq 0$ a $k \neq 0$. Tedy $n$ dělí $k ^ {n}$, právě tehdy, když množina prvočíselných faktorů $n$ je menší nebo rovná než množina prvočíselných faktorů $k$.
German
Seien $n$ und $k$ natürliche Zahlen derart, dass $n \neq 0$ und $k \neq 0$. Dann teilt $n$ $k ^ {n}$, genau dann, wenn die Menge von den Primfaktoren von $n$ kleiner oder gleich der Menge von den Primfaktoren von $k$ ist.
Swedish
Låt $n$ och $k$ vara naturliga tal sådana att $n \neq 0$ och $k \neq 0$. Då delar $n$ $k ^ {n}$, om och endast om mängden av primfaktorer av $n$ är mindre än eller lika med mängden av primfaktorer av $k$.
Formula
$n , k \in \Natural , n \neq 0 , k \neq 0 \vdash \divides {n}{k ^ {n}}\leftrightarrow \NatprimeFactorsMACRoM {n}\leq \NatprimeFactorsMACRoM {k}$
Let $n$ and $k$ be natural numbers such that $n \neq 0$ and $k \neq 0$. Then there exists a natural number $m$, such that $n$ divides $k ^ {m}$, if and only if the set of prime factors of $n$ is less than or equal to the set of prime factors of $k$.
French
Soient $n$ et $k$ des nombres naturels tels que $n \neq 0$ et $k \neq 0$. Alors il existe un nombre naturel $m$ tel que $n$ divise $k ^ {m}$ si et seulement si l'ensemble des facteurs premiers de $n$ est inférieur ou égal à l'ensemble des facteurs premiers de $k$.
Czech
Nechť $n$ a $k$ je přirozené číslo takové, že $n \neq 0$ a $k \neq 0$. Tedy existuje přirozené číslo $m$, takový, že $n$ dělí $k ^ {m}$, právě tehdy, když množina prvočíselných faktorů $n$ je menší nebo rovná než množina prvočíselných faktorů $k$.
German
Seien $n$ und $k$ natürliche Zahlen derart, dass $n \neq 0$ und $k \neq 0$. Dann gibt es eine natürliche Zahl $m$, derart, dass $n$ $k ^ {m}$ teilt, genau dann, wenn die Menge von den Primfaktoren von $n$ kleiner oder gleich der Menge von den Primfaktoren von $k$ ist.
Swedish
Låt $n$ och $k$ vara naturliga tal sådana att $n \neq 0$ och $k \neq 0$. Då finns det ett naturligt tal $m$, så att $n$ delar $k ^ {m}$, om och endast om mängden av primfaktorer av $n$ är mindre än eller lika med mängden av primfaktorer av $k$.
Formula
$n , k \in \Natural , n \neq 0 , k \neq 0 \vdash (\exists m \in \Natural . \divides {n}{k ^ {m}})\leftrightarrow \NatprimeFactorsMACRoM {n}\leq \NatprimeFactorsMACRoM {k}$
There are exactly ⌊N/n⌋ positive multiples of n that are ≤ N.
See Nat.card_multiples for a "shifted-by-one" version.
Lean
lemma card_multiples' (N n : ℕ) : #{k ∈ range N.succ | k ≠ 0 ∧ n ∣ k} = N / n :=
Dedukti
1 lines
Nat__card_multiples' : (N : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> Proof (Eq (Finset__card (Finset__filter (k => and (Neq k 0) (divide n k)) (Finset__range (succ N)))) (div N n)).
English
Let $N$ and $n$ be elements of $\Natural$. Then $\FinsetcardMACRoM {(\FinsetFilter {k}{\mathrm{and} (\mathrm{Neq} (k , 0), \divides {n}{k})}{\FinsetrangeMACRoN {\mathrm{succ} (N)}})}= \frac{ N}{n}$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soient $N$ et $n$ des éléments de $\Natural$. Alors $\FinsetcardMACRoM {(\FinsetFilter {k}{\mathrm{and} (\mathrm{Neq} (k , 0), \divides {n}{k})}{\FinsetrangeMACRoN {\mathrm{succ} (N)}})}= \frac{ N}{n}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $N$ a $n$ je prvek $\Natural$. Tedy $\FinsetcardMACRoM {(\FinsetFilter {k}{\mathrm{and} (\mathrm{Neq} (k , 0), \divides {n}{k})}{\FinsetrangeMACRoN {\mathrm{succ} (N)}})}= \frac{ N}{n}$. (forced symbolic: no wording found)
German
Seien $N$ und $n$ elemente von $\Natural$. Dann $\FinsetcardMACRoM {(\FinsetFilter {k}{\mathrm{and} (\mathrm{Neq} (k , 0), \divides {n}{k})}{\FinsetrangeMACRoN {\mathrm{succ} (N)}})}= \frac{ N}{n}$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $N$ och $n$ vara element av $\Natural$. Då $\FinsetcardMACRoM {(\FinsetFilter {k}{\mathrm{and} (\mathrm{Neq} (k , 0), \divides {n}{k})}{\FinsetrangeMACRoN {\mathrm{succ} (N)}})}= \frac{ N}{n}$. (forced symbolic: no wording found)
theorem exists_eq_pow_of_exponent_coprime_of_pow_eq_pow
{a b m n : ℕ} (hmn : m.Coprime n) (h : a ^ m = b ^ n) :
∃ c, a = c ^ n ∧ b = c ^ m :=
Dedukti
1 lines
Nat__exists_eq_pow_of_exponent_coprime_of_pow_eq_pow : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (m : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (hmn : Proof (Nat__Coprime m n)) -> (h : Proof (Eq (pow a m) (pow b n))) -> Proof (exists Nat (c => and (Eq a (pow c n)) (Eq b (pow c m)))).
English
Let $a$, $b$, $m$ and $n$ be natural numbers such that $m$ and $n$ are coprime and $a ^ {m}$ is equal to $b ^ {n}$. Then there exists a natural number $c$, such that $a = c ^ {n}$ and $b = c ^ {m}$.
French
Soient $a$, $b$, $m$ et $n$ des éléments de $\Natural$ tels que $\NatCoprimeMACRoC {m}{n}$ et $a ^ {m}= b ^ {n}$. Alors il existe un élément $c$ de $\Natural$ tel que $a = c ^ {n}$ et $b = c ^ {m}$.
Czech
Nechť $a$, $b$, $m$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $m$ a $n$ je nesoudělné a $a ^ {m}$ je rovné $b ^ {n}$. Tedy existuje přirozené číslo $c$, takový, že $a = c ^ {n}$ a $b = c ^ {m}$.
German
Seien $a$, $b$, $m$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $m$ und $n$ teilerfremd sind und $a ^ {m}$ gleich $b ^ {n}$ ist. Dann gibt es eine natürliche Zahl $c$, derart, dass $a = c ^ {n}$ und $b = c ^ {m}$.
Swedish
Låt $a$, $b$, $m$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $m$ och $n$ är relativt prima och $a ^ {m}$ är lika med $b ^ {n}$. Då finns det ett naturligt tal $c$, så att $a = c ^ {n}$ och $b = c ^ {m}$.
Formula
$a , b , m , n \in \Natural , \NatCoprimeMACRoD {m}{n}, a ^ {m}= b ^ {n}\vdash \exists c \in \Natural . a = c ^ {n}\wedge b = c ^ {m}$
theorem exists_eq_pow_of_pow_eq_pow
{a b m n : ℕ} (hmn : m ≠ 0 ∨ n ≠ 0) (h : a ^ m = b ^ n) :
letI g :=
Dedukti
1 lines
Nat__exists_eq_pow_of_pow_eq_pow : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (m : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (hmn : Proof (or (Neq m 0) (Neq n 0))) -> (h : Proof (Eq (pow a m) (pow b n))) -> Proof (exists Nat (c => and (Eq a (pow c (div n (gcd m n)))) (Eq b (pow c (div m (gcd m n)))))).
English
Let $a$, $b$, $m$ and $n$ be natural numbers such that $m \neq 0$ or $n \neq 0$ and $a ^ {m}= b ^ {n}$. Then there exists a natural number $c$, such that $a$ is equal to the exponentiation of $c$ to the quotient of $n$ and the greatest common divisor of $m$ and $n$ and $b$ is equal to the exponentiation of $c$ to the quotient of $m$ and the greatest common divisor of $m$ and $n$.
French
Soient $a$, $b$, $m$ et $n$ des nombres naturels tels que $m \neq 0$ ou $n \neq 0$ et $a ^ {m}= b ^ {n}$. Alors il existe un nombre naturel $c$ tel que $a$ soit égal à la puissance de $c$ en le quotient entre $n$ et le diviseur commun plus grand de $m$ et de $n$ et $b$ soit égal à la puissance de $c$ en le quotient entre $m$ et le diviseur commun plus grand de $m$ et de $n$.
Czech
Nechť $a$, $b$, $m$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $m \neq 0$ nebo $n \neq 0$ a $a ^ {m}= b ^ {n}$. Tedy existuje přirozené číslo $c$, takový, že $a$ je rovné mocnině $c$ na podíl mezi $n$ a největším společným dělitelem $m$ a $n$ a $b$ je rovné mocnině $c$ na podíl mezi $m$ a největším společným dělitelem $m$ a $n$.
German
Seien $a$, $b$, $m$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $m \neq 0$ oder $n \neq 0$ und $a ^ {m}= b ^ {n}$. Dann gibt es eine natürliche Zahl $c$, derart, dass $a$ gleich der Potenz von $c$ und dem Quotienten zwischen $n$ und dem großen gemeinsamen Teiler von $m$ und $n$ ist und $b$ gleich der Potenz von $c$ und dem Quotienten zwischen $m$ und dem großen gemeinsamen Teiler von $m$ und $n$ ist.
Swedish
Låt $a$, $b$, $m$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $m \neq 0$ eller $n \neq 0$ och $a ^ {m}= b ^ {n}$. Då finns det ett naturligt tal $c$, så att $a$ är lika med potensen av $c$ upphöjt till kvoten mellan $n$ och det största gemensama delaret av $m$ och $n$ och $b$ är lika med potensen av $c$ upphöjt till kvoten mellan $m$ och det största gemensama delaret av $m$ och $n$.
Formula
$a , b , m , n \in \Natural , m \neq 0 \vee n \neq 0 , a ^ {m}= b ^ {n}\vdash \exists c \in \Natural . a = c ^ {\frac{ n}{\mathrm{gcd} (m , n)}}\wedge b = c ^ {\frac{ m}{\mathrm{gcd} (m , n)}}$
Let $n$ be a natural number such that $n \neq 0$. Then the set of divisors of $n$ is equal to $\operatorname{ofPred}$ applied to the function that maps $x$ to the proposition that there exists an element $f$ of $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$, such that $f$ is less than or equal to the factorization of $n$ and $\FinsuppProd {f}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})}= x$.
French
Soit $n$ un nombre naturel tel que $n \neq 0$. Alors l'ensemble des diviseurs de $n$ est égal à $\operatorname{ofPred}$ appliqué à la fonction qui envoie $x$ à la proposition qu'il existe un élément $f$ de $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ tel que $f$ soit inférieur ou égal à la factorisation de $n$ et $\FinsuppProd {f}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})}= x$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo takové, že $n \neq 0$. Tedy množina dělitelů $n$ je rovná do $\operatorname{ofPred}$ aplikovaný na funkci která zobrazuje $x$ na výrok že existuje prvek $f$ $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$, takový, že $f$ je menší nebo rovné než faktorizace $n$ a $\FinsuppProd {f}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})}= x$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass $n \neq 0$. Dann ist die Menge von den Teilern von $n$ nach $\operatorname{ofPred}$ angewandt auf die Funktion, die $x$ als der Satz, dass es ein Element $f$ von $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ gibt, derart, dass $f$ kleiner oder gleich der Faktorisierung von $n$ ist und $\FinsuppProd {f}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})}= x$, abbildet, gleich.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal sådant att $n \neq 0$. Då är mängden av delare av $n$ lika till $\operatorname{ofPred}$ applicerat på funktionen som avbildar $x$ som påståendet att det finns ett element $f$ av $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$, så att $f$ är mindre än eller lika med faktoriseringen av $n$ och $\FinsuppProd {f}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})}= x$.
Let $n$ be an element of $\Natural$ such that $n \neq 0$. Then $\EqtMACRoH {\operatorname{divisors} (n)}{\operatorname{image} (\FinsetIicMACRoAJ {\operatorname{factorization} (n)}, \lambda x . \FinsuppProd {x}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soit $n$ un élément de $\Natural$ tel que $n \neq 0$. Alors $\EqtMACRoH {\operatorname{divisors} (n)}{\operatorname{image} (\FinsetIicMACRoAJ {\operatorname{factorization} (n)}, \lambda x . \FinsuppProd {x}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $n$ je prvek $\Natural$ takový, že $n \neq 0$. Tedy $\EqtMACRoH {\operatorname{divisors} (n)}{\operatorname{image} (\FinsetIicMACRoAJ {\operatorname{factorization} (n)}, \lambda x . \FinsuppProd {x}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
German
Sei $n$ ein Element von $\Natural$ derart, dass $n \neq 0$. Dann $\EqtMACRoH {\operatorname{divisors} (n)}{\operatorname{image} (\FinsetIicMACRoAJ {\operatorname{factorization} (n)}, \lambda x . \FinsuppProd {x}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $n$ vara ett element av $\Natural$ sådant att $n \neq 0$. Då $\EqtMACRoH {\operatorname{divisors} (n)}{\operatorname{image} (\FinsetIicMACRoAJ {\operatorname{factorization} (n)}, \lambda x . \FinsuppProd {x}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
Let $n$ be an element of $\Natural$ such that $n \neq 0$. Then $\EqtMACRoH {\operatorname{divisors} (n)}{\operatorname{map} (\operatorname{mk} (\lambda x . \FinsuppProd {x}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})}, \mathrm{Nat\_\_Iic\_factorization\_prod\_pow\_injective} (n)), \operatorname{attach} (\FinsetIicMACRoAJ {\operatorname{factorization} (n)}))}$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soit $n$ un élément de $\Natural$ tel que $n \neq 0$. Alors $\EqtMACRoH {\operatorname{divisors} (n)}{\operatorname{map} (\operatorname{mk} (\lambda x . \FinsuppProd {x}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})}, \mathrm{Nat\_\_Iic\_factorization\_prod\_pow\_injective} (n)), \operatorname{attach} (\FinsetIicMACRoAJ {\operatorname{factorization} (n)}))}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $n$ je prvek $\Natural$ takový, že $n \neq 0$. Tedy $\EqtMACRoH {\operatorname{divisors} (n)}{\operatorname{map} (\operatorname{mk} (\lambda x . \FinsuppProd {x}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})}, \mathrm{Nat\_\_Iic\_factorization\_prod\_pow\_injective} (n)), \operatorname{attach} (\FinsetIicMACRoAJ {\operatorname{factorization} (n)}))}$. (forced symbolic: no wording found)
German
Sei $n$ ein Element von $\Natural$ derart, dass $n \neq 0$. Dann $\EqtMACRoH {\operatorname{divisors} (n)}{\operatorname{map} (\operatorname{mk} (\lambda x . \FinsuppProd {x}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})}, \mathrm{Nat\_\_Iic\_factorization\_prod\_pow\_injective} (n)), \operatorname{attach} (\FinsetIicMACRoAJ {\operatorname{factorization} (n)}))}$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $n$ vara ett element av $\Natural$ sådant att $n \neq 0$. Då $\EqtMACRoH {\operatorname{divisors} (n)}{\operatorname{map} (\operatorname{mk} (\lambda x . \FinsuppProd {x}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})}, \mathrm{Nat\_\_Iic\_factorization\_prod\_pow\_injective} (n)), \operatorname{attach} (\FinsetIicMACRoAJ {\operatorname{factorization} (n)}))}$. (forced symbolic: no wording found)
Let $n$ be a natural number. Then the set of proper divisors of $n$ is equal to $\operatorname{ofPred}$ applied to the function that maps $x$ to the proposition that there exists an element $f$ of $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$, such that $f$ is less than the factorization of $n$ and $\FinsuppProd {f}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})}= x$.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Alors l'ensemble des diviseurs propres de $n$ est égal à $\operatorname{ofPred}$ appliqué à la fonction qui envoie $x$ à la proposition qu'il existe un élément $f$ de $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ tel que $f$ soit inférieur à la factorisation de $n$ et $\FinsuppProd {f}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})}= x$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Tedy množina vlastních dělitelů $n$ je rovná do $\operatorname{ofPred}$ aplikovaný na funkci která zobrazuje $x$ na výrok že existuje prvek $f$ $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$, takový, že $f$ je menší než faktorizace $n$ a $\FinsuppProd {f}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})}= x$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann ist die Menge von den echten Teilern von $n$ nach $\operatorname{ofPred}$ angewandt auf die Funktion, die $x$ als der Satz, dass es ein Element $f$ von $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$ gibt, derart, dass $f$ kleiner als der Faktorisierung von $n$ ist und $\FinsuppProd {f}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})}= x$, abbildet, gleich.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Då är mängden av äkta delare av $n$ lika till $\operatorname{ofPred}$ applicerat på funktionen som avbildar $x$ som påståendet att det finns ett element $f$ av $\FinsuppMACRoQ {\Natural}{\Natural}$, så att $f$ är mindre än faktoriseringen av $n$ och $\FinsuppProd {f}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})}= x$.
Let $n$ be an element of $\Natural$. Then $\EqtMACRoH {\operatorname{properDivisors} (n)}{\operatorname{image} (\FinsetIioMACRoAK {\operatorname{factorization} (n)}, \lambda x . \FinsuppProd {x}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soit $n$ un élément de $\Natural$. Alors $\EqtMACRoH {\operatorname{properDivisors} (n)}{\operatorname{image} (\FinsetIioMACRoAK {\operatorname{factorization} (n)}, \lambda x . \FinsuppProd {x}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $n$ je prvek $\Natural$. Tedy $\EqtMACRoH {\operatorname{properDivisors} (n)}{\operatorname{image} (\FinsetIioMACRoAK {\operatorname{factorization} (n)}, \lambda x . \FinsuppProd {x}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
German
Sei $n$ ein Element von $\Natural$. Dann $\EqtMACRoH {\operatorname{properDivisors} (n)}{\operatorname{image} (\FinsetIioMACRoAK {\operatorname{factorization} (n)}, \lambda x . \FinsuppProd {x}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $n$ vara ett element av $\Natural$. Då $\EqtMACRoH {\operatorname{properDivisors} (n)}{\operatorname{image} (\FinsetIioMACRoAK {\operatorname{factorization} (n)}, \lambda x . \FinsuppProd {x}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
Let $n$ be an element of $\Natural$. Then $\EqtMACRoH {\operatorname{properDivisors} (n)}{\operatorname{map} (\operatorname{mk} (\lambda x . \FinsuppProd {x}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})}, \mathrm{Nat\_\_Iio\_factorization\_prod\_pow\_injective} (n)), \operatorname{attach} (\FinsetIioMACRoAK {\operatorname{factorization} (n)}))}$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soit $n$ un élément de $\Natural$. Alors $\EqtMACRoH {\operatorname{properDivisors} (n)}{\operatorname{map} (\operatorname{mk} (\lambda x . \FinsuppProd {x}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})}, \mathrm{Nat\_\_Iio\_factorization\_prod\_pow\_injective} (n)), \operatorname{attach} (\FinsetIioMACRoAK {\operatorname{factorization} (n)}))}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $n$ je prvek $\Natural$. Tedy $\EqtMACRoH {\operatorname{properDivisors} (n)}{\operatorname{map} (\operatorname{mk} (\lambda x . \FinsuppProd {x}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})}, \mathrm{Nat\_\_Iio\_factorization\_prod\_pow\_injective} (n)), \operatorname{attach} (\FinsetIioMACRoAK {\operatorname{factorization} (n)}))}$. (forced symbolic: no wording found)
German
Sei $n$ ein Element von $\Natural$. Dann $\EqtMACRoH {\operatorname{properDivisors} (n)}{\operatorname{map} (\operatorname{mk} (\lambda x . \FinsuppProd {x}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})}, \mathrm{Nat\_\_Iio\_factorization\_prod\_pow\_injective} (n)), \operatorname{attach} (\FinsetIioMACRoAK {\operatorname{factorization} (n)}))}$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $n$ vara ett element av $\Natural$. Då $\EqtMACRoH {\operatorname{properDivisors} (n)}{\operatorname{map} (\operatorname{mk} (\lambda x . \FinsuppProd {x}{x_{1}}{x_{2}}{(x_{1} ^ {x_{2}})}, \mathrm{Nat\_\_Iio\_factorization\_prod\_pow\_injective} (n)), \operatorname{attach} (\FinsetIioMACRoAK {\operatorname{factorization} (n)}))}$. (forced symbolic: no wording found)
Let $\mathrm{zero}$ be an element of $\mathrm{motive}$ applied to $0$. Let $\mathrm{one}$ be an element of $\mathrm{motive}$ applied to $1$. Let $\mathrm{prime\_pow\_mul}$ be a function from natural numbers $a_{1}$ and natural numbers $p$ and natural numbers $n$ and elements of $\mathrm{Proof}$ applied to the proposition that $p$ is prime and elements of $\mathrm{Proof}$ applied to the proposition that $p$ does not divide $a_{1}$ and elements of $\mathrm{Proof}$ applied to $\mathrm{Lt} (0 , n)$ and elements of $\mathrm{motive}$ applied to $a_{1}$ to elements of $\mathrm{motive}$ applied to $p ^ {n}\times a_{1}$. Let $a$ be a natural number. Then $\operatorname{recOnPrimePow}$ applied to $\mathrm{zero}$, $\mathrm{one}$, $a_{1}$, $p$, $n$, $\mathrm{prime\_pow\_mul}$ and $a$ is an element of $\mathrm{motive}$ applied to $a$.
French
Soit $\mathrm{zero}$ un élément de $\mathrm{motive}$ appliqué à $0$. Soit $\mathrm{one}$ un élément de $\mathrm{motive}$ appliqué à $1$. Soit $\mathrm{prime\_pow\_mul}$ une fonction des nombres naturels $a_{1}$ et des nombres naturels $p$ et des nombres naturels $n$ et des éléments de $\mathrm{Proof}$ appliqué à la proposition que $p$ est premier et des éléments de $\mathrm{Proof}$ appliqué à la proposition que $p$ ne divise pas $a_{1}$ et des éléments de $\mathrm{Proof}$ appliqué à $\mathrm{Lt} (0 , n)$ et des éléments de $\mathrm{motive}$ appliqué à $a_{1}$ à des éléments de $\mathrm{motive}$ appliqué à $p ^ {n}\times a_{1}$. Soit $a$ un nombre naturel. Alors $\operatorname{recOnPrimePow}$ appliqué à $\mathrm{zero}$, $\mathrm{one}$, $a_{1}$, $p$, $n$, $\mathrm{prime\_pow\_mul}$ et $a$ est un élément de $\mathrm{motive}$ appliqué à $a$.
Czech
Nechť $\mathrm{zero}$ je prvek $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $0$. Nechť $\mathrm{one}$ je prvek $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $1$. Nechť $\mathrm{prime\_pow\_mul}$ je funkce z přirozených čísl $a_{1}$ a přirozených čísl $p$ a přirozených čísl $n$ a prvků $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na výrok že $p$ je prvočíselné a prvků $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na výrok že $p$ nedělí $a_{1}$ a prvků $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na $\mathrm{Lt} (0 , n)$ a prvků $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $a_{1}$ do prvků $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $p ^ {n}\times a_{1}$. Nechť $a$ je přirozené číslo. Tedy $\operatorname{recOnPrimePow}$ aplikovaný na $\mathrm{zero}$, $\mathrm{one}$, $a_{1}$, $p$, $n$, $\mathrm{prime\_pow\_mul}$ a $a$ je prvek $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $a$.
German
Sei $\mathrm{zero}$ ein Element von $\mathrm{motive}$ angewandt auf $0$. Sei $\mathrm{one}$ ein Element von $\mathrm{motive}$ angewandt auf $1$. Sei $\mathrm{prime\_pow\_mul}$ eine Funktion aus natürlichen Zahlen $a_{1}$ und natürlichen Zahlen $p$ und natürlichen Zahlen $n$ und Elementen von $\mathrm{Proof}$ angewandt auf den Satz, dass $p$ prim ist, und Elementen von $\mathrm{Proof}$ angewandt auf den Satz, dass $p$ nicht $a_{1}$ teilt, und Elementen von $\mathrm{Proof}$ angewandt auf $\mathrm{Lt} (0 , n)$ und Elementen von $\mathrm{motive}$ angewandt auf $a_{1}$ nach Elementen von $\mathrm{motive}$ angewandt auf $p ^ {n}\times a_{1}$. Sei $a$ eine natürliche Zahl. Dann ist $\operatorname{recOnPrimePow}$ angewandt auf $\mathrm{zero}$, $\mathrm{one}$, $a_{1}$, $p$, $n$, $\mathrm{prime\_pow\_mul}$ und $a$ ein Element von $\mathrm{motive}$ angewandt auf $a$.
Swedish
Låt $\mathrm{zero}$ vara ett element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $0$. Låt $\mathrm{one}$ vara ett element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $1$. Låt $\mathrm{prime\_pow\_mul}$ vara en funktion från naturliga tal $a_{1}$ och naturliga tal $p$ och naturliga tal $n$ och element av $\mathrm{Proof}$ applicerat på påståendet att $p$ är primt och element av $\mathrm{Proof}$ applicerat på påståendet att $p$ inte delar $a_{1}$ och element av $\mathrm{Proof}$ applicerat på $\mathrm{Lt} (0 , n)$ och element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $a_{1}$ till element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $p ^ {n}\times a_{1}$. Låt $a$ vara ett naturligt tal. Då är $\operatorname{recOnPrimePow}$ applicerat på $\mathrm{zero}$, $\mathrm{one}$, $a_{1}$, $p$, $n$, $\mathrm{prime\_pow\_mul}$ och $a$ ett element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $a$.
Given P 0, P 1, and P (p ^ n) for positive prime powers, and a way to extend P a and
P b to P (a * b) when a, b are positive coprime, we can define P for all natural numbers.
Lean
@[elab_as_elim]
def recOnPosPrimePosCoprime {motive : ℕ → Sort*}
(prime_pow : ∀ p n : ℕ, Prime p → 0 < n → motive (p ^ n))
(zero : motive 0) (one : motive 1)
(coprime : ∀ a b, 1 < a → 1 < b → Coprime a b → motive a → motive b → motive (a * b)) :
∀ a, motive a :=
recOnPrimePow zero one <| by
intro a p n hp' hpa hn hPa
by_cases ha1 : a = 1
· rw [ha1, mul_one]
exact prime_pow p n hp' hn
refine coprime (p ^ n) a (hp'.one_lt.trans_le (le_self_pow hn.ne' _)) ?_ ?_
(prime_pow _ _ hp' hn) hPa
· contrapose! hpa
simp [lt_one_iff.1 (lt_of_le_of_ne hpa ha1)]
· simpa [hn, Prime.coprime_iff_not_dvd hp']
Dedukti
2 lines
def Nat__recOnPosPrimePosCoprime : (prime_pow : ((p : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> Proof (prime p) -> Proof (Lt 0 n) -> motive (pow p n))) -> (zero : Elem (motive 0)) -> (one : Elem (motive 1)) -> (coprime : ((a1 : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> Proof (Lt 1 a1) -> Proof (Lt 1 b) -> Proof (Nat__Coprime a1 b) -> Elem (motive a1) -> Elem (motive b) -> motive (times a1 b))) -> (a : Elem Nat) -> Elem (motive a) :=
prime_pow => zero => one => coprime => a => Nat__recOnPrimePow zero one (a1 => p => n => hp' => hpa => hn => hPa => dite (Eq a1 1) (ha1 => Eq__mpr (Nat__recOnPosPrimePosCoprime___proof_1 a1 p n ha1) (Eq__mpr (Nat__recOnPosPrimePosCoprime___proof_2 p n) (prime_pow p n hp' hn))) (ha11 => coprime (pow p n) a1 (Nat__recOnPosPrimePosCoprime___proof_3 p n hp' hn) (Nat__recOnPosPrimePosCoprime___proof_4 a1 p hpa ha11) (Nat__recOnPosPrimePosCoprime___proof_5 a1 p n hp' hpa hn) (prime_pow p n hp' hn) hPa)) a.
English
Let $\mathrm{prime\_pow}$ be a function from natural numbers $p$ and natural numbers $n$ and elements of $\mathrm{Proof}$ applied to the proposition that $p$ is prime and elements of $\mathrm{Proof}$ applied to the proposition that $0$ is less than $n$ to elements of $\mathrm{motive}$ applied to $p ^ {n}$. Let $\mathrm{zero}$ be an element of $\mathrm{motive}$ applied to $0$. Let $\mathrm{one}$ be an element of $\mathrm{motive}$ applied to $1$. Let $\mathrm{coprime}$ be a function from natural numbers $a_{1}$ and natural numbers $b$ and elements of $\mathrm{Proof}$ applied to $\mathrm{Lt} (1 , a_{1})$ and elements of $\mathrm{Proof}$ applied to $\mathrm{Lt} (1 , b)$ and elements of $\mathrm{Proof}$ applied to $\NatCoprimeMACRoC {a_{1}}{b}$ and elements of $\mathrm{motive}$ applied to $a_{1}$ and elements of $\mathrm{motive}$ applied to $b$ to elements of $\mathrm{motive}$ applied to $a_{1} \times b$. Let $a$ be a natural number. Then $\operatorname{recOnPosPrimePosCoprime}$ applied to $p$, $n$, $\mathrm{prime\_pow}$, $\mathrm{zero}$, $\mathrm{one}$, $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ and $a$ is an element of $\mathrm{motive}$ applied to $a$ defined as the function that maps $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ and $a$ to $\operatorname{recOnPrimePow}$ applied to $n$, $\mathrm{prime\_pow}$, the function that maps $a_{1}$, $p$, $n$, $\mathrm{hp'}$, $\mathrm{hpa}$, $\mathrm{hn}$ and $\mathrm{hPa}$ to $\mathrm{dite}$ applied to $\mathrm{Eq} (a_{1} , 1)$, the function that maps $\mathrm{ha1}$ to $\operatorname{mpr}$ applied to $\mathrm{Nat\_\_recOnPosPrimePosCoprime\_\_\_proof\_1}$ applied to $a_{1}$, $p$, $n$ and $\mathrm{ha1}$ and $\operatorname{mpr}$ applied to $\mathrm{Nat\_\_recOnPosPrimePosCoprime\_\_\_proof\_2}$ applied to $p$ and $n$ and $p$ applied to $p$, $n$, $\mathrm{hp'}$ and $\mathrm{hn}$ and the function that maps $\mathrm{ha11}$ to $\mathrm{zero}$ applied to $p ^ {n}$, $a_{1}$, $\mathrm{Nat\_\_recOnPosPrimePosCoprime\_\_\_proof\_3}$ applied to $p$, $n$, $\mathrm{hp'}$ and $\mathrm{hn}$, $\mathrm{Nat\_\_recOnPosPrimePosCoprime\_\_\_proof\_4}$ applied to $a_{1}$, $p$, $\mathrm{hpa}$ and $\mathrm{ha11}$, $\mathrm{Nat\_\_recOnPosPrimePosCoprime\_\_\_proof\_5}$ applied to $a_{1}$, $p$, $n$, $\mathrm{hp'}$, $\mathrm{hpa}$ and $\mathrm{hn}$, $p$ applied to $p$, $n$, $\mathrm{hp'}$ and $\mathrm{hn}$ and $\mathrm{hPa}$, $\mathrm{one}$, $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ and $a$.
French
Soit $\mathrm{prime\_pow}$ une fonction des nombres naturels $p$ et des nombres naturels $n$ et des éléments de $\mathrm{Proof}$ appliqué à la proposition que $p$ est premier et des éléments de $\mathrm{Proof}$ appliqué à la proposition que $0$ est inférieur à $n$ à des éléments de $\mathrm{motive}$ appliqué à $p ^ {n}$. Soit $\mathrm{zero}$ un élément de $\mathrm{motive}$ appliqué à $0$. Soit $\mathrm{one}$ un élément de $\mathrm{motive}$ appliqué à $1$. Soit $\mathrm{coprime}$ une fonction des nombres naturels $a_{1}$ et des nombres naturels $b$ et des éléments de $\mathrm{Proof}$ appliqué à $\mathrm{Lt} (1 , a_{1})$ et des éléments de $\mathrm{Proof}$ appliqué à $\mathrm{Lt} (1 , b)$ et des éléments de $\mathrm{Proof}$ appliqué à $\NatCoprimeMACRoC {a_{1}}{b}$ et des éléments de $\mathrm{motive}$ appliqué à $a_{1}$ et des éléments de $\mathrm{motive}$ appliqué à $b$ à des éléments de $\mathrm{motive}$ appliqué à $a_{1} \times b$. Soit $a$ un nombre naturel. Alors $\operatorname{recOnPosPrimePosCoprime}$ appliqué à $p$, $n$, $\mathrm{prime\_pow}$, $\mathrm{zero}$, $\mathrm{one}$, $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ et $a$ est un élément de $\mathrm{motive}$ appliqué à $a$ défini comme la fonction qui envoie $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ et $a$ à $\operatorname{recOnPrimePow}$ appliqué à $n$, $\mathrm{prime\_pow}$, la fonction qui envoie $a_{1}$, $p$, $n$, $\mathrm{hp'}$, $\mathrm{hpa}$, $\mathrm{hn}$ et $\mathrm{hPa}$ à $\mathrm{dite}$ appliqué à $\mathrm{Eq} (a_{1} , 1)$, la fonction qui envoie $\mathrm{ha1}$ à $\operatorname{mpr}$ appliqué à $\mathrm{Nat\_\_recOnPosPrimePosCoprime\_\_\_proof\_1}$ appliqué à $a_{1}$, $p$, $n$ et $\mathrm{ha1}$ et $\operatorname{mpr}$ appliqué à $\mathrm{Nat\_\_recOnPosPrimePosCoprime\_\_\_proof\_2}$ appliqué à $p$ et $n$ et $p$ appliqué à $p$, $n$, $\mathrm{hp'}$ et $\mathrm{hn}$ et la fonction qui envoie $\mathrm{ha11}$ à $\mathrm{zero}$ appliqué à $p ^ {n}$, $a_{1}$, $\mathrm{Nat\_\_recOnPosPrimePosCoprime\_\_\_proof\_3}$ appliqué à $p$, $n$, $\mathrm{hp'}$ et $\mathrm{hn}$, $\mathrm{Nat\_\_recOnPosPrimePosCoprime\_\_\_proof\_4}$ appliqué à $a_{1}$, $p$, $\mathrm{hpa}$ et $\mathrm{ha11}$, $\mathrm{Nat\_\_recOnPosPrimePosCoprime\_\_\_proof\_5}$ appliqué à $a_{1}$, $p$, $n$, $\mathrm{hp'}$, $\mathrm{hpa}$ et $\mathrm{hn}$, $p$ appliqué à $p$, $n$, $\mathrm{hp'}$ et $\mathrm{hn}$ et $\mathrm{hPa}$, $\mathrm{one}$, $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ et $a$.
Czech
Nechť $\mathrm{prime\_pow}$ je funkce z přirozených čísl $p$ a přirozených čísl $n$ a prvků $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na výrok že $p$ je prvočíselné a prvků $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na výrok že $0$ je menší než $n$ do prvků $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $p ^ {n}$. Nechť $\mathrm{zero}$ je prvek $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $0$. Nechť $\mathrm{one}$ je prvek $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $1$. Nechť $\mathrm{coprime}$ je funkce z přirozených čísl $a_{1}$ a přirozených čísl $b$ a prvků $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na $\mathrm{Lt} (1 , a_{1})$ a prvků $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na $\mathrm{Lt} (1 , b)$ a prvků $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na $\NatCoprimeMACRoC {a_{1}}{b}$ a prvků $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $a_{1}$ a prvků $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $b$ do prvků $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $a_{1} \times b$. Nechť $a$ je přirozené číslo. Tedy $\operatorname{recOnPosPrimePosCoprime}$ aplikovaný na $p$, $n$, $\mathrm{prime\_pow}$, $\mathrm{zero}$, $\mathrm{one}$, $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ a $a$ je prvek $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $a$ definovaný jako funkce která zobrazuje $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ a $a$ na $\operatorname{recOnPrimePow}$ aplikovaný na $n$, $\mathrm{prime\_pow}$, funkci která zobrazuje $a_{1}$, $p$, $n$, $\mathrm{hp'}$, $\mathrm{hpa}$, $\mathrm{hn}$ a $\mathrm{hPa}$ na $\mathrm{dite}$ aplikovaný na $\mathrm{Eq} (a_{1} , 1)$, funkci která zobrazuje $\mathrm{ha1}$ na $\operatorname{mpr}$ aplikovaný na $\mathrm{Nat\_\_recOnPosPrimePosCoprime\_\_\_proof\_1}$ aplikovaný na $a_{1}$, $p$, $n$ a $\mathrm{ha1}$ a $\operatorname{mpr}$ aplikovaný na $\mathrm{Nat\_\_recOnPosPrimePosCoprime\_\_\_proof\_2}$ aplikovaný na $p$ a $n$ a $p$ aplikovaný na $p$, $n$, $\mathrm{hp'}$ a $\mathrm{hn}$ a funkci která zobrazuje $\mathrm{ha11}$ na $\mathrm{zero}$ aplikovaný na $p ^ {n}$, $a_{1}$, $\mathrm{Nat\_\_recOnPosPrimePosCoprime\_\_\_proof\_3}$ aplikovaný na $p$, $n$, $\mathrm{hp'}$ a $\mathrm{hn}$, $\mathrm{Nat\_\_recOnPosPrimePosCoprime\_\_\_proof\_4}$ aplikovaný na $a_{1}$, $p$, $\mathrm{hpa}$ a $\mathrm{ha11}$, $\mathrm{Nat\_\_recOnPosPrimePosCoprime\_\_\_proof\_5}$ aplikovaný na $a_{1}$, $p$, $n$, $\mathrm{hp'}$, $\mathrm{hpa}$ a $\mathrm{hn}$, $p$ aplikovaný na $p$, $n$, $\mathrm{hp'}$ a $\mathrm{hn}$ a $\mathrm{hPa}$, $\mathrm{one}$, $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ a $a$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $\mathrm{prime\_pow}$ vara en funktion från naturliga tal $p$ och naturliga tal $n$ och element av $\mathrm{Proof}$ applicerat på påståendet att $p$ är primt och element av $\mathrm{Proof}$ applicerat på påståendet att $0$ är mindre än $n$ till element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $p ^ {n}$. Låt $\mathrm{zero}$ vara ett element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $0$. Låt $\mathrm{one}$ vara ett element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $1$. Låt $\mathrm{coprime}$ vara en funktion från naturliga tal $a_{1}$ och naturliga tal $b$ och element av $\mathrm{Proof}$ applicerat på $\mathrm{Lt} (1 , a_{1})$ och element av $\mathrm{Proof}$ applicerat på $\mathrm{Lt} (1 , b)$ och element av $\mathrm{Proof}$ applicerat på $\NatCoprimeMACRoC {a_{1}}{b}$ och element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $a_{1}$ och element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $b$ till element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $a_{1} \times b$. Låt $a$ vara ett naturligt tal. Då är $\operatorname{recOnPosPrimePosCoprime}$ applicerat på $p$, $n$, $\mathrm{prime\_pow}$, $\mathrm{zero}$, $\mathrm{one}$, $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ och $a$ ett element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $a$ definierat som funktionen som avbildar $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ och $a$ som $\operatorname{recOnPrimePow}$ applicerat på $n$, $\mathrm{prime\_pow}$, funktionen som avbildar $a_{1}$, $p$, $n$, $\mathrm{hp'}$, $\mathrm{hpa}$, $\mathrm{hn}$ och $\mathrm{hPa}$ som $\mathrm{dite}$ applicerat på $\mathrm{Eq} (a_{1} , 1)$, funktionen som avbildar $\mathrm{ha1}$ som $\operatorname{mpr}$ applicerat på $\mathrm{Nat\_\_recOnPosPrimePosCoprime\_\_\_proof\_1}$ applicerat på $a_{1}$, $p$, $n$ och $\mathrm{ha1}$ och $\operatorname{mpr}$ applicerat på $\mathrm{Nat\_\_recOnPosPrimePosCoprime\_\_\_proof\_2}$ applicerat på $p$ och $n$ och $p$ applicerat på $p$, $n$, $\mathrm{hp'}$ och $\mathrm{hn}$ och funktionen som avbildar $\mathrm{ha11}$ som $\mathrm{zero}$ applicerat på $p ^ {n}$, $a_{1}$, $\mathrm{Nat\_\_recOnPosPrimePosCoprime\_\_\_proof\_3}$ applicerat på $p$, $n$, $\mathrm{hp'}$ och $\mathrm{hn}$, $\mathrm{Nat\_\_recOnPosPrimePosCoprime\_\_\_proof\_4}$ applicerat på $a_{1}$, $p$, $\mathrm{hpa}$ och $\mathrm{ha11}$, $\mathrm{Nat\_\_recOnPosPrimePosCoprime\_\_\_proof\_5}$ applicerat på $a_{1}$, $p$, $n$, $\mathrm{hp'}$, $\mathrm{hpa}$ och $\mathrm{hn}$, $p$ applicerat på $p$, $n$, $\mathrm{hp'}$ och $\mathrm{hn}$ och $\mathrm{hPa}$, $\mathrm{one}$, $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ och $a$.
Given P 0, P (p ^ n) for all prime powers, and a way to extend P a and P b to
P (a * b) when a, b are positive coprime, we can define P for all natural numbers.
Lean
@[elab_as_elim]
def recOnPrimeCoprime {motive : ℕ → Sort*} (zero : motive 0)
(prime_pow : ∀ p n : ℕ, Prime p → motive (p ^ n))
(coprime : ∀ a b, 1 < a → 1 < b → Coprime a b → motive a → motive b → motive (a * b)) :
∀ a, motive a :=
recOnPosPrimePosCoprime (fun p n h _ => prime_pow p n h) zero (prime_pow 2 0 prime_two) coprime
Dedukti
2 lines
def Nat__recOnPrimeCoprime : (zero : Elem (motive 0)) -> (prime_pow : ((p : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> Proof (prime p) -> motive (pow p n))) -> (coprime : ((a1 : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> Proof (Lt 1 a1) -> Proof (Lt 1 b) -> Proof (Nat__Coprime a1 b) -> Elem (motive a1) -> Elem (motive b) -> motive (times a1 b))) -> (a : Elem Nat) -> Elem (motive a) :=
zero => prime_pow => coprime => a => Nat__recOnPosPrimePosCoprime (p => n => h => h1 => prime_pow p n h) zero (prime_pow 2 0 Nat__prime_two) coprime a.
English
Let $\mathrm{zero}$ be an element of $\mathrm{motive}$ applied to $0$. Let $\mathrm{prime\_pow}$ be a function from elements $p$ of $\Natural$ and natural numbers $n$ and elements of $\mathrm{Proof}$ applied to the proposition that $p$ is prime to elements of $\mathrm{motive}$ applied to $p ^ {n}$. Let $\mathrm{coprime}$ be a function from natural numbers $a_{1}$ and natural numbers $b$ and elements of $\mathrm{Proof}$ applied to $\mathrm{Lt} (1 , a_{1})$ and elements of $\mathrm{Proof}$ applied to $\mathrm{Lt} (1 , b)$ and elements of $\mathrm{Proof}$ applied to $\NatCoprimeMACRoC {a_{1}}{b}$ and elements of $\mathrm{motive}$ applied to $a_{1}$ and elements of $\mathrm{motive}$ applied to $b$ to elements of $\mathrm{motive}$ applied to $a_{1} \times b$. Let $a$ be a natural number. Then $\operatorname{recOnPrimeCoprime}$ applied to $\mathrm{zero}$, $p$, $n$, $\mathrm{prime\_pow}$, $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ and $a$ is an element of $\mathrm{motive}$ applied to $a$ defined as the function that maps $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ and $a$ to $\operatorname{recOnPosPrimePosCoprime}$ applied to the function that maps $p$, $n$, $h$ and $h_{1}$ to $p$ applied to $p$, $n$ and $h$, $\mathrm{zero}$, $p$ applied to $2$, $0$ and $\mathrm{Nat\_\_prime\_two}$, $n$, $\mathrm{prime\_pow}$, $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ and $a$.
French
Soit $\mathrm{zero}$ un élément de $\mathrm{motive}$ appliqué à $0$. Soit $\mathrm{prime\_pow}$ une fonction des éléments $p$ de $\Natural$ et des nombres naturels $n$ et des éléments de $\mathrm{Proof}$ appliqué à la proposition que $p$ est premier à des éléments de $\mathrm{motive}$ appliqué à $p ^ {n}$. Soit $\mathrm{coprime}$ une fonction des nombres naturels $a_{1}$ et des nombres naturels $b$ et des éléments de $\mathrm{Proof}$ appliqué à $\mathrm{Lt} (1 , a_{1})$ et des éléments de $\mathrm{Proof}$ appliqué à $\mathrm{Lt} (1 , b)$ et des éléments de $\mathrm{Proof}$ appliqué à $\NatCoprimeMACRoC {a_{1}}{b}$ et des éléments de $\mathrm{motive}$ appliqué à $a_{1}$ et des éléments de $\mathrm{motive}$ appliqué à $b$ à des éléments de $\mathrm{motive}$ appliqué à $a_{1} \times b$. Soit $a$ un nombre naturel. Alors $\operatorname{recOnPrimeCoprime}$ appliqué à $\mathrm{zero}$, $p$, $n$, $\mathrm{prime\_pow}$, $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ et $a$ est un élément de $\mathrm{motive}$ appliqué à $a$ défini comme la fonction qui envoie $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ et $a$ à $\operatorname{recOnPosPrimePosCoprime}$ appliqué à la fonction qui envoie $p$, $n$, $h$ et $h_{1}$ à $p$ appliqué à $p$, $n$ et $h$, $\mathrm{zero}$, $p$ appliqué à $2$, $0$ et $\mathrm{Nat\_\_prime\_two}$, $n$, $\mathrm{prime\_pow}$, $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ et $a$.
Czech
Nechť $\mathrm{zero}$ je prvek $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $0$. Nechť $\mathrm{prime\_pow}$ je funkce z prvků $p$ $\Natural$ a přirozených čísl $n$ a prvků $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na výrok že $p$ je prvočíselné do prvků $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $p ^ {n}$. Nechť $\mathrm{coprime}$ je funkce z přirozených čísl $a_{1}$ a přirozených čísl $b$ a prvků $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na $\mathrm{Lt} (1 , a_{1})$ a prvků $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na $\mathrm{Lt} (1 , b)$ a prvků $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na $\NatCoprimeMACRoC {a_{1}}{b}$ a prvků $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $a_{1}$ a prvků $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $b$ do prvků $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $a_{1} \times b$. Nechť $a$ je přirozené číslo. Tedy $\operatorname{recOnPrimeCoprime}$ aplikovaný na $\mathrm{zero}$, $p$, $n$, $\mathrm{prime\_pow}$, $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ a $a$ je prvek $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $a$ definovaný jako funkce která zobrazuje $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ a $a$ na $\operatorname{recOnPosPrimePosCoprime}$ aplikovaný na funkci která zobrazuje $p$, $n$, $h$ a $h_{1}$ na $p$ aplikovaný na $p$, $n$ a $h$, $\mathrm{zero}$, $p$ aplikovaný na $2$, $0$ a $\mathrm{Nat\_\_prime\_two}$, $n$, $\mathrm{prime\_pow}$, $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ a $a$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $\mathrm{zero}$ vara ett element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $0$. Låt $\mathrm{prime\_pow}$ vara en funktion från element $p$ av $\Natural$ och naturliga tal $n$ och element av $\mathrm{Proof}$ applicerat på påståendet att $p$ är primt till element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $p ^ {n}$. Låt $\mathrm{coprime}$ vara en funktion från naturliga tal $a_{1}$ och naturliga tal $b$ och element av $\mathrm{Proof}$ applicerat på $\mathrm{Lt} (1 , a_{1})$ och element av $\mathrm{Proof}$ applicerat på $\mathrm{Lt} (1 , b)$ och element av $\mathrm{Proof}$ applicerat på $\NatCoprimeMACRoC {a_{1}}{b}$ och element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $a_{1}$ och element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $b$ till element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $a_{1} \times b$. Låt $a$ vara ett naturligt tal. Då är $\operatorname{recOnPrimeCoprime}$ applicerat på $\mathrm{zero}$, $p$, $n$, $\mathrm{prime\_pow}$, $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ och $a$ ett element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $a$ definierat som funktionen som avbildar $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ och $a$ som $\operatorname{recOnPosPrimePosCoprime}$ applicerat på funktionen som avbildar $p$, $n$, $h$ och $h_{1}$ som $p$ applicerat på $p$, $n$ och $h$, $\mathrm{zero}$, $p$ applicerat på $2$, $0$ och $\mathrm{Nat\_\_prime\_two}$, $n$, $\mathrm{prime\_pow}$, $a_{1}$, $b$, $\mathrm{coprime}$ och $a$.
Formula
$\mathrm{zero} \in \mathrm{motive} (0), \mathrm{prime\_pow} \in \Natural \rightarrow \Natural \rightarrow \mathrm{Proof} (\mathrm{prime} (p))\rightarrow \mathrm{motive} (p ^ {n}), \mathrm{coprime} \in \Natural \rightarrow \Natural \rightarrow \mathrm{Proof} (\mathrm{Lt} (1 , a_{1}))\rightarrow \mathrm{Proof} (\mathrm{Lt} (1 , b))\rightarrow \mathrm{Proof} (\NatCoprimeMACRoD {a_{1}}{b})\rightarrow \mathrm{motive} (a_{1})\rightarrow \mathrm{motive} (b)\rightarrow \mathrm{motive} (a_{1} \times b), a \in \Natural \vdash \operatorname{recOnPrimeCoprime} (\mathrm{zero} , p , n , \mathrm{prime\_pow} , a_{1} , b , \mathrm{coprime} , a):= \lambda a_{1} , b , \mathrm{coprime} , a . \operatorname{recOnPosPrimePosCoprime} (\lambda p , n , h , h_{1} . p (p , n , h), \mathrm{zero} , p (2 , 0 , \mathrm{Nat\_\_prime\_two}), n , \mathrm{prime\_pow} , a_{1} , b , \mathrm{coprime} , a)\in \mathrm{motive} (a)$
Let $\mathrm{zero}$ be an element of $\mathrm{motive}$ applied to $0$. Let $\mathrm{one}$ be an element of $\mathrm{motive}$ applied to $1$. Let $\mathrm{prime}$ be a function from natural numbers $p$ and elements of $\mathrm{Proof}$ applied to the proposition that $p$ is prime to elements of $\mathrm{motive}$ applied to $p$. Let $\mathrm{mul}$ be a function from natural numbers $a_{1}$ and natural numbers $b$ and elements of $\mathrm{motive}$ applied to $a_{1}$ and elements of $\mathrm{motive}$ applied to $b$ to elements of $\mathrm{motive}$ applied to $a_{1} \times b$. Let $a$ be a natural number. Then $\operatorname{recOnMul}$ applied to $\mathrm{zero}$, $\mathrm{one}$, $p$, $\mathrm{prime}$, $a_{1}$, $b$, $\mathrm{mul}$ and $a$ is an element of $\mathrm{motive}$ applied to $a$.
French
Soit $\mathrm{zero}$ un élément de $\mathrm{motive}$ appliqué à $0$. Soit $\mathrm{one}$ un élément de $\mathrm{motive}$ appliqué à $1$. Soit $\mathrm{prime}$ une fonction des nombres naturels $p$ et des éléments de $\mathrm{Proof}$ appliqué à la proposition que $p$ est premier à des éléments de $\mathrm{motive}$ appliqué à $p$. Soit $\mathrm{mul}$ une fonction des nombres naturels $a_{1}$ et des nombres naturels $b$ et des éléments de $\mathrm{motive}$ appliqué à $a_{1}$ et des éléments de $\mathrm{motive}$ appliqué à $b$ à des éléments de $\mathrm{motive}$ appliqué à $a_{1} \times b$. Soit $a$ un nombre naturel. Alors $\operatorname{recOnMul}$ appliqué à $\mathrm{zero}$, $\mathrm{one}$, $p$, $\mathrm{prime}$, $a_{1}$, $b$, $\mathrm{mul}$ et $a$ est un élément de $\mathrm{motive}$ appliqué à $a$.
Czech
Nechť $\mathrm{zero}$ je prvek $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $0$. Nechť $\mathrm{one}$ je prvek $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $1$. Nechť $\mathrm{prime}$ je funkce z přirozených čísl $p$ a prvků $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na výrok že $p$ je prvočíselné do prvků $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $p$. Nechť $\mathrm{mul}$ je funkce z přirozených čísl $a_{1}$ a přirozených čísl $b$ a prvků $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $a_{1}$ a prvků $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $b$ do prvků $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $a_{1} \times b$. Nechť $a$ je přirozené číslo. Tedy $\operatorname{recOnMul}$ aplikovaný na $\mathrm{zero}$, $\mathrm{one}$, $p$, $\mathrm{prime}$, $a_{1}$, $b$, $\mathrm{mul}$ a $a$ je prvek $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $a$.
German
Sei $\mathrm{zero}$ ein Element von $\mathrm{motive}$ angewandt auf $0$. Sei $\mathrm{one}$ ein Element von $\mathrm{motive}$ angewandt auf $1$. Sei $\mathrm{prime}$ eine Funktion aus natürlichen Zahlen $p$ und Elementen von $\mathrm{Proof}$ angewandt auf den Satz, dass $p$ prim ist, nach Elementen von $\mathrm{motive}$ angewandt auf $p$. Sei $\mathrm{mul}$ eine Funktion aus natürlichen Zahlen $a_{1}$ und natürlichen Zahlen $b$ und Elementen von $\mathrm{motive}$ angewandt auf $a_{1}$ und Elementen von $\mathrm{motive}$ angewandt auf $b$ nach Elementen von $\mathrm{motive}$ angewandt auf $a_{1} \times b$. Sei $a$ eine natürliche Zahl. Dann ist $\operatorname{recOnMul}$ angewandt auf $\mathrm{zero}$, $\mathrm{one}$, $p$, $\mathrm{prime}$, $a_{1}$, $b$, $\mathrm{mul}$ und $a$ ein Element von $\mathrm{motive}$ angewandt auf $a$.
Swedish
Låt $\mathrm{zero}$ vara ett element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $0$. Låt $\mathrm{one}$ vara ett element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $1$. Låt $\mathrm{prime}$ vara en funktion från naturliga tal $p$ och element av $\mathrm{Proof}$ applicerat på påståendet att $p$ är primt till element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $p$. Låt $\mathrm{mul}$ vara en funktion från naturliga tal $a_{1}$ och naturliga tal $b$ och element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $a_{1}$ och element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $b$ till element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $a_{1} \times b$. Låt $a$ vara ett naturligt tal. Då är $\operatorname{recOnMul}$ applicerat på $\mathrm{zero}$, $\mathrm{one}$, $p$, $\mathrm{prime}$, $a_{1}$, $b$, $\mathrm{mul}$ och $a$ ett element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $a$.
Let $\mathrm{motive}$ be a function from natural numbers to propositions such that $\mathrm{motive}$ holds for $0$, $\mathrm{motive}$ holds for $1$ and for all natural numbers $p$, for all natural numbers $a$, if $p$ is prime, then if $\mathrm{motive}$ holds for $a$, then $\mathrm{motive}$ holds for $p \times a$. Let $n$ be a natural number. Then $\mathrm{motive}$ holds for $n$.
French
Soit $\mathrm{motive}$ une fonction des nombres naturels à des propositions telle que $\mathrm{motive}$ tienne pour $0$, $\mathrm{motive}$ tienne pour $1$ et pour tous des nombres naturels $p$, pour tous des nombres naturels $a$, si $p$ est premier, alors si $\mathrm{motive}$ tient pour $a$, alors $\mathrm{motive}$ tienne pour $p \times a$. Soit $n$ un nombre naturel. Alors $\mathrm{motive}$ tient pour $n$.
Czech
Nechť $\mathrm{motive}$ je funkce z přirozených čísl do výroků taková, že $\mathrm{motive}$ platí pro $0$, $\mathrm{motive}$ platí pro $1$ a pro všechna přirozená čísla $p$, pro všechna přirozená čísla $a$, jestliže $p$ je prvočíselné, pak jestliže $\mathrm{motive}$ platí pro $a$, pak $\mathrm{motive}$ platí pro $p \times a$. Nechť $n$ je přirozené číslo. Tedy $\mathrm{motive}$ platí pro $n$.
German
Sei $\mathrm{motive}$ eine Funktion aus natürlichen Zahlen nach Propositionen derart, dass hält $\mathrm{motive}$ für $0$, $\mathrm{motive}$ für $1$ hält und für alle natürliche Zahlen $p$, für alle natürliche Zahlen $a$, wenn $p$ prim ist, dann wenn $\mathrm{motive}$ für $a$ hält, dann $\mathrm{motive}$ für $p \times a$ hält. Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann hält $\mathrm{motive}$ für $n$.
Swedish
Låt $\mathrm{motive}$ vara en funktion från naturliga tal till påståenden sådan att $\mathrm{motive}$ håller för $0$, $\mathrm{motive}$ håller för $1$ och för alla naturliga tal $p$, för alla naturliga tal $a$, om $p$ är primt, så om $\mathrm{motive}$ håller för $a$, så håller $\mathrm{motive}$ för $p \times a$. Låt $n$ vara ett naturligt tal. Då håller $\mathrm{motive}$ för $n$.
lemma prime_composite_induction {motive : ℕ → Prop} (zero : motive 0) (one : motive 1)
(prime : ∀ p : ℕ, p.Prime → motive p)
(composite : ∀ a, 2 ≤ a → motive a → ∀ b, 2 ≤ b → motive b → motive (a * b))
(n : ℕ) : motive n :=
Dedukti
1 lines
Nat__prime_composite_induction : (motive : (Elem Nat -> Prop)) -> (zero : Proof (motive 0)) -> (one : Proof (motive 1)) -> (prime : Proof (forall Nat (p => if (prime p) (motive p)))) -> (composite : Proof (forall Nat (a => if (Leq 2 a) (if (motive a) (forall Nat (b => if (Leq 2 b) (if (motive b) (motive (times a b))))))))) -> (n : Elem Nat) -> Proof (motive n).
English
Let $\mathrm{motive}$ be a function from natural numbers to propositions such that $\mathrm{motive}$ holds for $0$, $\mathrm{motive}$ holds for $1$, for all natural numbers $p$, if $p$ is prime, then $\mathrm{motive}$ holds for $p$ and for all natural numbers $a$, if $2 \leq a$, then if $\mathrm{motive}$ holds for $a$, then for all natural numbers $b$, if $2 \leq b$, then if $\mathrm{motive}$ holds for $b$, then $\mathrm{motive}$ holds for $a \times b$. Let $n$ be a natural number. Then $\mathrm{motive}$ holds for $n$.
French
Soit $\mathrm{motive}$ une fonction des nombres naturels à des propositions telle que $\mathrm{motive}$ tienne pour $0$, $\mathrm{motive}$ tienne pour $1$, pour tous des nombres naturels $p$, si $p$ est premier, alors $\mathrm{motive}$ tienne pour $p$ et pour tous des nombres naturels $a$, si $2 \leq a$, alors si $\mathrm{motive}$ tient pour $a$, alors pour tous des nombres naturels $b$, si $2 \leq b$, alors si $\mathrm{motive}$ tient pour $b$, alors $\mathrm{motive}$ tienne pour $a \times b$. Soit $n$ un nombre naturel. Alors $\mathrm{motive}$ tient pour $n$.
Czech
Nechť $\mathrm{motive}$ je funkce z přirozených čísl do výroků taková, že $\mathrm{motive}$ platí pro $0$, $\mathrm{motive}$ platí pro $1$, pro všechna přirozená čísla $p$, jestliže $p$ je prvočíselné, pak $\mathrm{motive}$ platí pro $p$ a pro všechna přirozená čísla $a$, jestliže $2 \leq a$, pak jestliže $\mathrm{motive}$ platí pro $a$, pak pro všechna přirozená čísla $b$, jestliže $2 \leq b$, pak jestliže $\mathrm{motive}$ platí pro $b$, pak $\mathrm{motive}$ platí pro $a \times b$. Nechť $n$ je přirozené číslo. Tedy $\mathrm{motive}$ platí pro $n$.
German
Sei $\mathrm{motive}$ eine Funktion aus natürlichen Zahlen nach Propositionen derart, dass hält $\mathrm{motive}$ für $0$, hält $\mathrm{motive}$ für $1$, für alle natürliche Zahlen $p$, wenn $p$ prim ist, dann $\mathrm{motive}$ für $p$ hält und für alle natürliche Zahlen $a$, wenn $2 \leq a$, dann wenn $\mathrm{motive}$ für $a$ hält, dann für alle natürliche Zahlen $b$, wenn $2 \leq b$, dann wenn $\mathrm{motive}$ für $b$ hält, dann $\mathrm{motive}$ für $a \times b$ hält. Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann hält $\mathrm{motive}$ für $n$.
Swedish
Låt $\mathrm{motive}$ vara en funktion från naturliga tal till påståenden sådan att $\mathrm{motive}$ håller för $0$, $\mathrm{motive}$ håller för $1$, för alla naturliga tal $p$, om $p$ är primt, så håller $\mathrm{motive}$ för $p$ och för alla naturliga tal $a$, om $2 \leq a$, så om $\mathrm{motive}$ håller för $a$, så för alla naturliga tal $b$, om $2 \leq b$, så om $\mathrm{motive}$ håller för $b$, så håller $\mathrm{motive}$ för $a \times b$. Låt $n$ vara ett naturligt tal. Då håller $\mathrm{motive}$ för $n$.
Formula
$\mathrm{motive} \in \Natural \rightarrow \mathrm{Prop} , \mathrm{motive} (0), \mathrm{motive} (1), \forall p \in \Natural . \mathrm{prime} (p)\rightarrow \mathrm{motive} (p), \forall a \in \Natural . 2 \leq a \rightarrow \mathrm{motive} (a)\rightarrow (\forall b \in \Natural . 2 \leq b \rightarrow \mathrm{motive} (b)\rightarrow \mathrm{motive} (a \times b)), n \in \Natural \vdash \mathrm{motive} (n)$
For any multiplicative function f with f 1 = 1 and any n ≠ 0,
we can evaluate f n by evaluating f at p ^ k over the factorization of n
Lean
theorem multiplicative_factorization {β : Type*} [CommMonoid β] (f : ℕ → β)
(h_mult : ∀ x y : ℕ, Coprime x y → f (x * y) = f x * f y) (hf : f 1 = 1) :
∀ {n : ℕ}, n ≠ 0 → f n = n.factorization.prod fun p k => f (p ^ k) :=
Let $x$ be a set such that $x$ is a commutative monoid. Let $f$ be a function from elements of $\Natural$ to elements of $x$ such that for all elements $x_{2}$ of $\Natural$, for all elements $y$ of $\Natural$, if $\NatCoprimeMACRoC {x_{2}}{y}$, then $\EqtMACRoH {f (x_{2} \times y)}{f (x_{2})\times f (y)}$ and $\EqtMACRoH {f (1)}{1}$. Let $n$ be an element of $\Natural$ such that $n \neq 0$. Then $\EqtMACRoH {f (n)}{\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{p}{k}{f (p ^ {k})}}$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un monoïde commutatif. Soit $f$ une fonction des éléments de $\Natural$ à des éléments de $x$ telle que pour tous des éléments $x_{2}$ de $\Natural$, pour tous des éléments $y$ de $\Natural$, si $\NatCoprimeMACRoC {x_{2}}{y}$, alors $\EqtMACRoH {f (x_{2} \times y)}{f (x_{2})\times f (y)}$ et $\EqtMACRoH {f (1)}{1}$. Soit $n$ un élément de $\Natural$ tel que $n \neq 0$. Alors $\EqtMACRoH {f (n)}{\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{p}{k}{f (p ^ {k})}}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je komutativní monoid. Nechť $f$ je funkce z prvků $\Natural$ do prvků $x$ taková, že pro všechny prvky $x_{2}$ $\Natural$, pro všechny prvky $y$ $\Natural$, jestliže $\NatCoprimeMACRoC {x_{2}}{y}$, pak $\EqtMACRoH {f (x_{2} \times y)}{f (x_{2})\times f (y)}$ a $\EqtMACRoH {f (1)}{1}$. Nechť $n$ je prvek $\Natural$ takový, že $n \neq 0$. Tedy $\EqtMACRoH {f (n)}{\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{p}{k}{f (p ^ {k})}}$. (forced symbolic: no wording found)
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein kommutatives Monoid ist. Sei $f$ eine Funktion aus Elementen von $\Natural$ nach Elementen von $x$ derart, dass für alle Elemente $x_{2}$ von $\Natural$, für alle Elemente $y$ von $\Natural$, wenn $\NatCoprimeMACRoC {x_{2}}{y}$, dann $\EqtMACRoH {f (x_{2} \times y)}{f (x_{2})\times f (y)}$ und $\EqtMACRoH {f (1)}{1}$. Sei $n$ ein Element von $\Natural$ derart, dass $n \neq 0$. Dann $\EqtMACRoH {f (n)}{\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{p}{k}{f (p ^ {k})}}$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är en kommutativ monoid. Låt $f$ vara en funktion från element av $\Natural$ till element av $x$ sådan att för alla element $x_{2}$ av $\Natural$, för alla element $y$ av $\Natural$, om $\NatCoprimeMACRoC {x_{2}}{y}$, så $\EqtMACRoH {f (x_{2} \times y)}{f (x_{2})\times f (y)}$ och $\EqtMACRoH {f (1)}{1}$. Låt $n$ vara ett element av $\Natural$ sådant att $n \neq 0$. Då $\EqtMACRoH {f (n)}{\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{p}{k}{f (p ^ {k})}}$. (forced symbolic: no wording found)
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{CommMonoid} (x), f \in \Natural \rightarrow x , \forall x_{2} \in \Natural . \forall y \in \Natural . \NatCoprimeMACRoD {x_{2}}{y}\rightarrow \EqtMACRoJ {f (x_{2} \times y)}{f (x_{2})\times f (y)}, \EqtMACRoJ {f (1)}{1}, n \in \Natural , n \neq 0 \vdash \EqtMACRoJ {f (n)}{\FinsuppProd {\NatfactorizationMACRoK {n}}{p}{k}{f (p ^ {k})}}$
For any multiplicative function f with f 1 = 1 and f 0 = 1,
we can evaluate f n by evaluating f at p ^ k over the factorization of n
Lean
theorem multiplicative_factorization' {β : Type*} [CommMonoid β] (f : ℕ → β)
(h_mult : ∀ x y : ℕ, Coprime x y → f (x * y) = f x * f y) (hf0 : f 0 = 1) (hf1 : f 1 = 1) :
f n = n.factorization.prod fun p k => f (p ^ k) :=
Let $n$ be an element of $\Natural$. Let $x$ be a set such that $x$ is a commutative monoid. Let $f$ be a function from elements of $\Natural$ to elements of $x$ such that for all elements $x_{2}$ of $\Natural$, for all elements $y$ of $\Natural$, if $\NatCoprimeMACRoC {x_{2}}{y}$, then $\EqtMACRoH {f (x_{2} \times y)}{f (x_{2})\times f (y)}$, $\EqtMACRoH {f (0)}{1}$ and $\EqtMACRoH {f (1)}{1}$. Then $\EqtMACRoH {f (n)}{\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{p}{k}{f (p ^ {k})}}$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soit $n$ un élément de $\Natural$. Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un monoïde commutatif. Soit $f$ une fonction des éléments de $\Natural$ à des éléments de $x$ telle que pour tous des éléments $x_{2}$ de $\Natural$, pour tous des éléments $y$ de $\Natural$, si $\NatCoprimeMACRoC {x_{2}}{y}$, alors $\EqtMACRoH {f (x_{2} \times y)}{f (x_{2})\times f (y)}$, $\EqtMACRoH {f (0)}{1}$ et $\EqtMACRoH {f (1)}{1}$. Alors $\EqtMACRoH {f (n)}{\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{p}{k}{f (p ^ {k})}}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $n$ je prvek $\Natural$. Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je komutativní monoid. Nechť $f$ je funkce z prvků $\Natural$ do prvků $x$ taková, že pro všechny prvky $x_{2}$ $\Natural$, pro všechny prvky $y$ $\Natural$, jestliže $\NatCoprimeMACRoC {x_{2}}{y}$, pak $\EqtMACRoH {f (x_{2} \times y)}{f (x_{2})\times f (y)}$, $\EqtMACRoH {f (0)}{1}$ a $\EqtMACRoH {f (1)}{1}$. Tedy $\EqtMACRoH {f (n)}{\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{p}{k}{f (p ^ {k})}}$. (forced symbolic: no wording found)
German
Sei $n$ ein Element von $\Natural$. Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein kommutatives Monoid ist. Sei $f$ eine Funktion aus Elementen von $\Natural$ nach Elementen von $x$ derart, dass für alle Elemente $x_{2}$ von $\Natural$, für alle Elemente $y$ von $\Natural$, wenn $\NatCoprimeMACRoC {x_{2}}{y}$, dann $\EqtMACRoH {f (x_{2} \times y)}{f (x_{2})\times f (y)}$, $\EqtMACRoH {f (0)}{1}$ und $\EqtMACRoH {f (1)}{1}$. Dann $\EqtMACRoH {f (n)}{\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{p}{k}{f (p ^ {k})}}$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $n$ vara ett element av $\Natural$. Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är en kommutativ monoid. Låt $f$ vara en funktion från element av $\Natural$ till element av $x$ sådan att för alla element $x_{2}$ av $\Natural$, för alla element $y$ av $\Natural$, om $\NatCoprimeMACRoC {x_{2}}{y}$, så $\EqtMACRoH {f (x_{2} \times y)}{f (x_{2})\times f (y)}$, $\EqtMACRoH {f (0)}{1}$ och $\EqtMACRoH {f (1)}{1}$. Då $\EqtMACRoH {f (n)}{\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (n)}{p}{k}{f (p ^ {k})}}$. (forced symbolic: no wording found)
Formula
$n \in \Natural , x \in \mathrm{Set} , \mathrm{CommMonoid} (x), f \in \Natural \rightarrow x , \forall x_{2} \in \Natural . \forall y \in \Natural . \NatCoprimeMACRoD {x_{2}}{y}\rightarrow \EqtMACRoJ {f (x_{2} \times y)}{f (x_{2})\times f (y)}, \EqtMACRoJ {f (0)}{1}, \EqtMACRoJ {f (1)}{1}\vdash \EqtMACRoJ {f (n)}{\FinsuppProd {\NatfactorizationMACRoK {n}}{p}{k}{f (p ^ {k})}}$
lemma coprime_factorizationLCMLeft_factorizationLCMRight :
(factorizationLCMLeft a b).Coprime (factorizationLCMRight a b) :=
Dedukti
1 lines
Nat__coprime_factorizationLCMLeft_factorizationLCMRight : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> Proof (Nat__Coprime (Nat__factorizationLCMLeft a b) (Nat__factorizationLCMRight a b)).
English
Let $a$ and $b$ be natural numbers. Then $\NatfactorizationLCMLeftMACRoV {a}{b}$ and $\NatfactorizationLCMRightMACRoW {a}{b}$ are coprime.
French
Soient $a$ et $b$ des nombres naturels. Alors $\NatCoprimeMACRoC {\NatfactorizationLCMLeftMACRoV {a}{b}}{\NatfactorizationLCMRightMACRoW {a}{b}}$.
Czech
Nechť $a$ a $b$ je přirozené číslo. Tedy $\NatfactorizationLCMLeftMACRoV {a}{b}$ a $\NatfactorizationLCMRightMACRoW {a}{b}$ je nesoudělné.
German
Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen. Dann $\NatCoprimeMACRoC {\NatfactorizationLCMLeftMACRoV {a}{b}}{\NatfactorizationLCMRightMACRoW {a}{b}}$.
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara naturliga tal. Då $\NatCoprimeMACRoC {\NatfactorizationLCMLeftMACRoV {a}{b}}{\NatfactorizationLCMRightMACRoW {a}{b}}$.
Formula
$a , b \in \Natural \vdash \NatCoprimeMACRoD {\NatfactorizationLCMLeftMACRoAC {a}{b}}{\NatfactorizationLCMRightMACRoAD {a}{b}}$
lemma factorizationLCMLeft_mul_factorizationLCMRight (ha : a ≠ 0) (hb : b ≠ 0) :
(factorizationLCMLeft a b) * (factorizationLCMRight a b) = lcm a b :=
Dedukti
1 lines
Nat__factorizationLCMLeft_mul_factorizationLCMRight : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (ha : Proof (Neq a 0)) -> (hb : Proof (Neq b 0)) -> Proof (Eq (times (Nat__factorizationLCMLeft a b) (Nat__factorizationLCMRight a b)) (Nat__lcm a b)).
English
Let $a$ and $b$ be natural numbers such that $a \neq 0$ and $b \neq 0$. Then $\NatfactorizationLCMLeftMACRoV {a}{b}\times \NatfactorizationLCMRightMACRoW {a}{b}= \NatlcmMACRoX {a}{b}$.
French
Soient $a$ et $b$ des nombres naturels tels que $a \neq 0$ et $b \neq 0$. Alors $\NatfactorizationLCMLeftMACRoV {a}{b}\times \NatfactorizationLCMRightMACRoW {a}{b}= \NatlcmMACRoX {a}{b}$.
Czech
Nechť $a$ a $b$ je přirozené číslo takové, že $a \neq 0$ a $b \neq 0$. Tedy $\NatfactorizationLCMLeftMACRoV {a}{b}\times \NatfactorizationLCMRightMACRoW {a}{b}= \NatlcmMACRoX {a}{b}$.
German
Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen derart, dass $a \neq 0$ und $b \neq 0$. Dann $\NatfactorizationLCMLeftMACRoV {a}{b}\times \NatfactorizationLCMRightMACRoW {a}{b}= \NatlcmMACRoX {a}{b}$.
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara naturliga tal sådana att $a \neq 0$ och $b \neq 0$. Då $\NatfactorizationLCMLeftMACRoV {a}{b}\times \NatfactorizationLCMRightMACRoW {a}{b}= \NatlcmMACRoX {a}{b}$.
Formula
$a , b \in \Natural , a \neq 0 , b \neq 0 \vdash \NatfactorizationLCMLeftMACRoAC {a}{b}\times \NatfactorizationLCMRightMACRoAD {a}{b}= \NatlcmMACRoAE {a}{b}$
Let $n$ be a natural number such that $n$ is a prime power. Then the exponentiation of the smallest prime factor of $n$ to the multiplicity of the smallest prime factor of $n$ in $n$ is equal to $n$.
French
Soit $n$ un nombre naturel tel que $n$ soit une puissance première. Alors la puissance du plus petit facteur premier de $n$ en la multiplicité du plus petit facteur premier de $n$ dans $n$ est égale à $n$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo takové, že $n$ je prvočíselná mocnina. Tedy mocnina nejmenšího prvočíselného faktoru $n$ na násobnost nejmenšího prvočíselného faktoru $n$ v $n$ je rovná $n$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass $n$ eine prime Potenz ist. Dann ist die Potenz von dem kleinsten primen Faktoren von $n$ und der Vielfachheit vom kleinsten primen Faktoren von $n$ in $n$ gleich $n$.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal sådant att $n$ är en prim potens. Då är potensen av den minsta prima faktorn av $n$ upphöjt till multipliciteten av den minsta prima faktorn av $n$ i $n$ lika med $n$.
Let $n$ be a natural number such that the exponentiation of the smallest prime factor of $n$ to the multiplicity of the smallest prime factor of $n$ in $n$ is equal to $n$ and $n \neq 1$. Then $n$ is a prime power.
French
Soit $n$ un nombre naturel tel que la puissance du plus petit facteur premier de $n$ en la multiplicité du plus petit facteur premier de $n$ dans $n$ soit égale à $n$ et $n \neq 1$. Alors $n$ est une puissance première.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo takové, že mocnina nejmenšího prvočíselného faktoru $n$ na násobnost nejmenšího prvočíselného faktoru $n$ v $n$ je rovná $n$ a $n \neq 1$. Tedy $n$ je prvočíselná mocnina.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass die Potenz von dem kleinsten primen Faktoren von $n$ und der Vielfachheit vom kleinsten primen Faktoren von $n$ in $n$ gleich $n$ ist und $n \neq 1$. Dann ist $n$ eine prime Potenz.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal sådant att potensen av den minsta prima faktorn av $n$ upphöjt till multipliciteten av den minsta prima faktorn av $n$ i $n$ är lika med $n$ och $n \neq 1$. Då är $n$ en prim potens.
Formula
$n \in \Natural , \NatminFacMACRoB {n}^ {\NatfactorizationappMACRoL {n}{\NatminFacMACRoB {n}}}= n , n \neq 1 \vdash \mathrm{IsPrimePow} (n)$
theorem isPrimePow_iff_minFac_pow_factorization_eq {n : ℕ} (hn : n ≠ 1) :
IsPrimePow n ↔ n.minFac ^ n.factorization n.minFac = n :=
⟨fun h => h.minFac_pow_factorization_eq, fun h => isPrimePow_of_minFac_pow_factorization_eq h hn⟩
Dedukti
2 lines
def isPrimePow_iff_minFac_pow_factorization_eq : (n : Elem Nat) -> (hn : Proof (Neq n 1)) -> Proof (iff (IsPrimePow n) (Eq (pow (Nat__minFac n) (Nat__factorization__app n (Nat__minFac n))) n)) :=
n => hn => iffI (IsPrimePow n) (Eq (pow (Nat__minFac n) (Nat__factorization__app n (Nat__minFac n))) n) (h => IsPrimePow__minFac_pow_factorization_eq n h) (h1 => isPrimePow_of_minFac_pow_factorization_eq n h1 hn).
English
Let $n$ be a natural number such that $n \neq 1$. Then $n$ is a prime power, if and only if the exponentiation of the smallest prime factor of $n$ to the multiplicity of the smallest prime factor of $n$ in $n$ is equal to $n$.
French
Soit $n$ un nombre naturel tel que $n \neq 1$. Alors $n$ est une puissance première si et seulement si la puissance du plus petit facteur premier de $n$ en la multiplicité du plus petit facteur premier de $n$ dans $n$ est égale à $n$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo takové, že $n \neq 1$. Tedy $n$ je prvočíselná mocnina, právě tehdy, když mocnina nejmenšího prvočíselného faktoru $n$ na násobnost nejmenšího prvočíselného faktoru $n$ v $n$ je rovná $n$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass $n \neq 1$. Dann ist $n$ eine prime Potenz, genau dann, wenn die Potenz von dem kleinsten primen Faktoren von $n$ und der Vielfachheit vom kleinsten primen Faktoren von $n$ in $n$ gleich $n$ ist.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal sådant att $n \neq 1$. Då är $n$ en prim potens, om och endast om potensen av den minsta prima faktorn av $n$ upphöjt till multipliciteten av den minsta prima faktorn av $n$ i $n$ är lika med $n$.
Let $n$ be a natural number. Then $n$ is a prime power, if and only if there exist natural numbers $p$ and $k$, such that $0 < k$ and the factorization of $n$ is equal to $\FinsuppsingleMACRoS {p}{k}$.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Alors $n$ est une puissance première si et seulement si il existent des nombres naturels $p$ et $k$ tel que $0 < k$ et la factorisation de $n$ soit égale à $\FinsuppsingleMACRoS {p}{k}$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Tedy $n$ je prvočíselná mocnina, právě tehdy, když existují přirozená čísla $p$ a $k$, takový, že $0 < k$ a faktorizace $n$ je rovná do $\FinsuppsingleMACRoS {p}{k}$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann ist $n$ eine prime Potenz, genau dann, wenn es natürliche Zahlen $p$ und $k$ gibt, derart, dass $0 < k$ und die Faktorisierung von $n$ nach $\FinsuppsingleMACRoS {p}{k}$ gleich ist.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Då är $n$ en prim potens, om och endast om det finns naturliga tal $p$ och $k$, så att $0 < k$ och faktoriseringen av $n$ är lika till $\FinsuppsingleMACRoS {p}{k}$.
Formula
$n \in \Natural \vdash \mathrm{IsPrimePow} (n)\leftrightarrow (\exists p \in \Natural . \exists k \in \Natural . 0 < k \wedge (\EqtMACRoJ {\NatfactorizationMACRoK {n}}{\FinsuppsingleMACRoZ {p}{k}}))$
Let $n$ be a natural number. Then $n$ is a prime power, if and only if the cardinality of the set of prime factors of $n$ is equal to $1$.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Alors $n$ est une puissance première si et seulement si la cardinalité de l'ensemble des facteurs premiers de $n$ est égale à $1$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Tedy $n$ je prvočíselná mocnina, právě tehdy, když mohutnost množiny prvočíselných faktorů $n$ je rovná $1$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann ist $n$ eine prime Potenz, genau dann, wenn die Kardinalität von der Menge von den Primfaktoren von $n$ gleich $1$ ist.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Då är $n$ en prim potens, om och endast om kardinaliteten av mängden av primfaktorer av $n$ är lika med $1$.
Let $n$ be a natural number such that $2 \leq n$. Then $n$ is not a prime power, if and only if the set of prime factors of $n$ is nontrivial.
French
Soit $n$ un nombre naturel tel que $2 \leq n$. Alors $n$ n'est pas une puissance première si et seulement si l'ensemble des facteurs premiers de $n$ est non trivial.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo takové, že $2 \leq n$. Tedy $n$ není prvočíselná mocnina, právě tehdy, když množina prvočíselných faktorů $n$ je netriviální.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass $2 \leq n$. Dann ist $n$ nicht eine prime Potenz, genau dann, wenn die Menge von den Primfaktoren von $n$ nichttrivial ist.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal sådant att $2 \leq n$. Då är $n$ inte en prim potens, om och endast om mängden av primfaktorer av $n$ är icke-trivial.
IsPrimePow__exists_ordCompl_eq_one : (n : Elem Nat) -> (h : Proof (IsPrimePow n)) -> Proof (exists Nat (p => and (prime p) (Eq (div n (pow p (Nat__factorization__app n p))) 1))).
English
Let $n$ be a natural number such that $n$ is a prime power. Then there exists a natural number $p$, such that $p$ is prime and $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}= 1$.
French
Soit $n$ un nombre naturel tel que $n$ soit une puissance première. Alors il existe un nombre naturel $p$ tel que $p$ soit premier et $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}= 1$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo takové, že $n$ je prvočíselná mocnina. Tedy existuje přirozené číslo $p$, takový, že $p$ je prvočíselné a $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}= 1$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass $n$ eine prime Potenz ist. Dann gibt es eine natürliche Zahl $p$, derart, dass $p$ prim ist und $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}= 1$.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal sådant att $n$ är en prim potens. Då finns det ett naturligt tal $p$, så att $p$ är primt och $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}= 1$.
theorem exists_ordCompl_eq_one_iff_isPrimePow {n : ℕ} (hn : n ≠ 1) :
IsPrimePow n ↔ ∃ p : ℕ, p.Prime ∧ ordCompl[p] n = 1 :=
Dedukti
1 lines
exists_ordCompl_eq_one_iff_isPrimePow : (n : Elem Nat) -> (hn : Proof (Neq n 1)) -> Proof (iff (IsPrimePow n) (exists Nat (p => and (prime p) (Eq (div n (pow p (Nat__factorization__app n p))) 1)))).
English
Let $n$ be a natural number such that $n \neq 1$. Then $n$ is a prime power, if and only if there exists a natural number $p$, such that $p$ is prime and $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}= 1$.
French
Soit $n$ un nombre naturel tel que $n \neq 1$. Alors $n$ est une puissance première si et seulement si il existe un nombre naturel $p$ tel que $p$ soit premier et $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}= 1$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo takové, že $n \neq 1$. Tedy $n$ je prvočíselná mocnina, právě tehdy, když existuje přirozené číslo $p$, takový, že $p$ je prvočíselné a $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}= 1$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass $n \neq 1$. Dann ist $n$ eine prime Potenz, genau dann, wenn es eine natürliche Zahl $p$ gibt, derart, dass $p$ prim ist und $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}= 1$.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal sådant att $n \neq 1$. Då är $n$ en prim potens, om och endast om det finns ett naturligt tal $p$, så att $p$ är primt och $\frac{ n}{p ^ {\NatfactorizationappMACRoI {n}{p}}}= 1$.
An equivalent definition for prime powers: n is a prime power iff there is a unique prime
dividing it.
Lean
theorem isPrimePow_iff_unique_prime_dvd {n : ℕ} : IsPrimePow n ↔ ∃! p : ℕ, p.Prime ∧ p ∣ n :=
Dedukti
1 lines
isPrimePow_iff_unique_prime_dvd : (n : Elem Nat) -> Proof (iff (IsPrimePow n) (ExistsUnique (p => and (prime p) (divide p n)))).
English
Let $n$ be a natural number. Then $n$ is a prime power, if and only if $\mathrm{ExistsUnique}$ holds for the function that maps $p$ to the proposition that $p$ is prime and $p$ divides $n$.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Alors $n$ est une puissance première si et seulement si $\mathrm{ExistsUnique}$ tient pour la fonction qui envoie $p$ à la proposition que $p$ est premier et $p$ divise $n$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Tedy $n$ je prvočíselná mocnina, právě tehdy, když $\mathrm{ExistsUnique}$ platí pro funkci která zobrazuje $p$ na výrok že $p$ je prvočíselné a $p$ dělí $n$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann ist $n$ eine prime Potenz, genau dann, wenn $\mathrm{ExistsUnique}$ für die Funktion, die $p$ als der Satz, dass $p$ prim ist und $p$ $n$ teilt, abbildet, hält.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Då är $n$ en prim potens, om och endast om $\mathrm{ExistsUnique}$ håller för funktionen som avbildar $p$ som påståendet att $p$ är primt och $p$ delar $n$.
Let $n$ and $k$ be natural numbers such that $k \neq 0$. Then $n ^ {k}$ is a prime power, if and only if $n$ is a prime power.
French
Soient $n$ et $k$ des nombres naturels tels que $k \neq 0$. Alors $n ^ {k}$ est une puissance première si et seulement si $n$ est une puissance première.
Czech
Nechť $n$ a $k$ je přirozené číslo takové, že $k \neq 0$. Tedy $n ^ {k}$ je prvočíselná mocnina, právě tehdy, když $n$ je prvočíselná mocnina.
German
Seien $n$ und $k$ natürliche Zahlen derart, dass $k \neq 0$. Dann ist $n ^ {k}$ eine prime Potenz, genau dann, wenn $n$ eine prime Potenz ist.
Swedish
Låt $n$ och $k$ vara naturliga tal sådana att $k \neq 0$. Då är $n ^ {k}$ en prim potens, om och endast om $n$ är en prim potens.
Formula
$n , k \in \Natural , k \neq 0 \vdash \mathrm{IsPrimePow} (n ^ {k})\leftrightarrow \mathrm{IsPrimePow} (n)$
theorem Nat.Coprime.isPrimePow_dvd_mul {n a b : ℕ} (hab : Nat.Coprime a b) (hn : IsPrimePow n) :
n ∣ a * b ↔ n ∣ a ∨ n ∣ b :=
Dedukti
1 lines
Nat__Coprime__isPrimePow_dvd_mul : (n : Elem Nat) -> (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (hab : Proof (Nat__Coprime a b)) -> (hn : Proof (IsPrimePow n)) -> Proof (iff (divide n (times a b)) (or (divide n a) (divide n b))).
English
Let $n$, $a$ and $b$ be natural numbers such that $a$ and $b$ are coprime and $n$ is a prime power. Then $n$ divides $a \times b$, if and only if $n$ divides $a$ or $n$ divides $b$.
French
Soient $n$, $a$ et $b$ des nombres naturels tels que $\NatCoprimeMACRoC {a}{b}$ et $n$ soit une puissance première. Alors $n$ divise $a \times b$ si et seulement si $n$ divise $a$ ou $n$ divise $b$.
Czech
Nechť $n$, $a$ a $b$ je přirozené číslo takové, že $a$ a $b$ je nesoudělné a $n$ je prvočíselná mocnina. Tedy $n$ dělí $a \times b$, právě tehdy, když $n$ dělí $a$ nebo $n$ dělí $b$.
German
Seien $n$, $a$ und $b$ natürliche Zahlen derart, dass $\NatCoprimeMACRoC {a}{b}$ und $n$ eine prime Potenz ist. Dann teilt $n$ $a \times b$, genau dann, wenn $n$ $a$ teilt oder $n$ $b$ teilt.
Swedish
Låt $n$, $a$ och $b$ vara naturliga tal sådana att $\NatCoprimeMACRoC {a}{b}$ och $n$ är en prim potens. Då delar $n$ $a \times b$, om och endast om $n$ delar $a$ eller $n$ delar $b$.
Formula
$n , a , b \in \Natural , \NatCoprimeMACRoD {a}{b}, \mathrm{IsPrimePow} (n)\vdash \divides {n}{a \times b}\leftrightarrow \divides {n}{a}\vee \divides {n}{b}$
Let $a$ and $b$ be elements of $\Natural$ such that $\NatCoprimeMACRoC {a}{b}$. Then $\EqtMACRoH {\FinsetFilter {d}{\mathrm{IsPrimePow} (d)}{\operatorname{divisors} (a \times b)}}{\FinsetFilter {d_{1}}{\mathrm{IsPrimePow} (d_{1})}{(\UnionunionMACRoAB {\operatorname{divisors} (a)}{\operatorname{divisors} (b)})}}$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soient $a$ et $b$ des éléments de $\Natural$ tels que $\NatCoprimeMACRoC {a}{b}$. Alors $\EqtMACRoH {\FinsetFilter {d}{\mathrm{IsPrimePow} (d)}{\operatorname{divisors} (a \times b)}}{\FinsetFilter {d_{1}}{\mathrm{IsPrimePow} (d_{1})}{(\UnionunionMACRoAB {\operatorname{divisors} (a)}{\operatorname{divisors} (b)})}}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $a$ a $b$ je prvek $\Natural$ takový, že $\NatCoprimeMACRoC {a}{b}$. Tedy $\EqtMACRoH {\FinsetFilter {d}{\mathrm{IsPrimePow} (d)}{\operatorname{divisors} (a \times b)}}{\FinsetFilter {d_{1}}{\mathrm{IsPrimePow} (d_{1})}{(\UnionunionMACRoAB {\operatorname{divisors} (a)}{\operatorname{divisors} (b)})}}$. (forced symbolic: no wording found)
German
Seien $a$ und $b$ elemente von $\Natural$ derart, dass $\NatCoprimeMACRoC {a}{b}$. Dann $\EqtMACRoH {\FinsetFilter {d}{\mathrm{IsPrimePow} (d)}{\operatorname{divisors} (a \times b)}}{\FinsetFilter {d_{1}}{\mathrm{IsPrimePow} (d_{1})}{(\UnionunionMACRoAB {\operatorname{divisors} (a)}{\operatorname{divisors} (b)})}}$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara element av $\Natural$ sådana att $\NatCoprimeMACRoC {a}{b}$. Då $\EqtMACRoH {\FinsetFilter {d}{\mathrm{IsPrimePow} (d)}{\operatorname{divisors} (a \times b)}}{\FinsetFilter {d_{1}}{\mathrm{IsPrimePow} (d_{1})}{(\UnionunionMACRoAB {\operatorname{divisors} (a)}{\operatorname{divisors} (b)})}}$. (forced symbolic: no wording found)
The product natural equivalence is an element of $\EquivMACRoAE {\mathrm{Prod} (\NatPrimesMACRoA , \Natural)}{(\SubtypeSet {n}{\mathrm{IsPrimePow} (n)})}$ defined as $\operatorname{mk}$ applied to the function that maps $\mathrm{pk}$ to $\ProdfstMACRoZ {\mathrm{pk}}^ {(\ProdsndMACRoAA {\mathrm{pk}}+ 1)}$, the function that maps $n$ to $\ProdmkMACRoU {\operatorname{minFac} (n)}{(\NatfactorizationappMACRoI {n}{\operatorname{minFac} (n)}- 1)}$, $\mathrm{Nat\_\_Primes\_\_prodNatEquiv\_\_\_proof\_6}$ and the function that maps $n_{1}$ to $\mathrm{Nat\_\_Primes\_\_prodNatEquiv\_\_\_proof\_4}$ applied to $n_{1}$. (forced symbolic: no wording found)
French
L'équivalence naturelle de produits est un élément de $\EquivMACRoAE {\mathrm{Prod} (\NatPrimesMACRoA , \Natural)}{(\SubtypeSet {n}{\mathrm{IsPrimePow} (n)})}$ défini comme $\operatorname{mk}$ appliqué à la fonction qui envoie $\mathrm{pk}$ à $\ProdfstMACRoZ {\mathrm{pk}}^ {(\ProdsndMACRoAA {\mathrm{pk}}+ 1)}$, la fonction qui envoie $n$ à $\ProdmkMACRoU {\operatorname{minFac} (n)}{(\NatfactorizationappMACRoI {n}{\operatorname{minFac} (n)}- 1)}$, $\mathrm{Nat\_\_Primes\_\_prodNatEquiv\_\_\_proof\_6}$ et la fonction qui envoie $n_{1}$ à $\mathrm{Nat\_\_Primes\_\_prodNatEquiv\_\_\_proof\_4}$ appliqué à $n_{1}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Součinpřirozená ekvivalence je prvek $\EquivMACRoAE {\mathrm{Prod} (\NatPrimesMACRoA , \Natural)}{(\SubtypeSet {n}{\mathrm{IsPrimePow} (n)})}$ definovaný jako $\operatorname{mk}$ aplikovaný na funkci která zobrazuje $\mathrm{pk}$ na $\ProdfstMACRoZ {\mathrm{pk}}^ {(\ProdsndMACRoAA {\mathrm{pk}}+ 1)}$, funkci která zobrazuje $n$ na $\ProdmkMACRoU {\operatorname{minFac} (n)}{(\NatfactorizationappMACRoI {n}{\operatorname{minFac} (n)}- 1)}$, $\mathrm{Nat\_\_Primes\_\_prodNatEquiv\_\_\_proof\_6}$ a funkci která zobrazuje $n_{1}$ na $\mathrm{Nat\_\_Primes\_\_prodNatEquiv\_\_\_proof\_4}$ aplikovaný na $n_{1}$. (forced symbolic: no wording found)
German
Die Produktnatürliche Äquivalenz ist ein Element von $\EquivMACRoAE {\mathrm{Prod} (\NatPrimesMACRoA , \Natural)}{(\SubtypeSet {n}{\mathrm{IsPrimePow} (n)})}$ definiert als $\operatorname{mk}$ angewandt auf die Funktion, die $\mathrm{pk}$ als $\ProdfstMACRoZ {\mathrm{pk}}^ {(\ProdsndMACRoAA {\mathrm{pk}}+ 1)}$ abbildet, die Funktion, die $n$ als $\ProdmkMACRoU {\operatorname{minFac} (n)}{(\NatfactorizationappMACRoI {n}{\operatorname{minFac} (n)}- 1)}$ abbildet, $\mathrm{Nat\_\_Primes\_\_prodNatEquiv\_\_\_proof\_6}$ und die Funktion, die $n_{1}$ als $\mathrm{Nat\_\_Primes\_\_prodNatEquiv\_\_\_proof\_4}$ angewandt auf $n_{1}$ abbildet. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Den produktnaturliga ekvivalensen är ett element av $\EquivMACRoAE {\mathrm{Prod} (\NatPrimesMACRoA , \Natural)}{(\SubtypeSet {n}{\mathrm{IsPrimePow} (n)})}$ definierat som $\operatorname{mk}$ applicerat på funktionen som avbildar $\mathrm{pk}$ som $\ProdfstMACRoZ {\mathrm{pk}}^ {(\ProdsndMACRoAA {\mathrm{pk}}+ 1)}$, funktionen som avbildar $n$ som $\ProdmkMACRoU {\operatorname{minFac} (n)}{(\NatfactorizationappMACRoI {n}{\operatorname{minFac} (n)}- 1)}$, $\mathrm{Nat\_\_Primes\_\_prodNatEquiv\_\_\_proof\_6}$ och funktionen som avbildar $n_{1}$ som $\mathrm{Nat\_\_Primes\_\_prodNatEquiv\_\_\_proof\_4}$ applicerat på $n_{1}$. (forced symbolic: no wording found)
Let $n$ be an element of $\Natural$ such that $n$ is a prime power. Then $\EqtMACRoH {\operatorname{symm} (\operatorname{prodNatEquiv} , n)}{\ProdmkMACRoU {\operatorname{minFac} (n)}{(\NatfactorizationappMACRoI {n}{\operatorname{minFac} (n)}- 1)}}$. Proof. Let $n$ be arbitrary. Let $\mathrm{hn}$ be arbitrary. By rfl. (forced symbolic: no wording found)
French
Soit $n$ un élément de $\Natural$ tel que $n$ soit une puissance première. Alors $\EqtMACRoH {\operatorname{symm} (\operatorname{prodNatEquiv} , n)}{\ProdmkMACRoU {\operatorname{minFac} (n)}{(\NatfactorizationappMACRoI {n}{\operatorname{minFac} (n)}- 1)}}$. Démonstration. Soit $n$ arbitraire. Soit $\mathrm{hn}$ arbitraire. Par rfl. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $n$ je prvek $\Natural$ takový, že $n$ je prvočíselná mocnina. Tedy $\EqtMACRoH {\operatorname{symm} (\operatorname{prodNatEquiv} , n)}{\ProdmkMACRoU {\operatorname{minFac} (n)}{(\NatfactorizationappMACRoI {n}{\operatorname{minFac} (n)}- 1)}}$. Důkaz. Nechť $n$ je libovolné. Nechť $\mathrm{hn}$ je libovolné. Pomocí rfl. (forced symbolic: no wording found)
German
Sei $n$ ein Element von $\Natural$ derart, dass $n$ eine prime Potenz ist. Dann $\EqtMACRoH {\operatorname{symm} (\operatorname{prodNatEquiv} , n)}{\ProdmkMACRoU {\operatorname{minFac} (n)}{(\NatfactorizationappMACRoI {n}{\operatorname{minFac} (n)}- 1)}}$. Beweis. Sei $n$ beliebig. Sei $\mathrm{hn}$ beliebig. Mit rfl. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $n$ vara ett element av $\Natural$ sådant att $n$ är en prim potens. Då $\EqtMACRoH {\operatorname{symm} (\operatorname{prodNatEquiv} , n)}{\ProdmkMACRoU {\operatorname{minFac} (n)}{(\NatfactorizationappMACRoI {n}{\operatorname{minFac} (n)}- 1)}}$. Bevis. Låt $n$ vara godtyckligt. Låt $\mathrm{hn}$ vara godtyckligt. Med rfl. (forced symbolic: no wording found)
theorem exponent_eq_exponent_mul_factorization_of_prime_pow_eq_base_pow :
m = n * a.factorization p :=
Dedukti
1 lines
Nat__exponent_eq_exponent_mul_factorization_of_prime_pow_eq_base_pow : (p : Elem Nat) -> (a : Elem Nat) -> (m : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> (h : Proof (Eq (pow p m) (pow a n))) -> Proof (Eq m (times n (Nat__factorization__app a p))).
English
Let $p$, $a$, $m$ and $n$ be natural numbers such that $p$ is prime and $p ^ {m}= a ^ {n}$. Then $m = n \times \NatfactorizationappMACRoI {a}{p}$.
French
Soient $p$, $a$, $m$ et $n$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier et $p ^ {m}= a ^ {n}$. Alors $m = n \times \NatfactorizationappMACRoI {a}{p}$.
Czech
Nechť $p$, $a$, $m$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné a $p ^ {m}= a ^ {n}$. Tedy $m = n \times \NatfactorizationappMACRoI {a}{p}$.
German
Seien $p$, $a$, $m$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist und $p ^ {m}= a ^ {n}$. Dann $m = n \times \NatfactorizationappMACRoI {a}{p}$.
Swedish
Låt $p$, $a$, $m$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt och $p ^ {m}= a ^ {n}$. Då $m = n \times \NatfactorizationappMACRoI {a}{p}$.
Formula
$p , a , m , n \in \Natural , \mathrm{prime} (p), p ^ {m}= a ^ {n}\vdash m = n \times \NatfactorizationappMACRoL {a}{p}$
theorem exponent_dvd_of_prime_pow_eq_pow : n ∣ m :=
Dvd.intro (a.factorization p)
(exponent_eq_exponent_mul_factorization_of_prime_pow_eq_base_pow hp h).symm
Dedukti
2 lines
def Nat__exponent_dvd_of_prime_pow_eq_pow : (p : Elem Nat) -> (a : Elem Nat) -> (m : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> (h : Proof (Eq (pow p m) (pow a n))) -> Proof (divide n m) :=
p => a => m => n => hp => h => Dvd__intro Nat n m (Nat__factorization__app a p) (Eq__symm Nat m (times n (Nat__factorization__app a p)) (Nat__exponent_eq_exponent_mul_factorization_of_prime_pow_eq_base_pow p a m n hp h)).
English
Let $p$, $a$, $m$ and $n$ be natural numbers such that $p$ is prime and $p ^ {m}= a ^ {n}$. Then $n$ divides $m$.
French
Soient $p$, $a$, $m$ et $n$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier et $p ^ {m}= a ^ {n}$. Alors $n$ divise $m$.
Czech
Nechť $p$, $a$, $m$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné a $p ^ {m}= a ^ {n}$. Tedy $n$ dělí $m$.
German
Seien $p$, $a$, $m$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist und $p ^ {m}= a ^ {n}$. Dann teilt $n$ $m$.
Swedish
Låt $p$, $a$, $m$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt och $p ^ {m}= a ^ {n}$. Då delar $n$ $m$.
Formula
$p , a , m , n \in \Natural , \mathrm{prime} (p), p ^ {m}= a ^ {n}\vdash \divides {n}{m}$
Proof
6 lines
1.
Let $p$, $a$, $m$ and $n$ be elements of $\Natural$.
theorem exists_base_eq_prime_pow_of_prime_pow_eq_base_pow : ∃ k, a = p ^ k :=
Dedukti
1 lines
Nat__exists_base_eq_prime_pow_of_prime_pow_eq_base_pow : (p : Elem Nat) -> (a : Elem Nat) -> (m : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> (hn : Proof (Neq n 0)) -> (h : Proof (Eq (pow p m) (pow a n))) -> Proof (exists Nat (k => Eq a (pow p k))).
English
Let $p$, $a$, $m$ and $n$ be elements of $\Natural$ such that $p$ is prime, $n \neq 0$ and $p ^ {m}= a ^ {n}$. Then there exists an element $k$ of $\Natural$, such that $a = p ^ {k}$.
French
Soient $p$, $a$, $m$ et $n$ des éléments de $\Natural$ tels que $p$ soit premier, $n \neq 0$ et $p ^ {m}= a ^ {n}$. Alors il existe un élément $k$ de $\Natural$ tel que $a = p ^ {k}$.
Czech
Nechť $p$, $a$, $m$ a $n$ je prvek $\Natural$ takový, že $p$ je prvočíselné, $n \neq 0$ a $p ^ {m}= a ^ {n}$. Tedy existuje prvek $k$ $\Natural$, takový, že $a = p ^ {k}$.
German
Seien $p$, $a$, $m$ und $n$ elemente von $\Natural$ derart, dass ist $p$ prim, $n \neq 0$ und $p ^ {m}= a ^ {n}$. Dann gibt es ein Element $k$ von $\Natural$, derart, dass $a = p ^ {k}$.
Swedish
Låt $p$, $a$, $m$ och $n$ vara element av $\Natural$ sådana att $p$ är primt, $n \neq 0$ och $p ^ {m}= a ^ {n}$. Då finns det ett element $k$ av $\Natural$, så att $a = p ^ {k}$.
Formula
$p , a , m , n \in \Natural , \mathrm{prime} (p), n \neq 0 , p ^ {m}= a ^ {n}\vdash \exists k \in \Natural . a = p ^ {k}$
Flooring root of a natural number. This divides the valuation of every prime number rounding
down. Eg if n = 2, a = 2^3 * 3^2 * 5, then floorRoot n a = 2 * 3. In order theory terms, this is the upper or right adjoint of the map a ↦ a ^ n : ℕ → ℕ where ℕ
is ordered by divisibility. To ensure that the adjunction (Nat.pow_dvd_iff_dvd_floorRoot) holds in as many cases as possible,
we special-case the following values:
* floorRoot 0 a = 0
* floorRoot n 0 = 0
Lean
def floorRoot (n a : ℕ) : ℕ :=
if n = 0 ∨ a = 0 then 0 else a.factorization.prod fun p k ↦ p ^ (k / n)
Dedukti
2 lines
def Nat__floorRoot : (n : Elem Nat) -> (a : Elem Nat) -> Elem Nat :=
n => a => ite (or (Eq n 0) (Eq a 0)) 0 (Finsupp__prod (Nat__factorization a) (p => k => pow p (div k n))).
English
Let $n$ and $a$ be elements of $\Natural$. Then $\NatfloorRootMACRoJ {n}{a}$ is an element of $\Natural$ defined as $\iteMACRoG {\mathrm{or} (\mathrm{Eq} (n , 0), \mathrm{Eq} (a , 0))}{0}{(\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (a)}{p}{k}{(p ^ {\frac{ k}{n}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soient $n$ et $a$ des éléments de $\Natural$. Alors $\NatfloorRootMACRoJ {n}{a}$ est un élément de $\Natural$ défini comme $\iteMACRoG {\mathrm{or} (\mathrm{Eq} (n , 0), \mathrm{Eq} (a , 0))}{0}{(\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (a)}{p}{k}{(p ^ {\frac{ k}{n}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $n$ a $a$ je prvek $\Natural$. Tedy $\NatfloorRootMACRoJ {n}{a}$ je prvek $\Natural$ definovaný jako $\iteMACRoG {\mathrm{or} (\mathrm{Eq} (n , 0), \mathrm{Eq} (a , 0))}{0}{(\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (a)}{p}{k}{(p ^ {\frac{ k}{n}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
German
Seien $n$ und $a$ elemente von $\Natural$. Dann ist $\NatfloorRootMACRoJ {n}{a}$ ein Element von $\Natural$ definiert als $\iteMACRoG {\mathrm{or} (\mathrm{Eq} (n , 0), \mathrm{Eq} (a , 0))}{0}{(\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (a)}{p}{k}{(p ^ {\frac{ k}{n}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $n$ och $a$ vara element av $\Natural$. Då är $\NatfloorRootMACRoJ {n}{a}$ ett element av $\Natural$ definierat som $\iteMACRoG {\mathrm{or} (\mathrm{Eq} (n , 0), \mathrm{Eq} (a , 0))}{0}{(\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (a)}{p}{k}{(p ^ {\frac{ k}{n}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
The RHS is a noncomputable version of Nat.floorRoot with better order-theoretic
properties.
Lean
lemma floorRoot_def :
floorRoot n a = if n = 0 ∨ a = 0 then 0 else (a.factorization ⌊/⌋ n).prod (· ^ ·) :=
Dedukti
1 lines
Nat__floorRoot_def : (a : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> Proof (Eq (Nat__floorRoot n a) (ite (or (Eq n 0) (Eq a 0)) 0 (Finsupp__prod (FloorDiv__floorDiv (Nat__factorization a) n) (x => x1 => pow x x1)))).
English
Let $a$ and $n$ be elements of $\Natural$. Then $\NatfloorRootMACRoJ {n}{a}= \iteMACRoG {\mathrm{or} (\mathrm{Eq} (n , 0), \mathrm{Eq} (a , 0))}{0}{(\FinsuppProd {\operatorname{floorDiv} (\operatorname{factorization} (a), n)}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soient $a$ et $n$ des éléments de $\Natural$. Alors $\NatfloorRootMACRoJ {n}{a}= \iteMACRoG {\mathrm{or} (\mathrm{Eq} (n , 0), \mathrm{Eq} (a , 0))}{0}{(\FinsuppProd {\operatorname{floorDiv} (\operatorname{factorization} (a), n)}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $a$ a $n$ je prvek $\Natural$. Tedy $\NatfloorRootMACRoJ {n}{a}= \iteMACRoG {\mathrm{or} (\mathrm{Eq} (n , 0), \mathrm{Eq} (a , 0))}{0}{(\FinsuppProd {\operatorname{floorDiv} (\operatorname{factorization} (a), n)}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
German
Seien $a$ und $n$ elemente von $\Natural$. Dann $\NatfloorRootMACRoJ {n}{a}= \iteMACRoG {\mathrm{or} (\mathrm{Eq} (n , 0), \mathrm{Eq} (a , 0))}{0}{(\FinsuppProd {\operatorname{floorDiv} (\operatorname{factorization} (a), n)}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $a$ och $n$ vara element av $\Natural$. Då $\NatfloorRootMACRoJ {n}{a}= \iteMACRoG {\mathrm{or} (\mathrm{Eq} (n , 0), \mathrm{Eq} (a , 0))}{0}{(\FinsuppProd {\operatorname{floorDiv} (\operatorname{factorization} (a), n)}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
@[simp] lemma factorization_floorRoot (n a : ℕ) :
(floorRoot n a).factorization = a.factorization ⌊/⌋ n :=
Dedukti
1 lines
Nat__factorization_floorRoot : (n : Elem Nat) -> (a : Elem Nat) -> Proof (Eqt (Finsupp Nat Nat) (Nat__factorization (Nat__floorRoot n a)) (FloorDiv__floorDiv (Nat__factorization a) n)).
English
Let $n$ and $a$ be natural numbers. Then the factorization of $\NatfloorRootMACRoJ {n}{a}$ is equal to the floor quotient of the factorization of $a$ and $n$.
French
Soient $n$ et $a$ des nombres naturels. Alors la factorisation de $\NatfloorRootMACRoJ {n}{a}$ est égale au quotient de planchers de la factorisation de $a$ et $n$.
Czech
Nechť $n$ a $a$ je přirozené číslo. Tedy faktorizace $\NatfloorRootMACRoJ {n}{a}$ je rovná do podlahapodílu faktorizace $a$ a $n$.
German
Seien $n$ und $a$ natürliche Zahlen. Dann ist die Faktorisierung von $\NatfloorRootMACRoJ {n}{a}$ nach $\operatorname{floorDiv}$ angewandt auf die Faktorisierung von $a$ und $n$ gleich.
Swedish
Låt $n$ och $a$ vara naturliga tal. Då är faktoriseringen av $\NatfloorRootMACRoJ {n}{a}$ lika till $\operatorname{floorDiv}$ applicerat på faktoriseringen av $a$ och $n$.
lemma floorRoot_pow_dvd : floorRoot n a ^ n ∣ a := pow_dvd_iff_dvd_floorRoot.2 dvd_rfl
Dedukti
2 lines
def Nat__floorRoot_pow_dvd : (a : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> Proof (divide (pow (Nat__floorRoot n a) n) a) :=
a => n => iffEr (divide (pow (Nat__floorRoot n a) n) a) (divide (Nat__floorRoot n a) (Nat__floorRoot n a)) (Nat__pow_dvd_iff_dvd_floorRoot (Nat__floorRoot n a) a n) (dvd_rfl Nat (Nat__floorRoot n a)).
English
Let $a$ and $n$ be natural numbers. Then $(\NatfloorRootMACRoJ {n}{a})^ {n}$ divides $a$.
French
Soient $a$ et $n$ des nombres naturels. Alors $(\NatfloorRootMACRoJ {n}{a})^ {n}$ divise $a$.
Czech
Nechť $a$ a $n$ je přirozené číslo. Tedy $(\NatfloorRootMACRoJ {n}{a})^ {n}$ dělí $a$.
German
Seien $a$ und $n$ natürliche Zahlen. Dann teilt $(\NatfloorRootMACRoJ {n}{a})^ {n}$ $a$.
Swedish
Låt $a$ och $n$ vara naturliga tal. Då delar $(\NatfloorRootMACRoJ {n}{a})^ {n}$ $a$.
Formula
$a , n \in \Natural \vdash \divides {(\NatfloorRootMACRoQ {n}{a})^ {n}}{a}$
Proof
4 lines
1.
Let $a$ and $n$ be elements of $\Natural$.
2.
$\divides {(\NatfloorRootMACRoQ {n}{a})^ {n}}{a}$, if and only if $\divides {\NatfloorRootMACRoQ {n}{a}}{\NatfloorRootMACRoQ {n}{a}}$.
Ceiling root of a natural number. This divides the valuation of every prime number rounding up. Eg if n = 3, a = 2^4 * 3^2 * 5, then ceilRoot n a = 2^2 * 3 * 5. In order theory terms, this is the lower or left adjoint of the map a ↦ a ^ n : ℕ → ℕ where ℕ
is ordered by divisibility. To ensure that the adjunction (Nat.dvd_pow_iff_ceilRoot_dvd) holds in as many cases as possible,
we special-case the following values:
* ceilRoot 0 a = 0 (this one is not strictly necessary)
* ceilRoot n 0 = 0
Lean
def ceilRoot (n a : ℕ) : ℕ :=
if n = 0 ∨ a = 0 then 0 else a.factorization.prod fun p k ↦ p ^ ((k + n - 1) / n)
Dedukti
2 lines
def Nat__ceilRoot : (n : Elem Nat) -> (a : Elem Nat) -> Elem Nat :=
n => a => ite (or (Eq n 0) (Eq a 0)) 0 (Finsupp__prod (Nat__factorization a) (p => k => pow p (div (minus (plus k n) 1) n))).
English
Let $n$ and $a$ be elements of $\Natural$. Then $\NatceilRootMACRoK {n}{a}$ is an element of $\Natural$ defined as $\iteMACRoG {\mathrm{or} (\mathrm{Eq} (n , 0), \mathrm{Eq} (a , 0))}{0}{(\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (a)}{p}{k}{(p ^ {\frac{ k + n - 1}{n}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soient $n$ et $a$ des éléments de $\Natural$. Alors $\NatceilRootMACRoK {n}{a}$ est un élément de $\Natural$ défini comme $\iteMACRoG {\mathrm{or} (\mathrm{Eq} (n , 0), \mathrm{Eq} (a , 0))}{0}{(\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (a)}{p}{k}{(p ^ {\frac{ k + n - 1}{n}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $n$ a $a$ je prvek $\Natural$. Tedy $\NatceilRootMACRoK {n}{a}$ je prvek $\Natural$ definovaný jako $\iteMACRoG {\mathrm{or} (\mathrm{Eq} (n , 0), \mathrm{Eq} (a , 0))}{0}{(\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (a)}{p}{k}{(p ^ {\frac{ k + n - 1}{n}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
German
Seien $n$ und $a$ elemente von $\Natural$. Dann ist $\NatceilRootMACRoK {n}{a}$ ein Element von $\Natural$ definiert als $\iteMACRoG {\mathrm{or} (\mathrm{Eq} (n , 0), \mathrm{Eq} (a , 0))}{0}{(\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (a)}{p}{k}{(p ^ {\frac{ k + n - 1}{n}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $n$ och $a$ vara element av $\Natural$. Då är $\NatceilRootMACRoK {n}{a}$ ett element av $\Natural$ definierat som $\iteMACRoG {\mathrm{or} (\mathrm{Eq} (n , 0), \mathrm{Eq} (a , 0))}{0}{(\FinsuppProd {\operatorname{factorization} (a)}{p}{k}{(p ^ {\frac{ k + n - 1}{n}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
Formula
$n , a \in \Natural \vdash \NatceilRootMACRoR {n}{a}:= \iteMACRoI {\mathrm{or} (\mathrm{Eq} (n , 0), \mathrm{Eq} (a , 0))}{0}{(\FinsuppProd {\NatfactorizationMACRoK {a}}{p}{k}{(p ^ {\frac{ k + n - 1}{n}})})}\in \Natural$
The RHS is a noncomputable version of Nat.ceilRoot with better order-theoretic
properties.
Lean
lemma ceilRoot_def :
ceilRoot n a = if n = 0 ∨ a = 0 then 0 else (a.factorization ⌈/⌉ n).prod (· ^ ·) :=
Dedukti
1 lines
Nat__ceilRoot_def : (a : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> Proof (Eq (Nat__ceilRoot n a) (ite (or (Eq n 0) (Eq a 0)) 0 (Finsupp__prod (CeilDiv__ceilDiv (Nat__factorization a) n) (x => x1 => pow x x1)))).
English
Let $a$ and $n$ be elements of $\Natural$. Then $\NatceilRootMACRoK {n}{a}= \iteMACRoG {\mathrm{or} (\mathrm{Eq} (n , 0), \mathrm{Eq} (a , 0))}{0}{(\FinsuppProd {\operatorname{ceilDiv} (\operatorname{factorization} (a), n)}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
French
Soient $a$ et $n$ des éléments de $\Natural$. Alors $\NatceilRootMACRoK {n}{a}= \iteMACRoG {\mathrm{or} (\mathrm{Eq} (n , 0), \mathrm{Eq} (a , 0))}{0}{(\FinsuppProd {\operatorname{ceilDiv} (\operatorname{factorization} (a), n)}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
Nechť $a$ a $n$ je prvek $\Natural$. Tedy $\NatceilRootMACRoK {n}{a}= \iteMACRoG {\mathrm{or} (\mathrm{Eq} (n , 0), \mathrm{Eq} (a , 0))}{0}{(\FinsuppProd {\operatorname{ceilDiv} (\operatorname{factorization} (a), n)}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
German
Seien $a$ und $n$ elemente von $\Natural$. Dann $\NatceilRootMACRoK {n}{a}= \iteMACRoG {\mathrm{or} (\mathrm{Eq} (n , 0), \mathrm{Eq} (a , 0))}{0}{(\FinsuppProd {\operatorname{ceilDiv} (\operatorname{factorization} (a), n)}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
Låt $a$ och $n$ vara element av $\Natural$. Då $\NatceilRootMACRoK {n}{a}= \iteMACRoG {\mathrm{or} (\mathrm{Eq} (n , 0), \mathrm{Eq} (a , 0))}{0}{(\FinsuppProd {\operatorname{ceilDiv} (\operatorname{factorization} (a), n)}{x}{x_{1}}{(x ^ {x_{1}})})}$. (forced symbolic: no wording found)
@[simp] lemma factorization_ceilRoot (n a : ℕ) :
(ceilRoot n a).factorization = a.factorization ⌈/⌉ n :=
Dedukti
1 lines
Nat__factorization_ceilRoot : (n : Elem Nat) -> (a : Elem Nat) -> Proof (Eqt (Finsupp Nat Nat) (Nat__factorization (Nat__ceilRoot n a)) (CeilDiv__ceilDiv (Nat__factorization a) n)).
English
Let $n$ and $a$ be natural numbers. Then the factorization of $\NatceilRootMACRoK {n}{a}$ is equal to $\operatorname{ceilDiv}$ applied to the factorization of $a$ and $n$.
French
Soient $n$ et $a$ des nombres naturels. Alors la factorisation de $\NatceilRootMACRoK {n}{a}$ est égale à $\operatorname{ceilDiv}$ appliqué à la factorisation de $a$ et $n$.
Czech
Nechť $n$ a $a$ je přirozené číslo. Tedy faktorizace $\NatceilRootMACRoK {n}{a}$ je rovná do $\operatorname{ceilDiv}$ aplikovaný na faktorizaci $a$ a $n$.
German
Seien $n$ und $a$ natürliche Zahlen. Dann ist die Faktorisierung von $\NatceilRootMACRoK {n}{a}$ nach $\operatorname{ceilDiv}$ angewandt auf die Faktorisierung von $a$ und $n$ gleich.
Swedish
Låt $n$ och $a$ vara naturliga tal. Då är faktoriseringen av $\NatceilRootMACRoK {n}{a}$ lika till $\operatorname{ceilDiv}$ applicerat på faktoriseringen av $a$ och $n$.
Galois connection between ceilRoot n : ℕ → ℕ and a ↦ a ^ n : ℕ → ℕ where ℕ is ordered
by divisibility. Note that this cannot possibly hold for n = 0, regardless of the value of ceilRoot 0 a, because
the statement reduces to a = 1 ↔ ceilRoot 0 a ∣ b, which is false for e.g. a = 0,
b = ceilRoot 0 a.
Lean
lemma dvd_pow_iff_ceilRoot_dvd (hn : n ≠ 0) : a ∣ b ^ n ↔ ceilRoot n a ∣ b :=
Dedukti
1 lines
Nat__dvd_pow_iff_ceilRoot_dvd : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (hn : Proof (Neq n 0)) -> Proof (iff (divide a (pow b n)) (divide (Nat__ceilRoot n a) b)).
English
Let $a$, $b$ and $n$ be natural numbers such that $n \neq 0$. Then $a$ divides $b ^ {n}$, if and only if $\NatceilRootMACRoK {n}{a}$ divides $b$.
French
Soient $a$, $b$ et $n$ des nombres naturels tels que $n \neq 0$. Alors $a$ divise $b ^ {n}$ si et seulement si $\NatceilRootMACRoK {n}{a}$ divise $b$.
Czech
Nechť $a$, $b$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $n \neq 0$. Tedy $a$ dělí $b ^ {n}$, právě tehdy, když $\NatceilRootMACRoK {n}{a}$ dělí $b$.
German
Seien $a$, $b$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $n \neq 0$. Dann teilt $a$ $b ^ {n}$, genau dann, wenn $\NatceilRootMACRoK {n}{a}$ $b$ teilt.
Swedish
Låt $a$, $b$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $n \neq 0$. Då delar $a$ $b ^ {n}$, om och endast om $\NatceilRootMACRoK {n}{a}$ delar $b$.
Formula
$a , b , n \in \Natural , n \neq 0 \vdash \divides {a}{b ^ {n}}\leftrightarrow \divides {\NatceilRootMACRoR {n}{a}}{b}$
lemma dvd_ceilRoot_pow (hn : n ≠ 0) : a ∣ ceilRoot n a ^ n :=
(dvd_pow_iff_ceilRoot_dvd hn).2 dvd_rfl
Dedukti
2 lines
def Nat__dvd_ceilRoot_pow : (a : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (hn : Proof (Neq n 0)) -> Proof (divide a (pow (Nat__ceilRoot n a) n)) :=
a => n => hn => iffEr (divide a (pow (Nat__ceilRoot n a) n)) (divide (Nat__ceilRoot n a) (Nat__ceilRoot n a)) (Nat__dvd_pow_iff_ceilRoot_dvd a (Nat__ceilRoot n a) n hn) (dvd_rfl Nat (Nat__ceilRoot n a)).
English
Let $a$ and $n$ be natural numbers such that $n \neq 0$. Then $a$ divides $(\NatceilRootMACRoK {n}{a})^ {n}$.
French
Soient $a$ et $n$ des nombres naturels tels que $n \neq 0$. Alors $a$ divise $(\NatceilRootMACRoK {n}{a})^ {n}$.
Czech
Nechť $a$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $n \neq 0$. Tedy $a$ dělí $(\NatceilRootMACRoK {n}{a})^ {n}$.
German
Seien $a$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $n \neq 0$. Dann teilt $a$ $(\NatceilRootMACRoK {n}{a})^ {n}$.
Swedish
Låt $a$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $n \neq 0$. Då delar $a$ $(\NatceilRootMACRoK {n}{a})^ {n}$.
Formula
$a , n \in \Natural , n \neq 0 \vdash \divides {a}{(\NatceilRootMACRoR {n}{a})^ {n}}$
Proof
5 lines
1.
Let $a$ and $n$ be elements of $\Natural$.
2.
Assume that $n \neq 0$.
3.
$\divides {a}{(\NatceilRootMACRoR {n}{a})^ {n}}$, if and only if $\divides {\NatceilRootMACRoR {n}{a}}{\NatceilRootMACRoR {n}{a}}$.