Mathlib.Order.Defs

Statements of Mathlib (commit c31114ff81), each with its Lean source, its translation to Dedukti by Export.lean, and its informalization by Informath, in English, as a formula, and in French, Czech, German and Swedish, which the buttons at each entry show there, and the check boxes above the entries everywhere. The Dedukti translation drops implicit and instance arguments and maps Lean's arithmetic and logic to Informath's base (mapping.tsv); the other Mathlib constants are worded by the symbol table mathlib.dkgf, whose English wordings Informath also renders in the other languages. Constants without a wording appear as $\mathrm{name}$.

modulestatementsfully worded, EnglishFrenchCzechGermanSwedish
Mathlib.Order.Defs.Prop211111
Mathlib.Order.Defs.Unbundled1037371716971
Mathlib.Order.Defs.PartialOrder655858585858
Mathlib.Order.Defs.LinearOrder785656565256
Mathlib.Order.Defs.Lattice10610310310368103
Show also:

Mathlib.Order.Defs.Prop source

Pi.le_deftheoremProp.lean:22
Lean
@[to_dual self]
theorem Pi.le_def {ι : Type*} {π : ι → Type*} [∀ i, LE (π i)] {x y : ∀ i, π i} :
    x ≤ y ↔ ∀ i, x i ≤ y i :=
  .rfl
Dedukti
2 lines
def Pi__le_def : (x : Set) -> (x1 : (Elem x -> Set)) -> (_ : Proof ((i3 : Elem x) -> LE (x1 i3))) -> (x3 : ((i2 : Elem x) -> x1 i2)) -> (y : ((i1 : Elem x) -> x1 i1)) -> Proof (iff (Leq x3 y) (forall x (i => Leq (x3 i) (y i)))) :=
  x => x1 => x2 => x3 => y => Iff__rfl (Leq x3 y).
English
Let $x$ be a set. Let $x_{1}$ be a function from elements of $x$ to sets such that for all elements $i_{3}$ of $x$, $x_{1}$ applied to $i_{3}$ is ordered. Let $x_{3}$ be a function from elements $i_{2}$ of $x$ to elements of $x_{1}$ applied to $i_{2}$. Let $y$ be a function from elements $i_{1}$ of $x$ to elements of $x_{1}$ applied to $i_{1}$. Then $x_{3} \leq y$, if and only if for all elements $i$ of $x$, $x_{3} (i)\leq y (i)$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $x_{1}$ une fonction des éléments de $x$ à des ensembles telle que pour tous les éléments $i_{3}$ de $x$, $x_{1}$ appliqué à $i_{3}$ soit ordonné. Soit $x_{3}$ une fonction des éléments $i_{2}$ de $x$ à des éléments de $x_{1}$ appliqué à $i_{2}$. Soit $y$ une fonction des éléments $i_{1}$ de $x$ à des éléments de $x_{1}$ appliqué à $i_{1}$. Alors $x_{3} \leq y$ si et seulement si pour tous les éléments $i$ de $x$, $x_{3} (i)\leq y (i)$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $x_{1}$ je funkce z prvků $x$ do množin taková, že pro všechny prvky $i_{3}$ $x$, $x_{1}$ aplikovaný na $i_{3}$ je uspořádané. Nechť $x_{3}$ je funkce z prvků $i_{2}$ $x$ do prvků $x_{1}$ aplikovaný na $i_{2}$. Nechť $y$ je funkce z prvků $i_{1}$ $x$ do prvků $x_{1}$ aplikovaný na $i_{1}$. Tedy $x_{3} \leq y$, právě tehdy, když pro všechny prvky $i$ $x$, $x_{3} (i)\leq y (i)$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $x_{1}$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Mengen derart, dass für alle Elemente $i_{3}$ von $x$, $x_{1}$ angewandt auf $i_{3}$ geordnet ist. Sei $x_{3}$ eine Funktion aus Elementen $i_{2}$ von $x$ nach Elementen von $x_{1}$ angewandt auf $i_{2}$. Sei $y$ eine Funktion aus Elementen $i_{1}$ von $x$ nach Elementen von $x_{1}$ angewandt auf $i_{1}$. Dann $x_{3} \leq y$, genau dann, wenn für alle Elemente $i$ von $x$, $x_{3} (i)\leq y (i)$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $x_{1}$ vara en funktion från element av $x$ till mängder sådan att för alla element $i_{3}$ av $x$, är $x_{1}$ applicerat på $i_{3}$ ordnat. Låt $x_{3}$ vara en funktion från element $i_{2}$ av $x$ till element av $x_{1}$ applicerat på $i_{2}$. Låt $y$ vara en funktion från element $i_{1}$ av $x$ till element av $x_{1}$ applicerat på $i_{1}$. Då $x_{3} \leq y$, om och endast om för alla element $i$ av $x$, $x_{3} (i)\leq y (i)$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , x_{1} \in x \rightarrow \mathrm{Set} , \forall i_{3} \in x . \mathrm{LE} (x_{1} (i_{3})), x_{3} \in x \rightarrow x_{1} (i_{2}), y \in x \rightarrow x_{1} (i_{1})\vdash x_{3} \leq y \leftrightarrow (\forall i \in x . x_{3} (i)\leq y (i))$
Proof
1 lines
1.$x_{3} \leq y$, if and only if $x_{3} \leq y$.Iff.rfl
Proof, French
1 lines
1.$x_{3} \leq y$ si et seulement si $x_{3} \leq y$.Iff.rfl
Proof, Czech
1 lines
1.$x_{3} \leq y$, právě tehdy, když $x_{3} \leq y$.Iff.rfl
Proof, German
1 lines
1.$x_{3} \leq y$, genau dann, wenn $x_{3} \leq y$.Iff.rfl
Proof, Swedish
1 lines
1.$x_{3} \leq y$, om och endast om $x_{3} \leq y$.Iff.rfl
le_Prop_eqtheoremProp.lean:31
Lean
@[simp]
theorem le_Prop_eq : ((· ≤ ·) : Prop → Prop → Prop) = (· → ·) :=
  rfl
Dedukti
2 lines
def le_Prop_eq : Proof (Eqt (Prop -> Prop -> Prop) (x2 => x3 => Leq x2 x3) (x4 => x5 => if x4 x5)) :=
  rfl.
English
$\EqtMACRoH {\lambda x_{2} . \lambda x_{3} . \mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})}{\lambda x_{4} . \lambda x_{5} . \mathrm{if} (x_{4} , x_{5})}$.
French
$\EqtMACRoH {\lambda x_{2} . \lambda x_{3} . \mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})}{\lambda x_{4} . \lambda x_{5} . \mathrm{if} (x_{4} , x_{5})}$.
Czech
$\EqtMACRoH {\lambda x_{2} . \lambda x_{3} . \mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})}{\lambda x_{4} . \lambda x_{5} . \mathrm{if} (x_{4} , x_{5})}$.
German
$\EqtMACRoH {\lambda x_{2} . \lambda x_{3} . \mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})}{\lambda x_{4} . \lambda x_{5} . \mathrm{if} (x_{4} , x_{5})}$.
Swedish
$\EqtMACRoH {\lambda x_{2} . \lambda x_{3} . \mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})}{\lambda x_{4} . \lambda x_{5} . \mathrm{if} (x_{4} , x_{5})}$.
Formula
$\EqtMACRoJ {\lambda x_{2} . \lambda x_{3} . \mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})}{\lambda x_{4} . \lambda x_{5} . \mathrm{if} (x_{4} , x_{5})}$
Proof
1 lines
1.For all sets $x$ and elements $a$ of $x$, $\EqtMACRoJ {a}{a}$.rfl
Proof, French
1 lines
1.Pour tous les ensembles $x$ et les éléments $a$ de $x$, $\EqtMACRoJ {a}{a}$.rfl
Proof, Czech
1 lines
1.Pro všechny množiny $x$ a prvky $a$ $x$, $\EqtMACRoJ {a}{a}$.rfl
Proof, German
1 lines
1.Für alle Mengen $x$ und Elemente $a$ von $x$, $\EqtMACRoJ {a}{a}$.rfl
Proof, Swedish
1 lines
1.För alla mängder $x$ och element $a$ av $x$, $\EqtMACRoJ {a}{a}$.rfl

Mathlib.Order.Defs.Unbundled source

IsTransinductiveUnbundled.lean:24
IsTrans X r means the binary relation r on X is transitive.
Lean
class IsTrans (α : Sort*) (r : α → α → Prop) : Prop where
Dedukti
1 lines
IsTrans : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> Prop.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Then we can say that $r$ is transitive.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Alors nous pouvons dire que $r$ est transitif.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Tedy můžeme říkat, že $r$ je tranzitivní.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann können wir sagen, dass $r$ transitiv ist.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Då kan vi säga att $r$ är transitivt.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} \vdash \mathrm{IsTrans} (x , r)\ \mathsf{prop}$
IsTrans.mkconstructorUnbundled.lean:24
Lean
class IsTrans (α : Sort*) (r : α → α → Prop) : Prop where
Dedukti
1 lines
IsTrans__mk : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (trans : Proof (forall x (a => forall x (b => forall x (c => if (r a b) (if (r b c) (r a c))))))) -> Proof (IsTrans x r).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions such that for all elements $a$, $b$ and $c$ of $x$, if $r$ holds for $a$ and $b$, then if $r$ holds for $b$ and $c$, then $r$ holds for $a$ and $c$. Then $r$ is transitive.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions telle que pour tous les éléments $a$, $b$ et $c$ de $x$, si $r$ tient pour $a$ et $b$, alors si $r$ tient pour $b$ et $c$, alors $r$ tienne pour $a$ et $c$. Alors $r$ est transitif.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků taková, že pro všechny prvky $a$, $b$ a $c$ $x$, jestliže $r$ platí pro $a$ a $b$, pak jestliže $r$ platí pro $b$ a $c$, pak $r$ platí pro $a$ a $c$. Tedy $r$ je tranzitivní.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass für alle Elemente $a$, $b$ und $c$ von $x$, wenn $r$ für $a$ und $b$ hält, dann wenn $r$ für $b$ und $c$ hält, dann $r$ für $a$ und $c$ hält. Dann ist $r$ transitiv.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden sådan att för alla element $a$, $b$ och $c$ av $x$, om $r$ håller för $a$ och $b$, så om $r$ håller för $b$ och $c$, så håller $r$ för $a$ och $c$. Då är $r$ transitivt.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \forall a \in x . \forall b \in x . \forall c \in x . r (a , b)\rightarrow r (b , c)\rightarrow r (a , c)\vdash \mathrm{IsTrans} (x , r)$
IsTrans.transtheoremUnbundled.lean:25
Lean
  trans : ∀ a b c, r a b → r b c → r a c
Dedukti
1 lines
IsTrans__trans : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (IsTrans x r)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (r a b)) -> (h1 : Proof (r b c)) -> Proof (r a c).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a transitive function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $r$ holds for $a$ and $b$ and $r$ holds for $b$ and $c$. Then $r$ holds for $a$ and $c$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions transitive. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $r$ tienne pour $a$ et $b$ et $r$ tienne pour $b$ et $c$. Alors $r$ tient pour $a$ et $c$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je tranzitivní funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $r$ platí pro $a$ a $b$ a $r$ platí pro $b$ a $c$. Tedy $r$ platí pro $a$ a $c$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine transitive Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $r$ für $a$ und $b$ hält und $r$ für $b$ und $c$ hält. Dann hält $r$ für $a$ und $c$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en transitiv funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $r$ håller för $a$ och $b$ och $r$ håller för $b$ och $c$. Då håller $r$ för $a$ och $c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \mathrm{IsTrans} (x , r), a , b , c \in x , r (a , b), r (b , c)\vdash r (a , c)$
IsPreorderinductiveUnbundled.lean:35
IsPreorder X r means that the binary relation r on X is a pre-order, that is, reflexive and transitive.
Lean
class IsPreorder (α : Sort*) (r : α → α → Prop) : Prop extends Std.Refl r, IsTrans α r
Dedukti
1 lines
IsPreorder : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> Prop.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Then we can say that $r$ is a preorder.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Alors nous pouvons dire que $r$ est un préordre.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Tedy můžeme říkat, že $r$ je předuspořádání.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann können wir sagen, dass $r$ eine Präordnung ist.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Då kan vi säga att $r$ är en kvasiordning.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} \vdash \mathrm{IsPreorder} (x , r)\ \mathsf{prop}$
IsPreorder.mkconstructorUnbundled.lean:35
Lean
class IsPreorder (α : Sort*) (r : α → α → Prop) : Prop extends Std.Refl r, IsTrans α r
Dedukti
1 lines
IsPreorder__mk : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Refl r)) -> (_ : Proof (IsTrans x r)) -> Proof (IsPreorder x r).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions such that $r$ is reflexive and transitive. Then $r$ is a preorder.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions telle que $r$ soit réflexif et transitif. Alors $r$ est un préordre.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků taková, že $r$ je reflexivní a tranzitivní. Tedy $r$ je předuspořádání.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass $r$ reflexiv und transitiv ist. Dann ist $r$ eine Präordnung.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden sådan att $r$ är reflexivt och transitivt. Då är $r$ en kvasiordning.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Refl} (r), \mathrm{IsTrans} (x , r)\vdash \mathrm{IsPreorder} (x , r)$
IsPartialOrderinductiveUnbundled.lean:39
IsPartialOrder X r means that the binary relation r on X is a partial order, that is, IsPreorder X r and Std.Antisymm r.
Lean
class IsPartialOrder (α : Sort*) (r : α → α → Prop) : Prop extends IsPreorder α r, Std.Antisymm r
Dedukti
1 lines
IsPartialOrder : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> Prop.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Then we can say that $r$ is a partial order.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Alors nous pouvons dire que $r$ est un ordre partiel.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Tedy můžeme říkat, že $r$ je částečný řád.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann können wir sagen, dass $r$ eine partielle Ordnung ist.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Då kan vi säga att $r$ är en partiell ordning.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} \vdash \mathrm{IsPartialOrder} (x , r)\ \mathsf{prop}$
IsPartialOrder.mkconstructorUnbundled.lean:39
Lean
class IsPartialOrder (α : Sort*) (r : α → α → Prop) : Prop extends IsPreorder α r, Std.Antisymm r
Dedukti
1 lines
IsPartialOrder__mk : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (IsPreorder x r)) -> (_ : Proof (Std__Antisymm r)) -> Proof (IsPartialOrder x r).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions such that $r$ is a preorder and $r$ is antisymmetric. Then $r$ is a partial order.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions telle que $r$ soit un préordre et $r$ soit antisymétrique. Alors $r$ est un ordre partiel.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků taková, že $r$ je předuspořádání a $r$ je antisymetrické. Tedy $r$ je částečný řád.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass $r$ eine Präordnung ist und $r$ antisymmetrisch ist. Dann ist $r$ eine partielle Ordnung.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden sådan att $r$ är en kvasiordning och $r$ är antisymmetriskt. Då är $r$ en partiell ordning.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \mathrm{IsPreorder} (x , r), \operatorname{Antisymm} (r)\vdash \mathrm{IsPartialOrder} (x , r)$
IsLinearOrderinductiveUnbundled.lean:43
IsLinearOrder X r means that the binary relation r on X is a linear order, that is, IsPartialOrder X r and Std.Total r.
Lean
class IsLinearOrder (α : Sort*) (r : α → α → Prop) : Prop extends IsPartialOrder α r, Std.Total r
Dedukti
1 lines
IsLinearOrder : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> Prop.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Then we can say that $r$ is a linear order.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Alors nous pouvons dire que $r$ est un ordre linéaire.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Tedy můžeme říkat, že $r$ je lineární řád.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann können wir sagen, dass $r$ eine lineare Ordnung ist.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Då kan vi säga att $r$ är en linjär ordning.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} \vdash \mathrm{IsLinearOrder} (x , r)\ \mathsf{prop}$
IsLinearOrder.mkconstructorUnbundled.lean:43
Lean
class IsLinearOrder (α : Sort*) (r : α → α → Prop) : Prop extends IsPartialOrder α r, Std.Total r
Dedukti
1 lines
IsLinearOrder__mk : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (IsPartialOrder x r)) -> (_ : Proof (Std__Total r)) -> Proof (IsLinearOrder x r).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions such that $r$ is a partial order and $r$ is total. Then $r$ is a linear order.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions telle que $r$ soit un ordre partiel et $r$ soit total. Alors $r$ est un ordre linéaire.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků taková, že $r$ je částečný řád a $r$ je úplné. Tedy $r$ je lineární řád.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass $r$ eine partielle Ordnung ist und $r$ total ist. Dann ist $r$ eine lineare Ordnung.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden sådan att $r$ är en partiell ordning och $r$ är totalt. Då är $r$ en linjär ordning.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \mathrm{IsPartialOrder} (x , r), \operatorname{Total} (r)\vdash \mathrm{IsLinearOrder} (x , r)$
IsEquivinductiveUnbundled.lean:47
IsEquiv X r means that the binary relation r on X is an equivalence relation, that is, IsPreorder X r and Std.Symm r.
Lean
class IsEquiv (α : Sort*) (r : α → α → Prop) : Prop extends IsPreorder α r, Std.Symm r
Dedukti
1 lines
IsEquiv : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> Prop.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Then we can say that $r$ is an equivalence relation.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Alors nous pouvons dire que $r$ est une relation d'équivalences.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Tedy můžeme říkat, že $r$ je ekvivalencerelace.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann können wir sagen, dass $r$ eine ÄquivalenzRelation ist.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Då kan vi säga att $r$ är en ekvivalensrelation.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} \vdash \mathrm{IsEquiv} (x , r)\ \mathsf{prop}$
IsEquiv.mkconstructorUnbundled.lean:47
Lean
class IsEquiv (α : Sort*) (r : α → α → Prop) : Prop extends IsPreorder α r, Std.Symm r
Dedukti
1 lines
IsEquiv__mk : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (IsPreorder x r)) -> (_ : Proof (Std__Symm r)) -> Proof (IsEquiv x r).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions such that $r$ is a preorder and $r$ is symmetric. Then $r$ is an equivalence relation.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions telle que $r$ soit un préordre et $r$ soit symétrique. Alors $r$ est une relation d'équivalences.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků taková, že $r$ je předuspořádání a $r$ je symetrické. Tedy $r$ je ekvivalencerelace.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass $r$ eine Präordnung ist und $r$ symmetrisch ist. Dann ist $r$ eine ÄquivalenzRelation.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden sådan att $r$ är en kvasiordning och $r$ är symmetriskt. Då är $r$ en ekvivalensrelation.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \mathrm{IsPreorder} (x , r), \operatorname{Symm} (r)\vdash \mathrm{IsEquiv} (x , r)$
IsStrictOrderinductiveUnbundled.lean:51
IsStrictOrder X r means that the binary relation r on X is a strict order, that is, Std.Irrefl r and IsTrans X r.
Lean
class IsStrictOrder (α : Sort*) (r : α → α → Prop) : Prop extends Std.Irrefl r, IsTrans α r
Dedukti
1 lines
IsStrictOrder : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> Prop.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Then we can say that $r$ is a strict order.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Alors nous pouvons dire que $r$ est un ordre strict.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Tedy můžeme říkat, že $r$ je striktní řád.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann können wir sagen, dass $r$ eine strenge Ordnung ist.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Då kan vi säga att $r$ är en strikt ordning.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} \vdash \mathrm{IsStrictOrder} (x , r)\ \mathsf{prop}$
IsStrictOrder.mkconstructorUnbundled.lean:51
Lean
class IsStrictOrder (α : Sort*) (r : α → α → Prop) : Prop extends Std.Irrefl r, IsTrans α r
Dedukti
1 lines
IsStrictOrder__mk : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Irrefl r)) -> (_ : Proof (IsTrans x r)) -> Proof (IsStrictOrder x r).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions such that $r$ is irreflexive and transitive. Then $r$ is a strict order.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions telle que $r$ soit irréflexif et transitif. Alors $r$ est un ordre strict.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků taková, že $r$ je ireflexivní a tranzitivní. Tedy $r$ je striktní řád.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass $r$ irreflexiv und transitiv ist. Dann ist $r$ eine strenge Ordnung.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden sådan att $r$ är irreflexivt och transitivt. Då är $r$ en strikt ordning.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Irrefl} (r), \mathrm{IsTrans} (x , r)\vdash \mathrm{IsStrictOrder} (x , r)$
IsStrictWeakOrderinductiveUnbundled.lean:55
IsStrictWeakOrder X lt means that the binary relation lt on X is a strict weak order, that is, IsStrictOrder X lt and ¬lt a b ∧ ¬lt b a → ¬lt b c ∧ ¬lt c b → ¬lt a c ∧ ¬lt c a.
Lean
class IsStrictWeakOrder (α : Sort*) (lt : α → α → Prop) : Prop extends IsStrictOrder α lt where
Dedukti
1 lines
IsStrictWeakOrder : (x : Set) -> (lt : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> Prop.
English
Let $x$ be a set. Let $\mathrm{lt}$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Then we can say that $\mathrm{lt}$ is a strict weak order.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $\mathrm{lt}$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Alors nous pouvons dire que $\mathrm{lt}$ est un ordre faible strict.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $\mathrm{lt}$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Tedy můžeme říkat, že $\mathrm{lt}$ je striktní slabý řád.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $\mathrm{lt}$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann können wir sagen, dass $\mathrm{lt}$ eine strenge schwache Ordnung ist.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $\mathrm{lt}$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Då kan vi säga att $\mathrm{lt}$ är en strikt svag ordning.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{lt} \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} \vdash \mathrm{IsStrictWeakOrder} (x , \mathrm{lt})\ \mathsf{prop}$
IsStrictWeakOrder.mkconstructorUnbundled.lean:55
Lean
class IsStrictWeakOrder (α : Sort*) (lt : α → α → Prop) : Prop extends IsStrictOrder α lt where
Dedukti
1 lines
IsStrictWeakOrder__mk : (x : Set) -> (lt : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (IsStrictOrder x lt)) -> (incomp_trans : Proof (forall x (a => forall x (b => forall x (c => if (and (not (lt a b)) (not (lt b a))) (if (and (not (lt b c)) (not (lt c b))) (and (not (lt a c)) (not (lt c a))))))))) -> Proof (IsStrictWeakOrder x lt).
English
Let $x$ be a set. Let $\mathrm{lt}$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions such that $\mathrm{lt}$ is a strict order and for all elements $a$ of $x$, for all elements $b$ of $x$, for all elements $c$ of $x$, if it is not the case that $\mathrm{lt}$ holds for $a$ and $b$ and it is not the case that $\mathrm{lt}$ holds for $b$ and $a$, then if it is not the case that $\mathrm{lt}$ holds for $b$ and $c$ and it is not the case that $\mathrm{lt}$ holds for $c$ and $b$, then it is not the case that $\mathrm{lt}$ holds for $a$ and $c$ and it is not the case that $\mathrm{lt}$ holds for $c$ and $a$. Then $\mathrm{lt}$ is a strict weak order.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $\mathrm{lt}$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions telle que $\mathrm{lt}$ soit un ordre strict et pour tous des éléments $a$ de $x$, pour tous des éléments $b$ de $x$, pour tous des éléments $c$ de $x$, s'il n'est pas le cas que $\mathrm{lt}$ tienne pour $a$ et $b$ et il n'est pas le cas que $\mathrm{lt}$ tienne pour $b$ et $a$, alors s'il n'est pas le cas que $\mathrm{lt}$ tienne pour $b$ et $c$ et il n'est pas le cas que $\mathrm{lt}$ tienne pour $c$ et $b$, alors il ne soit pas le cas que $\mathrm{lt}$ tienne pour $a$ et $c$ et il ne soit pas le cas que $\mathrm{lt}$ tienne pour $c$ et $a$. Alors $\mathrm{lt}$ est un ordre faible strict.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $\mathrm{lt}$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků taková, že $\mathrm{lt}$ je striktní řád a pro všechny prvky $a$ $x$, pro všechny prvky $b$ $x$, pro všechny prvky $c$ $x$, jestliže není případ že $\mathrm{lt}$ platí pro $a$ a $b$ a není případ že $\mathrm{lt}$ platí pro $b$ a $a$, pak jestliže není případ že $\mathrm{lt}$ platí pro $b$ a $c$ a není případ že $\mathrm{lt}$ platí pro $c$ a $b$, pak není případ že $\mathrm{lt}$ platí pro $a$ a $c$ a není případ že $\mathrm{lt}$ platí pro $c$ a $a$. Tedy $\mathrm{lt}$ je striktní slabý řád.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $\mathrm{lt}$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass $\mathrm{lt}$ eine strenge Ordnung ist und für alle Elemente $a$ von $x$, für alle Elemente $b$ von $x$, für alle Elemente $c$ von $x$, wenn es nicht der Fall dass $\mathrm{lt}$ für $a$ und $b$ hält ist und es nicht der Fall dass $\mathrm{lt}$ für $b$ und $a$ hält ist, dann wenn es nicht der Fall dass $\mathrm{lt}$ für $b$ und $c$ hält ist und es nicht der Fall dass $\mathrm{lt}$ für $c$ und $b$ hält ist, dann es nicht der Fall dass $\mathrm{lt}$ für $a$ und $c$ hält ist und es nicht der Fall dass $\mathrm{lt}$ für $c$ und $a$ hält ist. Dann ist $\mathrm{lt}$ eine strenge schwache Ordnung.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $\mathrm{lt}$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden sådan att $\mathrm{lt}$ är en strikt ordning och för alla element $a$ av $x$, för alla element $b$ av $x$, för alla element $c$ av $x$, om det inte är fallet att $\mathrm{lt}$ håller för $a$ och $b$ och det inte är fallet att $\mathrm{lt}$ håller för $b$ och $a$, så om det inte är fallet att $\mathrm{lt}$ håller för $b$ och $c$ och det inte är fallet att $\mathrm{lt}$ håller för $c$ och $b$, så är det inte fallet att $\mathrm{lt}$ håller för $a$ och $c$ och det är inte fallet att $\mathrm{lt}$ håller för $c$ och $a$. Då är $\mathrm{lt}$ en strikt svag ordning.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{lt} \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \mathrm{IsStrictOrder} (x , \mathrm{lt}), \forall a \in x . \forall b \in x . \forall c \in x . \neg \mathrm{lt} (a , b)\wedge \neg \mathrm{lt} (b , a)\rightarrow \neg \mathrm{lt} (b , c)\wedge \neg \mathrm{lt} (c , b)\rightarrow \neg \mathrm{lt} (a , c)\wedge \neg \mathrm{lt} (c , a)\vdash \mathrm{IsStrictWeakOrder} (x , \mathrm{lt})$
IsStrictWeakOrder.incomp_transtheoremUnbundled.lean:56
Lean
  incomp_trans : ∀ a b c, ¬lt a b ∧ ¬lt b a → ¬lt b c ∧ ¬lt c b → ¬lt a c ∧ ¬lt c a
Dedukti
1 lines
IsStrictWeakOrder__incomp_trans : (x : Set) -> (lt : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (IsStrictWeakOrder x lt)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (and (not (lt a b)) (not (lt b a)))) -> (h1 : Proof (and (not (lt b c)) (not (lt c b)))) -> Proof (and (not (lt a c)) (not (lt c a))).
English
Let $x$ be a set. Let $\mathrm{lt}$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions such that $\mathrm{lt}$ is a strict weak order. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that it is not the case that $\mathrm{lt}$ holds for $a$ and $b$ and it is not the case that $\mathrm{lt}$ holds for $b$ and $a$ and it is not the case that $\mathrm{lt}$ holds for $b$ and $c$ and it is not the case that $\mathrm{lt}$ holds for $c$ and $b$. Then it is not the case that $\mathrm{lt}$ holds for $a$ and $c$ and it is not the case that $\mathrm{lt}$ holds for $c$ and $a$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $\mathrm{lt}$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions telle que $\mathrm{lt}$ soit un ordre faible strict. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels qu'il ne soit pas le cas que $\mathrm{lt}$ tienne pour $a$ et $b$ et il ne soit pas le cas que $\mathrm{lt}$ tienne pour $b$ et $a$ et il ne soit pas le cas que $\mathrm{lt}$ tienne pour $b$ et $c$ et il ne soit pas le cas que $\mathrm{lt}$ tienne pour $c$ et $b$. Alors il n'est pas le cas que $\mathrm{lt}$ tienne pour $a$ et $c$ et il n'est pas le cas que $\mathrm{lt}$ tienne pour $c$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $\mathrm{lt}$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků taková, že $\mathrm{lt}$ je striktní slabý řád. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že není případ že $\mathrm{lt}$ platí pro $a$ a $b$ a není případ že $\mathrm{lt}$ platí pro $b$ a $a$ a není případ že $\mathrm{lt}$ platí pro $b$ a $c$ a není případ že $\mathrm{lt}$ platí pro $c$ a $b$. Tedy není případ že $\mathrm{lt}$ platí pro $a$ a $c$ a není případ že $\mathrm{lt}$ platí pro $c$ a $a$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $\mathrm{lt}$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass $\mathrm{lt}$ eine strenge schwache Ordnung ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass es nicht der Fall dass $\mathrm{lt}$ für $a$ und $b$ hält ist und es nicht der Fall dass $\mathrm{lt}$ für $b$ und $a$ hält ist und es nicht der Fall dass $\mathrm{lt}$ für $b$ und $c$ hält ist und es nicht der Fall dass $\mathrm{lt}$ für $c$ und $b$ hält ist. Dann ist es nicht der Fall dass $\mathrm{lt}$ für $a$ und $c$ hält und es ist nicht der Fall dass $\mathrm{lt}$ für $c$ und $a$ hält.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $\mathrm{lt}$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden sådan att $\mathrm{lt}$ är en strikt svag ordning. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att det inte är fallet att $\mathrm{lt}$ håller för $a$ och $b$ och det inte är fallet att $\mathrm{lt}$ håller för $b$ och $a$ och det inte är fallet att $\mathrm{lt}$ håller för $b$ och $c$ och det inte är fallet att $\mathrm{lt}$ håller för $c$ och $b$. Då är det inte fallet att $\mathrm{lt}$ håller för $a$ och $c$ och det är inte fallet att $\mathrm{lt}$ håller för $c$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{lt} \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \mathrm{IsStrictWeakOrder} (x , \mathrm{lt}), a , b , c \in x , \neg \mathrm{lt} (a , b)\wedge \neg \mathrm{lt} (b , a), \neg \mathrm{lt} (b , c)\wedge \neg \mathrm{lt} (c , b)\vdash \neg \mathrm{lt} (a , c)\wedge \neg \mathrm{lt} (c , a)$
IsStrictTotalOrderinductiveUnbundled.lean:60
IsStrictTotalOrder X lt means that the binary relation lt on X is a strict total order, that is, Std.Trichotomous lt and IsStrictOrder X lt.
Lean
class IsStrictTotalOrder (α : Sort*) (lt : α → α → Prop) : Prop
    extends Std.Trichotomous lt, IsStrictOrder α lt
Dedukti
1 lines
IsStrictTotalOrder : (x : Set) -> (lt : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> Prop.
English
Let $x$ be a set. Let $\mathrm{lt}$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Then we can say that $\mathrm{lt}$ is a strict total order.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $\mathrm{lt}$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Alors nous pouvons dire que $\mathrm{lt}$ est un ordre total strict.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $\mathrm{lt}$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Tedy můžeme říkat, že $\mathrm{lt}$ je striktní úplný řád.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $\mathrm{lt}$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann können wir sagen, dass $\mathrm{lt}$ eine strenge totale Ordnung ist.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $\mathrm{lt}$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Då kan vi säga att $\mathrm{lt}$ är en strikt total ordning.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{lt} \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} \vdash \mathrm{IsStrictTotalOrder} (x , \mathrm{lt})\ \mathsf{prop}$
IsStrictTotalOrder.mkconstructorUnbundled.lean:60
Lean
class IsStrictTotalOrder (α : Sort*) (lt : α → α → Prop) : Prop
Dedukti
1 lines
IsStrictTotalOrder__mk : (x : Set) -> (lt : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Trichotomous lt)) -> (_ : Proof (IsStrictOrder x lt)) -> Proof (IsStrictTotalOrder x lt).
English
Let $x$ be a set. Let $\mathrm{lt}$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions such that $\mathrm{lt}$ is trichotomous and $\mathrm{lt}$ is a strict order. Then $\mathrm{lt}$ is a strict total order.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $\mathrm{lt}$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions telle que $\mathrm{lt}$ soit trichotome et $\mathrm{lt}$ soit un ordre strict. Alors $\mathrm{lt}$ est un ordre total strict.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $\mathrm{lt}$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků taková, že $\mathrm{lt}$ je trichotomické a $\mathrm{lt}$ je striktní řád. Tedy $\mathrm{lt}$ je striktní úplný řád.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $\mathrm{lt}$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass $\mathrm{lt}$ trichotom ist und $\mathrm{lt}$ eine strenge Ordnung ist. Dann ist $\mathrm{lt}$ eine strenge totale Ordnung.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $\mathrm{lt}$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden sådan att $\mathrm{lt}$ är trikotomt och $\mathrm{lt}$ är en strikt ordning. Då är $\mathrm{lt}$ en strikt total ordning.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{lt} \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Trichotomous} (\mathrm{lt}), \mathrm{IsStrictOrder} (x , \mathrm{lt})\vdash \mathrm{IsStrictTotalOrder} (x , \mathrm{lt})$
Equivalence.of_isEquivtheoremUnbundled.lean:63
Lean
theorem Equivalence.of_isEquiv {α : Sort*} (lt : α → α → Prop) [IsEquiv α lt] : Equivalence lt where
  refl := Std.Refl.refl; symm := Std.Symm.symm _ _; trans := IsTrans.trans _ _ _
Dedukti
2 lines
def Equivalence__of_isEquiv : (x : Set) -> (lt : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (IsEquiv x lt)) -> Proof (Equivalence lt) :=
  x => lt => h => Equivalence__mk (Std__Refl__refl x lt) (forallI x (x1 => forall x (x3 => if (lt x1 x3) (lt x3 x1))) (x1 => forallI x (x2 => if (lt x1 x2) (lt x2 x1)) (x2 => Std__Symm__symm x lt x1 x2))) (forallI x (x4 => forall x (x8 => forall x (x9 => if (lt x4 x8) (if (lt x8 x9) (lt x4 x9))))) (x4 => forallI x (x5 => forall x (x7 => if (lt x4 x5) (if (lt x5 x7) (lt x4 x7)))) (x5 => forallI x (x6 => if (lt x4 x5) (if (lt x5 x6) (lt x4 x6))) (x6 => IsTrans__trans x lt x4 x5 x6)))).
English
Let $x$ be a set. Let $\mathrm{lt}$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions such that $\mathrm{lt}$ is an equivalence relation. Then $\mathrm{lt}$ is an equivalence relation.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $\mathrm{lt}$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions telle que $\mathrm{lt}$ soit une relation d'équivalences. Alors $\mathrm{lt}$ est une relation d'équivalences.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $\mathrm{lt}$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků taková, že $\mathrm{lt}$ je ekvivalencerelace. Tedy $\mathrm{lt}$ je ekvivalencerelace.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $\mathrm{lt}$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass $\mathrm{lt}$ eine ÄquivalenzRelation ist. Dann ist $\mathrm{lt}$ eine ÄquivalenzRelation.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $\mathrm{lt}$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden sådan att $\mathrm{lt}$ är en ekvivalensrelation. Då är $\mathrm{lt}$ en ekvivalensrelation.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{lt} \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \mathrm{IsEquiv} (x , \mathrm{lt})\vdash \mathrm{Equivalence} (\mathrm{lt})$
Proof
6 lines
1.Let $x_{4}$, $x_{5}$ and $x_{6}$ be elements of $x$.
2.$\mathrm{lt}$ holds for $x_{4}$ and $x_{6}$.IsTrans.trans
3.For all elements $x_{6}$ of $x$, if $\mathrm{lt}$ holds for $x_{4}$ and $x_{5}$, then if $\mathrm{lt}$ holds for $x_{5}$ and $x_{6}$, then $\mathrm{lt}$ holds for $x_{4}$ and $x_{6}$.forallI 1, 2 [x6]
4.For all elements $x_{5}$ and $x_{7}$ of $x$, if $\mathrm{lt}$ holds for $x_{4}$ and $x_{5}$, then if $\mathrm{lt}$ holds for $x_{5}$ and $x_{7}$, then $\mathrm{lt}$ holds for $x_{4}$ and $x_{7}$.forallI 1, 3 [x5]
5.For all elements $x_{4}$, $x_{8}$ and $x_{9}$ of $x$, if $\mathrm{lt}$ holds for $x_{4}$ and $x_{8}$, then if $\mathrm{lt}$ holds for $x_{8}$ and $x_{9}$, then $\mathrm{lt}$ holds for $x_{4}$ and $x_{9}$.forallI 1, 4 [x4]
6.$\mathrm{forallI}$ applied to $x$, the function that maps $x_{1}$ to the proposition that for all elements $x_{3}$ of $x$, if $\mathrm{lt}$ holds for $x_{1}$ and $x_{3}$, then $\mathrm{lt}$ holds for $x_{3}$ and $x_{1}$ and the function that maps $x_{1}$ to $\mathrm{forallI}$ applied to $x$, the function that maps $x_{2}$ to the proposition that if $\mathrm{lt}$ holds for $x_{1}$ and $x_{2}$, then $\mathrm{lt}$ holds for $x_{2}$ and $x_{1}$ and the function that maps $x_{2}$ to $\operatorname{symm}$ applied to $x$, $\mathrm{lt}$, $x_{1}$ and $x_{2}$ is an equivalence relation.Equivalence.mk 5
Proof, French
6 lines
1.Soient $x_{4}$, $x_{5}$ et $x_{6}$ des éléments de $x$.
2.$\mathrm{lt}$ tient pour $x_{4}$ et $x_{6}$.IsTrans.trans
3.Pour tous les éléments $x_{6}$ de $x$, si $\mathrm{lt}$ tient pour $x_{4}$ et $x_{5}$, alors si $\mathrm{lt}$ tient pour $x_{5}$ et $x_{6}$, alors $\mathrm{lt}$ tient pour $x_{4}$ et $x_{6}$.forallI 1, 2 [x6]
4.Pour tous les éléments $x_{5}$ et $x_{7}$ de $x$, si $\mathrm{lt}$ tient pour $x_{4}$ et $x_{5}$, alors si $\mathrm{lt}$ tient pour $x_{5}$ et $x_{7}$, alors $\mathrm{lt}$ tient pour $x_{4}$ et $x_{7}$.forallI 1, 3 [x5]
5.Pour tous les éléments $x_{4}$, $x_{8}$ et $x_{9}$ de $x$, si $\mathrm{lt}$ tient pour $x_{4}$ et $x_{8}$, alors si $\mathrm{lt}$ tient pour $x_{8}$ et $x_{9}$, alors $\mathrm{lt}$ tient pour $x_{4}$ et $x_{9}$.forallI 1, 4 [x4]
6.$\mathrm{forallI}$ appliqué à $x$, la fonction qui envoie $x_{1}$ à la proposition que pour tous les éléments $x_{3}$ de $x$, si $\mathrm{lt}$ tient pour $x_{1}$ et $x_{3}$, alors $\mathrm{lt}$ tient pour $x_{3}$ et $x_{1}$ et la fonction qui envoie $x_{1}$ à $\mathrm{forallI}$ appliqué à $x$, la fonction qui envoie $x_{2}$ à la proposition que si $\mathrm{lt}$ tient pour $x_{1}$ et $x_{2}$, alors $\mathrm{lt}$ tient pour $x_{2}$ et $x_{1}$ et la fonction qui envoie $x_{2}$ à $\operatorname{symm}$ appliqué à $x$, $\mathrm{lt}$, $x_{1}$ et $x_{2}$ est une relation d'équivalences.Equivalence.mk 5
Proof, Czech
6 lines
1.Nechť $x_{4}$, $x_{5}$ a $x_{6}$ je prvek $x$.
2.$\mathrm{lt}$ platí pro $x_{4}$ a $x_{6}$.IsTrans.trans
3.Pro všechny prvky $x_{6}$ $x$, jestliže $\mathrm{lt}$ platí pro $x_{4}$ a $x_{5}$, pak jestliže $\mathrm{lt}$ platí pro $x_{5}$ a $x_{6}$, pak $\mathrm{lt}$ platí pro $x_{4}$ a $x_{6}$.forallI 1, 2 [x6]
4.Pro všechny prvky $x_{5}$ a $x_{7}$ $x$, jestliže $\mathrm{lt}$ platí pro $x_{4}$ a $x_{5}$, pak jestliže $\mathrm{lt}$ platí pro $x_{5}$ a $x_{7}$, pak $\mathrm{lt}$ platí pro $x_{4}$ a $x_{7}$.forallI 1, 3 [x5]
5.Pro všechny prvky $x_{4}$, $x_{8}$ a $x_{9}$ $x$, jestliže $\mathrm{lt}$ platí pro $x_{4}$ a $x_{8}$, pak jestliže $\mathrm{lt}$ platí pro $x_{8}$ a $x_{9}$, pak $\mathrm{lt}$ platí pro $x_{4}$ a $x_{9}$.forallI 1, 4 [x4]
6.$\mathrm{forallI}$ aplikovaný na $x$, funkci která zobrazuje $x_{1}$ na výrok že pro všechny prvky $x_{3}$ $x$, jestliže $\mathrm{lt}$ platí pro $x_{1}$ a $x_{3}$, pak $\mathrm{lt}$ platí pro $x_{3}$ a $x_{1}$ a funkci která zobrazuje $x_{1}$ na $\mathrm{forallI}$ aplikovaný na $x$, funkci která zobrazuje $x_{2}$ na výrok že jestliže $\mathrm{lt}$ platí pro $x_{1}$ a $x_{2}$, pak $\mathrm{lt}$ platí pro $x_{2}$ a $x_{1}$ a funkci která zobrazuje $x_{2}$ na $\operatorname{symm}$ aplikovaný na $x$, $\mathrm{lt}$, $x_{1}$ a $x_{2}$ je ekvivalencerelace.Equivalence.mk 5
Proof, German
6 lines
1.Seien $x_{4}$, $x_{5}$ und $x_{6}$ elemente von $x$.
2.$\mathrm{lt}$ hält für $x_{4}$ und $x_{6}$.IsTrans.trans
3.Für alle Elemente $x_{6}$ von $x$, wenn $\mathrm{lt}$ für $x_{4}$ und $x_{5}$ hält, dann wenn $\mathrm{lt}$ für $x_{5}$ und $x_{6}$ hält, dann hält $\mathrm{lt}$ für $x_{4}$ und $x_{6}$.forallI 1, 2 [x6]
4.Für alle Elemente $x_{5}$ und $x_{7}$ von $x$, wenn $\mathrm{lt}$ für $x_{4}$ und $x_{5}$ hält, dann wenn $\mathrm{lt}$ für $x_{5}$ und $x_{7}$ hält, dann hält $\mathrm{lt}$ für $x_{4}$ und $x_{7}$.forallI 1, 3 [x5]
5.Für alle Elemente $x_{4}$, $x_{8}$ und $x_{9}$ von $x$, wenn $\mathrm{lt}$ für $x_{4}$ und $x_{8}$ hält, dann wenn $\mathrm{lt}$ für $x_{8}$ und $x_{9}$ hält, dann hält $\mathrm{lt}$ für $x_{4}$ und $x_{9}$.forallI 1, 4 [x4]
6.$\mathrm{forallI}$ angewandt auf $x$, die Funktion, die $x_{1}$ als der Satz, dass für alle Elemente $x_{3}$ von $x$, wenn $\mathrm{lt}$ für $x_{1}$ und $x_{3}$ hält, dann $\mathrm{lt}$ für $x_{3}$ und $x_{1}$ hält, abbildet, und die Funktion, die $x_{1}$ als $\mathrm{forallI}$ angewandt auf $x$, die Funktion, die $x_{2}$ als der Satz, dass wenn $\mathrm{lt}$ für $x_{1}$ und $x_{2}$ hält, dann $\mathrm{lt}$ für $x_{2}$ und $x_{1}$ hält, abbildet, und die Funktion, die $x_{2}$ als $\operatorname{symm}$ angewandt auf $x$, $\mathrm{lt}$, $x_{1}$ und $x_{2}$ abbildet, abbildet, ist eine ÄquivalenzRelation.Equivalence.mk 5
Proof, Swedish
6 lines
1.Låt $x_{4}$, $x_{5}$ och $x_{6}$ vara element av $x$.
2.$\mathrm{lt}$ håller för $x_{4}$ och $x_{6}$.IsTrans.trans
3.För alla element $x_{6}$ av $x$, om $\mathrm{lt}$ håller för $x_{4}$ och $x_{5}$, så om $\mathrm{lt}$ håller för $x_{5}$ och $x_{6}$, så håller $\mathrm{lt}$ för $x_{4}$ och $x_{6}$.forallI 1, 2 [x6]
4.För alla element $x_{5}$ och $x_{7}$ av $x$, om $\mathrm{lt}$ håller för $x_{4}$ och $x_{5}$, så om $\mathrm{lt}$ håller för $x_{5}$ och $x_{7}$, så håller $\mathrm{lt}$ för $x_{4}$ och $x_{7}$.forallI 1, 3 [x5]
5.För alla element $x_{4}$, $x_{8}$ och $x_{9}$ av $x$, om $\mathrm{lt}$ håller för $x_{4}$ och $x_{8}$, så om $\mathrm{lt}$ håller för $x_{8}$ och $x_{9}$, så håller $\mathrm{lt}$ för $x_{4}$ och $x_{9}$.forallI 1, 4 [x4]
6.$\mathrm{forallI}$ applicerat på $x$, funktionen som avbildar $x_{1}$ som påståendet att för alla element $x_{3}$ av $x$, om $\mathrm{lt}$ håller för $x_{1}$ och $x_{3}$, så håller $\mathrm{lt}$ för $x_{3}$ och $x_{1}$ och funktionen som avbildar $x_{1}$ som $\mathrm{forallI}$ applicerat på $x$, funktionen som avbildar $x_{2}$ som påståendet att om $\mathrm{lt}$ håller för $x_{1}$ och $x_{2}$, så håller $\mathrm{lt}$ för $x_{2}$ och $x_{1}$ och funktionen som avbildar $x_{2}$ som $\operatorname{symm}$ applicerat på $x$, $\mathrm{lt}$, $x_{1}$ och $x_{2}$ är en ekvivalensrelation.Equivalence.mk 5
IsEquiv.of_equivalencetheoremUnbundled.lean:66
Lean
theorem IsEquiv.of_equivalence {α : Sort*} {lt : α → α → Prop} (h : Equivalence lt) :
    IsEquiv α lt where
  refl := h.refl; symm _ _ := h.symm; trans _ _ _ := h.trans
Dedukti
2 lines
def IsEquiv__of_equivalence : (x : Set) -> (lt : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (h : Proof (Equivalence lt)) -> Proof (IsEquiv x lt) :=
  x => lt => h => IsEquiv__mk.
English
Let $x$ be a set. Let $\mathrm{lt}$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions such that $\mathrm{lt}$ is an equivalence relation. Then $\mathrm{lt}$ is an equivalence relation.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $\mathrm{lt}$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions telle que $\mathrm{lt}$ soit une relation d'équivalences. Alors $\mathrm{lt}$ est une relation d'équivalences.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $\mathrm{lt}$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků taková, že $\mathrm{lt}$ je ekvivalencerelace. Tedy $\mathrm{lt}$ je ekvivalencerelace.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $\mathrm{lt}$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass $\mathrm{lt}$ eine ÄquivalenzRelation ist. Dann ist $\mathrm{lt}$ eine ÄquivalenzRelation.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $\mathrm{lt}$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden sådan att $\mathrm{lt}$ är en ekvivalensrelation. Då är $\mathrm{lt}$ en ekvivalensrelation.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{lt} \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \mathrm{Equivalence} (\mathrm{lt})\vdash \mathrm{IsEquiv} (x , \mathrm{lt})$
Proof
1 lines
1.For all sets $x$ and functions $r$ from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions, $r$ is an equivalence relation.IsEquiv.mk
Proof, French
1 lines
1.Pour tous les ensembles $x$ et les fonctions $r$ des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions, $r$ est une relation d'équivalences.IsEquiv.mk
Proof, Czech
1 lines
1.Pro všechny množiny $x$ a funkce $r$ z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků, $r$ je ekvivalencerelace.IsEquiv.mk
Proof, German
1 lines
1.Für alle Mengen $x$ und Funktionen $r$ aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen, ist $r$ eine ÄquivalenzRelation.IsEquiv.mk
Proof, Swedish
1 lines
1.För alla mängder $x$ och funktioner $r$ från element av $x$ och element av $x$ till påståenden, är $r$ en ekvivalensrelation.IsEquiv.mk
equivalence_iff_isEquivtheoremUnbundled.lean:70
Lean
theorem equivalence_iff_isEquiv {α : Sort*} (lt : α → α → Prop) : Equivalence lt ↔ IsEquiv α lt :=
  ⟨.of_equivalence, fun _ => .of_isEquiv lt⟩
Dedukti
2 lines
def equivalence_iff_isEquiv : (x : Set) -> (lt : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> Proof (iff (Equivalence lt) (IsEquiv x lt)) :=
  x => lt => iffI (Equivalence lt) (IsEquiv x lt) (IsEquiv__of_equivalence x lt) (h => Equivalence__of_isEquiv x lt).
English
Let $x$ be a set. Let $\mathrm{lt}$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Then $\mathrm{lt}$ is an equivalence relation, if and only if $\mathrm{lt}$ is an equivalence relation.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $\mathrm{lt}$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Alors $\mathrm{lt}$ est une relation d'équivalences si et seulement si $\mathrm{lt}$ est une relation d'équivalences.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $\mathrm{lt}$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Tedy $\mathrm{lt}$ je ekvivalencerelace, právě tehdy, když $\mathrm{lt}$ je ekvivalencerelace.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $\mathrm{lt}$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann ist $\mathrm{lt}$ eine ÄquivalenzRelation, genau dann, wenn $\mathrm{lt}$ eine ÄquivalenzRelation ist.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $\mathrm{lt}$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Då är $\mathrm{lt}$ en ekvivalensrelation, om och endast om $\mathrm{lt}$ är en ekvivalensrelation.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{lt} \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} \vdash \mathrm{Equivalence} (\mathrm{lt})\leftrightarrow \mathrm{IsEquiv} (x , \mathrm{lt})$
Proof
3 lines
1.$\mathrm{lt}$ is an equivalence relation.IsEquiv.of_equivalence
2.$\mathrm{lt}$ is an equivalence relation.Equivalence.of_isEquiv
3.$\mathrm{lt}$ is an equivalence relation, if and only if $\mathrm{lt}$ is an equivalence relation.iffI 1, 2 [h]
Proof, French
3 lines
1.$\mathrm{lt}$ est une relation d'équivalences.IsEquiv.of_equivalence
2.$\mathrm{lt}$ est une relation d'équivalences.Equivalence.of_isEquiv
3.$\mathrm{lt}$ est une relation d'équivalences si et seulement si $\mathrm{lt}$ est une relation d'équivalences.iffI 1, 2 [h]
Proof, Czech
3 lines
1.$\mathrm{lt}$ je ekvivalencerelace.IsEquiv.of_equivalence
2.$\mathrm{lt}$ je ekvivalencerelace.Equivalence.of_isEquiv
3.$\mathrm{lt}$ je ekvivalencerelace, právě tehdy, když $\mathrm{lt}$ je ekvivalencerelace.iffI 1, 2 [h]
Proof, German
3 lines
1.$\mathrm{lt}$ ist eine ÄquivalenzRelation.IsEquiv.of_equivalence
2.$\mathrm{lt}$ ist eine ÄquivalenzRelation.Equivalence.of_isEquiv
3.$\mathrm{lt}$ ist eine ÄquivalenzRelation, genau dann, wenn $\mathrm{lt}$ eine ÄquivalenzRelation ist.iffI 1, 2 [h]
Proof, Swedish
3 lines
1.$\mathrm{lt}$ är en ekvivalensrelation.IsEquiv.of_equivalence
2.$\mathrm{lt}$ är en ekvivalensrelation.Equivalence.of_isEquiv
3.$\mathrm{lt}$ är en ekvivalensrelation, om och endast om $\mathrm{lt}$ är en ekvivalensrelation.iffI 1, 2 [h]
irrefltheoremUnbundled.lean:101
Lean
lemma irrefl [Std.Irrefl r] (a : α) : ¬a ≺ a := Std.Irrefl.irrefl a
Dedukti
2 lines
def irrefl : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Irrefl r)) -> (a : Elem x) -> Proof (not (r a a)) :=
  x => r => h => a => Std__Irrefl__irrefl x r a.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be an irreflexive function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $a$ be an element of $x$. Then it is not the case that $r$ holds for $a$ and $a$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions irréflexive. Soit $a$ un élément de $x$. Alors il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $a$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je ireflexivní funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $a$ je prvek $x$. Tedy není případ že $r$ platí pro $a$ a $a$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine irreflexive Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Sei $a$ ein Element von $x$. Dann ist es nicht der Fall dass $r$ für $a$ und $a$ hält.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en irreflexiv funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $a$ vara ett element av $x$. Då är det inte fallet att $r$ håller för $a$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Irrefl} (r), a \in x \vdash \neg r (a , a)$
Proof
2 lines
1.Let $a$ be an element of $x$.
2.It is not the case that $r$ holds for $a$ and $a$.Std.Irrefl.irrefl
Proof, French
2 lines
1.Soit $a$ un élément de $x$.
2.Il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $a$ et $a$.Std.Irrefl.irrefl
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ je prvek $x$.
2.Není případ že $r$ platí pro $a$ a $a$.Std.Irrefl.irrefl
Proof, German
2 lines
1.Sei $a$ ein Element von $x$.
2.Es ist nicht der Fall dass $r$ für $a$ und $a$ hält.Std.Irrefl.irrefl
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ vara ett element av $x$.
2.Det är inte fallet att $r$ håller för $a$ och $a$.Std.Irrefl.irrefl
refltheoremUnbundled.lean:102
Lean
lemma refl [Std.Refl r] (a : α) : a ≺ a := Std.Refl.refl a
Dedukti
2 lines
def refl : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Refl r)) -> (a : Elem x) -> Proof (r a a) :=
  x => r => h => a => Std__Refl__refl x r a.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a reflexive function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $a$ be an element of $x$. Then $r$ holds for $a$ and $a$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions réflexive. Soit $a$ un élément de $x$. Alors $r$ tient pour $a$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je reflexivní funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $a$ je prvek $x$. Tedy $r$ platí pro $a$ a $a$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine reflexive Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Sei $a$ ein Element von $x$. Dann hält $r$ für $a$ und $a$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en reflexiv funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $a$ vara ett element av $x$. Då håller $r$ för $a$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Refl} (r), a \in x \vdash r (a , a)$
Proof
2 lines
1.Let $a$ be an element of $x$.
2.$r$ holds for $a$ and $a$.Std.Refl.refl
Proof, French
2 lines
1.Soit $a$ un élément de $x$.
2.$r$ tient pour $a$ et $a$.Std.Refl.refl
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ je prvek $x$.
2.$r$ platí pro $a$ a $a$.Std.Refl.refl
Proof, German
2 lines
1.Sei $a$ ein Element von $x$.
2.$r$ hält für $a$ und $a$.Std.Refl.refl
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ vara ett element av $x$.
2.$r$ håller för $a$ och $a$.Std.Refl.refl
transtheoremUnbundled.lean:103
Lean
lemma trans [IsTrans α r] : a ≺ b → b ≺ c → a ≺ c := IsTrans.trans _ _ _
Dedukti
2 lines
def trans : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (_ : Proof (IsTrans x r)) -> (h1 : Proof (r a b)) -> (h2 : Proof (r b c)) -> Proof (r a c) :=
  x => r => a => b => c => h => IsTrans__trans x r a b c.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Assume that $r$ is transitive. Assume that $r$ holds for $a$ and $b$. Assume that $r$ holds for $b$ and $c$. Then $r$ holds for $a$ and $c$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Supposons que $r$ est transitif. Supposons que $r$ tient pour $a$ et $b$. Supposons que $r$ tient pour $b$ et $c$. Alors $r$ tient pour $a$ et $c$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Předpokládejme, že $r$ je tranzitivní. Předpokládejme, že $r$ platí pro $a$ a $b$. Předpokládejme, že $r$ platí pro $b$ a $c$. Tedy $r$ platí pro $a$ a $c$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$. Nimm an, dass $r$ transitiv ist. Nimm an, dass $r$ für $a$ und $b$ hält. Nimm an, dass $r$ für $b$ und $c$ hält. Dann hält $r$ für $a$ und $c$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Anta att $r$ är transitivt. Anta att $r$ håller för $a$ och $b$. Anta att $r$ håller för $b$ och $c$. Då håller $r$ för $a$ och $c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , a , b , c \in x , \mathrm{IsTrans} (x , r), r (a , b), r (b , c)\vdash r (a , c)$
Proof
2 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.$r$ holds for $a$ and $c$.IsTrans.trans
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.$r$ tient pour $a$ et $c$.IsTrans.trans
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.$r$ platí pro $a$ a $c$.IsTrans.trans
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.$r$ hält für $a$ und $c$.IsTrans.trans
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.$r$ håller för $a$ och $c$.IsTrans.trans
symmtheoremUnbundled.lean:104
Lean
lemma symm [Std.Symm r] : a ≺ b → b ≺ a := Std.Symm.symm _ _
Dedukti
2 lines
def symm : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (_ : Proof (Std__Symm r)) -> (h1 : Proof (r a b)) -> Proof (r b a) :=
  x => r => a => b => h => Std__Symm__symm x r a b.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Assume that $r$ is symmetric. Assume that $r$ holds for $a$ and $b$. Then $r$ holds for $b$ and $a$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Supposons que $r$ est symétrique. Supposons que $r$ tient pour $a$ et $b$. Alors $r$ tient pour $b$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Předpokládejme, že $r$ je symetrické. Předpokládejme, že $r$ platí pro $a$ a $b$. Tedy $r$ platí pro $b$ a $a$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Nimm an, dass $r$ symmetrisch ist. Nimm an, dass $r$ für $a$ und $b$ hält. Dann hält $r$ für $b$ und $a$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Anta att $r$ är symmetriskt. Anta att $r$ håller för $a$ och $b$. Då håller $r$ för $b$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , a , b \in x , \operatorname{Symm} (r), r (a , b)\vdash r (b , a)$
Proof
2 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$r$ holds for $b$ and $a$.Std.Symm.symm
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$r$ tient pour $b$ et $a$.Std.Symm.symm
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$r$ platí pro $b$ a $a$.Std.Symm.symm
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$r$ hält für $b$ und $a$.Std.Symm.symm
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$r$ håller för $b$ och $a$.Std.Symm.symm
antisymmtheoremUnbundled.lean:105
Lean
lemma antisymm [Std.Antisymm r] : a ≺ b → b ≺ a → a = b := Std.Antisymm.antisymm _ _
Dedukti
2 lines
def antisymm : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (_ : Proof (Std__Antisymm r)) -> (h1 : Proof (r a b)) -> (h2 : Proof (r b a)) -> Proof (Eqt x a b) :=
  x => r => a => b => h => Std__Antisymm__antisymm x r a b.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Assume that $r$ is antisymmetric. Assume that $r$ holds for $a$ and $b$. Assume that $r$ holds for $b$ and $a$. Then $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Supposons que $r$ est antisymétrique. Supposons que $r$ tient pour $a$ et $b$. Supposons que $r$ tient pour $b$ et $a$. Alors $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Předpokládejme, že $r$ je antisymetrické. Předpokládejme, že $r$ platí pro $a$ a $b$. Předpokládejme, že $r$ platí pro $b$ a $a$. Tedy $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Nimm an, dass $r$ antisymmetrisch ist. Nimm an, dass $r$ für $a$ und $b$ hält. Nimm an, dass $r$ für $b$ und $a$ hält. Dann $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Anta att $r$ är antisymmetriskt. Anta att $r$ håller för $a$ och $b$. Anta att $r$ håller för $b$ och $a$. Då $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , a , b \in x , \operatorname{Antisymm} (r), r (a , b), r (b , a)\vdash \EqtMACRoJ {a}{b}$
Proof
2 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.Std.Antisymm.antisymm
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.Std.Antisymm.antisymm
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.Std.Antisymm.antisymm
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.Std.Antisymm.antisymm
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.Std.Antisymm.antisymm
asymmtheoremUnbundled.lean:106
Lean
lemma asymm [Std.Asymm r] : a ≺ b → ¬b ≺ a := Std.Asymm.asymm _ _
Dedukti
2 lines
def asymm : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (_ : Proof (Std__Asymm r)) -> (h1 : Proof (r a b)) -> Proof (not (r b a)) :=
  x => r => a => b => h => Std__Asymm__asymm x r a b.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Assume that $r$ is asymmetric. Assume that $r$ holds for $a$ and $b$. Then it is not the case that $r$ holds for $b$ and $a$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Supposons que $r$ est asymétrique. Supposons que $r$ tient pour $a$ et $b$. Alors il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $b$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Předpokládejme, že $r$ je asymetrické. Předpokládejme, že $r$ platí pro $a$ a $b$. Tedy není případ že $r$ platí pro $b$ a $a$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Nimm an, dass $r$ asymmetrisch ist. Nimm an, dass $r$ für $a$ und $b$ hält. Dann ist es nicht der Fall dass $r$ für $b$ und $a$ hält.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Anta att $r$ är asymmetriskt. Anta att $r$ håller för $a$ och $b$. Då är det inte fallet att $r$ håller för $b$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , a , b \in x , \operatorname{Asymm} (r), r (a , b)\vdash \neg r (b , a)$
Proof
2 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.It is not the case that $r$ holds for $b$ and $a$.Std.Asymm.asymm
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.Il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $b$ et $a$.Std.Asymm.asymm
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Není případ že $r$ platí pro $b$ a $a$.Std.Asymm.asymm
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Es ist nicht der Fall dass $r$ für $b$ und $a$ hält.Std.Asymm.asymm
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Det är inte fallet att $r$ håller för $b$ och $a$.Std.Asymm.asymm
trichotomoustheoremUnbundled.lean:108
Lean
lemma trichotomous [Std.Trichotomous r] : ∀ a b : α, a ≺ b ∨ a = b ∨ b ≺ a :=
  fun _ _ ↦ Std.Trichotomous.rel_or_eq_or_rel_swap
Dedukti
2 lines
def trichotomous : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Trichotomous r)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (or (r a b) (or (Eqt x a b) (r b a))) :=
  x => r => h => a => b => Std__Trichotomous__rel_or_eq_or_rel_swap x r a b.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a trichotomous function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $r$ holds for $a$ and $b$, $\EqtMACRoH {a}{b}$ or $r$ holds for $b$ and $a$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions trichotome. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $r$ tient pour $a$ et $b$, $\EqtMACRoH {a}{b}$ ou $r$ tient pour $b$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je trichotomická funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $r$ platí pro $a$ a $b$, $\EqtMACRoH {a}{b}$ nebo $r$ platí pro $b$ a $a$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine trichotome Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann hält $r$ für $a$ und $b$, $\EqtMACRoH {a}{b}$ oder $r$ hält für $b$ und $a$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en trikotom funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då håller $r$ för $a$ och $b$, $\EqtMACRoH {a}{b}$ eller $r$ håller för $b$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Trichotomous} (r), a , b \in x \vdash r (a , b)\vee (\EqtMACRoJ {a}{b}\vee r (b , a))$
Proof
2 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$r$ holds for $a$ and $b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ or $r$ holds for $b$ and $a$.Std.Trichotomous.rel_or_eq_or_rel_swap
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$r$ tient pour $a$ et $b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ ou $r$ tient pour $b$ et $a$.Std.Trichotomous.rel_or_eq_or_rel_swap
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$r$ platí pro $a$ a $b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ nebo $r$ platí pro $b$ a $a$.Std.Trichotomous.rel_or_eq_or_rel_swap
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Hält $r$ für $a$ und $b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ oder $r$ hält für $b$ und $a$.Std.Trichotomous.rel_or_eq_or_rel_swap
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$r$ håller för $a$ och $b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ eller $r$ håller för $b$ och $a$.Std.Trichotomous.rel_or_eq_or_rel_swap
irrefl_deftheoremUnbundled.lean:111
Lean
lemma irrefl_def : Std.Irrefl r ↔ ∀ ⦃a⦄, ¬r a a :=
  ⟨(·.irrefl), .mk⟩
Dedukti
2 lines
def irrefl_def : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> Proof (iff (Std__Irrefl r) (forall x (a => not (r a a)))) :=
  x => r => iffI (Std__Irrefl r) (forall x (a => not (r a a))) (h => Std__Irrefl__irrefl x r) Std__Irrefl__mk.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Then $r$ is irreflexive, if and only if for all elements $a$ of $x$, it is not the case that $r$ holds for $a$ and $a$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Alors $r$ est irréflexif si et seulement si pour tous les éléments $a$ de $x$, il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $a$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Tedy $r$ je ireflexivní, právě tehdy, když pro všechny prvky $a$ $x$, není případ že $r$ platí pro $a$ a $a$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann ist $r$ irreflexiv, genau dann, wenn für alle Elemente $a$ von $x$, es nicht der Fall dass $r$ für $a$ und $a$ hält ist.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Då är $r$ irreflexivt, om och endast om för alla element $a$ av $x$, är det inte fallet att $r$ håller för $a$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} \vdash \operatorname{Irrefl} (r)\leftrightarrow (\forall a \in x . \neg r (a , a))$
Proof
3 lines
1.It is not the case that $r$ holds for $a$ and $a$.Std.Irrefl.irrefl
2.For all sets $x$ and functions $r$ from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions and elements $\mathrm{irrefl}$ of $\mathrm{Proof}$ applied to the proposition that for all elements $a$ of $x$, it is not the case that $r$ holds for $a$ and $a$, $r$ is irreflexive.Std.Irrefl.mk
3.$r$ is irreflexive, if and only if for all elements $a$ of $x$, it is not the case that $r$ holds for $a$ and $a$.iffI 1, 2 [h]
Proof, French
3 lines
1.Il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $a$ et $a$.Std.Irrefl.irrefl
2.Pour tous les ensembles $x$ et les fonctions $r$ des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions et les éléments $\mathrm{irrefl}$ de $\mathrm{Proof}$ appliqué à la proposition que pour tous les éléments $a$ de $x$, il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $a$ et $a$, $r$ est irréflexif.Std.Irrefl.mk
3.$r$ est irréflexif si et seulement si pour tous les éléments $a$ de $x$, il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $a$ et $a$.iffI 1, 2 [h]
Proof, Czech
3 lines
1.Není případ že $r$ platí pro $a$ a $a$.Std.Irrefl.irrefl
2.Pro všechny množiny $x$ a funkce $r$ z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků a prvky $\mathrm{irrefl}$ $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na výrok že pro všechny prvky $a$ $x$, není případ že $r$ platí pro $a$ a $a$, $r$ je ireflexivní.Std.Irrefl.mk
3.$r$ je ireflexivní, právě tehdy, když pro všechny prvky $a$ $x$, není případ že $r$ platí pro $a$ a $a$.iffI 1, 2 [h]
Proof, German
3 lines
1.Es ist nicht der Fall dass $r$ für $a$ und $a$ hält.Std.Irrefl.irrefl
2.Für alle Mengen $x$ und Funktionen $r$ aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen und Elemente $\mathrm{irrefl}$ von $\mathrm{Proof}$ angewandt auf den Satz, dass für alle Elemente $a$ von $x$, es nicht der Fall dass $r$ für $a$ und $a$ hält ist, ist $r$ irreflexiv.Std.Irrefl.mk
3.$r$ ist irreflexiv, genau dann, wenn für alle Elemente $a$ von $x$, es nicht der Fall dass $r$ für $a$ und $a$ hält ist.iffI 1, 2 [h]
Proof, Swedish
3 lines
1.Det är inte fallet att $r$ håller för $a$ och $a$.Std.Irrefl.irrefl
2.För alla mängder $x$ och funktioner $r$ från element av $x$ och element av $x$ till påståenden och element $\mathrm{irrefl}$ av $\mathrm{Proof}$ applicerat på påståendet att för alla element $a$ av $x$, är det inte fallet att $r$ håller för $a$ och $a$, är $r$ irreflexivt.Std.Irrefl.mk
3.$r$ är irreflexivt, om och endast om för alla element $a$ av $x$, är det inte fallet att $r$ håller för $a$ och $a$.iffI 1, 2 [h]
refl_deftheoremUnbundled.lean:114
Lean
lemma refl_def : Std.Refl r ↔ ∀ ⦃a⦄, r a a :=
  ⟨(·.refl), .mk⟩
Dedukti
2 lines
def refl_def : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> Proof (iff (Std__Refl r) (forall x (a => r a a))) :=
  x => r => iffI (Std__Refl r) (forall x (a => r a a)) (h => Std__Refl__refl x r) Std__Refl__mk.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Then $r$ is reflexive, if and only if for all elements $a$ of $x$, $r$ holds for $a$ and $a$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Alors $r$ est réflexif si et seulement si pour tous les éléments $a$ de $x$, $r$ tient pour $a$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Tedy $r$ je reflexivní, právě tehdy, když pro všechny prvky $a$ $x$, $r$ platí pro $a$ a $a$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann ist $r$ reflexiv, genau dann, wenn für alle Elemente $a$ von $x$, $r$ für $a$ und $a$ hält.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Då är $r$ reflexivt, om och endast om för alla element $a$ av $x$, håller $r$ för $a$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} \vdash \operatorname{Refl} (r)\leftrightarrow (\forall a \in x . r (a , a))$
Proof
3 lines
1.$r$ holds for $a$ and $a$.Std.Refl.refl
2.For all sets $x$ and functions $r$ from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions and elements $\mathrm{refl}$ of $\mathrm{Proof}$ applied to the proposition that for all elements $a$ of $x$, $r$ holds for $a$ and $a$, $r$ is reflexive.Std.Refl.mk
3.$r$ is reflexive, if and only if for all elements $a$ of $x$, $r$ holds for $a$ and $a$.iffI 1, 2 [h]
Proof, French
3 lines
1.$r$ tient pour $a$ et $a$.Std.Refl.refl
2.Pour tous les ensembles $x$ et les fonctions $r$ des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions et les éléments $\mathrm{refl}$ de $\mathrm{Proof}$ appliqué à la proposition que pour tous les éléments $a$ de $x$, $r$ tient pour $a$ et $a$, $r$ est réflexif.Std.Refl.mk
3.$r$ est réflexif si et seulement si pour tous les éléments $a$ de $x$, $r$ tient pour $a$ et $a$.iffI 1, 2 [h]
Proof, Czech
3 lines
1.$r$ platí pro $a$ a $a$.Std.Refl.refl
2.Pro všechny množiny $x$ a funkce $r$ z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků a prvky $\mathrm{refl}$ $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na výrok že pro všechny prvky $a$ $x$, $r$ platí pro $a$ a $a$, $r$ je reflexivní.Std.Refl.mk
3.$r$ je reflexivní, právě tehdy, když pro všechny prvky $a$ $x$, $r$ platí pro $a$ a $a$.iffI 1, 2 [h]
Proof, German
3 lines
1.$r$ hält für $a$ und $a$.Std.Refl.refl
2.Für alle Mengen $x$ und Funktionen $r$ aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen und Elemente $\mathrm{refl}$ von $\mathrm{Proof}$ angewandt auf den Satz, dass für alle Elemente $a$ von $x$, $r$ für $a$ und $a$ hält, ist $r$ reflexiv.Std.Refl.mk
3.$r$ ist reflexiv, genau dann, wenn für alle Elemente $a$ von $x$, $r$ für $a$ und $a$ hält.iffI 1, 2 [h]
Proof, Swedish
3 lines
1.$r$ håller för $a$ och $a$.Std.Refl.refl
2.För alla mängder $x$ och funktioner $r$ från element av $x$ och element av $x$ till påståenden och element $\mathrm{refl}$ av $\mathrm{Proof}$ applicerat på påståendet att för alla element $a$ av $x$, håller $r$ för $a$ och $a$, är $r$ reflexivt.Std.Refl.mk
3.$r$ är reflexivt, om och endast om för alla element $a$ av $x$, håller $r$ för $a$ och $a$.iffI 1, 2 [h]
isTrans_deftheoremUnbundled.lean:117
Lean
lemma isTrans_def {α : Sort*} {r : α → α → Prop} : IsTrans α r ↔ ∀ ⦃a b c⦄, r a b → r b c → r a c :=
  ⟨(·.trans), .mk⟩
Dedukti
2 lines
def isTrans_def : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> Proof (iff (IsTrans x r) (forall x (a => forall x (b => forall x (c => if (r a b) (if (r b c) (r a c))))))) :=
  x => r => iffI (IsTrans x r) (forall x (a => forall x (b => forall x (c => if (r a b) (if (r b c) (r a c)))))) (h2 => IsTrans__trans x r) IsTrans__mk.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Then $r$ is transitive, if and only if for all elements $a$, $b$ and $c$ of $x$, if $r$ holds for $a$ and $b$, then if $r$ holds for $b$ and $c$, then $r$ holds for $a$ and $c$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Alors $r$ est transitif si et seulement si pour tous les éléments $a$, $b$ et $c$ de $x$, si $r$ tient pour $a$ et $b$, alors si $r$ tient pour $b$ et $c$, alors $r$ tient pour $a$ et $c$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Tedy $r$ je tranzitivní, právě tehdy, když pro všechny prvky $a$, $b$ a $c$ $x$, jestliže $r$ platí pro $a$ a $b$, pak jestliže $r$ platí pro $b$ a $c$, pak $r$ platí pro $a$ a $c$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann ist $r$ transitiv, genau dann, wenn für alle Elemente $a$, $b$ und $c$ von $x$, wenn $r$ für $a$ und $b$ hält, dann wenn $r$ für $b$ und $c$ hält, dann $r$ für $a$ und $c$ hält.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Då är $r$ transitivt, om och endast om för alla element $a$, $b$ och $c$ av $x$, om $r$ håller för $a$ och $b$, så om $r$ håller för $b$ och $c$, så håller $r$ för $a$ och $c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} \vdash \mathrm{IsTrans} (x , r)\leftrightarrow (\forall a \in x . \forall b \in x . \forall c \in x . r (a , b)\rightarrow r (b , c)\rightarrow r (a , c))$
Proof
3 lines
1.$r$ holds for $a$ and $c$.IsTrans.trans
2.For all sets $x$ and functions $r$ from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions and elements $\mathrm{trans}$ of $\mathrm{Proof}$ applied to the proposition that for all elements $a$, $b$ and $c$ of $x$, if $r$ holds for $a$ and $b$, then if $r$ holds for $b$ and $c$, then $r$ holds for $a$ and $c$, $r$ is transitive.IsTrans.mk
3.$r$ is transitive, if and only if for all elements $a$, $b$ and $c$ of $x$, if $r$ holds for $a$ and $b$, then if $r$ holds for $b$ and $c$, then $r$ holds for $a$ and $c$.iffI 1, 2 [h2]
Proof, French
3 lines
1.$r$ tient pour $a$ et $c$.IsTrans.trans
2.Pour tous les ensembles $x$ et les fonctions $r$ des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions et les éléments $\mathrm{trans}$ de $\mathrm{Proof}$ appliqué à la proposition que pour tous les éléments $a$, $b$ et $c$ de $x$, si $r$ tient pour $a$ et $b$, alors si $r$ tient pour $b$ et $c$, alors $r$ tient pour $a$ et $c$, $r$ est transitif.IsTrans.mk
3.$r$ est transitif si et seulement si pour tous les éléments $a$, $b$ et $c$ de $x$, si $r$ tient pour $a$ et $b$, alors si $r$ tient pour $b$ et $c$, alors $r$ tient pour $a$ et $c$.iffI 1, 2 [h2]
Proof, Czech
3 lines
1.$r$ platí pro $a$ a $c$.IsTrans.trans
2.Pro všechny množiny $x$ a funkce $r$ z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků a prvky $\mathrm{trans}$ $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na výrok že pro všechny prvky $a$, $b$ a $c$ $x$, jestliže $r$ platí pro $a$ a $b$, pak jestliže $r$ platí pro $b$ a $c$, pak $r$ platí pro $a$ a $c$, $r$ je tranzitivní.IsTrans.mk
3.$r$ je tranzitivní, právě tehdy, když pro všechny prvky $a$, $b$ a $c$ $x$, jestliže $r$ platí pro $a$ a $b$, pak jestliže $r$ platí pro $b$ a $c$, pak $r$ platí pro $a$ a $c$.iffI 1, 2 [h2]
Proof, German
3 lines
1.$r$ hält für $a$ und $c$.IsTrans.trans
2.Für alle Mengen $x$ und Funktionen $r$ aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen und Elemente $\mathrm{trans}$ von $\mathrm{Proof}$ angewandt auf den Satz, dass für alle Elemente $a$, $b$ und $c$ von $x$, wenn $r$ für $a$ und $b$ hält, dann wenn $r$ für $b$ und $c$ hält, dann $r$ für $a$ und $c$ hält, ist $r$ transitiv.IsTrans.mk
3.$r$ ist transitiv, genau dann, wenn für alle Elemente $a$, $b$ und $c$ von $x$, wenn $r$ für $a$ und $b$ hält, dann wenn $r$ für $b$ und $c$ hält, dann $r$ für $a$ und $c$ hält.iffI 1, 2 [h2]
Proof, Swedish
3 lines
1.$r$ håller för $a$ och $c$.IsTrans.trans
2.För alla mängder $x$ och funktioner $r$ från element av $x$ och element av $x$ till påståenden och element $\mathrm{trans}$ av $\mathrm{Proof}$ applicerat på påståendet att för alla element $a$, $b$ och $c$ av $x$, om $r$ håller för $a$ och $b$, så om $r$ håller för $b$ och $c$, så håller $r$ för $a$ och $c$, är $r$ transitivt.IsTrans.mk
3.$r$ är transitivt, om och endast om för alla element $a$, $b$ och $c$ av $x$, om $r$ håller för $a$ och $b$, så om $r$ håller för $b$ och $c$, så håller $r$ för $a$ och $c$.iffI 1, 2 [h2]
symm_deftheoremUnbundled.lean:120
Lean
lemma symm_def : Std.Symm r ↔ ∀ ⦃a b⦄, r a b → r b a :=
  ⟨(·.symm), .mk⟩
Dedukti
2 lines
def symm_def : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> Proof (iff (Std__Symm r) (forall x (a => forall x (b => if (r a b) (r b a))))) :=
  x => r => iffI (Std__Symm r) (forall x (a => forall x (b => if (r a b) (r b a)))) (h1 => Std__Symm__symm x r) Std__Symm__mk.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Then $r$ is symmetric, if and only if for all elements $a$ and $b$ of $x$, if $r$ holds for $a$ and $b$, then $r$ holds for $b$ and $a$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Alors $r$ est symétrique si et seulement si pour tous les éléments $a$ et $b$ de $x$, si $r$ tient pour $a$ et $b$, alors $r$ tient pour $b$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Tedy $r$ je symetrické, právě tehdy, když pro všechny prvky $a$ a $b$ $x$, jestliže $r$ platí pro $a$ a $b$, pak $r$ platí pro $b$ a $a$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann ist $r$ symmetrisch, genau dann, wenn für alle Elemente $a$ und $b$ von $x$, wenn $r$ für $a$ und $b$ hält, dann $r$ für $b$ und $a$ hält.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Då är $r$ symmetriskt, om och endast om för alla element $a$ och $b$ av $x$, om $r$ håller för $a$ och $b$, så håller $r$ för $b$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} \vdash \operatorname{Symm} (r)\leftrightarrow (\forall a \in x . \forall b \in x . r (a , b)\rightarrow r (b , a))$
Proof
3 lines
1.$r$ holds for $b$ and $a$.Std.Symm.symm
2.For all sets $x$ and functions $r$ from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions and elements $\mathrm{symm}$ of $\mathrm{Proof}$ applied to the proposition that for all elements $a$ and $b$ of $x$, if $r$ holds for $a$ and $b$, then $r$ holds for $b$ and $a$, $r$ is symmetric.Std.Symm.mk
3.$r$ is symmetric, if and only if for all elements $a$ and $b$ of $x$, if $r$ holds for $a$ and $b$, then $r$ holds for $b$ and $a$.iffI 1, 2 [h1]
Proof, French
3 lines
1.$r$ tient pour $b$ et $a$.Std.Symm.symm
2.Pour tous les ensembles $x$ et les fonctions $r$ des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions et les éléments $\mathrm{symm}$ de $\mathrm{Proof}$ appliqué à la proposition que pour tous les éléments $a$ et $b$ de $x$, si $r$ tient pour $a$ et $b$, alors $r$ tient pour $b$ et $a$, $r$ est symétrique.Std.Symm.mk
3.$r$ est symétrique si et seulement si pour tous les éléments $a$ et $b$ de $x$, si $r$ tient pour $a$ et $b$, alors $r$ tient pour $b$ et $a$.iffI 1, 2 [h1]
Proof, Czech
3 lines
1.$r$ platí pro $b$ a $a$.Std.Symm.symm
2.Pro všechny množiny $x$ a funkce $r$ z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků a prvky $\mathrm{symm}$ $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na výrok že pro všechny prvky $a$ a $b$ $x$, jestliže $r$ platí pro $a$ a $b$, pak $r$ platí pro $b$ a $a$, $r$ je symetrické.Std.Symm.mk
3.$r$ je symetrické, právě tehdy, když pro všechny prvky $a$ a $b$ $x$, jestliže $r$ platí pro $a$ a $b$, pak $r$ platí pro $b$ a $a$.iffI 1, 2 [h1]
Proof, German
3 lines
1.$r$ hält für $b$ und $a$.Std.Symm.symm
2.Für alle Mengen $x$ und Funktionen $r$ aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen und Elemente $\mathrm{symm}$ von $\mathrm{Proof}$ angewandt auf den Satz, dass für alle Elemente $a$ und $b$ von $x$, wenn $r$ für $a$ und $b$ hält, dann $r$ für $b$ und $a$ hält, ist $r$ symmetrisch.Std.Symm.mk
3.$r$ ist symmetrisch, genau dann, wenn für alle Elemente $a$ und $b$ von $x$, wenn $r$ für $a$ und $b$ hält, dann $r$ für $b$ und $a$ hält.iffI 1, 2 [h1]
Proof, Swedish
3 lines
1.$r$ håller för $b$ och $a$.Std.Symm.symm
2.För alla mängder $x$ och funktioner $r$ från element av $x$ och element av $x$ till påståenden och element $\mathrm{symm}$ av $\mathrm{Proof}$ applicerat på påståendet att för alla element $a$ och $b$ av $x$, om $r$ håller för $a$ och $b$, så håller $r$ för $b$ och $a$, är $r$ symmetriskt.Std.Symm.mk
3.$r$ är symmetriskt, om och endast om för alla element $a$ och $b$ av $x$, om $r$ håller för $a$ och $b$, så håller $r$ för $b$ och $a$.iffI 1, 2 [h1]
antisymm_deftheoremUnbundled.lean:123
Lean
lemma antisymm_def : Std.Antisymm r ↔ ∀ ⦃a b⦄, r a b → r b a → a = b :=
  ⟨(·.antisymm), .mk⟩
Dedukti
2 lines
def antisymm_def : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> Proof (iff (Std__Antisymm r) (forall x (a => forall x (b => if (r a b) (if (r b a) (Eqt x a b)))))) :=
  x => r => iffI (Std__Antisymm r) (forall x (a => forall x (b => if (r a b) (if (r b a) (Eqt x a b))))) (h2 => Std__Antisymm__antisymm x r) Std__Antisymm__mk.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Then $r$ is antisymmetric, if and only if for all elements $a$ and $b$ of $x$, if $r$ holds for $a$ and $b$, then if $r$ holds for $b$ and $a$, then $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Alors $r$ est antisymétrique si et seulement si pour tous les éléments $a$ et $b$ de $x$, si $r$ tient pour $a$ et $b$, alors si $r$ tient pour $b$ et $a$, alors $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Tedy $r$ je antisymetrické, právě tehdy, když pro všechny prvky $a$ a $b$ $x$, jestliže $r$ platí pro $a$ a $b$, pak jestliže $r$ platí pro $b$ a $a$, pak $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann ist $r$ antisymmetrisch, genau dann, wenn für alle Elemente $a$ und $b$ von $x$, wenn $r$ für $a$ und $b$ hält, dann wenn $r$ für $b$ und $a$ hält, dann $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Då är $r$ antisymmetriskt, om och endast om för alla element $a$ och $b$ av $x$, om $r$ håller för $a$ och $b$, så om $r$ håller för $b$ och $a$, så $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} \vdash \operatorname{Antisymm} (r)\leftrightarrow (\forall a \in x . \forall b \in x . r (a , b)\rightarrow r (b , a)\rightarrow \EqtMACRoJ {a}{b})$
Proof
3 lines
1.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.Std.Antisymm.antisymm
2.For all sets $x$ and functions $r$ from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions and elements $\mathrm{antisymm}$ of $\mathrm{Proof}$ applied to the proposition that for all elements $a$ and $b$ of $x$, if $r$ holds for $a$ and $b$, then if $r$ holds for $b$ and $a$, then $\EqtMACRoJ {a}{b}$, $r$ is antisymmetric.Std.Antisymm.mk
3.$r$ is antisymmetric, if and only if for all elements $a$ and $b$ of $x$, if $r$ holds for $a$ and $b$, then if $r$ holds for $b$ and $a$, then $\EqtMACRoJ {a}{b}$.iffI 1, 2 [h2]
Proof, French
3 lines
1.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.Std.Antisymm.antisymm
2.Pour tous les ensembles $x$ et les fonctions $r$ des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions et les éléments $\mathrm{antisymm}$ de $\mathrm{Proof}$ appliqué à la proposition que pour tous les éléments $a$ et $b$ de $x$, si $r$ tient pour $a$ et $b$, alors si $r$ tient pour $b$ et $a$, alors $\EqtMACRoJ {a}{b}$, $r$ est antisymétrique.Std.Antisymm.mk
3.$r$ est antisymétrique si et seulement si pour tous les éléments $a$ et $b$ de $x$, si $r$ tient pour $a$ et $b$, alors si $r$ tient pour $b$ et $a$, alors $\EqtMACRoJ {a}{b}$.iffI 1, 2 [h2]
Proof, Czech
3 lines
1.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.Std.Antisymm.antisymm
2.Pro všechny množiny $x$ a funkce $r$ z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků a prvky $\mathrm{antisymm}$ $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na výrok že pro všechny prvky $a$ a $b$ $x$, jestliže $r$ platí pro $a$ a $b$, pak jestliže $r$ platí pro $b$ a $a$, pak $\EqtMACRoJ {a}{b}$, $r$ je antisymetrické.Std.Antisymm.mk
3.$r$ je antisymetrické, právě tehdy, když pro všechny prvky $a$ a $b$ $x$, jestliže $r$ platí pro $a$ a $b$, pak jestliže $r$ platí pro $b$ a $a$, pak $\EqtMACRoJ {a}{b}$.iffI 1, 2 [h2]
Proof, German
3 lines
1.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.Std.Antisymm.antisymm
2.Für alle Mengen $x$ und Funktionen $r$ aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen und Elemente $\mathrm{antisymm}$ von $\mathrm{Proof}$ angewandt auf den Satz, dass für alle Elemente $a$ und $b$ von $x$, wenn $r$ für $a$ und $b$ hält, dann wenn $r$ für $b$ und $a$ hält, dann $\EqtMACRoJ {a}{b}$, ist $r$ antisymmetrisch.Std.Antisymm.mk
3.$r$ ist antisymmetrisch, genau dann, wenn für alle Elemente $a$ und $b$ von $x$, wenn $r$ für $a$ und $b$ hält, dann wenn $r$ für $b$ und $a$ hält, dann $\EqtMACRoJ {a}{b}$.iffI 1, 2 [h2]
Proof, Swedish
3 lines
1.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.Std.Antisymm.antisymm
2.För alla mängder $x$ och funktioner $r$ från element av $x$ och element av $x$ till påståenden och element $\mathrm{antisymm}$ av $\mathrm{Proof}$ applicerat på påståendet att för alla element $a$ och $b$ av $x$, om $r$ håller för $a$ och $b$, så om $r$ håller för $b$ och $a$, så $\EqtMACRoJ {a}{b}$, är $r$ antisymmetriskt.Std.Antisymm.mk
3.$r$ är antisymmetriskt, om och endast om för alla element $a$ och $b$ av $x$, om $r$ håller för $a$ och $b$, så om $r$ håller för $b$ och $a$, så $\EqtMACRoJ {a}{b}$.iffI 1, 2 [h2]
asymm_deftheoremUnbundled.lean:126
Lean
lemma asymm_def : Std.Asymm r ↔ ∀ ⦃a b⦄, r a b → ¬r b a :=
  ⟨(·.asymm), .mk⟩
Dedukti
2 lines
def asymm_def : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> Proof (iff (Std__Asymm r) (forall x (a => forall x (b => if (r a b) (not (r b a)))))) :=
  x => r => iffI (Std__Asymm r) (forall x (a => forall x (b => if (r a b) (not (r b a))))) (h1 => Std__Asymm__asymm x r) Std__Asymm__mk.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Then $r$ is asymmetric, if and only if for all elements $a$ and $b$ of $x$, if $r$ holds for $a$ and $b$, then it is not the case that $r$ holds for $b$ and $a$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Alors $r$ est asymétrique si et seulement si pour tous les éléments $a$ et $b$ de $x$, si $r$ tient pour $a$ et $b$, alors il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $b$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Tedy $r$ je asymetrické, právě tehdy, když pro všechny prvky $a$ a $b$ $x$, jestliže $r$ platí pro $a$ a $b$, pak není případ že $r$ platí pro $b$ a $a$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann ist $r$ asymmetrisch, genau dann, wenn für alle Elemente $a$ und $b$ von $x$, wenn $r$ für $a$ und $b$ hält, dann es nicht der Fall dass $r$ für $b$ und $a$ hält ist.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Då är $r$ asymmetriskt, om och endast om för alla element $a$ och $b$ av $x$, om $r$ håller för $a$ och $b$, så är det inte fallet att $r$ håller för $b$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} \vdash \operatorname{Asymm} (r)\leftrightarrow (\forall a \in x . \forall b \in x . r (a , b)\rightarrow \neg r (b , a))$
Proof
3 lines
1.It is not the case that $r$ holds for $b$ and $a$.Std.Asymm.asymm
2.For all sets $x$ and functions $r$ from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions and elements $\mathrm{asymm}$ of $\mathrm{Proof}$ applied to the proposition that for all elements $a$ and $b$ of $x$, if $r$ holds for $a$ and $b$, then it is not the case that $r$ holds for $b$ and $a$, $r$ is asymmetric.Std.Asymm.mk
3.$r$ is asymmetric, if and only if for all elements $a$ and $b$ of $x$, if $r$ holds for $a$ and $b$, then it is not the case that $r$ holds for $b$ and $a$.iffI 1, 2 [h1]
Proof, French
3 lines
1.Il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $b$ et $a$.Std.Asymm.asymm
2.Pour tous les ensembles $x$ et les fonctions $r$ des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions et les éléments $\mathrm{asymm}$ de $\mathrm{Proof}$ appliqué à la proposition que pour tous les éléments $a$ et $b$ de $x$, si $r$ tient pour $a$ et $b$, alors il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $b$ et $a$, $r$ est asymétrique.Std.Asymm.mk
3.$r$ est asymétrique si et seulement si pour tous les éléments $a$ et $b$ de $x$, si $r$ tient pour $a$ et $b$, alors il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $b$ et $a$.iffI 1, 2 [h1]
Proof, Czech
3 lines
1.Není případ že $r$ platí pro $b$ a $a$.Std.Asymm.asymm
2.Pro všechny množiny $x$ a funkce $r$ z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků a prvky $\mathrm{asymm}$ $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na výrok že pro všechny prvky $a$ a $b$ $x$, jestliže $r$ platí pro $a$ a $b$, pak není případ že $r$ platí pro $b$ a $a$, $r$ je asymetrické.Std.Asymm.mk
3.$r$ je asymetrické, právě tehdy, když pro všechny prvky $a$ a $b$ $x$, jestliže $r$ platí pro $a$ a $b$, pak není případ že $r$ platí pro $b$ a $a$.iffI 1, 2 [h1]
Proof, German
3 lines
1.Es ist nicht der Fall dass $r$ für $b$ und $a$ hält.Std.Asymm.asymm
2.Für alle Mengen $x$ und Funktionen $r$ aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen und Elemente $\mathrm{asymm}$ von $\mathrm{Proof}$ angewandt auf den Satz, dass für alle Elemente $a$ und $b$ von $x$, wenn $r$ für $a$ und $b$ hält, dann es nicht der Fall dass $r$ für $b$ und $a$ hält ist, ist $r$ asymmetrisch.Std.Asymm.mk
3.$r$ ist asymmetrisch, genau dann, wenn für alle Elemente $a$ und $b$ von $x$, wenn $r$ für $a$ und $b$ hält, dann es nicht der Fall dass $r$ für $b$ und $a$ hält ist.iffI 1, 2 [h1]
Proof, Swedish
3 lines
1.Det är inte fallet att $r$ håller för $b$ och $a$.Std.Asymm.asymm
2.För alla mängder $x$ och funktioner $r$ från element av $x$ och element av $x$ till påståenden och element $\mathrm{asymm}$ av $\mathrm{Proof}$ applicerat på påståendet att för alla element $a$ och $b$ av $x$, om $r$ håller för $a$ och $b$, så är det inte fallet att $r$ håller för $b$ och $a$, är $r$ asymmetriskt.Std.Asymm.mk
3.$r$ är asymmetriskt, om och endast om för alla element $a$ och $b$ av $x$, om $r$ håller för $a$ och $b$, så är det inte fallet att $r$ håller för $b$ och $a$.iffI 1, 2 [h1]
total_deftheoremUnbundled.lean:129
Lean
lemma total_def : Std.Total r ↔ ∀ ⦃a b⦄, r a b ∨ r b a :=
  ⟨(·.total), .mk⟩
Dedukti
2 lines
def total_def : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> Proof (iff (Std__Total r) (forall x (a => forall x (b => or (r a b) (r b a))))) :=
  x => r => iffI (Std__Total r) (forall x (a => forall x (b => or (r a b) (r b a)))) (h => Std__Total__total x r) Std__Total__mk.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Then $r$ is total, if and only if for all elements $a$ and $b$ of $x$, $r$ holds for $a$ and $b$ or $r$ holds for $b$ and $a$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Alors $r$ est total si et seulement si pour tous les éléments $a$ et $b$ de $x$, $r$ tient pour $a$ et $b$ ou $r$ tient pour $b$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Tedy $r$ je úplné, právě tehdy, když pro všechny prvky $a$ a $b$ $x$, $r$ platí pro $a$ a $b$ nebo $r$ platí pro $b$ a $a$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann ist $r$ total, genau dann, wenn für alle Elemente $a$ und $b$ von $x$, $r$ für $a$ und $b$ hält oder $r$ für $b$ und $a$ hält.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Då är $r$ totalt, om och endast om för alla element $a$ och $b$ av $x$, håller $r$ för $a$ och $b$ eller $r$ håller för $b$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} \vdash \operatorname{Total} (r)\leftrightarrow (\forall a \in x . \forall b \in x . r (a , b)\vee r (b , a))$
Proof
3 lines
1.$r$ holds for $a$ and $b$ or $r$ holds for $b$ and $a$.Std.Total.total
2.For all sets $x$ and functions $r$ from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions and elements $\mathrm{total}$ of $\mathrm{Proof}$ applied to the proposition that for all elements $a$ and $b$ of $x$, $r$ holds for $a$ and $b$ or $r$ holds for $b$ and $a$, $r$ is total.Std.Total.mk
3.$r$ is total, if and only if for all elements $a$ and $b$ of $x$, $r$ holds for $a$ and $b$ or $r$ holds for $b$ and $a$.iffI 1, 2 [h]
Proof, French
3 lines
1.$r$ tient pour $a$ et $b$ ou $r$ tient pour $b$ et $a$.Std.Total.total
2.Pour tous les ensembles $x$ et les fonctions $r$ des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions et les éléments $\mathrm{total}$ de $\mathrm{Proof}$ appliqué à la proposition que pour tous les éléments $a$ et $b$ de $x$, $r$ tient pour $a$ et $b$ ou $r$ tient pour $b$ et $a$, $r$ est total.Std.Total.mk
3.$r$ est total si et seulement si pour tous les éléments $a$ et $b$ de $x$, $r$ tient pour $a$ et $b$ ou $r$ tient pour $b$ et $a$.iffI 1, 2 [h]
Proof, Czech
3 lines
1.$r$ platí pro $a$ a $b$ nebo $r$ platí pro $b$ a $a$.Std.Total.total
2.Pro všechny množiny $x$ a funkce $r$ z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků a prvky $\mathrm{total}$ $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na výrok že pro všechny prvky $a$ a $b$ $x$, $r$ platí pro $a$ a $b$ nebo $r$ platí pro $b$ a $a$, $r$ je úplné.Std.Total.mk
3.$r$ je úplné, právě tehdy, když pro všechny prvky $a$ a $b$ $x$, $r$ platí pro $a$ a $b$ nebo $r$ platí pro $b$ a $a$.iffI 1, 2 [h]
Proof, German
3 lines
1.$r$ hält für $a$ und $b$ oder $r$ hält für $b$ und $a$.Std.Total.total
2.Für alle Mengen $x$ und Funktionen $r$ aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen und Elemente $\mathrm{total}$ von $\mathrm{Proof}$ angewandt auf den Satz, dass für alle Elemente $a$ und $b$ von $x$, $r$ für $a$ und $b$ hält oder $r$ für $b$ und $a$ hält, ist $r$ total.Std.Total.mk
3.$r$ ist total, genau dann, wenn für alle Elemente $a$ und $b$ von $x$, $r$ für $a$ und $b$ hält oder $r$ für $b$ und $a$ hält.iffI 1, 2 [h]
Proof, Swedish
3 lines
1.$r$ håller för $a$ och $b$ eller $r$ håller för $b$ och $a$.Std.Total.total
2.För alla mängder $x$ och funktioner $r$ från element av $x$ och element av $x$ till påståenden och element $\mathrm{total}$ av $\mathrm{Proof}$ applicerat på påståendet att för alla element $a$ och $b$ av $x$, håller $r$ för $a$ och $b$ eller $r$ håller för $b$ och $a$, är $r$ totalt.Std.Total.mk
3.$r$ är totalt, om och endast om för alla element $a$ och $b$ av $x$, håller $r$ för $a$ och $b$ eller $r$ håller för $b$ och $a$.iffI 1, 2 [h]
trichotomous_deftheoremUnbundled.lean:132
Lean
lemma trichotomous_def : Std.Trichotomous r ↔ ∀ ⦃a b⦄, ¬r a b → ¬r b a → a = b :=
  ⟨(·.trichotomous), .mk⟩
Dedukti
2 lines
def trichotomous_def : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> Proof (iff (Std__Trichotomous r) (forall x (a => forall x (b => if (not (r a b)) (if (not (r b a)) (Eqt x a b)))))) :=
  x => r => iffI (Std__Trichotomous r) (forall x (a => forall x (b => if (not (r a b)) (if (not (r b a)) (Eqt x a b))))) (h2 => Std__Trichotomous__trichotomous x r) Std__Trichotomous__mk.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Then $r$ is trichotomous, if and only if for all elements $a$ and $b$ of $x$, if it is not the case that $r$ holds for $a$ and $b$, then if it is not the case that $r$ holds for $b$ and $a$, then $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Alors $r$ est trichotome si et seulement si pour tous les éléments $a$ et $b$ de $x$, s'il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $a$ et $b$, alors s'il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $b$ et $a$, alors $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Tedy $r$ je trichotomické, právě tehdy, když pro všechny prvky $a$ a $b$ $x$, jestliže není případ že $r$ platí pro $a$ a $b$, pak jestliže není případ že $r$ platí pro $b$ a $a$, pak $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann ist $r$ trichotom, genau dann, wenn für alle Elemente $a$ und $b$ von $x$, wenn es nicht der Fall dass $r$ für $a$ und $b$ hält ist, dann wenn es nicht der Fall dass $r$ für $b$ und $a$ hält ist, dann $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Då är $r$ trikotomt, om och endast om för alla element $a$ och $b$ av $x$, om det inte är fallet att $r$ håller för $a$ och $b$, så om det inte är fallet att $r$ håller för $b$ och $a$, så $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} \vdash \operatorname{Trichotomous} (r)\leftrightarrow (\forall a \in x . \forall b \in x . \neg r (a , b)\rightarrow \neg r (b , a)\rightarrow \EqtMACRoJ {a}{b})$
Proof
3 lines
1.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.Std.Trichotomous.trichotomous
2.For all sets $x$ and functions $r$ from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions and elements $\mathrm{trichotomous}$ of $\mathrm{Proof}$ applied to the proposition that for all elements $a$ and $b$ of $x$, if it is not the case that $r$ holds for $a$ and $b$, then if it is not the case that $r$ holds for $b$ and $a$, then $\EqtMACRoJ {a}{b}$, $r$ is trichotomous.Std.Trichotomous.mk
3.$r$ is trichotomous, if and only if for all elements $a$ and $b$ of $x$, if it is not the case that $r$ holds for $a$ and $b$, then if it is not the case that $r$ holds for $b$ and $a$, then $\EqtMACRoJ {a}{b}$.iffI 1, 2 [h2]
Proof, French
3 lines
1.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.Std.Trichotomous.trichotomous
2.Pour tous les ensembles $x$ et les fonctions $r$ des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions et les éléments $\mathrm{trichotomous}$ de $\mathrm{Proof}$ appliqué à la proposition que pour tous les éléments $a$ et $b$ de $x$, s'il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $a$ et $b$, alors s'il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $b$ et $a$, alors $\EqtMACRoJ {a}{b}$, $r$ est trichotome.Std.Trichotomous.mk
3.$r$ est trichotome si et seulement si pour tous les éléments $a$ et $b$ de $x$, s'il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $a$ et $b$, alors s'il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $b$ et $a$, alors $\EqtMACRoJ {a}{b}$.iffI 1, 2 [h2]
Proof, Czech
3 lines
1.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.Std.Trichotomous.trichotomous
2.Pro všechny množiny $x$ a funkce $r$ z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků a prvky $\mathrm{trichotomous}$ $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na výrok že pro všechny prvky $a$ a $b$ $x$, jestliže není případ že $r$ platí pro $a$ a $b$, pak jestliže není případ že $r$ platí pro $b$ a $a$, pak $\EqtMACRoJ {a}{b}$, $r$ je trichotomické.Std.Trichotomous.mk
3.$r$ je trichotomické, právě tehdy, když pro všechny prvky $a$ a $b$ $x$, jestliže není případ že $r$ platí pro $a$ a $b$, pak jestliže není případ že $r$ platí pro $b$ a $a$, pak $\EqtMACRoJ {a}{b}$.iffI 1, 2 [h2]
Proof, German
3 lines
1.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.Std.Trichotomous.trichotomous
2.Für alle Mengen $x$ und Funktionen $r$ aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen und Elemente $\mathrm{trichotomous}$ von $\mathrm{Proof}$ angewandt auf den Satz, dass für alle Elemente $a$ und $b$ von $x$, wenn es nicht der Fall dass $r$ für $a$ und $b$ hält ist, dann wenn es nicht der Fall dass $r$ für $b$ und $a$ hält ist, dann $\EqtMACRoJ {a}{b}$, ist $r$ trichotom.Std.Trichotomous.mk
3.$r$ ist trichotom, genau dann, wenn für alle Elemente $a$ und $b$ von $x$, wenn es nicht der Fall dass $r$ für $a$ und $b$ hält ist, dann wenn es nicht der Fall dass $r$ für $b$ und $a$ hält ist, dann $\EqtMACRoJ {a}{b}$.iffI 1, 2 [h2]
Proof, Swedish
3 lines
1.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.Std.Trichotomous.trichotomous
2.För alla mängder $x$ och funktioner $r$ från element av $x$ och element av $x$ till påståenden och element $\mathrm{trichotomous}$ av $\mathrm{Proof}$ applicerat på påståendet att för alla element $a$ och $b$ av $x$, om det inte är fallet att $r$ håller för $a$ och $b$, så om det inte är fallet att $r$ håller för $b$ och $a$, så $\EqtMACRoJ {a}{b}$, är $r$ trikotomt.Std.Trichotomous.mk
3.$r$ är trikotomt, om och endast om för alla element $a$ och $b$ av $x$, om det inte är fallet att $r$ håller för $a$ och $b$, så om det inte är fallet att $r$ håller för $b$ och $a$, så $\EqtMACRoJ {a}{b}$.iffI 1, 2 [h2]
irrefl_oftheoremUnbundled.lean:172
Lean
@[elab_without_expected_type] lemma irrefl_of [Std.Irrefl r] (a : α) : ¬a ≺ a := irrefl a
Dedukti
2 lines
def irrefl_of : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Irrefl r)) -> (a : Elem x) -> Proof (not (r a a)) :=
  x => r => h => a => irrefl x r a.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be an irreflexive function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $a$ be an element of $x$. Then it is not the case that $r$ holds for $a$ and $a$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions irréflexive. Soit $a$ un élément de $x$. Alors il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $a$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je ireflexivní funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $a$ je prvek $x$. Tedy není případ že $r$ platí pro $a$ a $a$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine irreflexive Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Sei $a$ ein Element von $x$. Dann ist es nicht der Fall dass $r$ für $a$ und $a$ hält.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en irreflexiv funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $a$ vara ett element av $x$. Då är det inte fallet att $r$ håller för $a$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Irrefl} (r), a \in x \vdash \neg r (a , a)$
Proof
2 lines
1.Let $a$ be an element of $x$.
2.It is not the case that $r$ holds for $a$ and $a$.irrefl
Proof, French
2 lines
1.Soit $a$ un élément de $x$.
2.Il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $a$ et $a$.irrefl
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ je prvek $x$.
2.Není případ že $r$ platí pro $a$ a $a$.irrefl
Proof, German
2 lines
1.Sei $a$ ein Element von $x$.
2.Es ist nicht der Fall dass $r$ für $a$ und $a$ hält.irrefl
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ vara ett element av $x$.
2.Det är inte fallet att $r$ håller för $a$ och $a$.irrefl
refl_oftheoremUnbundled.lean:173
Lean
@[elab_without_expected_type] lemma refl_of [Std.Refl r] (a : α) : a ≺ a := refl a
Dedukti
2 lines
def refl_of : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Refl r)) -> (a : Elem x) -> Proof (r a a) :=
  x => r => h => a => refl x r a.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a reflexive function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $a$ be an element of $x$. Then $r$ holds for $a$ and $a$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions réflexive. Soit $a$ un élément de $x$. Alors $r$ tient pour $a$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je reflexivní funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $a$ je prvek $x$. Tedy $r$ platí pro $a$ a $a$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine reflexive Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Sei $a$ ein Element von $x$. Dann hält $r$ für $a$ und $a$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en reflexiv funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $a$ vara ett element av $x$. Då håller $r$ för $a$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Refl} (r), a \in x \vdash r (a , a)$
Proof
2 lines
1.Let $a$ be an element of $x$.
2.$r$ holds for $a$ and $a$.refl
Proof, French
2 lines
1.Soit $a$ un élément de $x$.
2.$r$ tient pour $a$ et $a$.refl
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ je prvek $x$.
2.$r$ platí pro $a$ a $a$.refl
Proof, German
2 lines
1.Sei $a$ ein Element von $x$.
2.$r$ hält für $a$ und $a$.refl
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ vara ett element av $x$.
2.$r$ håller för $a$ och $a$.refl
trans_oftheoremUnbundled.lean:174
Lean
@[elab_without_expected_type] lemma trans_of [IsTrans α r] : a ≺ b → b ≺ c → a ≺ c := _root_.trans
Dedukti
2 lines
def trans_of : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (_ : Proof (IsTrans x r)) -> (h1 : Proof (r a b)) -> (h2 : Proof (r b c)) -> Proof (r a c) :=
  x => r => a => b => c => h => trans x r a b c.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Assume that $r$ is transitive. Assume that $r$ holds for $a$ and $b$. Assume that $r$ holds for $b$ and $c$. Then $r$ holds for $a$ and $c$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Supposons que $r$ est transitif. Supposons que $r$ tient pour $a$ et $b$. Supposons que $r$ tient pour $b$ et $c$. Alors $r$ tient pour $a$ et $c$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Předpokládejme, že $r$ je tranzitivní. Předpokládejme, že $r$ platí pro $a$ a $b$. Předpokládejme, že $r$ platí pro $b$ a $c$. Tedy $r$ platí pro $a$ a $c$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$. Nimm an, dass $r$ transitiv ist. Nimm an, dass $r$ für $a$ und $b$ hält. Nimm an, dass $r$ für $b$ und $c$ hält. Dann hält $r$ für $a$ und $c$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Anta att $r$ är transitivt. Anta att $r$ håller för $a$ och $b$. Anta att $r$ håller för $b$ och $c$. Då håller $r$ för $a$ och $c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , a , b , c \in x , \mathrm{IsTrans} (x , r), r (a , b), r (b , c)\vdash r (a , c)$
Proof
2 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.$r$ holds for $a$ and $c$.trans
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.$r$ tient pour $a$ et $c$.trans
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.$r$ platí pro $a$ a $c$.trans
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.$r$ hält für $a$ und $c$.trans
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.$r$ håller för $a$ och $c$.trans
symm_oftheoremUnbundled.lean:175
Lean
@[elab_without_expected_type] lemma symm_of [Std.Symm r] : a ≺ b → b ≺ a := symm
Dedukti
2 lines
def symm_of : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (_ : Proof (Std__Symm r)) -> (h1 : Proof (r a b)) -> Proof (r b a) :=
  x => r => a => b => h => symm x r a b.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Assume that $r$ is symmetric. Assume that $r$ holds for $a$ and $b$. Then $r$ holds for $b$ and $a$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Supposons que $r$ est symétrique. Supposons que $r$ tient pour $a$ et $b$. Alors $r$ tient pour $b$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Předpokládejme, že $r$ je symetrické. Předpokládejme, že $r$ platí pro $a$ a $b$. Tedy $r$ platí pro $b$ a $a$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Nimm an, dass $r$ symmetrisch ist. Nimm an, dass $r$ für $a$ und $b$ hält. Dann hält $r$ für $b$ und $a$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Anta att $r$ är symmetriskt. Anta att $r$ håller för $a$ och $b$. Då håller $r$ för $b$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , a , b \in x , \operatorname{Symm} (r), r (a , b)\vdash r (b , a)$
Proof
2 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$r$ holds for $b$ and $a$.symm
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$r$ tient pour $b$ et $a$.symm
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$r$ platí pro $b$ a $a$.symm
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$r$ hält für $b$ und $a$.symm
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$r$ håller för $b$ och $a$.symm
asymm_oftheoremUnbundled.lean:176
Lean
@[elab_without_expected_type] lemma asymm_of [Std.Asymm r] : a ≺ b → ¬b ≺ a := asymm
Dedukti
2 lines
def asymm_of : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (_ : Proof (Std__Asymm r)) -> (h1 : Proof (r a b)) -> Proof (not (r b a)) :=
  x => r => a => b => h => asymm x r a b.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Assume that $r$ is asymmetric. Assume that $r$ holds for $a$ and $b$. Then it is not the case that $r$ holds for $b$ and $a$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Supposons que $r$ est asymétrique. Supposons que $r$ tient pour $a$ et $b$. Alors il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $b$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Předpokládejme, že $r$ je asymetrické. Předpokládejme, že $r$ platí pro $a$ a $b$. Tedy není případ že $r$ platí pro $b$ a $a$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Nimm an, dass $r$ asymmetrisch ist. Nimm an, dass $r$ für $a$ und $b$ hält. Dann ist es nicht der Fall dass $r$ für $b$ und $a$ hält.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Anta att $r$ är asymmetriskt. Anta att $r$ håller för $a$ och $b$. Då är det inte fallet att $r$ håller för $b$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , a , b \in x , \operatorname{Asymm} (r), r (a , b)\vdash \neg r (b , a)$
Proof
2 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.It is not the case that $r$ holds for $b$ and $a$.asymm
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.Il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $b$ et $a$.asymm
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Není případ že $r$ platí pro $b$ a $a$.asymm
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Es ist nicht der Fall dass $r$ für $b$ und $a$ hält.asymm
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Det är inte fallet att $r$ håller för $b$ och $a$.asymm
total_oftheoremUnbundled.lean:179
Lean
@[elab_without_expected_type]
lemma total_of [Std.Total r] (a b : α) : a ≺ b ∨ b ≺ a := Std.Total.total _ _
Dedukti
2 lines
def total_of : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Total r)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (or (r a b) (r b a)) :=
  x => r => h => a => b => Std__Total__total x r a b.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a total function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $r$ holds for $a$ and $b$ or $r$ holds for $b$ and $a$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions totale. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $r$ tient pour $a$ et $b$ ou $r$ tient pour $b$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je úplná funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $r$ platí pro $a$ a $b$ nebo $r$ platí pro $b$ a $a$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine totale Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann hält $r$ für $a$ und $b$ oder $r$ hält für $b$ und $a$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en total funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då håller $r$ för $a$ och $b$ eller $r$ håller för $b$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Total} (r), a , b \in x \vdash r (a , b)\vee r (b , a)$
Proof
2 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$r$ holds for $a$ and $b$ or $r$ holds for $b$ and $a$.Std.Total.total
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$r$ tient pour $a$ et $b$ ou $r$ tient pour $b$ et $a$.Std.Total.total
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$r$ platí pro $a$ a $b$ nebo $r$ platí pro $b$ a $a$.Std.Total.total
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$r$ hält für $a$ und $b$ oder $r$ hält für $b$ und $a$.Std.Total.total
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$r$ håller för $a$ och $b$ eller $r$ håller för $b$ och $a$.Std.Total.total
trichotomous_oftheoremUnbundled.lean:182
Lean
@[elab_without_expected_type]
lemma trichotomous_of [Std.Trichotomous r] : ∀ a b : α, a ≺ b ∨ a = b ∨ b ≺ a := trichotomous
Dedukti
2 lines
def trichotomous_of : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Trichotomous r)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (or (r a b) (or (Eqt x a b) (r b a))) :=
  x => r => h => trichotomous x r.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a trichotomous function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $r$ holds for $a$ and $b$, $\EqtMACRoH {a}{b}$ or $r$ holds for $b$ and $a$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions trichotome. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $r$ tient pour $a$ et $b$, $\EqtMACRoH {a}{b}$ ou $r$ tient pour $b$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je trichotomická funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $r$ platí pro $a$ a $b$, $\EqtMACRoH {a}{b}$ nebo $r$ platí pro $b$ a $a$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine trichotome Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann hält $r$ für $a$ und $b$, $\EqtMACRoH {a}{b}$ oder $r$ hält für $b$ und $a$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en trikotom funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då håller $r$ för $a$ och $b$, $\EqtMACRoH {a}{b}$ eller $r$ håller för $b$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Trichotomous} (r), a , b \in x \vdash r (a , b)\vee (\EqtMACRoJ {a}{b}\vee r (b , a))$
Proof
1 lines
1.$r$ holds for $a$ and $b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ or $r$ holds for $b$ and $a$.trichotomous
Proof, French
1 lines
1.$r$ tient pour $a$ et $b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ ou $r$ tient pour $b$ et $a$.trichotomous
Proof, Czech
1 lines
1.$r$ platí pro $a$ a $b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ nebo $r$ platí pro $b$ a $a$.trichotomous
Proof, German
1 lines
1.Hält $r$ für $a$ und $b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ oder $r$ hält für $b$ und $a$.trichotomous
Proof, Swedish
1 lines
1.$r$ håller för $a$ och $b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ eller $r$ håller för $b$ och $a$.trichotomous
stdIsPreorder_ifftheoremUnbundled.lean:184
Lean
theorem stdIsPreorder_iff {α : Type*} [LE α] : Std.IsPreorder α ↔ IsPreorder α (· ≤ ·) :=
  ⟨fun _ ↦ {}, fun _ ↦ ⟨refl, fun _ _ _ ↦ _root_.trans⟩⟩
Dedukti
2 lines
def stdIsPreorder_iff : (x : Set) -> (_ : Proof (LE x)) -> Proof (iff (Std__IsPreorder x) (IsPreorder x (x2 => x3 => Leq x2 x3))) :=
  x => x1 => iffI (Std__IsPreorder x) (IsPreorder x (x2 => x3 => Leq x2 x3)) (h => IsPreorder__mk) (h1 => Std__IsPreorder__mk (refl x Leq) (forallI x (x4 => forall x (x8 => forall x (x9 => if (Leq x4 x8) (if (Leq x8 x9) (Leq x4 x9))))) (x4 => forallI x (x5 => forall x (x7 => if (Leq x4 x5) (if (Leq x5 x7) (Leq x4 x7)))) (x5 => forallI x (x6 => if (Leq x4 x5) (if (Leq x5 x6) (Leq x4 x6))) (x6 => trans x Leq x4 x5 x6))))).
English
Let $x$ be an ordered set. Then $\operatorname{IsPreorder}$ holds for $x$, if and only if the function that maps $x_{2}$ and $x_{3}$ to $\mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})$ is a preorder.
French
Soit $x$ un ensemble ordonné. Alors $\operatorname{IsPreorder}$ tient pour $x$ si et seulement si la fonction qui envoie $x_{2}$ et $x_{3}$ à $\mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})$ est un préordre.
Czech
Nechť $x$ je uspořádaná množina. Tedy $\operatorname{IsPreorder}$ platí pro $x$, právě tehdy, když funkce která zobrazuje $x_{2}$ a $x_{3}$ na $\mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})$ je předuspořádání.
German
Sei $x$ eine geordnete Menge. Dann hält $\operatorname{IsPreorder}$ für $x$, genau dann, wenn die Funktion, die als $\mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})$ $x_{2}$ und $x_{3}$ abbildet, eine Präordnung ist.
Swedish
Låt $x$ vara en ordnad mängd. Då håller $\operatorname{IsPreorder}$ för $x$, om och endast om funktionen som avbildar $x_{2}$ och $x_{3}$ som $\mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})$ är en kvasiordning.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LE} (x)\vdash \operatorname{IsPreorder} (x)\leftrightarrow \mathrm{IsPreorder} (x , \lambda x_{2} , x_{3} . \mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3}))$
Proof
8 lines
1.For all sets $x$ and functions $r$ from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions, $r$ is a preorder.IsPreorder.mk
2.Let $x_{4}$, $x_{5}$ and $x_{6}$ be elements of $x$.
3.$x_{4} \leq x_{6}$.trans
4.For all elements $x_{6}$ of $x$, if $x_{4} \leq x_{5}$, then if $x_{5} \leq x_{6}$, then $x_{4} \leq x_{6}$.forallI 2, 3 [x6]
5.For all elements $x_{5}$ and $x_{7}$ of $x$, if $x_{4} \leq x_{5}$, then if $x_{5} \leq x_{7}$, then $x_{4} \leq x_{7}$.forallI 2, 4 [x5]
6.For all elements $x_{4}$, $x_{8}$ and $x_{9}$ of $x$, if $x_{4} \leq x_{8}$, then if $x_{8} \leq x_{9}$, then $x_{4} \leq x_{9}$.forallI 2, 5 [x4]
7.$\operatorname{IsPreorder}$ holds for $\mathrm{refl}$ applied to $x$ and $\mathrm{Leq}$.Std.IsPreorder.mk 6
8.$\operatorname{IsPreorder}$ holds for $x$, if and only if the function that maps $x_{2}$ and $x_{3}$ to $\mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})$ is a preorder.iffI 1, 7 [h, h1]
Proof, French
8 lines
1.Pour tous les ensembles $x$ et les fonctions $r$ des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions, $r$ est un préordre.IsPreorder.mk
2.Soient $x_{4}$, $x_{5}$ et $x_{6}$ des éléments de $x$.
3.$x_{4} \leq x_{6}$.trans
4.Pour tous les éléments $x_{6}$ de $x$, si $x_{4} \leq x_{5}$, alors si $x_{5} \leq x_{6}$, alors $x_{4} \leq x_{6}$.forallI 2, 3 [x6]
5.Pour tous les éléments $x_{5}$ et $x_{7}$ de $x$, si $x_{4} \leq x_{5}$, alors si $x_{5} \leq x_{7}$, alors $x_{4} \leq x_{7}$.forallI 2, 4 [x5]
6.Pour tous les éléments $x_{4}$, $x_{8}$ et $x_{9}$ de $x$, si $x_{4} \leq x_{8}$, alors si $x_{8} \leq x_{9}$, alors $x_{4} \leq x_{9}$.forallI 2, 5 [x4]
7.$\operatorname{IsPreorder}$ tient pour $\mathrm{refl}$ appliqué à $x$ et $\mathrm{Leq}$.Std.IsPreorder.mk 6
8.$\operatorname{IsPreorder}$ tient pour $x$ si et seulement si la fonction qui envoie $x_{2}$ et $x_{3}$ à $\mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})$ est un préordre.iffI 1, 7 [h, h1]
Proof, Czech
8 lines
1.Pro všechny množiny $x$ a funkce $r$ z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků, $r$ je předuspořádání.IsPreorder.mk
2.Nechť $x_{4}$, $x_{5}$ a $x_{6}$ je prvek $x$.
3.$x_{4} \leq x_{6}$.trans
4.Pro všechny prvky $x_{6}$ $x$, jestliže $x_{4} \leq x_{5}$, pak jestliže $x_{5} \leq x_{6}$, pak $x_{4} \leq x_{6}$.forallI 2, 3 [x6]
5.Pro všechny prvky $x_{5}$ a $x_{7}$ $x$, jestliže $x_{4} \leq x_{5}$, pak jestliže $x_{5} \leq x_{7}$, pak $x_{4} \leq x_{7}$.forallI 2, 4 [x5]
6.Pro všechny prvky $x_{4}$, $x_{8}$ a $x_{9}$ $x$, jestliže $x_{4} \leq x_{8}$, pak jestliže $x_{8} \leq x_{9}$, pak $x_{4} \leq x_{9}$.forallI 2, 5 [x4]
7.$\operatorname{IsPreorder}$ platí pro $\mathrm{refl}$ aplikovaný na $x$ a $\mathrm{Leq}$.Std.IsPreorder.mk 6
8.$\operatorname{IsPreorder}$ platí pro $x$, právě tehdy, když funkce která zobrazuje $x_{2}$ a $x_{3}$ na $\mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})$ je předuspořádání.iffI 1, 7 [h, h1]
Proof, German
8 lines
1.Für alle Mengen $x$ und Funktionen $r$ aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen, ist $r$ eine Präordnung.IsPreorder.mk
2.Seien $x_{4}$, $x_{5}$ und $x_{6}$ elemente von $x$.
3.$x_{4} \leq x_{6}$.trans
4.Für alle Elemente $x_{6}$ von $x$, wenn $x_{4} \leq x_{5}$, dann wenn $x_{5} \leq x_{6}$, dann $x_{4} \leq x_{6}$.forallI 2, 3 [x6]
5.Für alle Elemente $x_{5}$ und $x_{7}$ von $x$, wenn $x_{4} \leq x_{5}$, dann wenn $x_{5} \leq x_{7}$, dann $x_{4} \leq x_{7}$.forallI 2, 4 [x5]
6.Für alle Elemente $x_{4}$, $x_{8}$ und $x_{9}$ von $x$, wenn $x_{4} \leq x_{8}$, dann wenn $x_{8} \leq x_{9}$, dann $x_{4} \leq x_{9}$.forallI 2, 5 [x4]
7.$\operatorname{IsPreorder}$ hält für $\mathrm{refl}$ angewandt auf $x$ und $\mathrm{Leq}$.Std.IsPreorder.mk 6
8.$\operatorname{IsPreorder}$ hält für $x$, genau dann, wenn die Funktion, die als $\mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})$ $x_{2}$ und $x_{3}$ abbildet, eine Präordnung ist.iffI 1, 7 [h, h1]
Proof, Swedish
8 lines
1.För alla mängder $x$ och funktioner $r$ från element av $x$ och element av $x$ till påståenden, är $r$ en kvasiordning.IsPreorder.mk
2.Låt $x_{4}$, $x_{5}$ och $x_{6}$ vara element av $x$.
3.$x_{4} \leq x_{6}$.trans
4.För alla element $x_{6}$ av $x$, om $x_{4} \leq x_{5}$, så om $x_{5} \leq x_{6}$, så $x_{4} \leq x_{6}$.forallI 2, 3 [x6]
5.För alla element $x_{5}$ och $x_{7}$ av $x$, om $x_{4} \leq x_{5}$, så om $x_{5} \leq x_{7}$, så $x_{4} \leq x_{7}$.forallI 2, 4 [x5]
6.För alla element $x_{4}$, $x_{8}$ och $x_{9}$ av $x$, om $x_{4} \leq x_{8}$, så om $x_{8} \leq x_{9}$, så $x_{4} \leq x_{9}$.forallI 2, 5 [x4]
7.$\operatorname{IsPreorder}$ håller för $\mathrm{refl}$ applicerat på $x$ och $\mathrm{Leq}$.Std.IsPreorder.mk 6
8.$\operatorname{IsPreorder}$ håller för $x$, om och endast om funktionen som avbildar $x_{2}$ och $x_{3}$ som $\mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})$ är en kvasiordning.iffI 1, 7 [h, h1]
stdIsPartialOrder_ifftheoremUnbundled.lean:187
Lean
theorem stdIsPartialOrder_iff {α : Type*} [LE α] :
    Std.IsPartialOrder α ↔ IsPartialOrder α (· ≤ ·) :=
Dedukti
1 lines
stdIsPartialOrder_iff : (x : Set) -> (_ : Proof (LE x)) -> Proof (iff (Std__IsPartialOrder x) (IsPartialOrder x (x2 => x3 => Leq x2 x3))).
English
Let $x$ be an ordered set. Then $\operatorname{IsPartialOrder}$ holds for $x$, if and only if the function that maps $x_{2}$ and $x_{3}$ to $\mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})$ is a partial order.
French
Soit $x$ un ensemble ordonné. Alors $\operatorname{IsPartialOrder}$ tient pour $x$ si et seulement si la fonction qui envoie $x_{2}$ et $x_{3}$ à $\mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})$ est un ordre partiel.
Czech
Nechť $x$ je uspořádaná množina. Tedy $\operatorname{IsPartialOrder}$ platí pro $x$, právě tehdy, když funkce která zobrazuje $x_{2}$ a $x_{3}$ na $\mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})$ je částečný řád.
German
Sei $x$ eine geordnete Menge. Dann hält $\operatorname{IsPartialOrder}$ für $x$, genau dann, wenn die Funktion, die als $\mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})$ $x_{2}$ und $x_{3}$ abbildet, eine partielle Ordnung ist.
Swedish
Låt $x$ vara en ordnad mängd. Då håller $\operatorname{IsPartialOrder}$ för $x$, om och endast om funktionen som avbildar $x_{2}$ och $x_{3}$ som $\mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})$ är en partiell ordning.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LE} (x)\vdash \operatorname{IsPartialOrder} (x)\leftrightarrow \mathrm{IsPartialOrder} (x , \lambda x_{2} , x_{3} . \mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3}))$
stdIsLinearOrder_ifftheoremUnbundled.lean:192
Lean
theorem stdIsLinearOrder_iff {α : Type*} [LE α] :
    Std.IsLinearOrder α ↔ IsLinearOrder α (· ≤ ·) :=
Dedukti
1 lines
stdIsLinearOrder_iff : (x : Set) -> (_ : Proof (LE x)) -> Proof (iff (Std__IsLinearOrder x) (IsLinearOrder x (x2 => x3 => Leq x2 x3))).
English
Let $x$ be an ordered set. Then $\operatorname{IsLinearOrder}$ holds for $x$, if and only if the function that maps $x_{2}$ and $x_{3}$ to $\mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})$ is a linear order.
French
Soit $x$ un ensemble ordonné. Alors $\operatorname{IsLinearOrder}$ tient pour $x$ si et seulement si la fonction qui envoie $x_{2}$ et $x_{3}$ à $\mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})$ est un ordre linéaire.
Czech
Nechť $x$ je uspořádaná množina. Tedy $\operatorname{IsLinearOrder}$ platí pro $x$, právě tehdy, když funkce která zobrazuje $x_{2}$ a $x_{3}$ na $\mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})$ je lineární řád.
German
Sei $x$ eine geordnete Menge. Dann hält $\operatorname{IsLinearOrder}$ für $x$, genau dann, wenn die Funktion, die als $\mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})$ $x_{2}$ und $x_{3}$ abbildet, eine lineare Ordnung ist.
Swedish
Låt $x$ vara en ordnad mängd. Då håller $\operatorname{IsLinearOrder}$ för $x$, om och endast om funktionen som avbildar $x_{2}$ och $x_{3}$ som $\mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3})$ är en linjär ordning.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LE} (x)\vdash \operatorname{IsLinearOrder} (x)\leftrightarrow \mathrm{IsLinearOrder} (x , \lambda x_{2} , x_{3} . \mathrm{Leq} (x_{2} , x_{3}))$
Equivalence.stdRefltheoremUnbundled.lean:203
Lean
theorem Equivalence.stdRefl (h : Equivalence r) : Std.Refl r where
  refl := h.refl
Dedukti
2 lines
def Equivalence__stdRefl : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (h : Proof (Equivalence r)) -> Proof (Std__Refl r) :=
  x => r => h => Std__Refl__mk (Equivalence__refl x r h).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions such that $r$ is an equivalence relation. Then $r$ is reflexive.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions telle que $r$ soit une relation d'équivalences. Alors $r$ est réflexif.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků taková, že $r$ je ekvivalencerelace. Tedy $r$ je reflexivní.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass $r$ eine ÄquivalenzRelation ist. Dann ist $r$ reflexiv.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden sådan att $r$ är en ekvivalensrelation. Då är $r$ reflexivt.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \mathrm{Equivalence} (r)\vdash \operatorname{Refl} (r)$
Proof
1 lines
1.$r$ is reflexive.Std.Refl.mk
Proof, French
1 lines
1.$r$ est réflexif.Std.Refl.mk
Proof, Czech
1 lines
1.$r$ je reflexivní.Std.Refl.mk
Proof, German
1 lines
1.$r$ ist reflexiv.Std.Refl.mk
Proof, Swedish
1 lines
1.$r$ är reflexivt.Std.Refl.mk
Equivalence.stdSymmtheoremUnbundled.lean:206
Lean
theorem Equivalence.stdSymm (h : Equivalence r) : Std.Symm r where
  symm _ _ := h.symm
Dedukti
2 lines
def Equivalence__stdSymm : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (h : Proof (Equivalence r)) -> Proof (Std__Symm r) :=
  x => r => h => Std__Symm__mk (forallI x (x1 => forall x (x3 => if (r x1 x3) (r x3 x1))) (x1 => forallI x (x2 => if (r x1 x2) (r x2 x1)) (x2 => Equivalence__symm x r h x1 x2))).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions such that $r$ is an equivalence relation. Then $r$ is symmetric.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions telle que $r$ soit une relation d'équivalences. Alors $r$ est symétrique.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků taková, že $r$ je ekvivalencerelace. Tedy $r$ je symetrické.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass $r$ eine ÄquivalenzRelation ist. Dann ist $r$ symmetrisch.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden sådan att $r$ är en ekvivalensrelation. Då är $r$ symmetriskt.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \mathrm{Equivalence} (r)\vdash \operatorname{Symm} (r)$
Proof
1 lines
1.$r$ is symmetric.Std.Symm.mk
Proof, French
1 lines
1.$r$ est symétrique.Std.Symm.mk
Proof, Czech
1 lines
1.$r$ je symetrické.Std.Symm.mk
Proof, German
1 lines
1.$r$ ist symmetrisch.Std.Symm.mk
Proof, Swedish
1 lines
1.$r$ är symmetriskt.Std.Symm.mk
Equivalence.isTranstheoremUnbundled.lean:211
Lean
theorem Equivalence.isTrans (h : Equivalence r) : IsTrans α r :=
  ⟨fun _ _ _ ↦ h.trans⟩
Dedukti
2 lines
def Equivalence__isTrans : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (h : Proof (Equivalence r)) -> Proof (IsTrans x r) :=
  x => r => h => IsTrans__mk (forallI x (x1 => forall x (x5 => forall x (x6 => if (r x1 x5) (if (r x5 x6) (r x1 x6))))) (x1 => forallI x (x2 => forall x (x4 => if (r x1 x2) (if (r x2 x4) (r x1 x4)))) (x2 => forallI x (x3 => if (r x1 x2) (if (r x2 x3) (r x1 x3))) (x3 => Equivalence__trans x r h x1 x2 x3)))).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions such that $r$ is an equivalence relation. Then $r$ is transitive.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions telle que $r$ soit une relation d'équivalences. Alors $r$ est transitif.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků taková, že $r$ je ekvivalencerelace. Tedy $r$ je tranzitivní.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass $r$ eine ÄquivalenzRelation ist. Dann ist $r$ transitiv.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden sådan att $r$ är en ekvivalensrelation. Då är $r$ transitivt.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \mathrm{Equivalence} (r)\vdash \mathrm{IsTrans} (x , r)$
Proof
1 lines
1.$r$ is transitive.IsTrans.mk
Proof, French
1 lines
1.$r$ est transitif.IsTrans.mk
Proof, Czech
1 lines
1.$r$ je tranzitivní.IsTrans.mk
Proof, German
1 lines
1.$r$ ist transitiv.IsTrans.mk
Proof, Swedish
1 lines
1.$r$ är transitivt.IsTrans.mk
Equivalence.isEquivtheoremUnbundled.lean:214
Lean
theorem Equivalence.isEquiv (h : Equivalence r) : IsEquiv α r :=
  have := h.stdRefl
  have := h.stdSymm
  have := h.isTrans
  {}
Dedukti
2 lines
def Equivalence__isEquiv : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (h : Proof (Equivalence r)) -> Proof (IsEquiv x r) :=
  x => r => h => IsEquiv__mk.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions such that $r$ is an equivalence relation. Then $r$ is an equivalence relation.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions telle que $r$ soit une relation d'équivalences. Alors $r$ est une relation d'équivalences.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků taková, že $r$ je ekvivalencerelace. Tedy $r$ je ekvivalencerelace.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass $r$ eine ÄquivalenzRelation ist. Dann ist $r$ eine ÄquivalenzRelation.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden sådan att $r$ är en ekvivalensrelation. Då är $r$ en ekvivalensrelation.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \mathrm{Equivalence} (r)\vdash \mathrm{IsEquiv} (x , r)$
Proof
1 lines
1.For all sets $x$ and functions $r$ from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions, $r$ is an equivalence relation.IsEquiv.mk
Proof, French
1 lines
1.Pour tous les ensembles $x$ et les fonctions $r$ des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions, $r$ est une relation d'équivalences.IsEquiv.mk
Proof, Czech
1 lines
1.Pro všechny množiny $x$ a funkce $r$ z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků, $r$ je ekvivalencerelace.IsEquiv.mk
Proof, German
1 lines
1.Für alle Mengen $x$ und Funktionen $r$ aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen, ist $r$ eine ÄquivalenzRelation.IsEquiv.mk
Proof, Swedish
1 lines
1.För alla mängder $x$ och funktioner $r$ från element av $x$ och element av $x$ till påståenden, är $r$ en ekvivalensrelation.IsEquiv.mk
MinimaldefUnbundled.lean:240
Minimal P x means that x is a minimal element satisfying P.
Lean
@[to_dual /-- `Maximal P x` means that `x` is a maximal element satisfying `P`. -/]
def Minimal (P : α → Prop) (x : α) : Prop := P x ∧ ∀ ⦃y⦄, P y → y ≤ x → x ≤ y
Dedukti
2 lines
def Minimal : (P : (Elem x -> Prop)) -> (x2 : Elem x) -> Prop :=
  P => x2 => and (P x2) (forall x (y => if (P y) (if (Leq y x2) (Leq x2 y)))).
English
Let $P$ be a function from elements of $x$ to propositions. Let $x_{2}$ be an element of $x$. Then $x_{2}$ is minimal with respect to $P$, if $P$ holds for $x_{2}$ and for all elements $y$ of $x$, if $P$ holds for $y$, then if $y \leq x_{2}$, then $x_{2} \leq y$.
French
Soit $P$ une fonction des éléments de $x$ à des propositions. Soit $x_{2}$ un élément de $x$. Alors $x_{2}$ est minimal par rapport à $P$ si $P$ tient pour $x_{2}$ et pour tous des éléments $y$ de $x$, si $P$ tient pour $y$, alors si $y \leq x_{2}$, alors $x_{2} \leq y$.
Czech
Nechť $P$ je funkce z prvků $x$ do výroků. Nechť $x_{2}$ je prvek $x$. Tedy $x_{2}$ je minimální vzhledem k $P$, jestliže $P$ platí pro $x_{2}$ a pro všechny prvky $y$ $x$, jestliže $P$ platí pro $y$, pak jestliže $y \leq x_{2}$, pak $x_{2} \leq y$.
German
Sei $P$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Propositionen. Sei $x_{2}$ ein Element von $x$. Dann ist $x_{2}$ bezüglich $P$ minimal, wenn $P$ für $x_{2}$ hält und für alle Elemente $y$ von $x$, wenn $P$ für $y$ hält, dann wenn $y \leq x_{2}$, dann $x_{2} \leq y$.
Swedish
Låt $P$ vara en funktion från element av $x$ till påståenden. Låt $x_{2}$ vara ett element av $x$. Då är $x_{2}$ minimalt med avseende på $P$, om $P$ håller för $x_{2}$ och för alla element $y$ av $x$, om $P$ håller för $y$, så om $y \leq x_{2}$, så $x_{2} \leq y$.
Formula
$P \in x \rightarrow \mathrm{Prop} , x_{2} \in x \vdash \mathrm{Minimal} (P , x_{2}):\Leftrightarrow P (x_{2})\wedge (\forall y \in x . P (y)\rightarrow y \leq x_{2} \rightarrow x_{2} \leq y)$
MaximaldefUnbundled.lean:239
Maximal P x means that x is a maximal element satisfying P.
Lean
@[to_dual /-- `Maximal P x` means that `x` is a maximal element satisfying `P`. -/]
Dedukti
1 lines
Maximal : (P : (Elem x -> Prop)) -> (x2 : Elem x) -> Prop.
English
Let $P$ be a function from elements of $x$ to propositions. Let $x_{2}$ be an element of $x$. Then we can say that $x_{2}$ is maximal with respect to $P$.
French
Soit $P$ une fonction des éléments de $x$ à des propositions. Soit $x_{2}$ un élément de $x$. Alors nous pouvons dire que $x_{2}$ est maximal par rapport à $P$.
Czech
Nechť $P$ je funkce z prvků $x$ do výroků. Nechť $x_{2}$ je prvek $x$. Tedy můžeme říkat, že $x_{2}$ je maximální vzhledem k $P$.
German
Sei $P$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Propositionen. Sei $x_{2}$ ein Element von $x$. Dann können wir sagen, dass $x_{2}$ bezüglich $P$ maximal ist.
Swedish
Låt $P$ vara en funktion från element av $x$ till påståenden. Låt $x_{2}$ vara ett element av $x$. Då kan vi säga att $x_{2}$ är maximalt med avseende på $P$.
Formula
$P \in x \rightarrow \mathrm{Prop} , x_{2} \in x \vdash \mathrm{Maximal} (P , x_{2})\ \mathsf{prop}$
Maximal.proptheoremUnbundled.lean:242
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
Maximal__prop : (x : Set) -> (_ : Proof (LE x)) -> (P : (Elem x -> Prop)) -> (x2 : Elem x) -> (h : Proof (Maximal P x2)) -> Proof (P x2).
English
Let $x$ be an ordered set. Let $P$ be a function from elements of $x$ to propositions. Let $x_{2}$ be an element of $x$ such that $x_{2}$ is maximal with respect to $P$. Then $P$ holds for $x_{2}$.
French
Soit $x$ un ensemble ordonné. Soit $P$ une fonction des éléments de $x$ à des propositions. Soit $x_{2}$ un élément de $x$ tel que $x_{2}$ soit maximal par rapport à $P$. Alors $P$ tient pour $x_{2}$.
Czech
Nechť $x$ je uspořádaná množina. Nechť $P$ je funkce z prvků $x$ do výroků. Nechť $x_{2}$ je prvek $x$ takový, že $x_{2}$ je maximální vzhledem k $P$. Tedy $P$ platí pro $x_{2}$.
German
Sei $x$ eine geordnete Menge. Sei $P$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Propositionen. Sei $x_{2}$ ein Element von $x$ derart, dass $x_{2}$ bezüglich $P$ maximal ist. Dann hält $P$ für $x_{2}$.
Swedish
Låt $x$ vara en ordnad mängd. Låt $P$ vara en funktion från element av $x$ till påståenden. Låt $x_{2}$ vara ett element av $x$ sådant att $x_{2}$ är maximalt med avseende på $P$. Då håller $P$ för $x_{2}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LE} (x), P \in x \rightarrow \mathrm{Prop} , x_{2} \in x , \mathrm{Maximal} (P , x_{2})\vdash P (x_{2})$
Minimal.proptheoremUnbundled.lean:243
Lean
@[to_dual]
lemma Minimal.prop (h : Minimal P x) : P x :=
  h.1
Dedukti
2 lines
def Minimal__prop : (x : Set) -> (_ : Proof (LE x)) -> (P : (Elem x -> Prop)) -> (x2 : Elem x) -> (h : Proof (Minimal P x2)) -> Proof (P x2) :=
  x => x1 => P => x2 => h => andEl (P x2) (forall x (y => if (P y) (if (Leq y x2) (Leq x2 y)))) h.
English
Let $x$ be an ordered set. Let $P$ be a function from elements of $x$ to propositions. Let $x_{2}$ be an element of $x$ such that $x_{2}$ is minimal with respect to $P$. Then $P$ holds for $x_{2}$.
French
Soit $x$ un ensemble ordonné. Soit $P$ une fonction des éléments de $x$ à des propositions. Soit $x_{2}$ un élément de $x$ tel que $x_{2}$ soit minimal par rapport à $P$. Alors $P$ tient pour $x_{2}$.
Czech
Nechť $x$ je uspořádaná množina. Nechť $P$ je funkce z prvků $x$ do výroků. Nechť $x_{2}$ je prvek $x$ takový, že $x_{2}$ je minimální vzhledem k $P$. Tedy $P$ platí pro $x_{2}$.
German
Sei $x$ eine geordnete Menge. Sei $P$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Propositionen. Sei $x_{2}$ ein Element von $x$ derart, dass $x_{2}$ bezüglich $P$ minimal ist. Dann hält $P$ für $x_{2}$.
Swedish
Låt $x$ vara en ordnad mängd. Låt $P$ vara en funktion från element av $x$ till påståenden. Låt $x_{2}$ vara ett element av $x$ sådant att $x_{2}$ är minimalt med avseende på $P$. Då håller $P$ för $x_{2}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LE} (x), P \in x \rightarrow \mathrm{Prop} , x_{2} \in x , \mathrm{Minimal} (P , x_{2})\vdash P (x_{2})$
Proof
3 lines
1.Let $x_{2}$ be an element of $x$.
2.Assume that $x_{2}$ is minimal with respect to $P$.
3.$P$ holds for $x_{2}$.andEl 2
Proof, French
3 lines
1.Soit $x_{2}$ un élément de $x$.
2.Supposons que $x_{2}$ est minimal par rapport à $P$.
3.$P$ tient pour $x_{2}$.andEl 2
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $x_{2}$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $x_{2}$ je minimální vzhledem k $P$.
3.$P$ platí pro $x_{2}$.andEl 2
Proof, German
3 lines
1.Sei $x_{2}$ ein Element von $x$.
2.Nimm an, dass $x_{2}$ bezüglich $P$ minimal ist.
3.$P$ hält für $x_{2}$.andEl 2
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $x_{2}$ vara ett element av $x$.
2.Anta att $x_{2}$ är minimalt med avseende på $P$.
3.$P$ håller för $x_{2}$.andEl 2
Maximal.le_of_getheoremUnbundled.lean:246
Lean
@[to_dual le_of_ge] -- TODO: improve this naming
Dedukti
1 lines
Maximal__le_of_ge : (x : Set) -> (_ : Proof (LE x)) -> (P : (Elem x -> Prop)) -> (x2 : Elem x) -> (y : Elem x) -> (h : Proof (Maximal P x2)) -> (hy : Proof (P y)) -> (hle : Proof (Leq x2 y)) -> Proof (Leq y x2).
English
Let $x$ be an ordered set. Let $P$ be a function from elements of $x$ to propositions. Let $x_{2}$ and $y$ be elements of $x$ such that $x_{2}$ is maximal with respect to $P$, $P$ holds for $y$ and $x_{2} \leq y$. Then $y \leq x_{2}$.
French
Soit $x$ un ensemble ordonné. Soit $P$ une fonction des éléments de $x$ à des propositions. Soient $x_{2}$ et $y$ des éléments de $x$ tels que $x_{2}$ soit maximal par rapport à $P$, $P$ tienne pour $y$ et $x_{2} \leq y$. Alors $y \leq x_{2}$.
Czech
Nechť $x$ je uspořádaná množina. Nechť $P$ je funkce z prvků $x$ do výroků. Nechť $x_{2}$ a $y$ je prvek $x$ takový, že $x_{2}$ je maximální vzhledem k $P$, $P$ platí pro $y$ a $x_{2} \leq y$. Tedy $y \leq x_{2}$.
German
Sei $x$ eine geordnete Menge. Sei $P$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Propositionen. Seien $x_{2}$ und $y$ elemente von $x$ derart, dass ist $x_{2}$ bezüglich $P$ maximal, $P$ für $y$ hält und $x_{2} \leq y$. Dann $y \leq x_{2}$.
Swedish
Låt $x$ vara en ordnad mängd. Låt $P$ vara en funktion från element av $x$ till påståenden. Låt $x_{2}$ och $y$ vara element av $x$ sådana att $x_{2}$ är maximalt med avseende på $P$, $P$ håller för $y$ och $x_{2} \leq y$. Då $y \leq x_{2}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LE} (x), P \in x \rightarrow \mathrm{Prop} , x_{2} , y \in x , \mathrm{Maximal} (P , x_{2}), P (y), x_{2} \leq y \vdash y \leq x_{2}$
Minimal.le_of_letheoremUnbundled.lean:247
Lean
@[to_dual le_of_ge] -- TODO: improve this naming
lemma Minimal.le_of_le (h : Minimal P x) (hy : P y) (hle : y ≤ x) : x ≤ y :=
  h.2 hy hle
Dedukti
2 lines
def Minimal__le_of_le : (x : Set) -> (_ : Proof (LE x)) -> (P : (Elem x -> Prop)) -> (x2 : Elem x) -> (y : Elem x) -> (h : Proof (Minimal P x2)) -> (hy : Proof (P y)) -> (hle : Proof (Leq y x2)) -> Proof (Leq x2 y) :=
  x => x1 => P => x2 => y => h => hy => hle => andEr (P x2) (forall x (y1 => if (P y1) (if (Leq y1 x2) (Leq x2 y1)))) h y hy hle.
English
Let $x$ be an ordered set. Let $P$ be a function from elements of $x$ to propositions. Let $x_{2}$ and $y$ be elements of $x$ such that $x_{2}$ is minimal with respect to $P$, $P$ holds for $y$ and $y \leq x_{2}$. Then $x_{2} \leq y$.
French
Soit $x$ un ensemble ordonné. Soit $P$ une fonction des éléments de $x$ à des propositions. Soient $x_{2}$ et $y$ des éléments de $x$ tels que $x_{2}$ soit minimal par rapport à $P$, $P$ tienne pour $y$ et $y \leq x_{2}$. Alors $x_{2} \leq y$.
Czech
Nechť $x$ je uspořádaná množina. Nechť $P$ je funkce z prvků $x$ do výroků. Nechť $x_{2}$ a $y$ je prvek $x$ takový, že $x_{2}$ je minimální vzhledem k $P$, $P$ platí pro $y$ a $y \leq x_{2}$. Tedy $x_{2} \leq y$.
German
Sei $x$ eine geordnete Menge. Sei $P$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Propositionen. Seien $x_{2}$ und $y$ elemente von $x$ derart, dass ist $x_{2}$ bezüglich $P$ minimal, $P$ für $y$ hält und $y \leq x_{2}$. Dann $x_{2} \leq y$.
Swedish
Låt $x$ vara en ordnad mängd. Låt $P$ vara en funktion från element av $x$ till påståenden. Låt $x_{2}$ och $y$ vara element av $x$ sådana att $x_{2}$ är minimalt med avseende på $P$, $P$ håller för $y$ och $y \leq x_{2}$. Då $x_{2} \leq y$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LE} (x), P \in x \rightarrow \mathrm{Prop} , x_{2} , y \in x , \mathrm{Minimal} (P , x_{2}), P (y), y \leq x_{2} \vdash x_{2} \leq y$
Proof
3 lines
1.Let $x_{2}$ and $y$ be elements of $x$.
2.Assume that $x_{2}$ is minimal with respect to $P$.
3.For all elements $y_{1}$ of $x$, if $P$ holds for $y_{1}$, then if $y_{1} \leq x_{2}$, then $x_{2} \leq y_{1}$.andEr 2
Proof, French
3 lines
1.Soient $x_{2}$ et $y$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $x_{2}$ est minimal par rapport à $P$.
3.Pour tous les éléments $y_{1}$ de $x$, si $P$ tient pour $y_{1}$, alors si $y_{1} \leq x_{2}$, alors $x_{2} \leq y_{1}$.andEr 2
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $x_{2}$ a $y$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $x_{2}$ je minimální vzhledem k $P$.
3.Pro všechny prvky $y_{1}$ $x$, jestliže $P$ platí pro $y_{1}$, pak jestliže $y_{1} \leq x_{2}$, pak $x_{2} \leq y_{1}$.andEr 2
Proof, German
3 lines
1.Seien $x_{2}$ und $y$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $x_{2}$ bezüglich $P$ minimal ist.
3.Für alle Elemente $y_{1}$ von $x$, wenn $P$ für $y_{1}$ hält, dann wenn $y_{1} \leq x_{2}$, dann $x_{2} \leq y_{1}$.andEr 2
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $x_{2}$ och $y$ vara element av $x$.
2.Anta att $x_{2}$ är minimalt med avseende på $P$.
3.För alla element $y_{1}$ av $x$, om $P$ håller för $y_{1}$, så om $y_{1} \leq x_{2}$, så $x_{2} \leq y_{1}$.andEr 2
MinimalFordefUnbundled.lean:257
MinimalFor P f i means that f i is minimal over all i satisfying P.
Lean
@[to_dual /-- `MaximalFor P f i` means that `f i` is maximal over all `i` satisfying `P`. -/]
def MinimalFor (P : ι → Prop) (f : ι → α) (i : ι) : Prop := P i ∧ ∀ ⦃j⦄, P j → f j ≤ f i → f i ≤ f j
Dedukti
2 lines
def MinimalFor : (P : (Elem x -> Prop)) -> (f : (Elem x -> x1)) -> (i : Elem x) -> Prop :=
  P => f => i => and (P i) (forall x (j => if (P j) (if (Leq (f j) (f i)) (Leq (f i) (f j))))).
English
Let $P$ be a function from elements of $x$ to propositions. Let $f$ be a function from elements of $x$ to elements of $x_{1}$. Let $i$ be an element of $x$. Then $\mathrm{MinimalFor}$ holds for $P$, $f$ and $i$, if $P$ holds for $i$ and for all elements $j$ of $x$, if $P$ holds for $j$, then if $f (j)\leq f (i)$, then $f (i)\leq f (j)$.
French
Soit $P$ une fonction des éléments de $x$ à des propositions. Soit $f$ une fonction des éléments de $x$ à des éléments de $x_{1}$. Soit $i$ un élément de $x$. Alors $\mathrm{MinimalFor}$ tient pour $P$, $f$ et $i$ si $P$ tient pour $i$ et pour tous des éléments $j$ de $x$, si $P$ tient pour $j$, alors si $f (j)\leq f (i)$, alors $f (i)\leq f (j)$.
Czech
Nechť $P$ je funkce z prvků $x$ do výroků. Nechť $f$ je funkce z prvků $x$ do prvků $x_{1}$. Nechť $i$ je prvek $x$. Tedy $\mathrm{MinimalFor}$ platí pro $P$, $f$ a $i$, jestliže $P$ platí pro $i$ a pro všechny prvky $j$ $x$, jestliže $P$ platí pro $j$, pak jestliže $f (j)\leq f (i)$, pak $f (i)\leq f (j)$.
German
Sei $P$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Propositionen. Sei $f$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Elementen von $x_{1}$. Sei $i$ ein Element von $x$. Dann hält $\mathrm{MinimalFor}$ für $P$, $f$ und $i$, wenn $P$ für $i$ hält und für alle Elemente $j$ von $x$, wenn $P$ für $j$ hält, dann wenn $f (j)\leq f (i)$, dann $f (i)\leq f (j)$.
Swedish
Låt $P$ vara en funktion från element av $x$ till påståenden. Låt $f$ vara en funktion från element av $x$ till element av $x_{1}$. Låt $i$ vara ett element av $x$. Då håller $\mathrm{MinimalFor}$ för $P$, $f$ och $i$, om $P$ håller för $i$ och för alla element $j$ av $x$, om $P$ håller för $j$, så om $f (j)\leq f (i)$, så $f (i)\leq f (j)$.
Formula
$P \in x \rightarrow \mathrm{Prop} , f \in x \rightarrow x_{1} , i \in x \vdash \mathrm{MinimalFor} (P , f , i):\Leftrightarrow P (i)\wedge (\forall j \in x . P (j)\rightarrow f (j)\leq f (i)\rightarrow f (i)\leq f (j))$
MaximalFordefUnbundled.lean:256
MaximalFor P f i means that f i is maximal over all i satisfying P.
Lean
@[to_dual /-- `MaximalFor P f i` means that `f i` is maximal over all `i` satisfying `P`. -/]
Dedukti
1 lines
MaximalFor : (P : (Elem x -> Prop)) -> (f : (Elem x -> x1)) -> (i : Elem x) -> Prop.
English
Let $P$ be a function from elements of $x$ to propositions. Let $f$ be a function from elements of $x$ to elements of $x_{1}$. Let $i$ be an element of $x$. Then we can say that $\mathrm{MaximalFor}$ holds for $P$, $f$ and $i$.
French
Soit $P$ une fonction des éléments de $x$ à des propositions. Soit $f$ une fonction des éléments de $x$ à des éléments de $x_{1}$. Soit $i$ un élément de $x$. Alors nous pouvons dire que $\mathrm{MaximalFor}$ tient pour $P$, $f$ et $i$.
Czech
Nechť $P$ je funkce z prvků $x$ do výroků. Nechť $f$ je funkce z prvků $x$ do prvků $x_{1}$. Nechť $i$ je prvek $x$. Tedy můžeme říkat, že $\mathrm{MaximalFor}$ platí pro $P$, $f$ a $i$.
German
Sei $P$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Propositionen. Sei $f$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Elementen von $x_{1}$. Sei $i$ ein Element von $x$. Dann können wir sagen, dass $\mathrm{MaximalFor}$ für $P$, $f$ und $i$ hält.
Swedish
Låt $P$ vara en funktion från element av $x$ till påståenden. Låt $f$ vara en funktion från element av $x$ till element av $x_{1}$. Låt $i$ vara ett element av $x$. Då kan vi säga att $\mathrm{MaximalFor}$ håller för $P$, $f$ och $i$.
Formula
$P \in x \rightarrow \mathrm{Prop} , f \in x \rightarrow x_{1} , i \in x \vdash \mathrm{MaximalFor} (P , f , i)\ \mathsf{prop}$
MaximalFor.proptheoremUnbundled.lean:259
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
MaximalFor__prop : (x : Set) -> (x1 : Set) -> (_ : Proof (LE x1)) -> (P : (Elem x -> Prop)) -> (f : (Elem x -> x1)) -> (i : Elem x) -> (h : Proof (MaximalFor P f i)) -> Proof (P i).
English
Let $x$ and $x_{1}$ be sets such that $x_{1}$ is ordered. Let $P$ be a function from elements of $x$ to propositions. Let $f$ be a function from elements of $x$ to elements of $x_{1}$. Let $i$ be an element of $x$ such that $\mathrm{MaximalFor}$ holds for $P$, $f$ and $i$. Then $P$ holds for $i$.
French
Soient $x$ et $x_{1}$ des ensembles tels que $x_{1}$ soit ordonné. Soit $P$ une fonction des éléments de $x$ à des propositions. Soit $f$ une fonction des éléments de $x$ à des éléments de $x_{1}$. Soit $i$ un élément de $x$ tel que $\mathrm{MaximalFor}$ tienne pour $P$, $f$ et $i$. Alors $P$ tient pour $i$.
Czech
Nechť $x$ a $x_{1}$ je množina taková, že $x_{1}$ je uspořádané. Nechť $P$ je funkce z prvků $x$ do výroků. Nechť $f$ je funkce z prvků $x$ do prvků $x_{1}$. Nechť $i$ je prvek $x$ takový, že $\mathrm{MaximalFor}$ platí pro $P$, $f$ a $i$. Tedy $P$ platí pro $i$.
German
Seien $x$ und $x_{1}$ mengen derart, dass $x_{1}$ geordnet ist. Sei $P$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Propositionen. Sei $f$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Elementen von $x_{1}$. Sei $i$ ein Element von $x$ derart, dass $\mathrm{MaximalFor}$ für $P$, $f$ und $i$ hält. Dann hält $P$ für $i$.
Swedish
Låt $x$ och $x_{1}$ vara mängder sådana att $x_{1}$ är ordnat. Låt $P$ vara en funktion från element av $x$ till påståenden. Låt $f$ vara en funktion från element av $x$ till element av $x_{1}$. Låt $i$ vara ett element av $x$ sådant att $\mathrm{MaximalFor}$ håller för $P$, $f$ och $i$. Då håller $P$ för $i$.
Formula
$x , x_{1} \in \mathrm{Set} , \mathrm{LE} (x_{1}), P \in x \rightarrow \mathrm{Prop} , f \in x \rightarrow x_{1} , i \in x , \mathrm{MaximalFor} (P , f , i)\vdash P (i)$
MinimalFor.proptheoremUnbundled.lean:260
Lean
@[to_dual]
lemma MinimalFor.prop (h : MinimalFor P f i) : P i := h.1
Dedukti
2 lines
def MinimalFor__prop : (x : Set) -> (x1 : Set) -> (_ : Proof (LE x1)) -> (P : (Elem x -> Prop)) -> (f : (Elem x -> x1)) -> (i : Elem x) -> (h : Proof (MinimalFor P f i)) -> Proof (P i) :=
  x => x1 => x2 => P => f => i => h => andEl (P i) (forall x (j => if (P j) (if (Leq (f j) (f i)) (Leq (f i) (f j))))) h.
English
Let $x$ and $x_{1}$ be sets such that $x_{1}$ is ordered. Let $P$ be a function from elements of $x$ to propositions. Let $f$ be a function from elements of $x$ to elements of $x_{1}$. Let $i$ be an element of $x$ such that $\mathrm{MinimalFor}$ holds for $P$, $f$ and $i$. Then $P$ holds for $i$.
French
Soient $x$ et $x_{1}$ des ensembles tels que $x_{1}$ soit ordonné. Soit $P$ une fonction des éléments de $x$ à des propositions. Soit $f$ une fonction des éléments de $x$ à des éléments de $x_{1}$. Soit $i$ un élément de $x$ tel que $\mathrm{MinimalFor}$ tienne pour $P$, $f$ et $i$. Alors $P$ tient pour $i$.
Czech
Nechť $x$ a $x_{1}$ je množina taková, že $x_{1}$ je uspořádané. Nechť $P$ je funkce z prvků $x$ do výroků. Nechť $f$ je funkce z prvků $x$ do prvků $x_{1}$. Nechť $i$ je prvek $x$ takový, že $\mathrm{MinimalFor}$ platí pro $P$, $f$ a $i$. Tedy $P$ platí pro $i$.
German
Seien $x$ und $x_{1}$ mengen derart, dass $x_{1}$ geordnet ist. Sei $P$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Propositionen. Sei $f$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Elementen von $x_{1}$. Sei $i$ ein Element von $x$ derart, dass $\mathrm{MinimalFor}$ für $P$, $f$ und $i$ hält. Dann hält $P$ für $i$.
Swedish
Låt $x$ och $x_{1}$ vara mängder sådana att $x_{1}$ är ordnat. Låt $P$ vara en funktion från element av $x$ till påståenden. Låt $f$ vara en funktion från element av $x$ till element av $x_{1}$. Låt $i$ vara ett element av $x$ sådant att $\mathrm{MinimalFor}$ håller för $P$, $f$ och $i$. Då håller $P$ för $i$.
Formula
$x , x_{1} \in \mathrm{Set} , \mathrm{LE} (x_{1}), P \in x \rightarrow \mathrm{Prop} , f \in x \rightarrow x_{1} , i \in x , \mathrm{MinimalFor} (P , f , i)\vdash P (i)$
Proof
3 lines
1.Let $i$ be an element of $x$.
2.Assume that $\mathrm{MinimalFor}$ holds for $P$, $f$ and $i$.
3.$P$ holds for $i$.andEl 2
Proof, French
3 lines
1.Soit $i$ un élément de $x$.
2.Supposons que $\mathrm{MinimalFor}$ tient pour $P$, $f$ et $i$.
3.$P$ tient pour $i$.andEl 2
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $i$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $\mathrm{MinimalFor}$ platí pro $P$, $f$ a $i$.
3.$P$ platí pro $i$.andEl 2
Proof, German
3 lines
1.Sei $i$ ein Element von $x$.
2.Nimm an, dass $\mathrm{MinimalFor}$ für $P$, $f$ und $i$ hält.
3.$P$ hält für $i$.andEl 2
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $i$ vara ett element av $x$.
2.Anta att $\mathrm{MinimalFor}$ håller för $P$, $f$ och $i$.
3.$P$ håller för $i$.andEl 2
MaximalFor.le_of_letheoremUnbundled.lean:262
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
MaximalFor__le_of_le : (x : Set) -> (x1 : Set) -> (_ : Proof (LE x1)) -> (P : (Elem x -> Prop)) -> (f : (Elem x -> x1)) -> (i : Elem x) -> (j : Elem x) -> (h : Proof (MaximalFor P f i)) -> (hj : Proof (P j)) -> (hji : Proof (Leq (f i) (f j))) -> Proof (Leq (f j) (f i)).
English
Let $x$ and $x_{1}$ be sets such that $x_{1}$ is ordered. Let $P$ be a function from elements of $x$ to propositions. Let $f$ be a function from elements of $x$ to elements of $x_{1}$. Let $i$ and $j$ be elements of $x$ such that $\mathrm{MaximalFor}$ holds for $P$, $f$ and $i$, $P$ holds for $j$ and $f (i)\leq f (j)$. Then $f (j)\leq f (i)$.
French
Soient $x$ et $x_{1}$ des ensembles tels que $x_{1}$ soit ordonné. Soit $P$ une fonction des éléments de $x$ à des propositions. Soit $f$ une fonction des éléments de $x$ à des éléments de $x_{1}$. Soient $i$ et $j$ des éléments de $x$ tels que $\mathrm{MaximalFor}$ tienne pour $P$, $f$ et $i$, $P$ tienne pour $j$ et $f (i)\leq f (j)$. Alors $f (j)\leq f (i)$.
Czech
Nechť $x$ a $x_{1}$ je množina taková, že $x_{1}$ je uspořádané. Nechť $P$ je funkce z prvků $x$ do výroků. Nechť $f$ je funkce z prvků $x$ do prvků $x_{1}$. Nechť $i$ a $j$ je prvek $x$ takový, že $\mathrm{MaximalFor}$ platí pro $P$, $f$ a $i$, $P$ platí pro $j$ a $f (i)\leq f (j)$. Tedy $f (j)\leq f (i)$.
German
Seien $x$ und $x_{1}$ mengen derart, dass $x_{1}$ geordnet ist. Sei $P$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Propositionen. Sei $f$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Elementen von $x_{1}$. Seien $i$ und $j$ elemente von $x$ derart, dass hält $\mathrm{MaximalFor}$ für $P$, $f$ und $i$, $P$ für $j$ hält und $f (i)\leq f (j)$. Dann $f (j)\leq f (i)$.
Swedish
Låt $x$ och $x_{1}$ vara mängder sådana att $x_{1}$ är ordnat. Låt $P$ vara en funktion från element av $x$ till påståenden. Låt $f$ vara en funktion från element av $x$ till element av $x_{1}$. Låt $i$ och $j$ vara element av $x$ sådana att $\mathrm{MaximalFor}$ håller för $P$, $f$ och $i$, $P$ håller för $j$ och $f (i)\leq f (j)$. Då $f (j)\leq f (i)$.
Formula
$x , x_{1} \in \mathrm{Set} , \mathrm{LE} (x_{1}), P \in x \rightarrow \mathrm{Prop} , f \in x \rightarrow x_{1} , i , j \in x , \mathrm{MaximalFor} (P , f , i), P (j), f (i)\leq f (j)\vdash f (j)\leq f (i)$
MinimalFor.le_of_letheoremUnbundled.lean:263
Lean
@[to_dual]
lemma MinimalFor.le_of_le (h : MinimalFor P f i) (hj : P j) (hji : f j ≤ f i) : f i ≤ f j :=
  h.2 hj hji
Dedukti
2 lines
def MinimalFor__le_of_le : (x : Set) -> (x1 : Set) -> (_ : Proof (LE x1)) -> (P : (Elem x -> Prop)) -> (f : (Elem x -> x1)) -> (i : Elem x) -> (j : Elem x) -> (h : Proof (MinimalFor P f i)) -> (hj : Proof (P j)) -> (hji : Proof (Leq (f j) (f i))) -> Proof (Leq (f i) (f j)) :=
  x => x1 => x2 => P => f => i => j => h => hj => hji => andEr (P i) (forall x (j1 => if (P j1) (if (Leq (f j1) (f i)) (Leq (f i) (f j1))))) h j hj hji.
English
Let $x$ and $x_{1}$ be sets such that $x_{1}$ is ordered. Let $P$ be a function from elements of $x$ to propositions. Let $f$ be a function from elements of $x$ to elements of $x_{1}$. Let $i$ and $j$ be elements of $x$ such that $\mathrm{MinimalFor}$ holds for $P$, $f$ and $i$, $P$ holds for $j$ and $f (j)\leq f (i)$. Then $f (i)\leq f (j)$.
French
Soient $x$ et $x_{1}$ des ensembles tels que $x_{1}$ soit ordonné. Soit $P$ une fonction des éléments de $x$ à des propositions. Soit $f$ une fonction des éléments de $x$ à des éléments de $x_{1}$. Soient $i$ et $j$ des éléments de $x$ tels que $\mathrm{MinimalFor}$ tienne pour $P$, $f$ et $i$, $P$ tienne pour $j$ et $f (j)\leq f (i)$. Alors $f (i)\leq f (j)$.
Czech
Nechť $x$ a $x_{1}$ je množina taková, že $x_{1}$ je uspořádané. Nechť $P$ je funkce z prvků $x$ do výroků. Nechť $f$ je funkce z prvků $x$ do prvků $x_{1}$. Nechť $i$ a $j$ je prvek $x$ takový, že $\mathrm{MinimalFor}$ platí pro $P$, $f$ a $i$, $P$ platí pro $j$ a $f (j)\leq f (i)$. Tedy $f (i)\leq f (j)$.
German
Seien $x$ und $x_{1}$ mengen derart, dass $x_{1}$ geordnet ist. Sei $P$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Propositionen. Sei $f$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Elementen von $x_{1}$. Seien $i$ und $j$ elemente von $x$ derart, dass hält $\mathrm{MinimalFor}$ für $P$, $f$ und $i$, $P$ für $j$ hält und $f (j)\leq f (i)$. Dann $f (i)\leq f (j)$.
Swedish
Låt $x$ och $x_{1}$ vara mängder sådana att $x_{1}$ är ordnat. Låt $P$ vara en funktion från element av $x$ till påståenden. Låt $f$ vara en funktion från element av $x$ till element av $x_{1}$. Låt $i$ och $j$ vara element av $x$ sådana att $\mathrm{MinimalFor}$ håller för $P$, $f$ och $i$, $P$ håller för $j$ och $f (j)\leq f (i)$. Då $f (i)\leq f (j)$.
Formula
$x , x_{1} \in \mathrm{Set} , \mathrm{LE} (x_{1}), P \in x \rightarrow \mathrm{Prop} , f \in x \rightarrow x_{1} , i , j \in x , \mathrm{MinimalFor} (P , f , i), P (j), f (j)\leq f (i)\vdash f (i)\leq f (j)$
Proof
3 lines
1.Let $i$ and $j$ be elements of $x$.
2.Assume that $\mathrm{MinimalFor}$ holds for $P$, $f$ and $i$.
3.For all elements $j_{1}$ of $x$, if $P$ holds for $j_{1}$, then if $f (j_{1})\leq f (i)$, then $f (i)\leq f (j_{1})$.andEr 2
Proof, French
3 lines
1.Soient $i$ et $j$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $\mathrm{MinimalFor}$ tient pour $P$, $f$ et $i$.
3.Pour tous les éléments $j_{1}$ de $x$, si $P$ tient pour $j_{1}$, alors si $f (j_{1})\leq f (i)$, alors $f (i)\leq f (j_{1})$.andEr 2
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $i$ a $j$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $\mathrm{MinimalFor}$ platí pro $P$, $f$ a $i$.
3.Pro všechny prvky $j_{1}$ $x$, jestliže $P$ platí pro $j_{1}$, pak jestliže $f (j_{1})\leq f (i)$, pak $f (i)\leq f (j_{1})$.andEr 2
Proof, German
3 lines
1.Seien $i$ und $j$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $\mathrm{MinimalFor}$ für $P$, $f$ und $i$ hält.
3.Für alle Elemente $j_{1}$ von $x$, wenn $P$ für $j_{1}$ hält, dann wenn $f (j_{1})\leq f (i)$, dann $f (i)\leq f (j_{1})$.andEr 2
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $i$ och $j$ vara element av $x$.
2.Anta att $\mathrm{MinimalFor}$ håller för $P$, $f$ och $i$.
3.För alla element $j_{1}$ av $x$, om $P$ håller för $j_{1}$, så om $f (j_{1})\leq f (i)$, så $f (i)\leq f (j_{1})$.andEr 2
IsUpperSetdefUnbundled.lean:274
An upper set in an order α is a set such that any element greater than one of its members is also a member. Also called up-set, upward-closed set.
Lean
@[to_dual /-- A lower set in an order `α` is a set such that any element less than one of its
members is also a member. Also called down-set, downward-closed set. -/]
def IsUpperSet {α : Type*} [LE α] (s : Set α) : Prop :=
  ∀ ⦃a b : α⦄, a ≤ b → a ∈ s → b ∈ s
Dedukti
2 lines
def IsUpperSet : (s : Elem (powerset x)) -> Prop :=
  s => forall x (a => forall x (b => if (Leq a b) (if (Membership__mem s a) (Membership__mem s b)))).
English
Let $s$ be an element of $\wp x$. Then $s$ is a upper set, if for all elements $a$ and $b$ of $x$, if $a \leq b$, then if $a$ is an element of $s$, then $b$ is an element of $s$.
French
Soit $s$ un élément de $\wp x$. Alors $s$ est un ensemble supérieur si pour tous les éléments $a$ et $b$ de $x$, si $a \leq b$, alors si $a$ est un élément de $s$, alors $b$ est un élément de $s$.
Czech
Nechť $s$ je prvek $\wp x$. Tedy $s$ je horní množina, jestliže pro všechny prvky $a$ a $b$ $x$, jestliže $a \leq b$, pak jestliže $a$ je element $s$, pak $b$ je element $s$.
German
Sei $s$ ein Element von $\wp x$. Dann ist $s$ eine obere Menge, wenn für alle Elemente $a$ und $b$ von $x$, wenn $a \leq b$, dann wenn $\MembershipmemMACRoT {s}{a}$, dann $\MembershipmemMACRoT {s}{b}$.
Swedish
Låt $s$ vara ett element av $\wp x$. Då är $s$ en övre mängd, om för alla element $a$ och $b$ av $x$, om $a \leq b$, så om $a$ är ett element av $s$, så är $b$ ett element av $s$.
Formula
$s \in \wp x \vdash \mathrm{IsUpperSet} (s):\Leftrightarrow \forall a \in x . \forall b \in x . a \leq b \rightarrow \MembershipmemMACRoAA {s}{a}\rightarrow \MembershipmemMACRoAA {s}{b}$
IsLowerSetdefUnbundled.lean:272
A lower set in an order α is a set such that any element less than one of its members is also a member. Also called down-set, downward-closed set.
Lean
@[to_dual /-- A lower set in an order `α` is a set such that any element less than one of its
Dedukti
1 lines
IsLowerSet : (s : Elem (powerset x)) -> Prop.
English
Let $s$ be an element of $\wp x$. Then we can say that $s$ is a lower set.
French
Soit $s$ un élément de $\wp x$. Alors nous pouvons dire que $s$ est un ensemble inférieur.
Czech
Nechť $s$ je prvek $\wp x$. Tedy můžeme říkat, že $s$ je dolní množina.
German
Sei $s$ ein Element von $\wp x$. Dann können wir sagen, dass $s$ eine untere Menge ist.
Swedish
Låt $s$ vara ett element av $\wp x$. Då kan vi säga att $s$ är en undre mängd.
Formula
$s \in \wp x \vdash \mathrm{IsLowerSet} (s)\ \mathsf{prop}$
UpperSetinductiveUnbundled.lean:278
An upper set in an order α is a set such that any element greater than one of its members is also a member. Also called up-set, upward-closed set.
Lean
@[inherit_doc IsUpperSet]
structure UpperSet (α : Type*) [LE α] where
Dedukti
1 lines
UpperSet : (x : Set) -> Set.
English
Let $x$ be a set. Then the upper sets of $x$ are a basic type.
French
Soit $x$ un ensemble. Alors les ensembles supérieurs de $x$ sont un type de base.
Czech
Nechť $x$ je množina. Tedy horní množiny $x$ jsou základní typ.
German
Sei $x$ eine Menge. Dann sind die oberen Mengen von $x$ ein Grundtyp.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Då är de övre mängderna av $x$ en grundtyp.
Formula
$x \in \mathrm{Set} \vdash \mathrm{UpperSet} (x)\ \mathsf{set}$
UpperSet.mkconstructorUnbundled.lean:278
Lean
structure UpperSet (α : Type*) [LE α] where
Dedukti
1 lines
UpperSet__mk : (carrier : Elem (powerset x)) -> (upper' : Proof (IsUpperSet carrier)) -> Elem (UpperSet x).
English
Let $\mathrm{carrier}$ be an element of $\wp x$ such that $\mathrm{carrier}$ is a upper set. Then $\operatorname{mk}$ applied to $\mathrm{carrier}$ and $\mathrm{upper'}$ is a upper set of $x$.
French
Soit $\mathrm{carrier}$ un élément de $\wp x$ tel que $\mathrm{carrier}$ soit un ensemble supérieur. Alors $\operatorname{mk}$ appliqué à $\mathrm{carrier}$ et $\mathrm{upper'}$ est un ensemble supérieur de $x$.
Czech
Nechť $\mathrm{carrier}$ je prvek $\wp x$ takový, že $\mathrm{carrier}$ je horní množina. Tedy $\operatorname{mk}$ aplikovaný na $\mathrm{carrier}$ a $\mathrm{upper'}$ je horní množina $x$.
German
Sei $\mathrm{carrier}$ ein Element von $\wp x$ derart, dass $\mathrm{carrier}$ eine obere Menge ist. Dann ist $\operatorname{mk}$ angewandt auf $\mathrm{carrier}$ und $\mathrm{upper'}$ eine obere Menge von $x$.
Swedish
Låt $\mathrm{carrier}$ vara ett element av $\wp x$ sådant att $\mathrm{carrier}$ är en övre mängd. Då är $\operatorname{mk}$ applicerat på $\mathrm{carrier}$ och $\mathrm{upper'}$ en övre mängd av $x$.
Formula
$\mathrm{carrier} \in \wp x , \mathrm{IsUpperSet} (\mathrm{carrier})\vdash \operatorname{mk} (\mathrm{carrier} , \mathrm{upper'})\in \mathrm{UpperSet} (x)$
UpperSet.carrierdefUnbundled.lean:280
The carrier of an UpperSet.
Lean
  carrier : Set α
Dedukti
1 lines
UpperSet__carrier : (self : Elem (UpperSet x)) -> Elem (powerset x).
English
Let $\mathrm{self}$ be a upper set of $x$. Then the carrier of $\mathrm{self}$ is an element of $\wp x$.
French
Soit $\mathrm{self}$ un ensemble supérieur de $x$. Alors $\operatorname{carrier}$ appliqué à $\mathrm{self}$ est un élément de $\wp x$.
Czech
Nechť $\mathrm{self}$ je horní množina $x$. Tedy $\operatorname{carrier}$ aplikovaný na $\mathrm{self}$ je prvek $\wp x$.
German
Sei $\mathrm{self}$ eine obere Menge von $x$. Dann ist $\operatorname{carrier}$ angewandt auf $\mathrm{self}$ ein Element von $\wp x$.
Swedish
Låt $\mathrm{self}$ vara en övre mängd av $x$. Då är $\operatorname{carrier}$ applicerat på $\mathrm{self}$ ett element av $\wp x$.
Formula
$\mathrm{self} \in \mathrm{UpperSet} (x)\vdash \operatorname{carrier} (\mathrm{self})\in \wp x$
UpperSet.upper'theoremUnbundled.lean:282
The carrier of an UpperSet is an upper set.
Lean
  upper' : IsUpperSet carrier
Dedukti
1 lines
UpperSet__upper' : (x : Set) -> (_ : Proof (LE x)) -> (self : Elem (UpperSet x)) -> Proof (IsUpperSet (UpperSet__carrier self)).
English
Let $x$ be an ordered set. Let $\mathrm{self}$ be a upper set of $x$. Then the carrier of $\mathrm{self}$ is a upper set.
French
Soit $x$ un ensemble ordonné. Soit $\mathrm{self}$ un ensemble supérieur de $x$. Alors $\operatorname{carrier}$ appliqué à $\mathrm{self}$ est un ensemble supérieur.
Czech
Nechť $x$ je uspořádaná množina. Nechť $\mathrm{self}$ je horní množina $x$. Tedy $\operatorname{carrier}$ aplikovaný na $\mathrm{self}$ je horní množina.
German
Sei $x$ eine geordnete Menge. Sei $\mathrm{self}$ eine obere Menge von $x$. Dann ist $\operatorname{carrier}$ angewandt auf $\mathrm{self}$ eine obere Menge.
Swedish
Låt $x$ vara en ordnad mängd. Låt $\mathrm{self}$ vara en övre mängd av $x$. Då är $\operatorname{carrier}$ applicerat på $\mathrm{self}$ en övre mängd.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LE} (x), \mathrm{self} \in \mathrm{UpperSet} (x)\vdash \mathrm{IsUpperSet} (\operatorname{carrier} (\mathrm{self}))$
LowerSetinductiveUnbundled.lean:287
A lower set in an order α is a set such that any element less than one of its members is also a member. Also called down-set, downward-closed set.
Lean
@[inherit_doc IsLowerSet, to_dual]
structure LowerSet (α : Type*) [LE α] where
Dedukti
1 lines
LowerSet : (x : Set) -> Set.
English
Let $x$ be a set. Then the lower sets of $x$ are a basic type.
French
Soit $x$ un ensemble. Alors les ensembles inférieurs de $x$ sont un type de base.
Czech
Nechť $x$ je množina. Tedy dolní množiny $x$ jsou základní typ.
German
Sei $x$ eine Menge. Dann sind die unteren Mengen von $x$ ein Grundtyp.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Då är de undre mängderna av $x$ en grundtyp.
Formula
$x \in \mathrm{Set} \vdash \mathrm{LowerSet} (x)\ \mathsf{set}$
LowerSet.mkconstructorUnbundled.lean:287
Lean
structure LowerSet (α : Type*) [LE α] where
Dedukti
1 lines
LowerSet__mk : (carrier : Elem (powerset x)) -> (lower' : Proof (IsLowerSet carrier)) -> Elem (LowerSet x).
English
Let $\mathrm{carrier}$ be an element of $\wp x$ such that $\mathrm{carrier}$ is a lower set. Then $\operatorname{mk}$ applied to $\mathrm{carrier}$ and $\mathrm{lower'}$ is a lower set of $x$.
French
Soit $\mathrm{carrier}$ un élément de $\wp x$ tel que $\mathrm{carrier}$ soit un ensemble inférieur. Alors $\operatorname{mk}$ appliqué à $\mathrm{carrier}$ et $\mathrm{lower'}$ est un ensemble inférieur de $x$.
Czech
Nechť $\mathrm{carrier}$ je prvek $\wp x$ takový, že $\mathrm{carrier}$ je dolní množina. Tedy $\operatorname{mk}$ aplikovaný na $\mathrm{carrier}$ a $\mathrm{lower'}$ je dolní množina $x$.
German
Sei $\mathrm{carrier}$ ein Element von $\wp x$ derart, dass $\mathrm{carrier}$ eine untere Menge ist. Dann ist $\operatorname{mk}$ angewandt auf $\mathrm{carrier}$ und $\mathrm{lower'}$ eine untere Menge von $x$.
Swedish
Låt $\mathrm{carrier}$ vara ett element av $\wp x$ sådant att $\mathrm{carrier}$ är en undre mängd. Då är $\operatorname{mk}$ applicerat på $\mathrm{carrier}$ och $\mathrm{lower'}$ en undre mängd av $x$.
Formula
$\mathrm{carrier} \in \wp x , \mathrm{IsLowerSet} (\mathrm{carrier})\vdash \operatorname{mk} (\mathrm{carrier} , \mathrm{lower'})\in \mathrm{LowerSet} (x)$
LowerSet.carrierdefUnbundled.lean:289
The carrier of a LowerSet.
Lean
  carrier : Set α
Dedukti
1 lines
LowerSet__carrier : (self : Elem (LowerSet x)) -> Elem (powerset x).
English
Let $\mathrm{self}$ be a lower set of $x$. Then the carrier of $\mathrm{self}$ is an element of $\wp x$.
French
Soit $\mathrm{self}$ un ensemble inférieur de $x$. Alors $\operatorname{carrier}$ appliqué à $\mathrm{self}$ est un élément de $\wp x$.
Czech
Nechť $\mathrm{self}$ je dolní množina $x$. Tedy $\operatorname{carrier}$ aplikovaný na $\mathrm{self}$ je prvek $\wp x$.
German
Sei $\mathrm{self}$ eine untere Menge von $x$. Dann ist $\operatorname{carrier}$ angewandt auf $\mathrm{self}$ ein Element von $\wp x$.
Swedish
Låt $\mathrm{self}$ vara en undre mängd av $x$. Då är $\operatorname{carrier}$ applicerat på $\mathrm{self}$ ett element av $\wp x$.
Formula
$\mathrm{self} \in \mathrm{LowerSet} (x)\vdash \operatorname{carrier} (\mathrm{self})\in \wp x$
LowerSet.lower'theoremUnbundled.lean:291
The carrier of a LowerSet is a lower set.
Lean
  lower' : IsLowerSet carrier
Dedukti
1 lines
LowerSet__lower' : (x : Set) -> (_ : Proof (LE x)) -> (self : Elem (LowerSet x)) -> Proof (IsLowerSet (LowerSet__carrier self)).
English
Let $x$ be an ordered set. Let $\mathrm{self}$ be a lower set of $x$. Then the carrier of $\mathrm{self}$ is a lower set.
French
Soit $x$ un ensemble ordonné. Soit $\mathrm{self}$ un ensemble inférieur de $x$. Alors $\operatorname{carrier}$ appliqué à $\mathrm{self}$ est un ensemble inférieur.
Czech
Nechť $x$ je uspořádaná množina. Nechť $\mathrm{self}$ je dolní množina $x$. Tedy $\operatorname{carrier}$ aplikovaný na $\mathrm{self}$ je dolní množina.
German
Sei $x$ eine geordnete Menge. Sei $\mathrm{self}$ eine untere Menge von $x$. Dann ist $\operatorname{carrier}$ angewandt auf $\mathrm{self}$ eine untere Menge.
Swedish
Låt $x$ vara en ordnad mängd. Låt $\mathrm{self}$ vara en undre mängd av $x$. Då är $\operatorname{carrier}$ applicerat på $\mathrm{self}$ en undre mängd.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LE} (x), \mathrm{self} \in \mathrm{LowerSet} (x)\vdash \mathrm{IsLowerSet} (\operatorname{carrier} (\mathrm{self}))$
IsRelUpperSetdefUnbundled.lean:299
An upper set relative to a predicate P is a set such that all elements satisfy P and any element greater than one of its members and satisfying P is also a member.
Lean
@[to_dual /-- A lower set relative to a predicate `P` is a set such that all elements satisfy `P`
and any element less than one of its members and satisfying `P` is also a member. -/]
def IsRelUpperSet {α : Type*} [LE α] (s : Set α) (P : α → Prop) : Prop :=
  ∀ ⦃a : α⦄, a ∈ s → P a ∧ ∀ ⦃b : α⦄, a ≤ b → P b → b ∈ s
Dedukti
2 lines
def IsRelUpperSet : (s : Elem (powerset x)) -> (P : (Elem x -> Prop)) -> Prop :=
  s => P => forall x (a => if (Membership__mem s a) (and (P a) (forall x (b => if (Leq a b) (if (P b) (Membership__mem s b)))))).
English
Let $s$ be an element of $\wp x$. Let $P$ be a function from elements of $x$ to propositions. Then $s$ is a relative upper set with respect to $P$, if for all elements $a$ of $x$, if $a$ is an element of $s$, then $P$ holds for $a$ and for all elements $b$ of $x$, if $a \leq b$, then if $P$ holds for $b$, then $b$ is an element of $s$.
French
Soit $s$ un élément de $\wp x$. Soit $P$ une fonction des éléments de $x$ à des propositions. Alors $\mathrm{IsRelUpperSet}$ tient pour $s$ et $P$ si pour tous les éléments $a$ de $x$, si $a$ est un élément de $s$, alors $P$ tient pour $a$ et pour tous des éléments $b$ de $x$, si $a \leq b$, alors si $P$ tient pour $b$, alors $b$ est un élément de $s$.
Czech
Nechť $s$ je prvek $\wp x$. Nechť $P$ je funkce z prvků $x$ do výroků. Tedy $\mathrm{IsRelUpperSet}$ platí pro $s$ a $P$, jestliže pro všechny prvky $a$ $x$, jestliže $a$ je element $s$, pak $P$ platí pro $a$ a pro všechny prvky $b$ $x$, jestliže $a \leq b$, pak jestliže $P$ platí pro $b$, pak $b$ je element $s$.
German
Sei $s$ ein Element von $\wp x$. Sei $P$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann hält $\mathrm{IsRelUpperSet}$ für $s$ und $P$, wenn für alle Elemente $a$ von $x$, wenn $\MembershipmemMACRoT {s}{a}$, dann $P$ für $a$ hält und für alle Elemente $b$ von $x$, wenn $a \leq b$, dann wenn $P$ für $b$ hält, dann $\MembershipmemMACRoT {s}{b}$.
Swedish
Låt $s$ vara ett element av $\wp x$. Låt $P$ vara en funktion från element av $x$ till påståenden. Då är $s$ en [AdjNoun2Noun2] [AdjNoun2Noun2] $P$, om för alla element $a$ av $x$, om $a$ är ett element av $s$, så håller $P$ för $a$ och för alla element $b$ av $x$, om $a \leq b$, så om $P$ håller för $b$, så är $b$ ett element av $s$.
Formula
$s \in \wp x , P \in x \rightarrow \mathrm{Prop} \vdash \mathrm{IsRelUpperSet} (s , P):\Leftrightarrow \forall a \in x . \MembershipmemMACRoAA {s}{a}\rightarrow P (a)\wedge (\forall b \in x . a \leq b \rightarrow P (b)\rightarrow \MembershipmemMACRoAA {s}{b})$
IsRelLowerSetdefUnbundled.lean:297
A lower set relative to a predicate P is a set such that all elements satisfy P and any element less than one of its members and satisfying P is also a member.
Lean
@[to_dual /-- A lower set relative to a predicate `P` is a set such that all elements satisfy `P`
Dedukti
1 lines
IsRelLowerSet : (s : Elem (powerset x)) -> (P : (Elem x -> Prop)) -> Prop.
English
Let $s$ be an element of $\wp x$. Let $P$ be a function from elements of $x$ to propositions. Then we can say that $s$ is a relative lower set with respect to $P$.
French
Soit $s$ un élément de $\wp x$. Soit $P$ une fonction des éléments de $x$ à des propositions. Alors nous pouvons dire que $\mathrm{IsRelLowerSet}$ tient pour $s$ et $P$.
Czech
Nechť $s$ je prvek $\wp x$. Nechť $P$ je funkce z prvků $x$ do výroků. Tedy můžeme říkat, že $\mathrm{IsRelLowerSet}$ platí pro $s$ a $P$.
German
Sei $s$ ein Element von $\wp x$. Sei $P$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann können wir sagen, dass $\mathrm{IsRelLowerSet}$ für $s$ und $P$ hält.
Swedish
Låt $s$ vara ett element av $\wp x$. Låt $P$ vara en funktion från element av $x$ till påståenden. Då kan vi säga att $s$ är en [AdjNoun2Noun2] [AdjNoun2Noun2] $P$.
Formula
$s \in \wp x , P \in x \rightarrow \mathrm{Prop} \vdash \mathrm{IsRelLowerSet} (s , P)\ \mathsf{prop}$
RelUpperSetinductiveUnbundled.lean:303
An upper set relative to a predicate P is a set such that all elements satisfy P and any element greater than one of its members and satisfying P is also a member.
Lean
@[inherit_doc IsRelUpperSet]
structure RelUpperSet {α : Type*} [LE α] (P : α → Prop) where
Dedukti
1 lines
RelUpperSet : (P : (Elem x -> Prop)) -> Set.
English
Let $P$ be a function from elements of $x$ to propositions. Then the relative upper sets of $P$ are a basic type.
French
Soit $P$ une fonction des éléments de $x$ à des propositions. Alors les ensembles supérieurs relatifs de $P$ sont un type de base.
Czech
Nechť $P$ je funkce z prvků $x$ do výroků. Tedy relativní horní množiny $P$ jsou základní typ.
German
Sei $P$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann sind die Elemente von $\mathrm{RelUpperSet}$ angewandt auf $P$ ein Grundtyp.
Swedish
Låt $P$ vara en funktion från element av $x$ till påståenden. Då är elementen av $\mathrm{RelUpperSet}$ applicerat på $P$ en grundtyp.
Formula
$P \in x \rightarrow \mathrm{Prop} \vdash \mathrm{RelUpperSet} (P)\ \mathsf{set}$
RelUpperSet.mkconstructorUnbundled.lean:303
Lean
structure RelUpperSet {α : Type*} [LE α] (P : α → Prop) where
Dedukti
1 lines
RelUpperSet__mk : (carrier : Elem (powerset x)) -> (isRelUpperSet' : Proof (IsRelUpperSet carrier P)) -> Elem (RelUpperSet P).
English
Let $\mathrm{carrier}$ be an element of $\wp x$ such that $\mathrm{carrier}$ is a relative upper set with respect to $P$. Then $\operatorname{mk}$ applied to $\mathrm{carrier}$ and $\mathrm{isRelUpperSet'}$ is a relative upper set of $P$.
French
Soit $\mathrm{carrier}$ un élément de $\wp x$ tel que $\mathrm{IsRelUpperSet}$ tienne pour $\mathrm{carrier}$ et $P$. Alors $\operatorname{mk}$ appliqué à $\mathrm{carrier}$ et $\mathrm{isRelUpperSet'}$ est un élément de $\mathrm{RelUpperSet}$ appliqué à $P$.
Czech
Nechť $\mathrm{carrier}$ je prvek $\wp x$ takový, že $\mathrm{IsRelUpperSet}$ platí pro $\mathrm{carrier}$ a $P$. Tedy $\operatorname{mk}$ aplikovaný na $\mathrm{carrier}$ a $\mathrm{isRelUpperSet'}$ je prvek $\mathrm{RelUpperSet}$ aplikovaný na $P$.
German
Sei $\mathrm{carrier}$ ein Element von $\wp x$ derart, dass $\mathrm{IsRelUpperSet}$ für $\mathrm{carrier}$ und $P$ hält. Dann ist $\operatorname{mk}$ angewandt auf $\mathrm{carrier}$ und $\mathrm{isRelUpperSet'}$ ein Element von $\mathrm{RelUpperSet}$ angewandt auf $P$.
Swedish
Låt $\mathrm{carrier}$ vara ett element av $\wp x$ sådant att $\mathrm{IsRelUpperSet}$ håller för $\mathrm{carrier}$ och $P$. Då är $\operatorname{mk}$ applicerat på $\mathrm{carrier}$ och $\mathrm{isRelUpperSet'}$ ett element av $\mathrm{RelUpperSet}$ applicerat på $P$.
Formula
$\mathrm{carrier} \in \wp x , \mathrm{IsRelUpperSet} (\mathrm{carrier} , P)\vdash \operatorname{mk} (\mathrm{carrier} , \mathrm{isRelUpperSet'})\in \mathrm{RelUpperSet} (P)$
RelUpperSet.carrierdefUnbundled.lean:305
The carrier of a RelUpperSet.
Lean
  carrier : Set α
Dedukti
1 lines
RelUpperSet__carrier : (self : Elem (RelUpperSet P)) -> Elem (powerset x).
English
Let $\mathrm{self}$ be a relative upper set of $P$. Then the carrier of $\mathrm{self}$ is an element of $\wp x$.
French
Soit $\mathrm{self}$ un élément de $\mathrm{RelUpperSet}$ appliqué à $P$. Alors $\operatorname{carrier}$ appliqué à $\mathrm{self}$ est un élément de $\wp x$.
Czech
Nechť $\mathrm{self}$ je prvek $\mathrm{RelUpperSet}$ aplikovaný na $P$. Tedy $\operatorname{carrier}$ aplikovaný na $\mathrm{self}$ je prvek $\wp x$.
German
Sei $\mathrm{self}$ ein Element von $\mathrm{RelUpperSet}$ angewandt auf $P$. Dann ist $\operatorname{carrier}$ angewandt auf $\mathrm{self}$ ein Element von $\wp x$.
Swedish
Låt $\mathrm{self}$ vara ett element av $\mathrm{RelUpperSet}$ applicerat på $P$. Då är $\operatorname{carrier}$ applicerat på $\mathrm{self}$ ett element av $\wp x$.
Formula
$\mathrm{self} \in \mathrm{RelUpperSet} (P)\vdash \operatorname{carrier} (\mathrm{self})\in \wp x$
RelUpperSet.isRelUpperSet'theoremUnbundled.lean:309
The carrier of a RelUpperSet is an upper set relative to P.
Do NOT use directly. Please use RelUpperSet.isRelUpperSet instead.
Lean
  isRelUpperSet' : IsRelUpperSet carrier P
Dedukti
1 lines
RelUpperSet__isRelUpperSet' : (x : Set) -> (_ : Proof (LE x)) -> (P : (Elem x -> Prop)) -> (self : Elem (RelUpperSet P)) -> Proof (IsRelUpperSet (RelUpperSet__carrier self) P).
English
Let $x$ be an ordered set. Let $P$ be a function from elements of $x$ to propositions. Let $\mathrm{self}$ be a relative upper set of $P$. Then the carrier of $\mathrm{self}$ is a relative upper set with respect to $P$.
French
Soit $x$ un ensemble ordonné. Soit $P$ une fonction des éléments de $x$ à des propositions. Soit $\mathrm{self}$ un élément de $\mathrm{RelUpperSet}$ appliqué à $P$. Alors $\mathrm{IsRelUpperSet}$ tient pour $\operatorname{carrier}$ appliqué à $\mathrm{self}$ et $P$.
Czech
Nechť $x$ je uspořádaná množina. Nechť $P$ je funkce z prvků $x$ do výroků. Nechť $\mathrm{self}$ je prvek $\mathrm{RelUpperSet}$ aplikovaný na $P$. Tedy $\mathrm{IsRelUpperSet}$ platí pro $\operatorname{carrier}$ aplikovaný na $\mathrm{self}$ a $P$.
German
Sei $x$ eine geordnete Menge. Sei $P$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Propositionen. Sei $\mathrm{self}$ ein Element von $\mathrm{RelUpperSet}$ angewandt auf $P$. Dann hält $\mathrm{IsRelUpperSet}$ für $\operatorname{carrier}$ angewandt auf $\mathrm{self}$ und $P$.
Swedish
Låt $x$ vara en ordnad mängd. Låt $P$ vara en funktion från element av $x$ till påståenden. Låt $\mathrm{self}$ vara ett element av $\mathrm{RelUpperSet}$ applicerat på $P$. Då håller $\mathrm{IsRelUpperSet}$ för $\operatorname{carrier}$ applicerat på $\mathrm{self}$ och $P$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LE} (x), P \in x \rightarrow \mathrm{Prop} , \mathrm{self} \in \mathrm{RelUpperSet} (P)\vdash \mathrm{IsRelUpperSet} (\operatorname{carrier} (\mathrm{self}), P)$
RelLowerSetinductiveUnbundled.lean:314
A lower set relative to a predicate P is a set such that all elements satisfy P and any element less than one of its members and satisfying P is also a member.
Lean
@[inherit_doc IsRelLowerSet, to_dual]
structure RelLowerSet {α : Type*} [LE α] (P : α → Prop) where
Dedukti
1 lines
RelLowerSet : (P : (Elem x -> Prop)) -> Set.
English
Let $P$ be a function from elements of $x$ to propositions. Then the relative lower sets of $P$ are a basic type.
French
Soit $P$ une fonction des éléments de $x$ à des propositions. Alors les ensembles inférieurs relatifs de $P$ sont un type de base.
Czech
Nechť $P$ je funkce z prvků $x$ do výroků. Tedy relativní dolní množiny $P$ jsou základní typ.
German
Sei $P$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann sind die Elemente von $\mathrm{RelLowerSet}$ angewandt auf $P$ ein Grundtyp.
Swedish
Låt $P$ vara en funktion från element av $x$ till påståenden. Då är elementen av $\mathrm{RelLowerSet}$ applicerat på $P$ en grundtyp.
Formula
$P \in x \rightarrow \mathrm{Prop} \vdash \mathrm{RelLowerSet} (P)\ \mathsf{set}$
RelLowerSet.mkconstructorUnbundled.lean:314
Lean
structure RelLowerSet {α : Type*} [LE α] (P : α → Prop) where
Dedukti
1 lines
RelLowerSet__mk : (carrier : Elem (powerset x)) -> (isRelLowerSet' : Proof (IsRelLowerSet carrier P)) -> Elem (RelLowerSet P).
English
Let $\mathrm{carrier}$ be an element of $\wp x$ such that $\mathrm{carrier}$ is a relative lower set with respect to $P$. Then $\operatorname{mk}$ applied to $\mathrm{carrier}$ and $\mathrm{isRelLowerSet'}$ is a relative lower set of $P$.
French
Soit $\mathrm{carrier}$ un élément de $\wp x$ tel que $\mathrm{IsRelLowerSet}$ tienne pour $\mathrm{carrier}$ et $P$. Alors $\operatorname{mk}$ appliqué à $\mathrm{carrier}$ et $\mathrm{isRelLowerSet'}$ est un élément de $\mathrm{RelLowerSet}$ appliqué à $P$.
Czech
Nechť $\mathrm{carrier}$ je prvek $\wp x$ takový, že $\mathrm{IsRelLowerSet}$ platí pro $\mathrm{carrier}$ a $P$. Tedy $\operatorname{mk}$ aplikovaný na $\mathrm{carrier}$ a $\mathrm{isRelLowerSet'}$ je prvek $\mathrm{RelLowerSet}$ aplikovaný na $P$.
German
Sei $\mathrm{carrier}$ ein Element von $\wp x$ derart, dass $\mathrm{IsRelLowerSet}$ für $\mathrm{carrier}$ und $P$ hält. Dann ist $\operatorname{mk}$ angewandt auf $\mathrm{carrier}$ und $\mathrm{isRelLowerSet'}$ ein Element von $\mathrm{RelLowerSet}$ angewandt auf $P$.
Swedish
Låt $\mathrm{carrier}$ vara ett element av $\wp x$ sådant att $\mathrm{IsRelLowerSet}$ håller för $\mathrm{carrier}$ och $P$. Då är $\operatorname{mk}$ applicerat på $\mathrm{carrier}$ och $\mathrm{isRelLowerSet'}$ ett element av $\mathrm{RelLowerSet}$ applicerat på $P$.
Formula
$\mathrm{carrier} \in \wp x , \mathrm{IsRelLowerSet} (\mathrm{carrier} , P)\vdash \operatorname{mk} (\mathrm{carrier} , \mathrm{isRelLowerSet'})\in \mathrm{RelLowerSet} (P)$
RelLowerSet.carrierdefUnbundled.lean:316
The carrier of a RelLowerSet.
Lean
  carrier : Set α
Dedukti
1 lines
RelLowerSet__carrier : (self : Elem (RelLowerSet P)) -> Elem (powerset x).
English
Let $\mathrm{self}$ be a relative lower set of $P$. Then the carrier of $\mathrm{self}$ is an element of $\wp x$.
French
Soit $\mathrm{self}$ un élément de $\mathrm{RelLowerSet}$ appliqué à $P$. Alors $\operatorname{carrier}$ appliqué à $\mathrm{self}$ est un élément de $\wp x$.
Czech
Nechť $\mathrm{self}$ je prvek $\mathrm{RelLowerSet}$ aplikovaný na $P$. Tedy $\operatorname{carrier}$ aplikovaný na $\mathrm{self}$ je prvek $\wp x$.
German
Sei $\mathrm{self}$ ein Element von $\mathrm{RelLowerSet}$ angewandt auf $P$. Dann ist $\operatorname{carrier}$ angewandt auf $\mathrm{self}$ ein Element von $\wp x$.
Swedish
Låt $\mathrm{self}$ vara ett element av $\mathrm{RelLowerSet}$ applicerat på $P$. Då är $\operatorname{carrier}$ applicerat på $\mathrm{self}$ ett element av $\wp x$.
Formula
$\mathrm{self} \in \mathrm{RelLowerSet} (P)\vdash \operatorname{carrier} (\mathrm{self})\in \wp x$
RelLowerSet.isRelLowerSet'theoremUnbundled.lean:320
The carrier of a RelLowerSet is a lower set relative to P.
Do NOT use directly. Please use RelLowerSet.isRelLowerSet instead.
Lean
  isRelLowerSet' : IsRelLowerSet carrier P
Dedukti
1 lines
RelLowerSet__isRelLowerSet' : (x : Set) -> (_ : Proof (LE x)) -> (P : (Elem x -> Prop)) -> (self : Elem (RelLowerSet P)) -> Proof (IsRelLowerSet (RelLowerSet__carrier self) P).
English
Let $x$ be an ordered set. Let $P$ be a function from elements of $x$ to propositions. Let $\mathrm{self}$ be a relative lower set of $P$. Then the carrier of $\mathrm{self}$ is a relative lower set with respect to $P$.
French
Soit $x$ un ensemble ordonné. Soit $P$ une fonction des éléments de $x$ à des propositions. Soit $\mathrm{self}$ un élément de $\mathrm{RelLowerSet}$ appliqué à $P$. Alors $\mathrm{IsRelLowerSet}$ tient pour $\operatorname{carrier}$ appliqué à $\mathrm{self}$ et $P$.
Czech
Nechť $x$ je uspořádaná množina. Nechť $P$ je funkce z prvků $x$ do výroků. Nechť $\mathrm{self}$ je prvek $\mathrm{RelLowerSet}$ aplikovaný na $P$. Tedy $\mathrm{IsRelLowerSet}$ platí pro $\operatorname{carrier}$ aplikovaný na $\mathrm{self}$ a $P$.
German
Sei $x$ eine geordnete Menge. Sei $P$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Propositionen. Sei $\mathrm{self}$ ein Element von $\mathrm{RelLowerSet}$ angewandt auf $P$. Dann hält $\mathrm{IsRelLowerSet}$ für $\operatorname{carrier}$ angewandt auf $\mathrm{self}$ und $P$.
Swedish
Låt $x$ vara en ordnad mängd. Låt $P$ vara en funktion från element av $x$ till påståenden. Låt $\mathrm{self}$ vara ett element av $\mathrm{RelLowerSet}$ applicerat på $P$. Då håller $\mathrm{IsRelLowerSet}$ för $\operatorname{carrier}$ applicerat på $\mathrm{self}$ och $P$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LE} (x), P \in x \rightarrow \mathrm{Prop} , \mathrm{self} \in \mathrm{RelLowerSet} (P)\vdash \mathrm{IsRelLowerSet} (\operatorname{carrier} (\mathrm{self}), P)$
of_eqtheoremUnbundled.lean:326
Lean
theorem of_eq [Std.Refl r] : ∀ {a b}, a = b → r a b
Dedukti
1 lines
of_eq : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Refl r)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h1 : Proof (Eqt x a b)) -> Proof (r a b).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a reflexive function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $\EqtMACRoH {a}{b}$. Then $r$ holds for $a$ and $b$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions réflexive. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $\EqtMACRoH {a}{b}$. Alors $r$ tient pour $a$ et $b$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je reflexivní funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $\EqtMACRoH {a}{b}$. Tedy $r$ platí pro $a$ a $b$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine reflexive Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $\EqtMACRoH {a}{b}$. Dann hält $r$ für $a$ und $b$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en reflexiv funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $\EqtMACRoH {a}{b}$. Då håller $r$ för $a$ och $b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Refl} (r), a , b \in x , \EqtMACRoJ {a}{b}\vdash r (a , b)$
commtheoremUnbundled.lean:329
Lean
theorem comm [Std.Symm r] {a b : α} : r a b ↔ r b a :=
  ⟨symm, symm⟩
Dedukti
2 lines
def comm : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Symm r)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (r a b) (r b a)) :=
  x => r => h => a => b => iffI (r a b) (r b a) (symm x r a b) (symm x r b a).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a symmetric function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $r$ holds for $a$ and $b$, if and only if $r$ holds for $b$ and $a$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions symétrique. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $r$ tient pour $a$ et $b$ si et seulement si $r$ tient pour $b$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je symetrická funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $r$ platí pro $a$ a $b$, právě tehdy, když $r$ platí pro $b$ a $a$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine symmetrische Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann hält $r$ für $a$ und $b$, genau dann, wenn $r$ für $b$ und $a$ hält.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en symmetrisk funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då håller $r$ för $a$ och $b$, om och endast om $r$ håller för $b$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Symm} (r), a , b \in x \vdash r (a , b)\leftrightarrow r (b , a)$
Proof
4 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$r$ holds for $b$ and $a$.symm
3.$r$ holds for $a$ and $b$.symm
4.$r$ holds for $a$ and $b$, if and only if $r$ holds for $b$ and $a$.iffI 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$r$ tient pour $b$ et $a$.symm
3.$r$ tient pour $a$ et $b$.symm
4.$r$ tient pour $a$ et $b$ si et seulement si $r$ tient pour $b$ et $a$.iffI 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$r$ platí pro $b$ a $a$.symm
3.$r$ platí pro $a$ a $b$.symm
4.$r$ platí pro $a$ a $b$, právě tehdy, když $r$ platí pro $b$ a $a$.iffI 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$r$ hält für $b$ und $a$.symm
3.$r$ hält für $a$ und $b$.symm
4.$r$ hält für $a$ und $b$, genau dann, wenn $r$ für $b$ und $a$ hält.iffI 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$r$ håller för $b$ och $a$.symm
3.$r$ håller för $a$ och $b$.symm
4.$r$ håller för $a$ och $b$, om och endast om $r$ håller för $b$ och $a$.iffI 2, 3
antisymm'theoremUnbundled.lean:332
Lean
theorem antisymm' [Std.Antisymm r] {a b : α} : r a b → r b a → b = a := fun h h' => antisymm h' h
Dedukti
2 lines
def antisymm' : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Antisymm r)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h1 : Proof (r a b)) -> (h2 : Proof (r b a)) -> Proof (Eqt x b a) :=
  x => r => h => a => b => h1 => h2 => antisymm x r b a h2 h1.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be an antisymmetric function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $r$ holds for $a$ and $b$ and $r$ holds for $b$ and $a$. Then $\EqtMACRoH {b}{a}$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions antisymétrique. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $r$ tienne pour $a$ et $b$ et $r$ tienne pour $b$ et $a$. Alors $\EqtMACRoH {b}{a}$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je antisymetrická funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $r$ platí pro $a$ a $b$ a $r$ platí pro $b$ a $a$. Tedy $\EqtMACRoH {b}{a}$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine antisymmetrische Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $r$ für $a$ und $b$ hält und $r$ für $b$ und $a$ hält. Dann $\EqtMACRoH {b}{a}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en antisymmetrisk funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $r$ håller för $a$ och $b$ och $r$ håller för $b$ och $a$. Då $\EqtMACRoH {b}{a}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Antisymm} (r), a , b \in x , r (a , b), r (b , a)\vdash \EqtMACRoJ {b}{a}$
Proof
4 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.Assume that $r$ holds for $b$ and $a$.
3.Assume that $r$ holds for $a$ and $b$.
4.$\EqtMACRoJ {b}{a}$.antisymm 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $r$ tient pour $b$ et $a$.
3.Supposons que $r$ tient pour $a$ et $b$.
4.$\EqtMACRoJ {b}{a}$.antisymm 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $r$ platí pro $b$ a $a$.
3.Předpokládejme, že $r$ platí pro $a$ a $b$.
4.$\EqtMACRoJ {b}{a}$.antisymm 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $r$ für $b$ und $a$ hält.
3.Nimm an, dass $r$ für $a$ und $b$ hält.
4.$\EqtMACRoJ {b}{a}$.antisymm 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Anta att $r$ håller för $b$ och $a$.
3.Anta att $r$ håller för $a$ och $b$.
4.$\EqtMACRoJ {b}{a}$.antisymm 2, 3
antisymm_ifftheoremUnbundled.lean:334
Lean
theorem antisymm_iff [Std.Refl r] [Std.Antisymm r] {a b : α} : r a b ∧ r b a ↔ a = b :=
  ⟨fun h => antisymm h.1 h.2, by
    rintro rfl
    exact ⟨refl _, refl _⟩⟩
Dedukti
2 lines
def antisymm_iff : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Refl r)) -> (_ : Proof (Std__Antisymm r)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (and (r a b) (r b a)) (Eqt x a b)) :=
  x => r => h => h1 => a => b => iffI (and (r a b) (r b a)) (Eqt x a b) (h2 => antisymm x r a b (andEl (r a b) (r b a) h2) (andEr (r a b) (r b a) h2)) (h3 => Eq__ndrec (andI (r a a) (r a a) (refl x r a) (refl x r a)) h3).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions such that $r$ is reflexive and antisymmetric. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $r$ holds for $a$ and $b$ and $r$ holds for $b$ and $a$, if and only if $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions telle que $r$ soit réflexif et antisymétrique. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $r$ tient pour $a$ et $b$ et $r$ tient pour $b$ et $a$ si et seulement si $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků taková, že $r$ je reflexivní a antisymetrické. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $r$ platí pro $a$ a $b$ a $r$ platí pro $b$ a $a$, právě tehdy, když $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass $r$ reflexiv und antisymmetrisch ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann hält $r$ für $a$ und $b$ und $r$ hält für $b$ und $a$, genau dann, wenn $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden sådan att $r$ är reflexivt och antisymmetriskt. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då håller $r$ för $a$ och $b$ och $r$ håller för $b$ och $a$, om och endast om $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Refl} (r), \operatorname{Antisymm} (r), a , b \in x \vdash r (a , b)\wedge r (b , a)\leftrightarrow \EqtMACRoJ {a}{b}$
Proof
8 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.Assume that $r$ holds for $a$ and $b$ and $r$ holds for $b$ and $a$.
3.$r$ holds for $a$ and $b$.andEl 2
4.$r$ holds for $b$ and $a$.andEr 2
5.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.antisymm 3, 4
6.Assume that $\EqtMACRoJ {a}{b}$.
7.There is an element of $\mathrm{motive}$ applied to $b$.Eq.ndrec 6
8.$r$ holds for $a$ and $b$ and $r$ holds for $b$ and $a$, if and only if $\EqtMACRoJ {a}{b}$.iffI 5, 7 [h2, h3]
Proof, French
8 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $r$ tient pour $a$ et $b$ et $r$ tient pour $b$ et $a$.
3.$r$ tient pour $a$ et $b$.andEl 2
4.$r$ tient pour $b$ et $a$.andEr 2
5.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.antisymm 3, 4
6.Supposons que $\EqtMACRoJ {a}{b}$.
7.Il y a un élément de $\mathrm{motive}$ appliqué à $b$.Eq.ndrec 6
8.$r$ tient pour $a$ et $b$ et $r$ tient pour $b$ et $a$ si et seulement si $\EqtMACRoJ {a}{b}$.iffI 5, 7 [h2, h3]
Proof, Czech
8 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $r$ platí pro $a$ a $b$ a $r$ platí pro $b$ a $a$.
3.$r$ platí pro $a$ a $b$.andEl 2
4.$r$ platí pro $b$ a $a$.andEr 2
5.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.antisymm 3, 4
6.Předpokládejme, že $\EqtMACRoJ {a}{b}$.
7.Existuje prvek $\mathrm{motive}$ aplikovaný na $b$.Eq.ndrec 6
8.$r$ platí pro $a$ a $b$ a $r$ platí pro $b$ a $a$, právě tehdy, když $\EqtMACRoJ {a}{b}$.iffI 5, 7 [h2, h3]
Proof, German
8 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $r$ für $a$ und $b$ hält und $r$ für $b$ und $a$ hält.
3.$r$ hält für $a$ und $b$.andEl 2
4.$r$ hält für $b$ und $a$.andEr 2
5.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.antisymm 3, 4
6.Nimm an, dass $\EqtMACRoJ {a}{b}$.
7.Es gibt ein Element von $\mathrm{motive}$ angewandt auf $b$.Eq.ndrec 6
8.$r$ hält für $a$ und $b$ und $r$ hält für $b$ und $a$, genau dann, wenn $\EqtMACRoJ {a}{b}$.iffI 5, 7 [h2, h3]
Proof, Swedish
8 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Anta att $r$ håller för $a$ och $b$ och $r$ håller för $b$ och $a$.
3.$r$ håller för $a$ och $b$.andEl 2
4.$r$ håller för $b$ och $a$.andEr 2
5.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.antisymm 3, 4
6.Anta att $\EqtMACRoJ {a}{b}$.
7.Det finns ett element av $\mathrm{motive}$ applicerat på $b$.Eq.ndrec 6
8.$r$ håller för $a$ och $b$ och $r$ håller för $b$ och $a$, om och endast om $\EqtMACRoJ {a}{b}$.iffI 5, 7 [h2, h3]
antisymm_oftheoremUnbundled.lean:343
A version of antisymm with r explicit.
This lemma matches the lemmas from lean core in Init.Algebra.Classes, but is missing there.
Lean
@[elab_without_expected_type]
theorem antisymm_of (r : α → α → Prop) [Std.Antisymm r] {a b : α} : r a b → r b a → a = b :=
  antisymm
Dedukti
2 lines
def antisymm_of : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Antisymm r)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h1 : Proof (r a b)) -> (h2 : Proof (r b a)) -> Proof (Eqt x a b) :=
  x => r => h => a => b => antisymm x r a b.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be an antisymmetric function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $r$ holds for $a$ and $b$ and $r$ holds for $b$ and $a$. Then $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions antisymétrique. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $r$ tienne pour $a$ et $b$ et $r$ tienne pour $b$ et $a$. Alors $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je antisymetrická funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $r$ platí pro $a$ a $b$ a $r$ platí pro $b$ a $a$. Tedy $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine antisymmetrische Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $r$ für $a$ und $b$ hält und $r$ für $b$ und $a$ hält. Dann $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en antisymmetrisk funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $r$ håller för $a$ och $b$ och $r$ håller för $b$ och $a$. Då $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Antisymm} (r), a , b \in x , r (a , b), r (b , a)\vdash \EqtMACRoJ {a}{b}$
Proof
2 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.antisymm
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.antisymm
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.antisymm
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.antisymm
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.antisymm
antisymm_of'theoremUnbundled.lean:350
A version of antisymm' with r explicit.
This lemma matches the lemmas from lean core in Init.Algebra.Classes, but is missing there.
Lean
@[elab_without_expected_type]
theorem antisymm_of' (r : α → α → Prop) [Std.Antisymm r] {a b : α} : r a b → r b a → b = a :=
  antisymm'
Dedukti
2 lines
def antisymm_of' : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Antisymm r)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h1 : Proof (r a b)) -> (h2 : Proof (r b a)) -> Proof (Eqt x b a) :=
  x => r => h => a => b => antisymm' x r a b.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be an antisymmetric function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $r$ holds for $a$ and $b$ and $r$ holds for $b$ and $a$. Then $\EqtMACRoH {b}{a}$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions antisymétrique. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $r$ tienne pour $a$ et $b$ et $r$ tienne pour $b$ et $a$. Alors $\EqtMACRoH {b}{a}$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je antisymetrická funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $r$ platí pro $a$ a $b$ a $r$ platí pro $b$ a $a$. Tedy $\EqtMACRoH {b}{a}$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine antisymmetrische Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $r$ für $a$ und $b$ hält und $r$ für $b$ und $a$ hält. Dann $\EqtMACRoH {b}{a}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en antisymmetrisk funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $r$ håller för $a$ och $b$ och $r$ håller för $b$ och $a$. Då $\EqtMACRoH {b}{a}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Antisymm} (r), a , b \in x , r (a , b), r (b , a)\vdash \EqtMACRoJ {b}{a}$
Proof
2 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$\EqtMACRoJ {b}{a}$.antisymm'
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$\EqtMACRoJ {b}{a}$.antisymm'
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$\EqtMACRoJ {b}{a}$.antisymm'
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$\EqtMACRoJ {b}{a}$.antisymm'
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$\EqtMACRoJ {b}{a}$.antisymm'
comm_oftheoremUnbundled.lean:356
A version of comm with r explicit.
This lemma matches the lemmas from lean core in Init.Algebra.Classes, but is missing there.
Lean
theorem comm_of (r : α → α → Prop) [Std.Symm r] {a b : α} : r a b ↔ r b a :=
  comm
Dedukti
2 lines
def comm_of : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Symm r)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (r a b) (r b a)) :=
  x => r => h => a => b => comm x r a b.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a symmetric function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $r$ holds for $a$ and $b$, if and only if $r$ holds for $b$ and $a$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions symétrique. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $r$ tient pour $a$ et $b$ si et seulement si $r$ tient pour $b$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je symetrická funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $r$ platí pro $a$ a $b$, právě tehdy, když $r$ platí pro $b$ a $a$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine symmetrische Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann hält $r$ für $a$ und $b$, genau dann, wenn $r$ für $b$ und $a$ hält.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en symmetrisk funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då håller $r$ för $a$ och $b$, om och endast om $r$ håller för $b$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Symm} (r), a , b \in x \vdash r (a , b)\leftrightarrow r (b , a)$
Proof
2 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$r$ holds for $a$ and $b$, if and only if $r$ holds for $b$ and $a$.comm
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$r$ tient pour $a$ et $b$ si et seulement si $r$ tient pour $b$ et $a$.comm
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$r$ platí pro $a$ a $b$, právě tehdy, když $r$ platí pro $b$ a $a$.comm
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$r$ hält für $a$ und $b$, genau dann, wenn $r$ für $b$ und $a$ hält.comm
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$r$ håller för $a$ och $b$, om och endast om $r$ håller för $b$ och $a$.comm
Std.Asymm.antisymmtheoremUnbundled.lean:359
Lean
protected theorem Std.Asymm.antisymm (r : α → α → Prop) [Std.Asymm r] : Std.Antisymm r :=
  inferInstance
Dedukti
2 lines
def Std__Asymm__antisymm : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Asymm r)) -> Proof (Std__Antisymm r) :=
  x => r => h => inferInstance.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be an asymmetric function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Then $r$ is antisymmetric.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions asymétrique. Alors $r$ est antisymétrique.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je asymetrická funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Tedy $r$ je antisymetrické.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine asymmetrische Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann ist $r$ antisymmetrisch.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en asymmetrisk funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Då är $r$ antisymmetriskt.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Asymm} (r)\vdash \operatorname{Antisymm} (r)$
Proof
1 lines
1.There is an element of $x$.inferInstance
Proof, French
1 lines
1.Il y a un élément de $x$.inferInstance
Proof, Czech
1 lines
1.Existuje prvek $x$.inferInstance
Proof, German
1 lines
1.Es gibt ein Element von $x$.inferInstance
Proof, Swedish
1 lines
1.Det finns ett element av $x$.inferInstance
Std.Asymm.irrefltheoremUnbundled.lean:362
Lean
protected theorem Std.Asymm.irrefl [Std.Asymm r] : Std.Irrefl r :=
  inferInstance
Dedukti
2 lines
def Std__Asymm__irrefl : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Asymm r)) -> Proof (Std__Irrefl r) :=
  x => r => h => inferInstance.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be an asymmetric function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Then $r$ is irreflexive.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions asymétrique. Alors $r$ est irréflexif.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je asymetrická funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Tedy $r$ je ireflexivní.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine asymmetrische Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann ist $r$ irreflexiv.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en asymmetrisk funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Då är $r$ irreflexivt.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Asymm} (r)\vdash \operatorname{Irrefl} (r)$
Proof
1 lines
1.There is an element of $x$.inferInstance
Proof, French
1 lines
1.Il y a un élément de $x$.inferInstance
Proof, Czech
1 lines
1.Existuje prvek $x$.inferInstance
Proof, German
1 lines
1.Es gibt ein Element von $x$.inferInstance
Proof, Swedish
1 lines
1.Det finns ett element av $x$.inferInstance
Std.Total.trichotomoustheoremUnbundled.lean:365
Lean
protected theorem Std.Total.trichotomous (r : α → α → Prop) [Std.Total r] : Std.Trichotomous r :=
  inferInstance
Dedukti
2 lines
def Std__Total__trichotomous : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Total r)) -> Proof (Std__Trichotomous r) :=
  x => r => h => inferInstance.
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a total function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Then $r$ is trichotomous.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions totale. Alors $r$ est trichotome.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je úplná funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Tedy $r$ je trichotomické.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine totale Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Dann ist $r$ trichotom.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en total funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Då är $r$ trikotomt.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Total} (r)\vdash \operatorname{Trichotomous} (r)$
Proof
1 lines
1.There is an element of $x$.inferInstance
Proof, French
1 lines
1.Il y a un élément de $x$.inferInstance
Proof, Czech
1 lines
1.Existuje prvek $x$.inferInstance
Proof, German
1 lines
1.Es gibt ein Element von $x$.inferInstance
Proof, Swedish
1 lines
1.Det finns ett element av $x$.inferInstance
ne_of_irrefltheoremUnbundled.lean:372
Lean
theorem ne_of_irrefl {r} [Std.Irrefl r] : ∀ {x y : α}, r x y → x ≠ y
Dedukti
1 lines
ne_of_irrefl : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Irrefl r)) -> (x1 : Elem x) -> (y : Elem x) -> (h1 : Proof (r x1 y)) -> Proof (Neq x1 y).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be an irreflexive function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $x_{1}$ and $y$ be elements of $x$ such that $r$ holds for $x_{1}$ and $y$. Then $x_{1} \neq y$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions irréflexive. Soient $x_{1}$ et $y$ des éléments de $x$ tels que $r$ tienne pour $x_{1}$ et $y$. Alors $x_{1} \neq y$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je ireflexivní funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $x_{1}$ a $y$ je prvek $x$ takový, že $r$ platí pro $x_{1}$ a $y$. Tedy $x_{1} \neq y$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine irreflexive Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Seien $x_{1}$ und $y$ elemente von $x$ derart, dass $r$ für $x_{1}$ und $y$ hält. Dann $x_{1} \neq y$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en irreflexiv funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $x_{1}$ och $y$ vara element av $x$ sådana att $r$ håller för $x_{1}$ och $y$. Då $x_{1} \neq y$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Irrefl} (r), x_{1} , y \in x , r (x_{1} , y)\vdash x_{1} \neq y$
ne_of_irrefl'theoremUnbundled.lean:375
Lean
theorem ne_of_irrefl' {r} [Std.Irrefl r] : ∀ {x y : α}, r x y → y ≠ x
Dedukti
1 lines
ne_of_irrefl' : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Irrefl r)) -> (x1 : Elem x) -> (y : Elem x) -> (h1 : Proof (r x1 y)) -> Proof (Neq y x1).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be an irreflexive function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Let $x_{1}$ and $y$ be elements of $x$ such that $r$ holds for $x_{1}$ and $y$. Then $y \neq x_{1}$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions irréflexive. Soient $x_{1}$ et $y$ des éléments de $x$ tels que $r$ tienne pour $x_{1}$ et $y$. Alors $y \neq x_{1}$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je ireflexivní funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Nechť $x_{1}$ a $y$ je prvek $x$ takový, že $r$ platí pro $x_{1}$ a $y$. Tedy $y \neq x_{1}$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine irreflexive Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Seien $x_{1}$ und $y$ elemente von $x$ derart, dass $r$ für $x_{1}$ und $y$ hält. Dann $y \neq x_{1}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en irreflexiv funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Låt $x_{1}$ och $y$ vara element av $x$ sådana att $r$ håller för $x_{1}$ och $y$. Då $y \neq x_{1}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Irrefl} (r), x_{1} , y \in x , r (x_{1} , y)\vdash y \neq x_{1}$
not_rel_of_subsingletontheoremUnbundled.lean:378
Lean
theorem not_rel_of_subsingleton (r : α → α → Prop) [Std.Irrefl r] [Subsingleton α] (x y) : ¬r x y :=
Dedukti
1 lines
not_rel_of_subsingleton : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Irrefl r)) -> (_ : Proof (Subsingleton x)) -> (x1 : Elem x) -> (y : Elem x) -> Proof (not (r x1 y)).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be an irreflexive function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Assume that $x$ is a subsingleton. Let $x_{1}$ and $y$ be elements of $x$. Then it is not the case that $r$ holds for $x_{1}$ and $y$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions irréflexive. Supposons que $x$ est un sous-singleton. Soient $x_{1}$ et $y$ des éléments de $x$. Alors il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $x_{1}$ et $y$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je ireflexivní funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Předpokládejme, že $x$ je subsingleton. Nechť $x_{1}$ a $y$ je prvek $x$. Tedy není případ že $r$ platí pro $x_{1}$ a $y$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine irreflexive Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Nimm an, dass $x$ ein Subsingleton ist. Seien $x_{1}$ und $y$ elemente von $x$. Dann ist es nicht der Fall dass $r$ für $x_{1}$ und $y$ hält.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en irreflexiv funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Anta att $x$ är en subsingleton. Låt $x_{1}$ och $y$ vara element av $x$. Då är det inte fallet att $r$ håller för $x_{1}$ och $y$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Irrefl} (r), \mathrm{Subsingleton} (x), x_{1} , y \in x \vdash \neg r (x_{1} , y)$
rel_of_subsingletontheoremUnbundled.lean:381
Lean
theorem rel_of_subsingleton (r : α → α → Prop) [Std.Refl r] [Subsingleton α] (x y) : r x y :=
Dedukti
1 lines
rel_of_subsingleton : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Refl r)) -> (_ : Proof (Subsingleton x)) -> (x1 : Elem x) -> (y : Elem x) -> Proof (r x1 y).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a reflexive function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions. Assume that $x$ is a subsingleton. Let $x_{1}$ and $y$ be elements of $x$. Then $r$ holds for $x_{1}$ and $y$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions réflexive. Supposons que $x$ est un sous-singleton. Soient $x_{1}$ et $y$ des éléments de $x$. Alors $r$ tient pour $x_{1}$ et $y$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je reflexivní funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků. Předpokládejme, že $x$ je subsingleton. Nechť $x_{1}$ a $y$ je prvek $x$. Tedy $r$ platí pro $x_{1}$ a $y$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine reflexive Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen. Nimm an, dass $x$ ein Subsingleton ist. Seien $x_{1}$ und $y$ elemente von $x$. Dann hält $r$ für $x_{1}$ und $y$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en reflexiv funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden. Anta att $x$ är en subsingleton. Låt $x_{1}$ och $y$ vara element av $x$. Då håller $r$ för $x_{1}$ och $y$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Refl} (r), \mathrm{Subsingleton} (x), x_{1} , y \in x \vdash r (x_{1} , y)$
empty_relation_applytheoremUnbundled.lean:385
Lean
@[simp]
theorem empty_relation_apply (a b : α) : emptyRelation a b ↔ False :=
  Iff.rfl
Dedukti
2 lines
def empty_relation_apply : (x : Set) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (emptyRelation a b) false) :=
  x => a => b => Iff__rfl (emptyRelation a b).
English
Let $x$ be a set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\mathrm{emptyRelation}$ holds for $a$ and $b$, if and only if we have a contradiction.
French
Soit $x$ un ensemble. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\mathrm{emptyRelation}$ tient pour $a$ et $b$ si et seulement si nous avons une contradiction.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $\mathrm{emptyRelation}$ platí pro $a$ a $b$, právě tehdy, když máme spor.
German
Sei $x$ eine Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann hält $\mathrm{emptyRelation}$ für $a$ und $b$, genau dann, wenn wir einen Widerspruch haben.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då håller $\mathrm{emptyRelation}$ för $a$ och $b$, om och endast om vi har en kontradiction.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , a , b \in x \vdash \mathrm{emptyRelation} (a , b)\leftrightarrow \bot$
Proof
2 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$\mathrm{emptyRelation}$ holds for $a$ and $b$, if and only if $\mathrm{emptyRelation}$ holds for $a$ and $b$.Iff.rfl
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$\mathrm{emptyRelation}$ tient pour $a$ et $b$ si et seulement si $\mathrm{emptyRelation}$ tient pour $a$ et $b$.Iff.rfl
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$\mathrm{emptyRelation}$ platí pro $a$ a $b$, právě tehdy, když $\mathrm{emptyRelation}$ platí pro $a$ a $b$.Iff.rfl
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$\mathrm{emptyRelation}$ hält für $a$ und $b$, genau dann, wenn $\mathrm{emptyRelation}$ für $a$ und $b$ hält.Iff.rfl
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$\mathrm{emptyRelation}$ håller för $a$ och $b$, om och endast om $\mathrm{emptyRelation}$ håller för $a$ och $b$.Iff.rfl
rel_congr_lefttheoremUnbundled.lean:391
Lean
theorem rel_congr_left [Std.Symm r] [IsTrans α r] {a b c : α} (h : r a b) : r a c ↔ r b c :=
  ⟨trans_of r (symm_of r h), trans_of r h⟩
Dedukti
2 lines
def rel_congr_left : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Symm r)) -> (_ : Proof (IsTrans x r)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h2 : Proof (r a b)) -> Proof (iff (r a c) (r b c)) :=
  x => r => h => h1 => a => b => c => h2 => iffI (r a c) (r b c) (trans_of x r b a c (symm_of x r a b h2)) (trans_of x r a b c h2).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions such that $r$ is symmetric and transitive. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $r$ holds for $a$ and $b$. Then $r$ holds for $a$ and $c$, if and only if $r$ holds for $b$ and $c$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions telle que $r$ soit symétrique et transitif. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $r$ tienne pour $a$ et $b$. Alors $r$ tient pour $a$ et $c$ si et seulement si $r$ tient pour $b$ et $c$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků taková, že $r$ je symetrické a tranzitivní. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $r$ platí pro $a$ a $b$. Tedy $r$ platí pro $a$ a $c$, právě tehdy, když $r$ platí pro $b$ a $c$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass $r$ symmetrisch und transitiv ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $r$ für $a$ und $b$ hält. Dann hält $r$ für $a$ und $c$, genau dann, wenn $r$ für $b$ und $c$ hält.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden sådan att $r$ är symmetriskt och transitivt. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $r$ håller för $a$ och $b$. Då håller $r$ för $a$ och $c$, om och endast om $r$ håller för $b$ och $c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Symm} (r), \mathrm{IsTrans} (x , r), a , b , c \in x , r (a , b)\vdash r (a , c)\leftrightarrow r (b , c)$
Proof
6 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.Assume that $r$ holds for $a$ and $b$.
3.$r$ holds for $b$ and $a$.symm_of 2
4.$r$ holds for $b$ and $c$.trans_of 3
5.$r$ holds for $a$ and $c$.trans_of 2
6.$r$ holds for $a$ and $c$, if and only if $r$ holds for $b$ and $c$.iffI 4, 5
Proof, French
6 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $r$ tient pour $a$ et $b$.
3.$r$ tient pour $b$ et $a$.symm_of 2
4.$r$ tient pour $b$ et $c$.trans_of 3
5.$r$ tient pour $a$ et $c$.trans_of 2
6.$r$ tient pour $a$ et $c$ si et seulement si $r$ tient pour $b$ et $c$.iffI 4, 5
Proof, Czech
6 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $r$ platí pro $a$ a $b$.
3.$r$ platí pro $b$ a $a$.symm_of 2
4.$r$ platí pro $b$ a $c$.trans_of 3
5.$r$ platí pro $a$ a $c$.trans_of 2
6.$r$ platí pro $a$ a $c$, právě tehdy, když $r$ platí pro $b$ a $c$.iffI 4, 5
Proof, German
6 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $r$ für $a$ und $b$ hält.
3.$r$ hält für $b$ und $a$.symm_of 2
4.$r$ hält für $b$ und $c$.trans_of 3
5.$r$ hält für $a$ und $c$.trans_of 2
6.$r$ hält für $a$ und $c$, genau dann, wenn $r$ für $b$ und $c$ hält.iffI 4, 5
Proof, Swedish
6 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.Anta att $r$ håller för $a$ och $b$.
3.$r$ håller för $b$ och $a$.symm_of 2
4.$r$ håller för $b$ och $c$.trans_of 3
5.$r$ håller för $a$ och $c$.trans_of 2
6.$r$ håller för $a$ och $c$, om och endast om $r$ håller för $b$ och $c$.iffI 4, 5
rel_congr_righttheoremUnbundled.lean:394
Lean
theorem rel_congr_right [Std.Symm r] [IsTrans α r] {a b c : α} (h : r b c) : r a b ↔ r a c :=
  ⟨(trans_of r · h), (trans_of r · (symm_of r h))⟩
Dedukti
2 lines
def rel_congr_right : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Symm r)) -> (_ : Proof (IsTrans x r)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h2 : Proof (r b c)) -> Proof (iff (r a b) (r a c)) :=
  x => r => h => h1 => a => b => c => h2 => iffI (r a b) (r a c) (h3 => trans_of x r a b c h3 h2) (h4 => trans_of x r a c b h4 (symm_of x r b c h2)).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions such that $r$ is symmetric and transitive. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $r$ holds for $b$ and $c$. Then $r$ holds for $a$ and $b$, if and only if $r$ holds for $a$ and $c$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions telle que $r$ soit symétrique et transitif. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $r$ tienne pour $b$ et $c$. Alors $r$ tient pour $a$ et $b$ si et seulement si $r$ tient pour $a$ et $c$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků taková, že $r$ je symetrické a tranzitivní. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $r$ platí pro $b$ a $c$. Tedy $r$ platí pro $a$ a $b$, právě tehdy, když $r$ platí pro $a$ a $c$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass $r$ symmetrisch und transitiv ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $r$ für $b$ und $c$ hält. Dann hält $r$ für $a$ und $b$, genau dann, wenn $r$ für $a$ und $c$ hält.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden sådan att $r$ är symmetriskt och transitivt. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $r$ håller för $b$ och $c$. Då håller $r$ för $a$ och $b$, om och endast om $r$ håller för $a$ och $c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Symm} (r), \mathrm{IsTrans} (x , r), a , b , c \in x , r (b , c)\vdash r (a , b)\leftrightarrow r (a , c)$
Proof
8 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.Assume that $r$ holds for $a$ and $b$.
3.Assume that $r$ holds for $b$ and $c$.
4.$r$ holds for $a$ and $c$.trans_of 2, 3
5.Assume that $r$ holds for $a$ and $c$.
6.$r$ holds for $c$ and $b$.symm_of 3
7.$r$ holds for $a$ and $b$.trans_of 5, 6
8.$r$ holds for $a$ and $b$, if and only if $r$ holds for $a$ and $c$.iffI 4, 7 [h3, h4]
Proof, French
8 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $r$ tient pour $a$ et $b$.
3.Supposons que $r$ tient pour $b$ et $c$.
4.$r$ tient pour $a$ et $c$.trans_of 2, 3
5.Supposons que $r$ tient pour $a$ et $c$.
6.$r$ tient pour $c$ et $b$.symm_of 3
7.$r$ tient pour $a$ et $b$.trans_of 5, 6
8.$r$ tient pour $a$ et $b$ si et seulement si $r$ tient pour $a$ et $c$.iffI 4, 7 [h3, h4]
Proof, Czech
8 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $r$ platí pro $a$ a $b$.
3.Předpokládejme, že $r$ platí pro $b$ a $c$.
4.$r$ platí pro $a$ a $c$.trans_of 2, 3
5.Předpokládejme, že $r$ platí pro $a$ a $c$.
6.$r$ platí pro $c$ a $b$.symm_of 3
7.$r$ platí pro $a$ a $b$.trans_of 5, 6
8.$r$ platí pro $a$ a $b$, právě tehdy, když $r$ platí pro $a$ a $c$.iffI 4, 7 [h3, h4]
Proof, German
8 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $r$ für $a$ und $b$ hält.
3.Nimm an, dass $r$ für $b$ und $c$ hält.
4.$r$ hält für $a$ und $c$.trans_of 2, 3
5.Nimm an, dass $r$ für $a$ und $c$ hält.
6.$r$ hält für $c$ und $b$.symm_of 3
7.$r$ hält für $a$ und $b$.trans_of 5, 6
8.$r$ hält für $a$ und $b$, genau dann, wenn $r$ für $a$ und $c$ hält.iffI 4, 7 [h3, h4]
Proof, Swedish
8 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.Anta att $r$ håller för $a$ och $b$.
3.Anta att $r$ håller för $b$ och $c$.
4.$r$ håller för $a$ och $c$.trans_of 2, 3
5.Anta att $r$ håller för $a$ och $c$.
6.$r$ håller för $c$ och $b$.symm_of 3
7.$r$ håller för $a$ och $b$.trans_of 5, 6
8.$r$ håller för $a$ och $b$, om och endast om $r$ håller för $a$ och $c$.iffI 4, 7 [h3, h4]
rel_congrtheoremUnbundled.lean:397
Lean
theorem rel_congr [Std.Symm r] [IsTrans α r] {a b c d : α} (h₁ : r a b) (h₂ : r c d) :
    r a c ↔ r b d :=
Dedukti
1 lines
rel_congr : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Symm r)) -> (_ : Proof (IsTrans x r)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (d : Elem x) -> (h2 : Proof (r a b)) -> (h3 : Proof (r c d)) -> Proof (iff (r a c) (r b d)).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions such that $r$ is symmetric and transitive. Let $a$, $b$, $c$ and $d$ be elements of $x$ such that $r$ holds for $a$ and $b$ and $r$ holds for $c$ and $d$. Then $r$ holds for $a$ and $c$, if and only if $r$ holds for $b$ and $d$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions telle que $r$ soit symétrique et transitif. Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des éléments de $x$ tels que $r$ tienne pour $a$ et $b$ et $r$ tienne pour $c$ et $d$. Alors $r$ tient pour $a$ et $c$ si et seulement si $r$ tient pour $b$ et $d$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků taková, že $r$ je symetrické a tranzitivní. Nechť $a$, $b$, $c$ a $d$ je prvek $x$ takový, že $r$ platí pro $a$ a $b$ a $r$ platí pro $c$ a $d$. Tedy $r$ platí pro $a$ a $c$, právě tehdy, když $r$ platí pro $b$ a $d$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass $r$ symmetrisch und transitiv ist. Seien $a$, $b$, $c$ und $d$ elemente von $x$ derart, dass $r$ für $a$ und $b$ hält und $r$ für $c$ und $d$ hält. Dann hält $r$ für $a$ und $c$, genau dann, wenn $r$ für $b$ und $d$ hält.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden sådan att $r$ är symmetriskt och transitivt. Låt $a$, $b$, $c$ och $d$ vara element av $x$ sådana att $r$ håller för $a$ och $b$ och $r$ håller för $c$ och $d$. Då håller $r$ för $a$ och $c$, om och endast om $r$ håller för $b$ och $d$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Symm} (r), \mathrm{IsTrans} (x , r), a , b , c , d \in x , r (a , b), r (c , d)\vdash r (a , c)\leftrightarrow r (b , d)$
trans_trichotomous_lefttheoremUnbundled.lean:401
Lean
theorem trans_trichotomous_left [IsTrans α r] [Std.Trichotomous r] {a b c : α}
    (h₁ : ¬r b a) (h₂ : r b c) : r a c :=
Dedukti
1 lines
trans_trichotomous_left : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (IsTrans x r)) -> (_ : Proof (Std__Trichotomous r)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h2 : Proof (not (r b a))) -> (h3 : Proof (r b c)) -> Proof (r a c).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions such that $r$ is transitive and trichotomous. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that it is not the case that $r$ holds for $b$ and $a$ and $r$ holds for $b$ and $c$. Then $r$ holds for $a$ and $c$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions telle que $r$ soit transitif et trichotome. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels qu'il ne soit pas le cas que $r$ tienne pour $b$ et $a$ et $r$ tienne pour $b$ et $c$. Alors $r$ tient pour $a$ et $c$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků taková, že $r$ je tranzitivní a trichotomické. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že není případ že $r$ platí pro $b$ a $a$ a $r$ platí pro $b$ a $c$. Tedy $r$ platí pro $a$ a $c$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass $r$ transitiv und trichotom ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass es nicht der Fall dass $r$ für $b$ und $a$ hält ist und $r$ für $b$ und $c$ hält. Dann hält $r$ für $a$ und $c$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden sådan att $r$ är transitivt och trikotomt. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att det inte är fallet att $r$ håller för $b$ och $a$ och $r$ håller för $b$ och $c$. Då håller $r$ för $a$ och $c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \mathrm{IsTrans} (x , r), \operatorname{Trichotomous} (r), a , b , c \in x , \neg r (b , a), r (b , c)\vdash r (a , c)$
trans_trichotomous_righttheoremUnbundled.lean:408
Lean
theorem trans_trichotomous_right [IsTrans α r] [Std.Trichotomous r] {a b c : α}
    (h₁ : r a b) (h₂ : ¬r c b) : r a c :=
Dedukti
1 lines
trans_trichotomous_right : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (IsTrans x r)) -> (_ : Proof (Std__Trichotomous r)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h2 : Proof (r a b)) -> (h3 : Proof (not (r c b))) -> Proof (r a c).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions such that $r$ is transitive and trichotomous. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $r$ holds for $a$ and $b$ and it is not the case that $r$ holds for $c$ and $b$. Then $r$ holds for $a$ and $c$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions telle que $r$ soit transitif et trichotome. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $r$ tienne pour $a$ et $b$ et il ne soit pas le cas que $r$ tienne pour $c$ et $b$. Alors $r$ tient pour $a$ et $c$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků taková, že $r$ je tranzitivní a trichotomické. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $r$ platí pro $a$ a $b$ a není případ že $r$ platí pro $c$ a $b$. Tedy $r$ platí pro $a$ a $c$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass $r$ transitiv und trichotom ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $r$ für $a$ und $b$ hält und es nicht der Fall dass $r$ für $c$ und $b$ hält ist. Dann hält $r$ für $a$ und $c$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden sådan att $r$ är transitivt och trikotomt. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $r$ håller för $a$ och $b$ och det inte är fallet att $r$ håller för $c$ och $b$. Då håller $r$ för $a$ och $c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \mathrm{IsTrans} (x , r), \operatorname{Trichotomous} (r), a , b , c \in x , r (a , b), \neg r (c , b)\vdash r (a , c)$
extensional_of_trichotomous_of_irrefltheoremUnbundled.lean:416
In a trichotomous irreflexive order, every element is determined by the set of predecessors.
Lean
theorem extensional_of_trichotomous_of_irrefl (r : α → α → Prop) [Std.Trichotomous r] [Std.Irrefl r]
    {a b : α} (H : ∀ x, r x a ↔ r x b) : a = b :=
  ((@trichotomous _ r _ a b).resolve_left <| mt (H _).2 <| irrefl a).resolve_right <| mt (H _).1
    <| irrefl b
Dedukti
2 lines
def extensional_of_trichotomous_of_irrefl : (x : Set) -> (r : (Elem x -> Elem x -> Prop)) -> (_ : Proof (Std__Trichotomous r)) -> (_ : Proof (Std__Irrefl r)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (H : Proof (forall x (x1 => iff (r x1 a) (r x1 b)))) -> Proof (Eqt x a b) :=
  x => r => h => h1 => a => b => H => Or__resolve_right (Eqt x a b) (r b a) (Or__resolve_left (r a b) (or (Eqt x a b) (r b a)) (trichotomous x r a b) (mt (r a b) (r a a) (iffEr (r a a) (r a b) (forallE x (x1 => iff (r x1 a) (r x1 b)) H a)) (irrefl x r a))) (mt (r b a) (r b b) (iffEl (r b a) (r b b) (forallE x (x2 => iff (r x2 a) (r x2 b)) H b)) (irrefl x r b)).
English
Let $x$ be a set. Let $r$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to propositions such that $r$ is trichotomous and irreflexive. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that for all elements $x_{1}$ of $x$, $r$ holds for $x_{1}$ and $a$, if and only if $r$ holds for $x_{1}$ and $b$. Then $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble. Soit $r$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des propositions telle que $r$ soit trichotome et irréflexif. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que pour tous les éléments $x_{1}$ de $x$, $r$ tienne pour $x_{1}$ et $a$ si et seulement si $r$ tient pour $x_{1}$ et $b$. Alors $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je množina. Nechť $r$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do výroků taková, že $r$ je trichotomické a ireflexivní. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že pro všechny prvky $x_{1}$ $x$, $r$ platí pro $x_{1}$ a $a$, právě tehdy, když $r$ platí pro $x_{1}$ a $b$. Tedy $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine Menge. Sei $r$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass $r$ trichotom und irreflexiv ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass für alle Elemente $x_{1}$ von $x$, $r$ für $x_{1}$ und $a$ hält, genau dann, wenn $r$ für $x_{1}$ und $b$ hält. Dann $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Låt $r$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till påståenden sådan att $r$ är trikotomt och irreflexivt. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att för alla element $x_{1}$ av $x$, håller $r$ för $x_{1}$ och $a$, om och endast om $r$ håller för $x_{1}$ och $b$. Då $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , r \in x \rightarrow x \rightarrow \mathrm{Prop} , \operatorname{Trichotomous} (r), \operatorname{Irrefl} (r), a , b \in x , \forall x_{1} \in x . r (x_{1} , a)\leftrightarrow r (x_{1} , b)\vdash \EqtMACRoJ {a}{b}$
Proof
13 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$r$ holds for $a$ and $b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ or $r$ holds for $b$ and $a$.trichotomous
3.Assume that for all elements $x_{1}$ of $x$, $r$ holds for $x_{1}$ and $a$, if and only if $r$ holds for $x_{1}$ and $b$.
4.$r$ holds for $a$ and $a$, if and only if $r$ holds for $a$ and $b$.forallE 3
5.$r$ holds for $a$ and $a$.iffEr 4
6.It is not the case that $r$ holds for $a$ and $a$.irrefl
7.It is not the case that $r$ holds for $a$ and $b$.mt 5, 6
8.$\EqtMACRoJ {a}{b}$ or $r$ holds for $b$ and $a$.Or.resolve_left 2, 7
9.$r$ holds for $b$ and $a$, if and only if $r$ holds for $b$ and $b$.forallE 3
10.$r$ holds for $b$ and $b$.iffEl 9
11.It is not the case that $r$ holds for $b$ and $b$.irrefl
12.It is not the case that $r$ holds for $b$ and $a$.mt 10, 11
13.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.Or.resolve_right 8, 12
Proof, French
13 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$r$ tient pour $a$ et $b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ ou $r$ tient pour $b$ et $a$.trichotomous
3.Supposons que pour tous les éléments $x_{1}$ de $x$, $r$ tient pour $x_{1}$ et $a$ si et seulement si $r$ tient pour $x_{1}$ et $b$.
4.$r$ tient pour $a$ et $a$ si et seulement si $r$ tient pour $a$ et $b$.forallE 3
5.$r$ tient pour $a$ et $a$.iffEr 4
6.Il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $a$ et $a$.irrefl
7.Il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $a$ et $b$.mt 5, 6
8.$\EqtMACRoJ {a}{b}$ ou $r$ tient pour $b$ et $a$.Or.resolve_left 2, 7
9.$r$ tient pour $b$ et $a$ si et seulement si $r$ tient pour $b$ et $b$.forallE 3
10.$r$ tient pour $b$ et $b$.iffEl 9
11.Il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $b$ et $b$.irrefl
12.Il n'est pas le cas que $r$ tienne pour $b$ et $a$.mt 10, 11
13.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.Or.resolve_right 8, 12
Proof, Czech
13 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$r$ platí pro $a$ a $b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ nebo $r$ platí pro $b$ a $a$.trichotomous
3.Předpokládejme, že pro všechny prvky $x_{1}$ $x$, $r$ platí pro $x_{1}$ a $a$, právě tehdy, když $r$ platí pro $x_{1}$ a $b$.
4.$r$ platí pro $a$ a $a$, právě tehdy, když $r$ platí pro $a$ a $b$.forallE 3
5.$r$ platí pro $a$ a $a$.iffEr 4
6.Není případ že $r$ platí pro $a$ a $a$.irrefl
7.Není případ že $r$ platí pro $a$ a $b$.mt 5, 6
8.$\EqtMACRoJ {a}{b}$ nebo $r$ platí pro $b$ a $a$.Or.resolve_left 2, 7
9.$r$ platí pro $b$ a $a$, právě tehdy, když $r$ platí pro $b$ a $b$.forallE 3
10.$r$ platí pro $b$ a $b$.iffEl 9
11.Není případ že $r$ platí pro $b$ a $b$.irrefl
12.Není případ že $r$ platí pro $b$ a $a$.mt 10, 11
13.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.Or.resolve_right 8, 12
Proof, German
13 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Hält $r$ für $a$ und $b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ oder $r$ hält für $b$ und $a$.trichotomous
3.Nimm an, dass für alle Elemente $x_{1}$ von $x$, $r$ für $x_{1}$ und $a$ hält, genau dann, wenn $r$ für $x_{1}$ und $b$ hält.
4.$r$ hält für $a$ und $a$, genau dann, wenn $r$ für $a$ und $b$ hält.forallE 3
5.$r$ hält für $a$ und $a$.iffEr 4
6.Es ist nicht der Fall dass $r$ für $a$ und $a$ hält.irrefl
7.Es ist nicht der Fall dass $r$ für $a$ und $b$ hält.mt 5, 6
8.$\EqtMACRoJ {a}{b}$ oder $r$ hält für $b$ und $a$.Or.resolve_left 2, 7
9.$r$ hält für $b$ und $a$, genau dann, wenn $r$ für $b$ und $b$ hält.forallE 3
10.$r$ hält für $b$ und $b$.iffEl 9
11.Es ist nicht der Fall dass $r$ für $b$ und $b$ hält.irrefl
12.Es ist nicht der Fall dass $r$ für $b$ und $a$ hält.mt 10, 11
13.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.Or.resolve_right 8, 12
Proof, Swedish
13 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$r$ håller för $a$ och $b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ eller $r$ håller för $b$ och $a$.trichotomous
3.Anta att för alla element $x_{1}$ av $x$, håller $r$ för $x_{1}$ och $a$, om och endast om $r$ håller för $x_{1}$ och $b$.
4.$r$ håller för $a$ och $a$, om och endast om $r$ håller för $a$ och $b$.forallE 3
5.$r$ håller för $a$ och $a$.iffEr 4
6.Det är inte fallet att $r$ håller för $a$ och $a$.irrefl
7.Det är inte fallet att $r$ håller för $a$ och $b$.mt 5, 6
8.$\EqtMACRoJ {a}{b}$ eller $r$ håller för $b$ och $a$.Or.resolve_left 2, 7
9.$r$ håller för $b$ och $a$, om och endast om $r$ håller för $b$ och $b$.forallE 3
10.$r$ håller för $b$ och $b$.iffEl 9
11.Det är inte fallet att $r$ håller för $b$ och $b$.irrefl
12.Det är inte fallet att $r$ håller för $b$ och $a$.mt 10, 11
13.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.Or.resolve_right 8, 12

Mathlib.Order.Defs.PartialOrder source

PreorderinductivePartialOrder.lean:43
A preorder is a reflexive, transitive relation ≤. In a preorder, a < b means a ≤ b ∧ ¬b ≤ a, and < is defined this way by default. You can override this definition to set a better def-eq.
Lean
class Preorder (α : Type*) extends LE α, LT α where
Dedukti
1 lines
Preorder : (x : Set) -> Prop.
English
Let $x$ be a set. Then we can say that $x$ is preordered.
French
Soit $x$ un ensemble. Alors nous pouvons dire que $x$ est préordonné.
Czech
Nechť $x$ je množina. Tedy můžeme říkat, že $x$ je předuspořádané.
German
Sei $x$ eine Menge. Dann können wir sagen, dass $x$ quasigeordnet ist.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Då kan vi säga att $x$ är kvasiordnat.
Formula
$x \in \mathrm{Set} \vdash \mathrm{Preorder} (x)\ \mathsf{prop}$
Preorder.mkconstructorPartialOrder.lean:43
Lean
class Preorder (α : Type*) extends LE α, LT α where
Dedukti
1 lines
Preorder__mk : (le_refl : Proof (forall x (a2 => Leq a2 a2))) -> (le_trans : Proof (forall x (a1 => forall x (b1 => forall x (c => if (Leq a1 b1) (if (Leq b1 c) (Leq a1 c))))))) -> (lt_iff_le_not_ge : Proof (autoParam (forall x (a => forall x (b => iff (Lt a b) (and (Leq a b) (not (Leq b a)))))) Preorder__lt_iff_le_not_ge___autoParam)) -> Proof (Preorder x).
English
Assume that for all elements $a_{2}$ of $x$, $a_{2} \leq a_{2}$. Assume that for all elements $a_{1}$, $b_{1}$ and $c$ of $x$, if $a_{1} \leq b_{1}$, then if $b_{1} \leq c$, then $a_{1} \leq c$. Assume that $\mathrm{autoParam}$ holds for the proposition that for all elements $a$ and $b$ of $x$, $a < b$, if and only if $a \leq b$ and it is not the case that $b \leq a$ and $\mathrm{Preorder\_\_lt\_iff\_le\_not\_ge\_\_\_autoParam}$. Then $x$ is preordered.
French
Supposons que pour tous les éléments $a_{2}$ de $x$, $a_{2} \leq a_{2}$. Supposons que pour tous les éléments $a_{1}$, $b_{1}$ et $c$ de $x$, si $a_{1} \leq b_{1}$, alors si $b_{1} \leq c$, alors $a_{1} \leq c$. Supposons que $\mathrm{autoParam}$ tient pour la proposition que pour tous les éléments $a$ et $b$ de $x$, $a < b$ si et seulement si $a \leq b$ et il n'est pas le cas que $b \leq a$ et $\mathrm{Preorder\_\_lt\_iff\_le\_not\_ge\_\_\_autoParam}$. Alors $x$ est préordonné.
Czech
Předpokládejme, že pro všechny prvky $a_{2}$ $x$, $a_{2} \leq a_{2}$. Předpokládejme, že pro všechny prvky $a_{1}$, $b_{1}$ a $c$ $x$, jestliže $a_{1} \leq b_{1}$, pak jestliže $b_{1} \leq c$, pak $a_{1} \leq c$. Předpokládejme, že $\mathrm{autoParam}$ platí pro výrok že pro všechny prvky $a$ a $b$ $x$, $a < b$, právě tehdy, když $a \leq b$ a není případ že $b \leq a$ a $\mathrm{Preorder\_\_lt\_iff\_le\_not\_ge\_\_\_autoParam}$. Tedy $x$ je předuspořádané.
German
Nimm an, dass für alle Elemente $a_{2}$ von $x$, $a_{2} \leq a_{2}$. Nimm an, dass für alle Elemente $a_{1}$, $b_{1}$ und $c$ von $x$, wenn $a_{1} \leq b_{1}$, dann wenn $b_{1} \leq c$, dann $a_{1} \leq c$. Nimm an, dass $\mathrm{autoParam}$ für den Satz, dass für alle Elemente $a$ und $b$ von $x$, $a < b$, genau dann, wenn $a \leq b$ und $b$ nicht kleiner oder gleich $a$ ist, und $\mathrm{Preorder\_\_lt\_iff\_le\_not\_ge\_\_\_autoParam}$ hält. Dann ist $x$ quasigeordnet.
Swedish
Anta att för alla element $a_{2}$ av $x$, $a_{2} \leq a_{2}$. Anta att för alla element $a_{1}$, $b_{1}$ och $c$ av $x$, om $a_{1} \leq b_{1}$, så om $b_{1} \leq c$, så $a_{1} \leq c$. Anta att $\mathrm{autoParam}$ håller för påståendet att för alla element $a$ och $b$ av $x$, $a < b$, om och endast om $a \leq b$ och det inte är fallet att $b \leq a$ och $\mathrm{Preorder\_\_lt\_iff\_le\_not\_ge\_\_\_autoParam}$. Då är $x$ kvasiordnat.
Formula
$\forall a_{2} \in x . a_{2} \leq a_{2} , \forall a_{1} \in x . \forall b_{1} \in x . \forall c \in x . a_{1} \leq b_{1} \rightarrow b_{1} \leq c \rightarrow a_{1} \leq c , \mathrm{autoParam} (\forall a \in x . \forall b \in x . a < b \leftrightarrow a \leq b \wedge \neg b \leq a , \mathrm{Preorder\_\_lt\_iff\_le\_not\_ge\_\_\_autoParam})\vdash \mathrm{Preorder} (x)$
Preorder.le_refltheoremPartialOrder.lean:44
Lean
  protected le_refl : ∀ a : α, a ≤ a
Dedukti
1 lines
Preorder__le_refl : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> Proof (Leq a a).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ be an element of $x$. Then $a \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soit $a$ un élément de $x$. Alors $a \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ je prvek $x$. Tedy $a \leq a$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Sei $a$ ein Element von $x$. Dann $a \leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ vara ett element av $x$. Då $a \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a \in x \vdash a \leq a$
Preorder.le_transtheoremPartialOrder.lean:45
Lean
  protected le_trans : ∀ a b c : α, a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c
Dedukti
1 lines
Preorder__le_trans : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Leq a b)) -> (h1 : Proof (Leq b c)) -> Proof (Leq a c).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $a \leq b \leq c$. Then $a \leq c$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $a \leq b \leq c$. Alors $a \leq c$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $a \leq b \leq c$. Tedy $a \leq c$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq b \leq c$. Dann $a \leq c$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $a \leq b \leq c$. Då $a \leq c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b , c \in x , a \leq b , b \leq c \vdash a \leq c$
Preorder.lt_iff_le_not_getheoremPartialOrder.lean:47
Lean
  protected lt_iff_le_not_ge : ∀ a b : α, a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a :=
Dedukti
1 lines
Preorder__lt_iff_le_not_ge : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Lt a b) (and (Leq a b) (not (Leq b a)))).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $a < b$, if and only if $a \leq b$ and it is not the case that $b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $a < b$ si et seulement si $a \leq b$ et il n'est pas le cas que $b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $a < b$, právě tehdy, když $a \leq b$ a není případ že $b \leq a$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $a < b$, genau dann, wenn $a \leq b$ und $b$ nicht kleiner oder gleich $a$ ist.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $a < b$, om och endast om $a \leq b$ och det inte är fallet att $b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b \in x \vdash a < b \leftrightarrow a \leq b \wedge \neg b \leq a$
le_refltheoremPartialOrder.lean:63
The relation ≤ on a preorder is reflexive.
Lean
@[refl] lemma le_refl : ∀ a : α, a ≤ a := Preorder.le_refl
Dedukti
2 lines
def le_refl : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> Proof (Leq a a) :=
  x => x1 => Preorder__le_refl x.
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ be an element of $x$. Then $a \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soit $a$ un élément de $x$. Alors $a \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ je prvek $x$. Tedy $a \leq a$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Sei $a$ ein Element von $x$. Dann $a \leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ vara ett element av $x$. Då $a \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a \in x \vdash a \leq a$
Proof
1 lines
1.$a \leq a$.Preorder.le_refl
Proof, French
1 lines
1.$a \leq a$.Preorder.le_refl
Proof, Czech
1 lines
1.$a \leq a$.Preorder.le_refl
Proof, German
1 lines
1.$a \leq a$.Preorder.le_refl
Proof, Swedish
1 lines
1.$a \leq a$.Preorder.le_refl
le_rfltheoremPartialOrder.lean:66
A version of le_refl where the argument is implicit
Lean
lemma le_rfl : a ≤ a := le_refl a
Dedukti
2 lines
def le_rfl : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> Proof (Leq a a) :=
  x => x1 => a => le_refl x a.
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ be an element of $x$. Then $a \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soit $a$ un élément de $x$. Alors $a \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ je prvek $x$. Tedy $a \leq a$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Sei $a$ ein Element von $x$. Dann $a \leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ vara ett element av $x$. Då $a \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a \in x \vdash a \leq a$
Proof
2 lines
1.Let $a$ be an element of $x$.
2.$a \leq a$.le_refl
Proof, French
2 lines
1.Soit $a$ un élément de $x$.
2.$a \leq a$.le_refl
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ je prvek $x$.
2.$a \leq a$.le_refl
Proof, German
2 lines
1.Sei $a$ ein Element von $x$.
2.$a \leq a$.le_refl
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ vara ett element av $x$.
2.$a \leq a$.le_refl
le_transtheoremPartialOrder.lean:70
The relation ≤ on a preorder is transitive.
Lean
@[to_dual ge_trans]
lemma le_trans : a ≤ b → b ≤ c → a ≤ c := Preorder.le_trans _ _ _
Dedukti
2 lines
def le_trans : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Leq a b)) -> (h1 : Proof (Leq b c)) -> Proof (Leq a c) :=
  x => x1 => a => b => c => Preorder__le_trans x a b c.
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $a \leq b \leq c$. Then $a \leq c$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $a \leq b \leq c$. Alors $a \leq c$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $a \leq b \leq c$. Tedy $a \leq c$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq b \leq c$. Dann $a \leq c$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $a \leq b \leq c$. Då $a \leq c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b , c \in x , a \leq b , b \leq c \vdash a \leq c$
Proof
2 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.$a \leq c$.Preorder.le_trans
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.$a \leq c$.Preorder.le_trans
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.$a \leq c$.Preorder.le_trans
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.$a \leq c$.Preorder.le_trans
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.$a \leq c$.Preorder.le_trans
ge_transtheoremPartialOrder.lean:69
Lean
@[to_dual ge_trans]
Dedukti
1 lines
ge_trans : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Leq b a)) -> (h1 : Proof (Leq c b)) -> Proof (Leq c a).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $b \leq a$ and $c \leq b$. Then $c \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $b \leq a$ et $c \leq b$. Alors $c \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $b \leq a$ a $c \leq b$. Tedy $c \leq a$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $b \leq a$ und $c \leq b$. Dann $c \leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $b \leq a$ och $c \leq b$. Då $c \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b , c \in x , b \leq a , c \leq b \vdash c \leq a$
lt_iff_le_not_getheoremPartialOrder.lean:73
Lean
@[to_dual self]
lemma lt_iff_le_not_ge : a < b ↔ a ≤ b ∧ ¬b ≤ a := Preorder.lt_iff_le_not_ge _ _
Dedukti
2 lines
def lt_iff_le_not_ge : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Lt a b) (and (Leq a b) (not (Leq b a)))) :=
  x => x1 => a => b => Preorder__lt_iff_le_not_ge x a b.
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $a < b$, if and only if $a \leq b$ and it is not the case that $b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $a < b$ si et seulement si $a \leq b$ et il n'est pas le cas que $b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $a < b$, právě tehdy, když $a \leq b$ a není případ že $b \leq a$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $a < b$, genau dann, wenn $a \leq b$ und $b$ nicht kleiner oder gleich $a$ ist.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $a < b$, om och endast om $a \leq b$ och det inte är fallet att $b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b \in x \vdash a < b \leftrightarrow a \leq b \wedge \neg b \leq a$
Proof
2 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$a < b$, if and only if $a \leq b$ and it is not the case that $b \leq a$.Preorder.lt_iff_le_not_ge
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$a < b$ si et seulement si $a \leq b$ et il n'est pas le cas que $b \leq a$.Preorder.lt_iff_le_not_ge
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$a < b$, právě tehdy, když $a \leq b$ a není případ že $b \leq a$.Preorder.lt_iff_le_not_ge
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$a < b$, genau dann, wenn $a \leq b$ und es nicht der Fall dass $b \leq a$ ist.Preorder.lt_iff_le_not_ge
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$a < b$, om och endast om $a \leq b$ och det inte är fallet att $b \leq a$.Preorder.lt_iff_le_not_ge
lt_of_le_not_getheoremPartialOrder.lean:76
Lean
@[to_dual self]
lemma lt_of_le_not_ge (hab : a ≤ b) (hba : ¬ b ≤ a) : a < b := lt_iff_le_not_ge.2 ⟨hab, hba⟩
Dedukti
2 lines
def lt_of_le_not_ge : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (hab : Proof (Leq a b)) -> (hba : Proof (not (Leq b a))) -> Proof (Lt a b) :=
  x => x1 => a => b => hab => hba => iffEr (Lt a b) (and (Leq a b) (not (Leq b a))) (lt_iff_le_not_ge x a b) (andI (Leq a b) (not (Leq b a)) hab hba).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a \leq b$ and it is not the case that $b \leq a$. Then $a < b$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a \leq b$ et il ne soit pas le cas que $b \leq a$. Alors $a < b$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a \leq b$ a není případ že $b \leq a$. Tedy $a < b$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq b$ und $b$ nicht kleiner oder gleich $a$ ist. Dann $a < b$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a \leq b$ och det inte är fallet att $b \leq a$. Då $a < b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b \in x , a \leq b , \neg b \leq a \vdash a < b$
Proof
6 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$a < b$, if and only if $a \leq b$ and it is not the case that $b \leq a$.lt_iff_le_not_ge
3.Assume that $a \leq b$.
4.Assume that it is not the case that $b \leq a$.
5.$a \leq b$ and it is not the case that $b \leq a$.andI 3, 4
6.$a < b$.iffEr 2, 5
Proof, French
6 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$a < b$ si et seulement si $a \leq b$ et il n'est pas le cas que $b \leq a$.lt_iff_le_not_ge
3.Supposons que $a \leq b$.
4.Supposons qu'il n'est pas le cas que $b \leq a$.
5.$a \leq b$ et il n'est pas le cas que $b \leq a$.andI 3, 4
6.$a < b$.iffEr 2, 5
Proof, Czech
6 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$a < b$, právě tehdy, když $a \leq b$ a není případ že $b \leq a$.lt_iff_le_not_ge
3.Předpokládejme, že $a \leq b$.
4.Předpokládejme, že není případ že $b \leq a$.
5.$a \leq b$ a není případ že $b \leq a$.andI 3, 4
6.$a < b$.iffEr 2, 5
Proof, German
6 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$a < b$, genau dann, wenn $a \leq b$ und es nicht der Fall dass $b \leq a$ ist.lt_iff_le_not_ge
3.Nimm an, dass $a \leq b$.
4.Nimm an, dass es nicht der Fall dass $b \leq a$ ist.
5.$a \leq b$ und es ist nicht der Fall dass $b \leq a$.andI 3, 4
6.$a < b$.iffEr 2, 5
Proof, Swedish
6 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$a < b$, om och endast om $a \leq b$ och det inte är fallet att $b \leq a$.lt_iff_le_not_ge
3.Anta att $a \leq b$.
4.Anta att det inte är fallet att $b \leq a$.
5.$a \leq b$ och det är inte fallet att $b \leq a$.andI 3, 4
6.$a < b$.iffEr 2, 5
le_of_eqtheoremPartialOrder.lean:78
Lean
@[to_dual ge_of_eq] lemma le_of_eq (hab : a = b) : a ≤ b :=
Dedukti
1 lines
le_of_eq : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (hab : Proof (Eqt x a b)) -> Proof (Leq a b).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $\EqtMACRoH {a}{b}$. Then $a \leq b$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $\EqtMACRoH {a}{b}$. Alors $a \leq b$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $\EqtMACRoH {a}{b}$. Tedy $a \leq b$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $\EqtMACRoH {a}{b}$. Dann $a \leq b$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $\EqtMACRoH {a}{b}$. Då $a \leq b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b \in x , \EqtMACRoJ {a}{b}\vdash a \leq b$
ge_of_eqtheoremPartialOrder.lean:78
Lean
@[to_dual ge_of_eq] lemma le_of_eq (hab : a = b) : a ≤ b :=
Dedukti
1 lines
ge_of_eq : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (hab : Proof (Eqt x a b)) -> Proof (Leq b a).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $\EqtMACRoH {a}{b}$. Then $b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $\EqtMACRoH {a}{b}$. Alors $b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $\EqtMACRoH {a}{b}$. Tedy $b \leq a$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $\EqtMACRoH {a}{b}$. Dann $b \leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $\EqtMACRoH {a}{b}$. Då $b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b \in x , \EqtMACRoJ {a}{b}\vdash b \leq a$
le_of_lttheoremPartialOrder.lean:79
Lean
@[to_dual self] lemma le_of_lt (hab : a < b) : a ≤ b := (lt_iff_le_not_ge.1 hab).1
Dedukti
2 lines
def le_of_lt : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (hab : Proof (Lt a b)) -> Proof (Leq a b) :=
  x => x1 => a => b => hab => andEl (Leq a b) (not (Leq b a)) (iffEl (Lt a b) (and (Leq a b) (not (Leq b a))) (lt_iff_le_not_ge x a b) hab).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a < b$. Then $a \leq b$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a < b$. Alors $a \leq b$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a < b$. Tedy $a \leq b$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a < b$. Dann $a \leq b$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a < b$. Då $a \leq b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b \in x , a < b \vdash a \leq b$
Proof
5 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$a < b$, if and only if $a \leq b$ and it is not the case that $b \leq a$.lt_iff_le_not_ge
3.Assume that $a < b$.
4.$a \leq b$ and it is not the case that $b \leq a$.iffEl 2, 3
5.$a \leq b$.andEl 4
Proof, French
5 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$a < b$ si et seulement si $a \leq b$ et il n'est pas le cas que $b \leq a$.lt_iff_le_not_ge
3.Supposons que $a < b$.
4.$a \leq b$ et il n'est pas le cas que $b \leq a$.iffEl 2, 3
5.$a \leq b$.andEl 4
Proof, Czech
5 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$a < b$, právě tehdy, když $a \leq b$ a není případ že $b \leq a$.lt_iff_le_not_ge
3.Předpokládejme, že $a < b$.
4.$a \leq b$ a není případ že $b \leq a$.iffEl 2, 3
5.$a \leq b$.andEl 4
Proof, German
5 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$a < b$, genau dann, wenn $a \leq b$ und es nicht der Fall dass $b \leq a$ ist.lt_iff_le_not_ge
3.Nimm an, dass $a < b$.
4.$a \leq b$ und es ist nicht der Fall dass $b \leq a$.iffEl 2, 3
5.$a \leq b$.andEl 4
Proof, Swedish
5 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$a < b$, om och endast om $a \leq b$ och det inte är fallet att $b \leq a$.lt_iff_le_not_ge
3.Anta att $a < b$.
4.$a \leq b$ och det är inte fallet att $b \leq a$.iffEl 2, 3
5.$a \leq b$.andEl 4
not_le_of_gttheoremPartialOrder.lean:80
Lean
@[to_dual self] lemma not_le_of_gt (hab : a < b) : ¬ b ≤ a := (lt_iff_le_not_ge.1 hab).2
Dedukti
2 lines
def not_le_of_gt : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (hab : Proof (Lt a b)) -> Proof (not (Leq b a)) :=
  x => x1 => a => b => hab => andEr (Leq a b) (not (Leq b a)) (iffEl (Lt a b) (and (Leq a b) (not (Leq b a))) (lt_iff_le_not_ge x a b) hab).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a < b$. Then it is not the case that $b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a < b$. Alors il n'est pas le cas que $b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a < b$. Tedy není případ že $b \leq a$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a < b$. Dann ist $b$ nicht kleiner oder gleich $a$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a < b$. Då är det inte fallet att $b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b \in x , a < b \vdash \neg b \leq a$
Proof
5 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$a < b$, if and only if $a \leq b$ and it is not the case that $b \leq a$.lt_iff_le_not_ge
3.Assume that $a < b$.
4.$a \leq b$ and it is not the case that $b \leq a$.iffEl 2, 3
5.It is not the case that $b \leq a$.andEr 4
Proof, French
5 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$a < b$ si et seulement si $a \leq b$ et il n'est pas le cas que $b \leq a$.lt_iff_le_not_ge
3.Supposons que $a < b$.
4.$a \leq b$ et il n'est pas le cas que $b \leq a$.iffEl 2, 3
5.Il n'est pas le cas que $b \leq a$.andEr 4
Proof, Czech
5 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$a < b$, právě tehdy, když $a \leq b$ a není případ že $b \leq a$.lt_iff_le_not_ge
3.Předpokládejme, že $a < b$.
4.$a \leq b$ a není případ že $b \leq a$.iffEl 2, 3
5.Není případ že $b \leq a$.andEr 4
Proof, German
5 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$a < b$, genau dann, wenn $a \leq b$ und es nicht der Fall dass $b \leq a$ ist.lt_iff_le_not_ge
3.Nimm an, dass $a < b$.
4.$a \leq b$ und es ist nicht der Fall dass $b \leq a$.iffEl 2, 3
5.Es ist nicht der Fall dass $b \leq a$.andEr 4
Proof, Swedish
5 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$a < b$, om och endast om $a \leq b$ och det inte är fallet att $b \leq a$.lt_iff_le_not_ge
3.Anta att $a < b$.
4.$a \leq b$ och det är inte fallet att $b \leq a$.iffEl 2, 3
5.Det är inte fallet att $b \leq a$.andEr 4
not_lt_of_getheoremPartialOrder.lean:81
Lean
@[to_dual self] lemma not_lt_of_ge (hab : a ≤ b) : ¬ b < a := imp_not_comm.1 not_le_of_gt hab
Dedukti
2 lines
def not_lt_of_ge : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (hab : Proof (Leq a b)) -> Proof (not (Lt b a)) :=
  x => x1 => a => b => hab => iffEl (if (Lt b a) (not (Leq a b))) (if (Leq a b) (not (Lt b a))) (imp_not_comm (Lt b a) (Leq a b)) (not_le_of_gt x b a) hab.
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a \leq b$. Then $b$ is not less than $a$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a \leq b$. Alors $b$ n'est pas inférieur à $a$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a \leq b$. Tedy $b$ není menší než $a$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq b$. Dann ist $b$ nicht kleiner als $a$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a \leq b$. Då är $b$ inte mindre än $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b \in x , a \leq b \vdash \neg b < a$
Proof
4 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.If $b < a$, then it is not the case that $a \leq b$, if and only if if $a \leq b$, then it is not the case that $b < a$.imp_not_comm
3.It is not the case that $a \leq b$.not_le_of_gt
4.If $a \leq b$, then it is not the case that $b < a$.iffEl 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.Si $b < a$, alors il n'est pas le cas que $a \leq b$ si et seulement si si $a \leq b$, alors il n'est pas le cas que $b < a$.imp_not_comm
3.Il n'est pas le cas que $a \leq b$.not_le_of_gt
4.Si $a \leq b$, alors il n'est pas le cas que $b < a$.iffEl 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Jestliže $b < a$, pak není případ že $a \leq b$, právě tehdy, když jestliže $a \leq b$, pak není případ že $b < a$.imp_not_comm
3.Není případ že $a \leq b$.not_le_of_gt
4.Jestliže $a \leq b$, pak není případ že $b < a$.iffEl 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Wenn $b < a$, dann ist es nicht der Fall dass $a \leq b$, genau dann, wenn wenn $a \leq b$, dann es nicht der Fall dass $b < a$ ist.imp_not_comm
3.Es ist nicht der Fall dass $a \leq b$.not_le_of_gt
4.Wenn $a \leq b$, dann ist es nicht der Fall dass $b < a$.iffEl 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Om $b < a$, så är det inte fallet att $a \leq b$, om och endast om om $a \leq b$, så är det inte fallet att $b < a$.imp_not_comm
3.Det är inte fallet att $a \leq b$.not_le_of_gt
4.Om $a \leq b$, så är det inte fallet att $b < a$.iffEl 2, 3
LT.lt.not_getheoremPartialOrder.lean:83
*Alias* of not_le_of_gt.
Lean
@[to_dual self] alias LT.lt.not_ge := not_le_of_gt
Dedukti
2 lines
def LT__lt__not_ge : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (hab : Proof (Lt a b)) -> Proof (not (Leq b a)) :=
  not_le_of_gt.
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a < b$. Then it is not the case that $b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a < b$. Alors il n'est pas le cas que $b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a < b$. Tedy není případ že $b \leq a$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a < b$. Dann ist $b$ nicht kleiner oder gleich $a$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a < b$. Då är det inte fallet att $b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b \in x , a < b \vdash \neg b \leq a$
Proof
1 lines
1.For all sets $x$ and elements $a$ of $x$ and elements $b$ of $x$ and elements $\mathrm{hab}$ of $\mathrm{Proof}$ applied to $\mathrm{Lt} (a , b)$, it is not the case that $b \leq a$.not_le_of_gt
Proof, French
1 lines
1.Pour tous les ensembles $x$ et les éléments $a$ de $x$ et les éléments $b$ de $x$ et les éléments $\mathrm{hab}$ de $\mathrm{Proof}$ appliqué à $\mathrm{Lt} (a , b)$, il n'est pas le cas que $b \leq a$.not_le_of_gt
Proof, Czech
1 lines
1.Pro všechny množiny $x$ a prvky $a$ $x$ a prvky $b$ $x$ a prvky $\mathrm{hab}$ $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na $\mathrm{Lt} (a , b)$, není případ že $b \leq a$.not_le_of_gt
Proof, German
1 lines
1.Für alle Mengen $x$ und Elemente $a$ von $x$ und Elemente $b$ von $x$ und Elemente $\mathrm{hab}$ von $\mathrm{Proof}$ angewandt auf $\mathrm{Lt} (a , b)$, ist es nicht der Fall dass $b \leq a$.not_le_of_gt
Proof, Swedish
1 lines
1.För alla mängder $x$ och element $a$ av $x$ och element $b$ av $x$ och element $\mathrm{hab}$ av $\mathrm{Proof}$ applicerat på $\mathrm{Lt} (a , b)$, är det inte fallet att $b \leq a$.not_le_of_gt
LE.le.not_gttheoremPartialOrder.lean:84
*Alias* of not_lt_of_ge.
Lean
@[to_dual self] alias LE.le.not_gt := not_lt_of_ge
Dedukti
2 lines
def LE__le__not_gt : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (hab : Proof (Leq a b)) -> Proof (not (Lt b a)) :=
  not_lt_of_ge.
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a \leq b$. Then $b$ is not less than $a$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a \leq b$. Alors $b$ n'est pas inférieur à $a$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a \leq b$. Tedy $b$ není menší než $a$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq b$. Dann ist $b$ nicht kleiner als $a$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a \leq b$. Då är $b$ inte mindre än $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b \in x , a \leq b \vdash \neg b < a$
Proof
1 lines
1.For all sets $x$ and elements $a$ of $x$ and elements $b$ of $x$ and elements $\mathrm{hab}$ of $\mathrm{Proof}$ applied to $\mathrm{Leq} (a , b)$, it is not the case that $b < a$.not_lt_of_ge
Proof, French
1 lines
1.Pour tous les ensembles $x$ et les éléments $a$ de $x$ et les éléments $b$ de $x$ et les éléments $\mathrm{hab}$ de $\mathrm{Proof}$ appliqué à $\mathrm{Leq} (a , b)$, il n'est pas le cas que $b < a$.not_lt_of_ge
Proof, Czech
1 lines
1.Pro všechny množiny $x$ a prvky $a$ $x$ a prvky $b$ $x$ a prvky $\mathrm{hab}$ $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na $\mathrm{Leq} (a , b)$, není případ že $b < a$.not_lt_of_ge
Proof, German
1 lines
1.Für alle Mengen $x$ und Elemente $a$ von $x$ und Elemente $b$ von $x$ und Elemente $\mathrm{hab}$ von $\mathrm{Proof}$ angewandt auf $\mathrm{Leq} (a , b)$, ist es nicht der Fall dass $b < a$.not_lt_of_ge
Proof, Swedish
1 lines
1.För alla mängder $x$ och element $a$ av $x$ och element $b$ av $x$ och element $\mathrm{hab}$ av $\mathrm{Proof}$ applicerat på $\mathrm{Leq} (a , b)$, är det inte fallet att $b < a$.not_lt_of_ge
lt_irrefltheoremPartialOrder.lean:86
Lean
lemma lt_irrefl (a : α) : ¬a < a := fun h ↦ not_le_of_gt h le_rfl
Dedukti
2 lines
def lt_irrefl : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> Proof (not (Lt a a)) :=
  x => x1 => a => ifI (Lt a a) false (h => not_le_of_gt x a a h (le_rfl x a)).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ be an element of $x$. Then $a$ is not less than $a$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soit $a$ un élément de $x$. Alors $a$ n'est pas inférieur à $a$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ je prvek $x$. Tedy $a$ není menší než $a$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Sei $a$ ein Element von $x$. Dann ist $a$ nicht kleiner als $a$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ vara ett element av $x$. Då är $a$ inte mindre än $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a \in x \vdash \neg a < a$
Proof
4 lines
1.Let $a$ be an element of $x$.
2.Assume that $a < a$.
3.It is not the case that $a \leq a$.not_le_of_gt 2
4.If $a < a$, then we have a contradiction.ifI 3 [h]
Proof, French
4 lines
1.Soit $a$ un élément de $x$.
2.Supposons que $a < a$.
3.Il n'est pas le cas que $a \leq a$.not_le_of_gt 2
4.Si $a < a$, alors nous avons une contradiction.ifI 3 [h]
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $a < a$.
3.Není případ že $a \leq a$.not_le_of_gt 2
4.Jestliže $a < a$, pak máme spor.ifI 3 [h]
Proof, German
4 lines
1.Sei $a$ ein Element von $x$.
2.Nimm an, dass $a < a$.
3.Es ist nicht der Fall dass $a \leq a$.not_le_of_gt 2
4.Wenn $a < a$, dann haben wir einen Widerspruch.ifI 3 [h]
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$ vara ett element av $x$.
2.Anta att $a < a$.
3.Det är inte fallet att $a \leq a$.not_le_of_gt 2
4.Om $a < a$, så har vi en kontradiction.ifI 3 [h]
lt_of_lt_of_letheoremPartialOrder.lean:89
Lean
@[to_dual lt_of_lt_of_le']
lemma lt_of_lt_of_le (hab : a < b) (hbc : b ≤ c) : a < c :=
  lt_of_le_not_ge (le_trans (le_of_lt hab) hbc) fun hca ↦ not_le_of_gt hab (le_trans hbc hca)
Dedukti
2 lines
def lt_of_lt_of_le : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (hab : Proof (Lt a b)) -> (hbc : Proof (Leq b c)) -> Proof (Lt a c) :=
  x => x1 => a => b => c => hab => hbc => lt_of_le_not_ge x a c (le_trans x a b c (le_of_lt x a b hab) hbc) (ifI (Leq c a) false (hca => not_le_of_gt x a b hab (le_trans x b c a hbc hca))).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $a < b \leq c$. Then $a < c$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $a < b \leq c$. Alors $a < c$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $a < b \leq c$. Tedy $a < c$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $a < b \leq c$. Dann $a < c$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $a < b \leq c$. Då $a < c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b , c \in x , a < b , b \leq c \vdash a < c$
Proof
8 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.Assume that $a < b$.
3.$a \leq b$.le_of_lt 2
4.Assume that $b \leq c$.
5.$a \leq c$.le_trans 3, 4
6.It is not the case that $b \leq a$.not_le_of_gt 2
7.If $c \leq a$, then we have a contradiction.ifI 6 [hca]
8.$a < c$.lt_of_le_not_ge 5, 7
Proof, French
8 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $a < b$.
3.$a \leq b$.le_of_lt 2
4.Supposons que $b \leq c$.
5.$a \leq c$.le_trans 3, 4
6.Il n'est pas le cas que $b \leq a$.not_le_of_gt 2
7.Si $c \leq a$, alors nous avons une contradiction.ifI 6 [hca]
8.$a < c$.lt_of_le_not_ge 5, 7
Proof, Czech
8 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $a < b$.
3.$a \leq b$.le_of_lt 2
4.Předpokládejme, že $b \leq c$.
5.$a \leq c$.le_trans 3, 4
6.Není případ že $b \leq a$.not_le_of_gt 2
7.Jestliže $c \leq a$, pak máme spor.ifI 6 [hca]
8.$a < c$.lt_of_le_not_ge 5, 7
Proof, German
8 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $a < b$.
3.$a \leq b$.le_of_lt 2
4.Nimm an, dass $b \leq c$.
5.$a \leq c$.le_trans 3, 4
6.Es ist nicht der Fall dass $b \leq a$.not_le_of_gt 2
7.Wenn $c \leq a$, dann haben wir einen Widerspruch.ifI 6 [hca]
8.$a < c$.lt_of_le_not_ge 5, 7
Proof, Swedish
8 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.Anta att $a < b$.
3.$a \leq b$.le_of_lt 2
4.Anta att $b \leq c$.
5.$a \leq c$.le_trans 3, 4
6.Det är inte fallet att $b \leq a$.not_le_of_gt 2
7.Om $c \leq a$, så har vi en kontradiction.ifI 6 [hca]
8.$a < c$.lt_of_le_not_ge 5, 7
lt_of_lt_of_le'theoremPartialOrder.lean:88
Lean
@[to_dual lt_of_lt_of_le']
Dedukti
1 lines
lt_of_lt_of_le' : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (hab : Proof (Lt b a)) -> (hbc : Proof (Leq c b)) -> Proof (Lt c a).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $b < a$ and $c \leq b$. Then $c < a$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $b < a$ et $c \leq b$. Alors $c < a$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $b < a$ a $c \leq b$. Tedy $c < a$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $b < a$ und $c \leq b$. Dann $c < a$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $b < a$ och $c \leq b$. Då $c < a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b , c \in x , b < a , c \leq b \vdash c < a$
lt_of_le_of_lttheoremPartialOrder.lean:93
Lean
@[to_dual lt_of_le_of_lt']
lemma lt_of_le_of_lt (hab : a ≤ b) (hbc : b < c) : a < c :=
  lt_of_le_not_ge (le_trans hab (le_of_lt hbc)) fun hca ↦ not_le_of_gt hbc (le_trans hca hab)
Dedukti
2 lines
def lt_of_le_of_lt : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (hab : Proof (Leq a b)) -> (hbc : Proof (Lt b c)) -> Proof (Lt a c) :=
  x => x1 => a => b => c => hab => hbc => lt_of_le_not_ge x a c (le_trans x a b c hab (le_of_lt x b c hbc)) (ifI (Leq c a) false (hca => not_le_of_gt x b c hbc (le_trans x c a b hca hab))).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $a \leq b < c$. Then $a < c$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $a \leq b < c$. Alors $a < c$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $a \leq b < c$. Tedy $a < c$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq b < c$. Dann $a < c$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $a \leq b < c$. Då $a < c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b , c \in x , a \leq b , b < c \vdash a < c$
Proof
8 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.Assume that $a \leq b$.
3.Assume that $b < c$.
4.$b \leq c$.le_of_lt 3
5.$a \leq c$.le_trans 2, 4
6.It is not the case that $c \leq b$.not_le_of_gt 3
7.If $c \leq a$, then we have a contradiction.ifI 6 [hca]
8.$a < c$.lt_of_le_not_ge 5, 7
Proof, French
8 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $a \leq b$.
3.Supposons que $b < c$.
4.$b \leq c$.le_of_lt 3
5.$a \leq c$.le_trans 2, 4
6.Il n'est pas le cas que $c \leq b$.not_le_of_gt 3
7.Si $c \leq a$, alors nous avons une contradiction.ifI 6 [hca]
8.$a < c$.lt_of_le_not_ge 5, 7
Proof, Czech
8 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $a \leq b$.
3.Předpokládejme, že $b < c$.
4.$b \leq c$.le_of_lt 3
5.$a \leq c$.le_trans 2, 4
6.Není případ že $c \leq b$.not_le_of_gt 3
7.Jestliže $c \leq a$, pak máme spor.ifI 6 [hca]
8.$a < c$.lt_of_le_not_ge 5, 7
Proof, German
8 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $a \leq b$.
3.Nimm an, dass $b < c$.
4.$b \leq c$.le_of_lt 3
5.$a \leq c$.le_trans 2, 4
6.Es ist nicht der Fall dass $c \leq b$.not_le_of_gt 3
7.Wenn $c \leq a$, dann haben wir einen Widerspruch.ifI 6 [hca]
8.$a < c$.lt_of_le_not_ge 5, 7
Proof, Swedish
8 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.Anta att $a \leq b$.
3.Anta att $b < c$.
4.$b \leq c$.le_of_lt 3
5.$a \leq c$.le_trans 2, 4
6.Det är inte fallet att $c \leq b$.not_le_of_gt 3
7.Om $c \leq a$, så har vi en kontradiction.ifI 6 [hca]
8.$a < c$.lt_of_le_not_ge 5, 7
lt_of_le_of_lt'theoremPartialOrder.lean:92
Lean
@[to_dual lt_of_le_of_lt']
Dedukti
1 lines
lt_of_le_of_lt' : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (hab : Proof (Leq b a)) -> (hbc : Proof (Lt c b)) -> Proof (Lt c a).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $b \leq a$ and $c < b$. Then $c < a$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $b \leq a$ et $c < b$. Alors $c < a$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $b \leq a$ a $c < b$. Tedy $c < a$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $b \leq a$ und $c < b$. Dann $c < a$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $b \leq a$ och $c < b$. Då $c < a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b , c \in x , b \leq a , c < b \vdash c < a$
gt_transtheoremPartialOrder.lean:96
Lean
@[to_dual gt_trans]
Dedukti
1 lines
gt_trans : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Lt b a)) -> (h1 : Proof (Lt c b)) -> Proof (Lt c a).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $b < a$ and $c < b$. Then $c < a$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $b < a$ et $c < b$. Alors $c < a$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $b < a$ a $c < b$. Tedy $c < a$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $b < a$ und $c < b$. Dann $c < a$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $b < a$ och $c < b$. Då $c < a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b , c \in x , b < a , c < b \vdash c < a$
lt_transtheoremPartialOrder.lean:97
Lean
@[to_dual gt_trans]
lemma lt_trans : a < b → b < c → a < c := fun h₁ h₂ => lt_of_lt_of_le h₁ (le_of_lt h₂)
Dedukti
2 lines
def lt_trans : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Lt a b)) -> (h1 : Proof (Lt b c)) -> Proof (Lt a c) :=
  x => x1 => a => b => c => h => h1 => lt_of_lt_of_le x a b c h (le_of_lt x b c h1).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $a < b < c$. Then $a < c$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $a < b < c$. Alors $a < c$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $a < b < c$. Tedy $a < c$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $a < b < c$. Dann $a < c$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $a < b < c$. Då $a < c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b , c \in x , a < b , b < c \vdash a < c$
Proof
5 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.Assume that $a < b$.
3.Assume that $b < c$.
4.$b \leq c$.le_of_lt 3
5.$a < c$.lt_of_lt_of_le 2, 4
Proof, French
5 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $a < b$.
3.Supposons que $b < c$.
4.$b \leq c$.le_of_lt 3
5.$a < c$.lt_of_lt_of_le 2, 4
Proof, Czech
5 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $a < b$.
3.Předpokládejme, že $b < c$.
4.$b \leq c$.le_of_lt 3
5.$a < c$.lt_of_lt_of_le 2, 4
Proof, German
5 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $a < b$.
3.Nimm an, dass $b < c$.
4.$b \leq c$.le_of_lt 3
5.$a < c$.lt_of_lt_of_le 2, 4
Proof, Swedish
5 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.Anta att $a < b$.
3.Anta att $b < c$.
4.$b \leq c$.le_of_lt 3
5.$a < c$.lt_of_lt_of_le 2, 4
ne_of_gttheoremPartialOrder.lean:99
Lean
@[to_dual ne_of_gt]
Dedukti
1 lines
ne_of_gt : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Lt b a)) -> Proof (Neq a b).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $b < a$. Then $a \neq b$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $b < a$. Alors $a \neq b$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $b < a$. Tedy $a \neq b$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $b < a$. Dann $a \neq b$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $b < a$. Då $a \neq b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b \in x , b < a \vdash a \neq b$
ne_of_lttheoremPartialOrder.lean:100
Lean
@[to_dual ne_of_gt]
lemma ne_of_lt (h : a < b) : a ≠ b :=
Dedukti
1 lines
ne_of_lt : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Lt a b)) -> Proof (Neq a b).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a < b$. Then $a \neq b$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a < b$. Alors $a \neq b$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a < b$. Tedy $a \neq b$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a < b$. Dann $a \neq b$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a < b$. Då $a \neq b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b \in x , a < b \vdash a \neq b$
lt_asymmtheoremPartialOrder.lean:102
Lean
@[to_dual self]
lemma lt_asymm (h : a < b) : ¬b < a := fun h1 : b < a => lt_irrefl a (lt_trans h h1)
Dedukti
2 lines
def lt_asymm : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Lt a b)) -> Proof (not (Lt b a)) :=
  x => x1 => a => b => h => ifI (Lt b a) false (h1 => lt_irrefl x a (lt_trans x a b a h h1)).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a < b$. Then $b$ is not less than $a$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a < b$. Alors $b$ n'est pas inférieur à $a$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a < b$. Tedy $b$ není menší než $a$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a < b$. Dann ist $b$ nicht kleiner als $a$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a < b$. Då är $b$ inte mindre än $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b \in x , a < b \vdash \neg b < a$
Proof
3 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.It is not the case that $a < a$.lt_irrefl
3.If $b < a$, then we have a contradiction.ifI 2 [h1]
Proof, French
3 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.Il n'est pas le cas que $a < a$.lt_irrefl
3.Si $b < a$, alors nous avons une contradiction.ifI 2 [h1]
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Není případ že $a < a$.lt_irrefl
3.Jestliže $b < a$, pak máme spor.ifI 2 [h1]
Proof, German
3 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Es ist nicht der Fall dass $a < a$.lt_irrefl
3.Wenn $b < a$, dann haben wir einen Widerspruch.ifI 2 [h1]
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Det är inte fallet att $a < a$.lt_irrefl
3.Om $b < a$, så har vi en kontradiction.ifI 2 [h1]
not_lt_of_gttheoremPartialOrder.lean:104
*Alias* of lt_asymm.
Lean
@[to_dual self] alias not_lt_of_gt := lt_asymm
Dedukti
2 lines
def not_lt_of_gt : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Lt a b)) -> Proof (not (Lt b a)) :=
  lt_asymm.
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a < b$. Then $b$ is not less than $a$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a < b$. Alors $b$ n'est pas inférieur à $a$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a < b$. Tedy $b$ není menší než $a$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a < b$. Dann ist $b$ nicht kleiner als $a$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a < b$. Då är $b$ inte mindre än $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b \in x , a < b \vdash \neg b < a$
Proof
1 lines
1.For all sets $x$ and elements $a$ of $x$ and elements $b$ of $x$ and elements $h$ of $\mathrm{Proof}$ applied to $\mathrm{Lt} (a , b)$, it is not the case that $b < a$.lt_asymm
Proof, French
1 lines
1.Pour tous les ensembles $x$ et les éléments $a$ de $x$ et les éléments $b$ de $x$ et les éléments $h$ de $\mathrm{Proof}$ appliqué à $\mathrm{Lt} (a , b)$, il n'est pas le cas que $b < a$.lt_asymm
Proof, Czech
1 lines
1.Pro všechny množiny $x$ a prvky $a$ $x$ a prvky $b$ $x$ a prvky $h$ $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na $\mathrm{Lt} (a , b)$, není případ že $b < a$.lt_asymm
Proof, German
1 lines
1.Für alle Mengen $x$ und Elemente $a$ von $x$ und Elemente $b$ von $x$ und Elemente $h$ von $\mathrm{Proof}$ angewandt auf $\mathrm{Lt} (a , b)$, ist es nicht der Fall dass $b < a$.lt_asymm
Proof, Swedish
1 lines
1.För alla mängder $x$ och element $a$ av $x$ och element $b$ av $x$ och element $h$ av $\mathrm{Proof}$ applicerat på $\mathrm{Lt} (a , b)$, är det inte fallet att $b < a$.lt_asymm
le_of_lt_or_eqtheoremPartialOrder.lean:107
Lean
@[to_dual le_of_lt_or_eq']
lemma le_of_lt_or_eq (h : a < b ∨ a = b) : a ≤ b := h.elim le_of_lt le_of_eq
Dedukti
2 lines
def le_of_lt_or_eq : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (or (Lt a b) (Eqt x a b))) -> Proof (Leq a b) :=
  x => x1 => a => b => h => orE (Lt a b) (Eqt x a b) (Leq a b) h (le_of_lt x a b) (le_of_eq x a b).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a < b$ or $\EqtMACRoH {a}{b}$. Then $a \leq b$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a < b$ ou $\EqtMACRoH {a}{b}$. Alors $a \leq b$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a < b$ nebo $\EqtMACRoH {a}{b}$. Tedy $a \leq b$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a < b$ oder $\EqtMACRoH {a}{b}$. Dann $a \leq b$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a < b$ eller $\EqtMACRoH {a}{b}$. Då $a \leq b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b \in x , a < b \vee \EqtMACRoJ {a}{b}\vdash a \leq b$
Proof
3 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.Assume that $a < b$ or $\EqtMACRoJ {a}{b}$.
3.$a \leq b$.le_of_lt
Proof, French
3 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $a < b$ ou $\EqtMACRoJ {a}{b}$.
3.$a \leq b$.le_of_lt
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $a < b$ nebo $\EqtMACRoJ {a}{b}$.
3.$a \leq b$.le_of_lt
Proof, German
3 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $a < b$ oder $\EqtMACRoJ {a}{b}$.
3.$a \leq b$.le_of_lt
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Anta att $a < b$ eller $\EqtMACRoJ {a}{b}$.
3.$a \leq b$.le_of_lt
le_of_lt_or_eq'theoremPartialOrder.lean:106
Lean
@[to_dual le_of_lt_or_eq']
Dedukti
1 lines
le_of_lt_or_eq' : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (or (Lt b a) (Eqt x a b))) -> Proof (Leq b a).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $b < a$ or $\EqtMACRoH {a}{b}$. Then $b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $b < a$ ou $\EqtMACRoH {a}{b}$. Alors $b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $b < a$ nebo $\EqtMACRoH {a}{b}$. Tedy $b \leq a$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $b < a$ oder $\EqtMACRoH {a}{b}$. Dann $b \leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $b < a$ eller $\EqtMACRoH {a}{b}$. Då $b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b \in x , b < a \vee \EqtMACRoJ {a}{b}\vdash b \leq a$
le_of_eq_or_lttheoremPartialOrder.lean:109
Lean
@[to_dual le_of_eq_or_lt']
lemma le_of_eq_or_lt (h : a = b ∨ a < b) : a ≤ b := h.elim le_of_eq le_of_lt
Dedukti
2 lines
def le_of_eq_or_lt : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (or (Eqt x a b) (Lt a b))) -> Proof (Leq a b) :=
  x => x1 => a => b => h => orE (Eqt x a b) (Lt a b) (Leq a b) h (le_of_eq x a b) (le_of_lt x a b).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $\EqtMACRoH {a}{b}$ or $a < b$. Then $a \leq b$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $\EqtMACRoH {a}{b}$ ou $a < b$. Alors $a \leq b$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $\EqtMACRoH {a}{b}$ nebo $a < b$. Tedy $a \leq b$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $\EqtMACRoH {a}{b}$ oder $a < b$. Dann $a \leq b$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $\EqtMACRoH {a}{b}$ eller $a < b$. Då $a \leq b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b \in x , \EqtMACRoJ {a}{b}\vee a < b \vdash a \leq b$
Proof
3 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.Assume that $\EqtMACRoJ {a}{b}$ or $a < b$.
3.$a \leq b$.le_of_eq
Proof, French
3 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $\EqtMACRoJ {a}{b}$ ou $a < b$.
3.$a \leq b$.le_of_eq
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $\EqtMACRoJ {a}{b}$ nebo $a < b$.
3.$a \leq b$.le_of_eq
Proof, German
3 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $\EqtMACRoJ {a}{b}$ oder $a < b$.
3.$a \leq b$.le_of_eq
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Anta att $\EqtMACRoJ {a}{b}$ eller $a < b$.
3.$a \leq b$.le_of_eq
le_of_eq_or_lt'theoremPartialOrder.lean:108
Lean
@[to_dual le_of_eq_or_lt']
Dedukti
1 lines
le_of_eq_or_lt' : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (or (Eqt x a b) (Lt b a))) -> Proof (Leq b a).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $\EqtMACRoH {a}{b}$ or $b < a$. Then $b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $\EqtMACRoH {a}{b}$ ou $b < a$. Alors $b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $\EqtMACRoH {a}{b}$ nebo $b < a$. Tedy $b \leq a$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $\EqtMACRoH {a}{b}$ oder $b < a$. Dann $b \leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $\EqtMACRoH {a}{b}$ eller $b < a$. Då $b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b \in x , \EqtMACRoJ {a}{b}\vee b < a \vdash b \leq a$
lt_iff_gt_iff_le_iff_getheoremPartialOrder.lean:112
Lean
@[to_dual self]
lemma lt_iff_gt_iff_le_iff_ge : (a < b ↔ b < a) ↔ (a ≤ b ↔ b ≤ a) :=
Dedukti
1 lines
lt_iff_gt_iff_le_iff_ge : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (iff (Lt a b) (Lt b a)) (iff (Leq a b) (Leq b a))).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $a < b$, if and only if $b < a$, if and only if $a \leq b$, if and only if $b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $a < b$ si et seulement si $b < a$ si et seulement si $a \leq b$ si et seulement si $b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $a < b$, právě tehdy, když $b < a$, právě tehdy, když $a \leq b$, právě tehdy, když $b \leq a$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $a < b$, genau dann, wenn $b < a$, genau dann, wenn $a \leq b$, genau dann, wenn $b \leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $a < b$, om och endast om $b < a$, om och endast om $a \leq b$, om och endast om $b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b \in x \vdash (a < b \leftrightarrow b < a)\leftrightarrow (a \leq b \leftrightarrow b \leq a)$
lt_iff_le_iff_gt_iff_getheoremPartialOrder.lean:116
Lean
@[to_dual self]
lemma lt_iff_le_iff_gt_iff_ge : (a < b ↔ a ≤ b) ↔ (b < a ↔ b ≤ a) :=
Dedukti
1 lines
lt_iff_le_iff_gt_iff_ge : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (iff (Lt a b) (Leq a b)) (iff (Lt b a) (Leq b a))).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $a < b$, if and only if $a \leq b$, if and only if $b < a$, if and only if $b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $a < b$ si et seulement si $a \leq b$ si et seulement si $b < a$ si et seulement si $b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $a < b$, právě tehdy, když $a \leq b$, právě tehdy, když $b < a$, právě tehdy, když $b \leq a$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $a < b$, genau dann, wenn $a \leq b$, genau dann, wenn $b < a$, genau dann, wenn $b \leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $a < b$, om och endast om $a \leq b$, om och endast om $b < a$, om och endast om $b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b \in x \vdash (a < b \leftrightarrow a \leq b)\leftrightarrow (b < a \leftrightarrow b \leq a)$
lt_iff_ge_iff_gt_iff_letheoremPartialOrder.lean:120
Lean
@[to_dual self]
lemma lt_iff_ge_iff_gt_iff_le : (a < b ↔ b ≤ a) ↔ (b < a ↔ a ≤ b) :=
Dedukti
1 lines
lt_iff_ge_iff_gt_iff_le : (x : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (iff (Lt a b) (Leq b a)) (iff (Lt b a) (Leq a b))).
English
Let $x$ be a preordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $a < b$, if and only if $b \leq a$, if and only if $b < a$, if and only if $a \leq b$.
French
Soit $x$ un ensemble préordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $a < b$ si et seulement si $b \leq a$ si et seulement si $b < a$ si et seulement si $a \leq b$.
Czech
Nechť $x$ je předuspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $a < b$, právě tehdy, když $b \leq a$, právě tehdy, když $b < a$, právě tehdy, když $a \leq b$.
German
Sei $x$ eine quasigeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $a < b$, genau dann, wenn $b \leq a$, genau dann, wenn $b < a$, genau dann, wenn $a \leq b$.
Swedish
Låt $x$ vara en kvasiordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $a < b$, om och endast om $b \leq a$, om och endast om $b < a$, om och endast om $a \leq b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), a , b \in x \vdash (a < b \leftrightarrow b \leq a)\leftrightarrow (b < a \leftrightarrow a \leq b)$
decidableLTOfDecidableLEdefPartialOrder.lean:140
< is decidable if ≤ is.
Lean
@[instance_reducible]
def decidableLTOfDecidableLE [DecidableLE α] : DecidableLT α :=
  fun _ _ => decidable_of_iff _ lt_iff_le_not_ge.symm
Dedukti
2 lines
def decidableLTOfDecidableLE : Proof (DecidableLT x) :=
  x3 => x4 => decidable_of_iff (and (Leq x3 x4) (not (Leq x4 x3))) (decidableLTOfDecidableLE___proof_1 x3 x4).
English
$\mathrm{DecidableLT}$ holds for $x$. Proof. Let $x_{3}$ be arbitrary. Let $x_{4}$ be arbitrary. By x3. By x4. By Leq. By x4. By x3. By Leq. By not. By and. By x3. By x4. By decidableLTOfDecidableLE___proof_1. By decidable_of_iff.
French
$\mathrm{DecidableLT}$ tient pour $x$. Démonstration. Soit $x_{3}$ arbitraire. Soit $x_{4}$ arbitraire. Par x3. Par x4. Par Leq. Par x4. Par x3. Par Leq. Par not. Par and. Par x3. Par x4. Par decidableLTOfDecidableLE___proof_1. Par decidable_of_iff.
Czech
$\mathrm{DecidableLT}$ platí pro $x$. Důkaz. Nechť $x_{3}$ je libovolné. Nechť $x_{4}$ je libovolné. Pomocí x3. Pomocí x4. Pomocí Leq. Pomocí x4. Pomocí x3. Pomocí Leq. Pomocí not. Pomocí and. Pomocí x3. Pomocí x4. Pomocí decidableLTOfDecidableLE___proof_1. Pomocí decidable_of_iff.
German
$\mathrm{DecidableLT}$ hält für $x$. Beweis. Sei $x_{3}$ beliebig. Sei $x_{4}$ beliebig. Mit x3. Mit x4. Mit Leq. Mit x4. Mit x3. Mit Leq. Mit not. Mit and. Mit x3. Mit x4. Mit decidableLTOfDecidableLE___proof_1. Mit decidable_of_iff.
Swedish
$\mathrm{DecidableLT}$ håller för $x$. Bevis. Låt $x_{3}$ vara godtyckligt. Låt $x_{4}$ vara godtyckligt. Med x3. Med x4. Med Leq. Med x4. Med x3. Med Leq. Med not. Med and. Med x3. Med x4. Med decidableLTOfDecidableLE___proof_1. Med decidable_of_iff.
Formula
$\mathrm{DecidableLT} (x)$
WCovBydefPartialOrder.lean:147
WCovBy a b means that a = b or b covers a. This means that a ≤ b and there is no element in between. This is denoted a ⩿ b.
Lean
@[to_dual self (reorder := 3 4)]
def WCovBy (a b : α) : Prop :=
  a ≤ b ∧ ∀ ⦃c⦄, a < c → ¬c < b
Dedukti
2 lines
def WCovBy : (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Prop :=
  a => b => and (Leq a b) (forall x (c => if (Lt a c) (not (Lt c b)))).
English
Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\mathrm{WCovBy}$ holds for $a$ and $b$, if $a \leq b$ and for all elements $c$ of $x$, if $a < c$, then $c$ is not less than $b$.
French
Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\mathrm{WCovBy}$ tient pour $a$ et $b$ si $a \leq b$ et pour tous des éléments $c$ de $x$, si $a < c$, alors $c$ n'est pas inférieur à $b$.
Czech
Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $\mathrm{WCovBy}$ platí pro $a$ a $b$, jestliže $a \leq b$ a pro všechny prvky $c$ $x$, jestliže $a < c$, pak $c$ není menší než $b$.
German
Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann hält $\mathrm{WCovBy}$ für $a$ und $b$, wenn $a \leq b$ und für alle Elemente $c$ von $x$, wenn $a < c$, dann $c$ nicht kleiner als $b$ ist.
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då håller $\mathrm{WCovBy}$ för $a$ och $b$, om $a \leq b$ och för alla element $c$ av $x$, om $a < c$, så är $c$ inte mindre än $b$.
Formula
$a , b \in x \vdash \mathrm{WCovBy} (a , b):\Leftrightarrow a \leq b \wedge (\forall c \in x . a < c \rightarrow \neg c < b)$
«term_⩿_»defPartialOrder.lean:152
WCovBy a b means that a = b or b covers a. This means that a ≤ b and there is no element in between. This is denoted a ⩿ b.
Lean
@[inherit_doc]
infixl:50 " ⩿ " => WCovBy
Dedukti
1 lines
term__u2a7f__ : Elem Lean__TrailingParserDescr.
English
$\mathrm{term\_\_u2a7f\_\_}$ is an element of $\operatorname{TrailingParserDescr}$.
French
$\mathrm{term\_\_u2a7f\_\_}$ est un élément de $\operatorname{TrailingParserDescr}$.
Czech
$\mathrm{term\_\_u2a7f\_\_}$ je prvek $\operatorname{TrailingParserDescr}$.
German
$\mathrm{term\_\_u2a7f\_\_}$ ist ein Element von $\operatorname{TrailingParserDescr}$.
Swedish
$\mathrm{term\_\_u2a7f\_\_}$ är ett element av $\operatorname{TrailingParserDescr}$.
Formula
$\mathrm{term\_\_u2a7f\_\_} \in \operatorname{TrailingParserDescr}$
CovBydefPartialOrder.lean:158
CovBy a b means that b covers a. This means that a < b and there is no element in between. This is denoted a ⋖ b.
Lean
@[to_dual self (reorder := 3 4)]
def CovBy {α : Type*} [LT α] (a b : α) : Prop :=
  a < b ∧ ∀ ⦃c⦄, a < c → ¬c < b
Dedukti
2 lines
def CovBy : (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Prop :=
  a => b => and (Lt a b) (forall x (c => if (Lt a c) (not (Lt c b)))).
English
Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\mathrm{CovBy}$ holds for $a$ and $b$, if $a < b$ and for all elements $c$ of $x$, if $a < c$, then $c$ is not less than $b$.
French
Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\mathrm{CovBy}$ tient pour $a$ et $b$ si $a < b$ et pour tous des éléments $c$ de $x$, si $a < c$, alors $c$ n'est pas inférieur à $b$.
Czech
Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $\mathrm{CovBy}$ platí pro $a$ a $b$, jestliže $a < b$ a pro všechny prvky $c$ $x$, jestliže $a < c$, pak $c$ není menší než $b$.
German
Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann hält $\mathrm{CovBy}$ für $a$ und $b$, wenn $a < b$ und für alle Elemente $c$ von $x$, wenn $a < c$, dann $c$ nicht kleiner als $b$ ist.
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då håller $\mathrm{CovBy}$ för $a$ och $b$, om $a < b$ och för alla element $c$ av $x$, om $a < c$, så är $c$ inte mindre än $b$.
Formula
$a , b \in x \vdash \mathrm{CovBy} (a , b):\Leftrightarrow a < b \wedge (\forall c \in x . a < c \rightarrow \neg c < b)$
«term_⋖_»defPartialOrder.lean:163
CovBy a b means that b covers a. This means that a < b and there is no element in between. This is denoted a ⋖ b.
Lean
@[inherit_doc]
infixl:50 " ⋖ " => CovBy
Dedukti
1 lines
term__u22d6__ : Elem Lean__TrailingParserDescr.
English
$\mathrm{term\_\_u22d6\_\_}$ is an element of $\operatorname{TrailingParserDescr}$.
French
$\mathrm{term\_\_u22d6\_\_}$ est un élément de $\operatorname{TrailingParserDescr}$.
Czech
$\mathrm{term\_\_u22d6\_\_}$ je prvek $\operatorname{TrailingParserDescr}$.
German
$\mathrm{term\_\_u22d6\_\_}$ ist ein Element von $\operatorname{TrailingParserDescr}$.
Swedish
$\mathrm{term\_\_u22d6\_\_}$ är ett element av $\operatorname{TrailingParserDescr}$.
Formula
$\mathrm{term\_\_u22d6\_\_} \in \operatorname{TrailingParserDescr}$
PartialOrderinductivePartialOrder.lean:175
A partial order is a reflexive, transitive, antisymmetric relation ≤.
Lean
class PartialOrder (α : Type*) extends Preorder α where
Dedukti
1 lines
PartialOrder : (x : Set) -> Prop.
English
Let $x$ be a set. Then we can say that $x$ is partially ordered.
French
Soit $x$ un ensemble. Alors nous pouvons dire que $x$ est partiellement ordonné.
Czech
Nechť $x$ je množina. Tedy můžeme říkat, že $x$ je částečně uspořádané.
German
Sei $x$ eine Menge. Dann können wir sagen, dass $x$ halbgeordnet ist.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Då kan vi säga att $x$ är partiellt ordnat.
Formula
$x \in \mathrm{Set} \vdash \mathrm{PartialOrder} (x)\ \mathsf{prop}$
PartialOrder.mkconstructorPartialOrder.lean:175
Lean
class PartialOrder (α : Type*) extends Preorder α where
Dedukti
1 lines
PartialOrder__mk : (le_antisymm : Proof (forall x (a => forall x (b => if (Leq a b) (if (Leq b a) (Eqt x a b)))))) -> Proof (PartialOrder x).
English
Assume that for all elements $a$ and $b$ of $x$, if $a \leq b$, then if $b \leq a$, then $\EqtMACRoH {a}{b}$. Then $x$ is partially ordered.
French
Supposons que pour tous les éléments $a$ et $b$ de $x$, si $a \leq b$, alors si $b \leq a$, alors $\EqtMACRoH {a}{b}$. Alors $x$ est partiellement ordonné.
Czech
Předpokládejme, že pro všechny prvky $a$ a $b$ $x$, jestliže $a \leq b$, pak jestliže $b \leq a$, pak $\EqtMACRoH {a}{b}$. Tedy $x$ je částečně uspořádané.
German
Nimm an, dass für alle Elemente $a$ und $b$ von $x$, wenn $a \leq b$, dann wenn $b \leq a$, dann $\EqtMACRoH {a}{b}$. Dann ist $x$ halbgeordnet.
Swedish
Anta att för alla element $a$ och $b$ av $x$, om $a \leq b$, så om $b \leq a$, så $\EqtMACRoH {a}{b}$. Då är $x$ partiellt ordnat.
Formula
$\forall a \in x . \forall b \in x . a \leq b \rightarrow b \leq a \rightarrow \EqtMACRoJ {a}{b}\vdash \mathrm{PartialOrder} (x)$
PartialOrder.le_antisymmtheoremPartialOrder.lean:176
Lean
  protected le_antisymm : ∀ a b : α, a ≤ b → b ≤ a → a = b
Dedukti
1 lines
PartialOrder__le_antisymm : (x : Set) -> (_ : Proof (PartialOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Leq a b)) -> (h1 : Proof (Leq b a)) -> Proof (Eqt x a b).
English
Let $x$ be a partially ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a \leq b \leq a$. Then $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble partiellement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a \leq b \leq a$. Alors $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je částečně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a \leq b \leq a$. Tedy $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine halbgeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq b \leq a$. Dann $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en partiellt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a \leq b \leq a$. Då $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{PartialOrder} (x), a , b \in x , a \leq b , b \leq a \vdash \EqtMACRoJ {a}{b}$
le_antisymmtheoremPartialOrder.lean:187
Lean
@[to_dual ge_antisymm]
lemma le_antisymm : a ≤ b → b ≤ a → a = b := PartialOrder.le_antisymm _ _
Dedukti
2 lines
def le_antisymm : (x : Set) -> (_ : Proof (PartialOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Leq a b)) -> (h1 : Proof (Leq b a)) -> Proof (Eqt x a b) :=
  x => x1 => a => b => PartialOrder__le_antisymm x a b.
English
Let $x$ be a partially ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a \leq b \leq a$. Then $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble partiellement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a \leq b \leq a$. Alors $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je částečně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a \leq b \leq a$. Tedy $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine halbgeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq b \leq a$. Dann $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en partiellt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a \leq b \leq a$. Då $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{PartialOrder} (x), a , b \in x , a \leq b , b \leq a \vdash \EqtMACRoJ {a}{b}$
Proof
2 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.PartialOrder.le_antisymm
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.PartialOrder.le_antisymm
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.PartialOrder.le_antisymm
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.PartialOrder.le_antisymm
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.PartialOrder.le_antisymm
ge_antisymmtheoremPartialOrder.lean:186
Lean
@[to_dual ge_antisymm]
Dedukti
1 lines
ge_antisymm : (x : Set) -> (_ : Proof (PartialOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Leq b a)) -> (h1 : Proof (Leq a b)) -> Proof (Eqt x a b).
English
Let $x$ be a partially ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $b \leq a \leq b$. Then $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble partiellement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $b \leq a \leq b$. Alors $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je částečně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $b \leq a \leq b$. Tedy $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine halbgeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $b \leq a \leq b$. Dann $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en partiellt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $b \leq a \leq b$. Då $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{PartialOrder} (x), a , b \in x , b \leq a , a \leq b \vdash \EqtMACRoJ {a}{b}$
eq_of_ge_of_letheoremPartialOrder.lean:189
*Alias* of ge_antisymm.
Lean
@[to_dual eq_of_ge_of_le]
Dedukti
1 lines
eq_of_ge_of_le : (x : Set) -> (_ : Proof (PartialOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Leq b a)) -> (h1 : Proof (Leq a b)) -> Proof (Eqt x a b).
English
Let $x$ be a partially ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $b \leq a \leq b$. Then $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble partiellement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $b \leq a \leq b$. Alors $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je částečně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $b \leq a \leq b$. Tedy $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine halbgeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $b \leq a \leq b$. Dann $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en partiellt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $b \leq a \leq b$. Då $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{PartialOrder} (x), a , b \in x , b \leq a , a \leq b \vdash \EqtMACRoJ {a}{b}$
eq_of_le_of_getheoremPartialOrder.lean:190
*Alias* of le_antisymm.
Lean
@[to_dual eq_of_ge_of_le]
alias eq_of_le_of_ge := le_antisymm
Dedukti
2 lines
def eq_of_le_of_ge : (x : Set) -> (_ : Proof (PartialOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Leq a b)) -> (h1 : Proof (Leq b a)) -> Proof (Eqt x a b) :=
  le_antisymm.
English
Let $x$ be a partially ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a \leq b \leq a$. Then $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble partiellement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a \leq b \leq a$. Alors $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je částečně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a \leq b \leq a$. Tedy $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine halbgeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq b \leq a$. Dann $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en partiellt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a \leq b \leq a$. Då $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{PartialOrder} (x), a , b \in x , a \leq b , b \leq a \vdash \EqtMACRoJ {a}{b}$
Proof
1 lines
1.For all sets $x$ and elements $a$ of $x$ and elements $b$ of $x$ and elements $h$ of $\mathrm{Proof}$ applied to $\mathrm{Leq} (a , b)$ and elements $h_{1}$ of $\mathrm{Proof}$ applied to $\mathrm{Leq} (b , a)$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$.le_antisymm
Proof, French
1 lines
1.Pour tous les ensembles $x$ et les éléments $a$ de $x$ et les éléments $b$ de $x$ et les éléments $h$ de $\mathrm{Proof}$ appliqué à $\mathrm{Leq} (a , b)$ et les éléments $h_{1}$ de $\mathrm{Proof}$ appliqué à $\mathrm{Leq} (b , a)$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$.le_antisymm
Proof, Czech
1 lines
1.Pro všechny množiny $x$ a prvky $a$ $x$ a prvky $b$ $x$ a prvky $h$ $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na $\mathrm{Leq} (a , b)$ a prvky $h_{1}$ $\mathrm{Proof}$ aplikovaný na $\mathrm{Leq} (b , a)$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$.le_antisymm
Proof, German
1 lines
1.Für alle Mengen $x$ und Elemente $a$ von $x$ und Elemente $b$ von $x$ und Elemente $h$ von $\mathrm{Proof}$ angewandt auf $\mathrm{Leq} (a , b)$ und Elemente $h_{1}$ von $\mathrm{Proof}$ angewandt auf $\mathrm{Leq} (b , a)$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$.le_antisymm
Proof, Swedish
1 lines
1.För alla mängder $x$ och element $a$ av $x$ och element $b$ av $x$ och element $h$ av $\mathrm{Proof}$ applicerat på $\mathrm{Leq} (a , b)$ och element $h_{1}$ av $\mathrm{Proof}$ applicerat på $\mathrm{Leq} (b , a)$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$.le_antisymm
le_antisymm_ifftheoremPartialOrder.lean:193
Lean
@[to_dual ge_antisymm_iff]
lemma le_antisymm_iff : a = b ↔ a ≤ b ∧ b ≤ a :=
Dedukti
1 lines
le_antisymm_iff : (x : Set) -> (_ : Proof (PartialOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Eqt x a b) (and (Leq a b) (Leq b a))).
English
Let $x$ be a partially ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {a}{b}$, if and only if $a \leq b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble partiellement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {a}{b}$ si et seulement si $a \leq b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je částečně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $\EqtMACRoH {a}{b}$, právě tehdy, když $a \leq b \leq a$.
German
Sei $x$ eine halbgeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {a}{b}$, genau dann, wenn $a \leq b \leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en partiellt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {a}{b}$, om och endast om $a \leq b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{PartialOrder} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {a}{b}\leftrightarrow a \leq b \wedge b \leq a$
ge_antisymm_ifftheoremPartialOrder.lean:192
Lean
@[to_dual ge_antisymm_iff]
Dedukti
1 lines
ge_antisymm_iff : (x : Set) -> (_ : Proof (PartialOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Eqt x a b) (and (Leq b a) (Leq a b))).
English
Let $x$ be a partially ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {a}{b}$, if and only if $b \leq a \leq b$.
French
Soit $x$ un ensemble partiellement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {a}{b}$ si et seulement si $b \leq a \leq b$.
Czech
Nechť $x$ je částečně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $\EqtMACRoH {a}{b}$, právě tehdy, když $b \leq a \leq b$.
German
Sei $x$ eine halbgeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {a}{b}$, genau dann, wenn $b \leq a \leq b$.
Swedish
Låt $x$ vara en partiellt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {a}{b}$, om och endast om $b \leq a \leq b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{PartialOrder} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {a}{b}\leftrightarrow b \leq a \wedge a \leq b$
eq_of_forall_le_ifftheoremPartialOrder.lean:197
Lean
@[to_dual eq_of_forall_ge_iff]
lemma eq_of_forall_le_iff (H : ∀ c, c ≤ a ↔ c ≤ b) : a = b :=
  le_antisymm ((H _).1 le_rfl) ((H _).2 le_rfl)
Dedukti
2 lines
def eq_of_forall_le_iff : (x : Set) -> (_ : Proof (PartialOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (H : Proof (forall x (c => iff (Leq c a) (Leq c b)))) -> Proof (Eqt x a b) :=
  x => x1 => a => b => H => le_antisymm x a b (iffEl (Leq a a) (Leq a b) (forallE x (c => iff (Leq c a) (Leq c b)) H a) (le_rfl x a)) (iffEr (Leq b a) (Leq b b) (forallE x (c1 => iff (Leq c1 a) (Leq c1 b)) H b) (le_rfl x b)).
English
Let $x$ be a partially ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that for all elements $c$ of $x$, $c \leq a$, if and only if $c \leq b$. Then $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble partiellement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que pour tous les éléments $c$ de $x$, $c \leq a$ si et seulement si $c \leq b$. Alors $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je částečně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že pro všechny prvky $c$ $x$, $c \leq a$, právě tehdy, když $c \leq b$. Tedy $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine halbgeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass für alle Elemente $c$ von $x$, $c \leq a$, genau dann, wenn $c \leq b$. Dann $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en partiellt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att för alla element $c$ av $x$, $c \leq a$, om och endast om $c \leq b$. Då $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{PartialOrder} (x), a , b \in x , \forall c \in x . c \leq a \leftrightarrow c \leq b \vdash \EqtMACRoJ {a}{b}$
Proof
9 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.Assume that for all elements $c$ of $x$, $c \leq a$, if and only if $c \leq b$.
3.$a \leq a$, if and only if $a \leq b$.forallE 2
4.$a \leq a$.le_rfl
5.$a \leq b$.iffEl 3, 4
6.$b \leq a$, if and only if $b \leq b$.forallE 2
7.$b \leq b$.le_rfl
8.$b \leq a$.iffEr 6, 7
9.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.le_antisymm 5, 8
Proof, French
9 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.Supposons que pour tous les éléments $c$ de $x$, $c \leq a$ si et seulement si $c \leq b$.
3.$a \leq a$ si et seulement si $a \leq b$.forallE 2
4.$a \leq a$.le_rfl
5.$a \leq b$.iffEl 3, 4
6.$b \leq a$ si et seulement si $b \leq b$.forallE 2
7.$b \leq b$.le_rfl
8.$b \leq a$.iffEr 6, 7
9.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.le_antisymm 5, 8
Proof, Czech
9 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že pro všechny prvky $c$ $x$, $c \leq a$, právě tehdy, když $c \leq b$.
3.$a \leq a$, právě tehdy, když $a \leq b$.forallE 2
4.$a \leq a$.le_rfl
5.$a \leq b$.iffEl 3, 4
6.$b \leq a$, právě tehdy, když $b \leq b$.forallE 2
7.$b \leq b$.le_rfl
8.$b \leq a$.iffEr 6, 7
9.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.le_antisymm 5, 8
Proof, German
9 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass für alle Elemente $c$ von $x$, $c \leq a$, genau dann, wenn $c \leq b$.
3.$a \leq a$, genau dann, wenn $a \leq b$.forallE 2
4.$a \leq a$.le_rfl
5.$a \leq b$.iffEl 3, 4
6.$b \leq a$, genau dann, wenn $b \leq b$.forallE 2
7.$b \leq b$.le_rfl
8.$b \leq a$.iffEr 6, 7
9.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.le_antisymm 5, 8
Proof, Swedish
9 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Anta att för alla element $c$ av $x$, $c \leq a$, om och endast om $c \leq b$.
3.$a \leq a$, om och endast om $a \leq b$.forallE 2
4.$a \leq a$.le_rfl
5.$a \leq b$.iffEl 3, 4
6.$b \leq a$, om och endast om $b \leq b$.forallE 2
7.$b \leq b$.le_rfl
8.$b \leq a$.iffEr 6, 7
9.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.le_antisymm 5, 8
eq_of_forall_ge_ifftheoremPartialOrder.lean:196
Lean
@[to_dual eq_of_forall_ge_iff]
Dedukti
1 lines
eq_of_forall_ge_iff : (x : Set) -> (_ : Proof (PartialOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (H : Proof (forall x (c => iff (Leq a c) (Leq b c)))) -> Proof (Eqt x a b).
English
Let $x$ be a partially ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that for all elements $c$ of $x$, $a \leq c$, if and only if $b \leq c$. Then $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble partiellement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que pour tous les éléments $c$ de $x$, $a \leq c$ si et seulement si $b \leq c$. Alors $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je částečně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že pro všechny prvky $c$ $x$, $a \leq c$, právě tehdy, když $b \leq c$. Tedy $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine halbgeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass für alle Elemente $c$ von $x$, $a \leq c$, genau dann, wenn $b \leq c$. Dann $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en partiellt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att för alla element $c$ av $x$, $a \leq c$, om och endast om $b \leq c$. Då $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{PartialOrder} (x), a , b \in x , \forall c \in x . a \leq c \leftrightarrow b \leq c \vdash \EqtMACRoJ {a}{b}$
lt_of_le_of_ne'theoremPartialOrder.lean:200
Lean
@[to_dual lt_of_le_of_ne']
Dedukti
1 lines
lt_of_le_of_ne' : (x : Set) -> (_ : Proof (PartialOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Leq b a)) -> (h1 : Proof (Neq a b)) -> Proof (Lt b a).
English
Let $x$ be a partially ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $b \leq a \neq b$. Then $b < a$.
French
Soit $x$ un ensemble partiellement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $b \leq a \neq b$. Alors $b < a$.
Czech
Nechť $x$ je částečně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $b \leq a \neq b$. Tedy $b < a$.
German
Sei $x$ eine halbgeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $b \leq a \neq b$. Dann $b < a$.
Swedish
Låt $x$ vara en partiellt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $b \leq a \neq b$. Då $b < a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{PartialOrder} (x), a , b \in x , b \leq a , a \neq b \vdash b < a$
lt_of_le_of_netheoremPartialOrder.lean:201
Lean
@[to_dual lt_of_le_of_ne']
lemma lt_of_le_of_ne : a ≤ b → a ≠ b → a < b := fun h₁ h₂ =>
  lt_of_le_not_ge h₁ <| mt (le_antisymm h₁) h₂
Dedukti
2 lines
def lt_of_le_of_ne : (x : Set) -> (_ : Proof (PartialOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Leq a b)) -> (h1 : Proof (Neq a b)) -> Proof (Lt a b) :=
  x => x1 => a => b => h => h1 => lt_of_le_not_ge x a b h (mt (Leq b a) (Eqt x a b) (le_antisymm x a b h) h1).
English
Let $x$ be a partially ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a \leq b$ and $a \neq b$. Then $a < b$.
French
Soit $x$ un ensemble partiellement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a \leq b$ et $a \neq b$. Alors $a < b$.
Czech
Nechť $x$ je částečně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a \leq b$ a $a \neq b$. Tedy $a < b$.
German
Sei $x$ eine halbgeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq b$ und $a \neq b$. Dann $a < b$.
Swedish
Låt $x$ vara en partiellt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a \leq b$ och $a \neq b$. Då $a < b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{PartialOrder} (x), a , b \in x , a \leq b , a \neq b \vdash a < b$
Proof
6 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.Assume that $a \leq b$.
3.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.le_antisymm 2
4.Assume that $a \neq b$.
5.It is not the case that $b \leq a$.mt 3, 4
6.$a < b$.lt_of_le_not_ge 2, 5
Proof, French
6 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $a \leq b$.
3.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.le_antisymm 2
4.Supposons que $a \neq b$.
5.Il n'est pas le cas que $b \leq a$.mt 3, 4
6.$a < b$.lt_of_le_not_ge 2, 5
Proof, Czech
6 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $a \leq b$.
3.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.le_antisymm 2
4.Předpokládejme, že $a \neq b$.
5.Není případ že $b \leq a$.mt 3, 4
6.$a < b$.lt_of_le_not_ge 2, 5
Proof, German
6 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $a \leq b$.
3.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.le_antisymm 2
4.Nimm an, dass $a \neq b$.
5.Es ist nicht der Fall dass $b \leq a$.mt 3, 4
6.$a < b$.lt_of_le_not_ge 2, 5
Proof, Swedish
6 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Anta att $a \leq b$.
3.$\EqtMACRoJ {a}{b}$.le_antisymm 2
4.Anta att $a \neq b$.
5.Det är inte fallet att $b \leq a$.mt 3, 4
6.$a < b$.lt_of_le_not_ge 2, 5
lt_of_ne_of_letheoremPartialOrder.lean:205
Lean
@[to_dual lt_of_ne_of_le']
lemma lt_of_ne_of_le : a ≠ b → a ≤ b → a < b := flip lt_of_le_of_ne
Dedukti
2 lines
def lt_of_ne_of_le : (x : Set) -> (_ : Proof (PartialOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Neq a b)) -> (h1 : Proof (Leq a b)) -> Proof (Lt a b) :=
  x => x1 => a => b => flip (lt_of_le_of_ne x a b).
English
Let $x$ be a partially ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a \neq b$ and $a \leq b$. Then $a < b$.
French
Soit $x$ un ensemble partiellement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a \neq b$ et $a \leq b$. Alors $a < b$.
Czech
Nechť $x$ je částečně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a \neq b$ a $a \leq b$. Tedy $a < b$.
German
Sei $x$ eine halbgeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a \neq b$ und $a \leq b$. Dann $a < b$.
Swedish
Låt $x$ vara en partiellt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a \neq b$ och $a \leq b$. Då $a < b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{PartialOrder} (x), a , b \in x , a \neq b , a \leq b \vdash a < b$
Proof
2 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.There is an element of $x_{2}$.flip
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.Il y a un élément de $x_{2}$.flip
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Existuje prvek $x_{2}$.flip
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Es gibt ein Element von $x_{2}$.flip
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Det finns ett element av $x_{2}$.flip
lt_of_ne_of_le'theoremPartialOrder.lean:204
Lean
@[to_dual lt_of_ne_of_le']
Dedukti
1 lines
lt_of_ne_of_le' : (x : Set) -> (_ : Proof (PartialOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Neq a b)) -> (h1 : Proof (Leq b a)) -> Proof (Lt b a).
English
Let $x$ be a partially ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a \neq b \leq a$. Then $b < a$.
French
Soit $x$ un ensemble partiellement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a \neq b \leq a$. Alors $b < a$.
Czech
Nechť $x$ je částečně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a \neq b \leq a$. Tedy $b < a$.
German
Sei $x$ eine halbgeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a \neq b \leq a$. Dann $b < a$.
Swedish
Låt $x$ vara en partiellt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a \neq b \leq a$. Då $b < a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{PartialOrder} (x), a , b \in x , a \neq b , b \leq a \vdash b < a$
decidableEqOfDecidableLEdefPartialOrder.lean:208
Equality is decidable if ≤ is.
Lean
def decidableEqOfDecidableLE [DecidableLE α] : DecidableEq α
Dedukti
1 lines
decidableEqOfDecidableLE : Proof (DecidableEq x).
English
$\mathrm{DecidableEq}$ holds for $x$.
French
$\mathrm{DecidableEq}$ tient pour $x$.
Czech
$\mathrm{DecidableEq}$ platí pro $x$.
German
$\mathrm{DecidableEq}$ hält für $x$.
Swedish
$\mathrm{DecidableEq}$ håller för $x$.
Formula
$\mathrm{DecidableEq} (x)$
Decidable.lt_or_eq_of_le'theoremPartialOrder.lean:215
Lean
@[to_dual Decidable.lt_or_eq_of_le']
Dedukti
1 lines
Decidable__lt_or_eq_of_le' : (x : Set) -> (_ : Proof (PartialOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (hab : Proof (Leq b a)) -> Proof (or (Lt b a) (Eqt x a b)).
English
Let $x$ be a partially ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $b \leq a$. Then $b < a$ or $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble partiellement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $b \leq a$. Alors $b < a$ ou $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je částečně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $b \leq a$. Tedy $b < a$ nebo $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine halbgeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $b \leq a$. Dann $b < a$ oder $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en partiellt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $b \leq a$. Då $b < a$ eller $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{PartialOrder} (x), a , b \in x , b \leq a \vdash b < a \vee \EqtMACRoJ {a}{b}$
Decidable.lt_or_eq_of_letheoremPartialOrder.lean:216
Lean
@[to_dual Decidable.lt_or_eq_of_le']
protected lemma Decidable.lt_or_eq_of_le [DecidableLE α] (hab : a ≤ b) : a < b ∨ a = b :=
  if hba : b ≤ a then Or.inr (le_antisymm hab hba) else Or.inl (lt_of_le_not_ge hab hba)
Dedukti
2 lines
def Decidable__lt_or_eq_of_le : (x : Set) -> (_ : Proof (PartialOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (hab : Proof (Leq a b)) -> Proof (or (Lt a b) (Eqt x a b)) :=
  x => x1 => a => b => x2 => hab => dite (Leq b a) (ifI (Leq b a) (or (Lt a b) (Eqt x a b)) (hba => orIr (Lt a b) (Eqt x a b) (le_antisymm x a b hab hba))) (ifI (not (Leq b a)) (or (Lt a b) (Eqt x a b)) (hba1 => orIl (Lt a b) (Eqt x a b) (lt_of_le_not_ge x a b hab hba1))).
English
Let $x$ be a partially ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a \leq b$. Then $a < b$ or $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble partiellement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a \leq b$. Alors $a < b$ ou $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je částečně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a \leq b$. Tedy $a < b$ nebo $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine halbgeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq b$. Dann $a < b$ oder $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en partiellt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a \leq b$. Då $a < b$ eller $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{PartialOrder} (x), a , b \in x , a \leq b \vdash a < b \vee \EqtMACRoJ {a}{b}$
Decidable.le_iff_lt_or_eqtheoremPartialOrder.lean:220
Lean
@[to_dual Decidable.le_iff_lt_or_eq']
protected lemma Decidable.le_iff_lt_or_eq [DecidableLE α] : a ≤ b ↔ a < b ∨ a = b :=
  ⟨Decidable.lt_or_eq_of_le, le_of_lt_or_eq⟩
Dedukti
2 lines
def Decidable__le_iff_lt_or_eq : (x : Set) -> (_ : Proof (PartialOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Leq a b) (or (Lt a b) (Eqt x a b))) :=
  x => x1 => a => b => x2 => iffI (Leq a b) (or (Lt a b) (Eqt x a b)) (Decidable__lt_or_eq_of_le x a b) (le_of_lt_or_eq x a b).
English
Let $x$ be a partially ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $a \leq b$, if and only if $a < b$ or $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble partiellement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $a \leq b$ si et seulement si $a < b$ ou $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je částečně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $a \leq b$, právě tehdy, když $a < b$ nebo $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine halbgeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $a \leq b$, genau dann, wenn $a < b$ oder $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en partiellt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $a \leq b$, om och endast om $a < b$ eller $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{PartialOrder} (x), a , b \in x \vdash a \leq b \leftrightarrow a < b \vee \EqtMACRoJ {a}{b}$
Decidable.le_iff_lt_or_eq'theoremPartialOrder.lean:219
Lean
@[to_dual Decidable.le_iff_lt_or_eq']
Dedukti
1 lines
Decidable__le_iff_lt_or_eq' : (x : Set) -> (_ : Proof (PartialOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Leq b a) (or (Lt b a) (Eqt x a b))).
English
Let $x$ be a partially ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $b \leq a$, if and only if $b < a$ or $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble partiellement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $b \leq a$ si et seulement si $b < a$ ou $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je částečně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $b \leq a$, právě tehdy, když $b < a$ nebo $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine halbgeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $b \leq a$, genau dann, wenn $b < a$ oder $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en partiellt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $b \leq a$, om och endast om $b < a$ eller $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{PartialOrder} (x), a , b \in x \vdash b \leq a \leftrightarrow b < a \vee \EqtMACRoJ {a}{b}$
lt_or_eq_of_le'theoremPartialOrder.lean:223
Lean
@[to_dual lt_or_eq_of_le']
Dedukti
1 lines
lt_or_eq_of_le' : (x : Set) -> (_ : Proof (PartialOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Leq b a)) -> Proof (or (Lt b a) (Eqt x a b)).
English
Let $x$ be a partially ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $b \leq a$. Then $b < a$ or $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble partiellement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $b \leq a$. Alors $b < a$ ou $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je částečně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $b \leq a$. Tedy $b < a$ nebo $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine halbgeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $b \leq a$. Dann $b < a$ oder $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en partiellt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $b \leq a$. Då $b < a$ eller $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{PartialOrder} (x), a , b \in x , b \leq a \vdash b < a \vee \EqtMACRoJ {a}{b}$
lt_or_eq_of_letheoremPartialOrder.lean:224
Lean
@[to_dual lt_or_eq_of_le']
lemma lt_or_eq_of_le : a ≤ b → a < b ∨ a = b := open scoped Classical in Decidable.lt_or_eq_of_le
Dedukti
2 lines
def lt_or_eq_of_le : (x : Set) -> (_ : Proof (PartialOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Leq a b)) -> Proof (or (Lt a b) (Eqt x a b)) :=
  x => x1 => a => b => Decidable__lt_or_eq_of_le x a b.
English
Let $x$ be a partially ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a \leq b$. Then $a < b$ or $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble partiellement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a \leq b$. Alors $a < b$ ou $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je částečně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a \leq b$. Tedy $a < b$ nebo $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine halbgeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq b$. Dann $a < b$ oder $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en partiellt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a \leq b$. Då $a < b$ eller $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{PartialOrder} (x), a , b \in x , a \leq b \vdash a < b \vee \EqtMACRoJ {a}{b}$
Proof
2 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$a < b$ or $\EqtMACRoJ {a}{b}$.Decidable.lt_or_eq_of_le
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$a < b$ ou $\EqtMACRoJ {a}{b}$.Decidable.lt_or_eq_of_le
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$a < b$ nebo $\EqtMACRoJ {a}{b}$.Decidable.lt_or_eq_of_le
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$a < b$ oder $\EqtMACRoJ {a}{b}$.Decidable.lt_or_eq_of_le
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$a < b$ eller $\EqtMACRoJ {a}{b}$.Decidable.lt_or_eq_of_le
le_iff_lt_or_eqtheoremPartialOrder.lean:226
Lean
@[to_dual le_iff_lt_or_eq']
lemma le_iff_lt_or_eq : a ≤ b ↔ a < b ∨ a = b := open scoped Classical in Decidable.le_iff_lt_or_eq
Dedukti
2 lines
def le_iff_lt_or_eq : (x : Set) -> (_ : Proof (PartialOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Leq a b) (or (Lt a b) (Eqt x a b))) :=
  x => x1 => a => b => Decidable__le_iff_lt_or_eq x a b.
English
Let $x$ be a partially ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $a \leq b$, if and only if $a < b$ or $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble partiellement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $a \leq b$ si et seulement si $a < b$ ou $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je částečně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $a \leq b$, právě tehdy, když $a < b$ nebo $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine halbgeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $a \leq b$, genau dann, wenn $a < b$ oder $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en partiellt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $a \leq b$, om och endast om $a < b$ eller $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{PartialOrder} (x), a , b \in x \vdash a \leq b \leftrightarrow a < b \vee \EqtMACRoJ {a}{b}$
Proof
2 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$a \leq b$, if and only if $a < b$ or $\EqtMACRoJ {a}{b}$.Decidable.le_iff_lt_or_eq
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$a \leq b$ si et seulement si $a < b$ ou $\EqtMACRoJ {a}{b}$.Decidable.le_iff_lt_or_eq
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$a \leq b$, právě tehdy, když $a < b$ nebo $\EqtMACRoJ {a}{b}$.Decidable.le_iff_lt_or_eq
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$a \leq b$, genau dann, wenn $a < b$ oder $\EqtMACRoJ {a}{b}$.Decidable.le_iff_lt_or_eq
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$a \leq b$, om och endast om $a < b$ eller $\EqtMACRoJ {a}{b}$.Decidable.le_iff_lt_or_eq
le_iff_lt_or_eq'theoremPartialOrder.lean:225
Lean
@[to_dual le_iff_lt_or_eq']
Dedukti
1 lines
le_iff_lt_or_eq' : (x : Set) -> (_ : Proof (PartialOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Leq b a) (or (Lt b a) (Eqt x a b))).
English
Let $x$ be a partially ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $b \leq a$, if and only if $b < a$ or $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble partiellement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $b \leq a$ si et seulement si $b < a$ ou $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je částečně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $b \leq a$, právě tehdy, když $b < a$ nebo $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine halbgeordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $b \leq a$, genau dann, wenn $b < a$ oder $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en partiellt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $b \leq a$, om och endast om $b < a$ eller $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{PartialOrder} (x), a , b \in x \vdash b \leq a \leftrightarrow b < a \vee \EqtMACRoJ {a}{b}$

Mathlib.Order.Defs.LinearOrder source

maxDefaultdefLinearOrder.lean:36
Default definition of max.
Lean
def maxDefault [LE α] [DecidableLE α] (a b : α) :=
  if a ≤ b then b else a
Dedukti
2 lines
def maxDefault : (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Elem x :=
  a => b => ite (Leq a b) b a.
English
Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then the maximum default of $a$ and $b$ is an element of $x$ defined as $\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}$.
French
Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors le défaut maximal de $a$ et $b$ est un élément de $x$ défini comme $\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}$.
Czech
Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy maximální výchozí hodnota $a$ a $b$ je prvek $x$ definovaný jako $\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}$.
German
Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann ist $\mathrm{maxDefault}$ angewandt auf $a$ und $b$ ein Element von $x$ definiert als $\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}$.
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då är $\mathrm{maxDefault}$ applicerat på $a$ och $b$ ett element av $x$ definierat som $\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}$.
Formula
$a , b \in x \vdash \mathrm{maxDefault} (a , b):= \iteMACRoI {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}\in x$
minDefaultdefLinearOrder.lean:40
Default definition of min.
Lean
def minDefault [LE α] [DecidableLE α] (a b : α) :=
  if a ≤ b then a else b
Dedukti
2 lines
def minDefault : (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Elem x :=
  a => b => ite (Leq a b) a b.
English
Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then the minimum default of $a$ and $b$ is an element of $x$ defined as $\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}$.
French
Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors le défaut minimal de $a$ et $b$ est un élément de $x$ défini comme $\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}$.
Czech
Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy minimální výchozí hodnota $a$ a $b$ je prvek $x$ definovaný jako $\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}$.
German
Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann ist $\mathrm{minDefault}$ angewandt auf $a$ und $b$ ein Element von $x$ definiert als $\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}$.
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då är $\mathrm{minDefault}$ applicerat på $a$ och $b$ ett element av $x$ definierat som $\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}$.
Formula
$a , b \in x \vdash \mathrm{minDefault} (a , b):= \iteMACRoI {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}\in x$
tacticCompareOfLessAndEq_rfldefLinearOrder.lean:53
This attempts to prove that a given instance of compare is equal to compareOfLessAndEq by introducing the arguments and trying the following approaches in order:
1. seeing if rfl works 2. seeing if the compare at hand is nonetheless essentially compareOfLessAndEq, but, because of implicit arguments, requires us to unfold the defs and split the ifs in the definition of compareOfLessAndEq 3. seeing if we can split by cases on the arguments, then see if the defs work themselves out (useful when compare is defined via a match statement, as it is for Bool)
Lean
macro "compareOfLessAndEq_rfl" : tactic =>
  `(tactic| (intro a b; first | rfl |
    (simp only [compare, compareOfLessAndEq]; split_ifs <;> rfl) |
    (induction a <;> induction b <;> simp +decide only)))
Dedukti
1 lines
tacticCompareOfLessAndEq_rfl : Elem Lean__ParserDescr.
English
$\mathrm{tacticCompareOfLessAndEq\_rfl}$ is an element of $\operatorname{ParserDescr}$.
French
$\mathrm{tacticCompareOfLessAndEq\_rfl}$ est un élément de $\operatorname{ParserDescr}$.
Czech
$\mathrm{tacticCompareOfLessAndEq\_rfl}$ je prvek $\operatorname{ParserDescr}$.
German
$\mathrm{tacticCompareOfLessAndEq\_rfl}$ ist ein Element von $\operatorname{ParserDescr}$.
Swedish
$\mathrm{tacticCompareOfLessAndEq\_rfl}$ är ett element av $\operatorname{ParserDescr}$.
Formula
$\mathrm{tacticCompareOfLessAndEq\_rfl} \in \operatorname{ParserDescr}$
LinearOrderinductiveLinearOrder.lean:60
A linear order is reflexive, transitive, antisymmetric and total relation ≤. We assume that every linear ordered type has decidable (≤), (<), and (=).
Lean
class LinearOrder (α : Type*) extends PartialOrder α, Min α, Max α, Ord α where
Dedukti
1 lines
LinearOrder : (x : Set) -> Prop.
English
Let $x$ be a set. Then we can say that $x$ is linearly ordered.
French
Soit $x$ un ensemble. Alors nous pouvons dire que $x$ est totalement ordonné.
Czech
Nechť $x$ je množina. Tedy můžeme říkat, že $x$ je lineárně uspořádané.
German
Sei $x$ eine Menge. Dann können wir sagen, dass $x$ linear geordnet ist.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Då kan vi säga att $x$ är linjärt ordnat.
Formula
$x \in \mathrm{Set} \vdash \mathrm{LinearOrder} (x)\ \mathsf{prop}$
LinearOrder.mkconstructorLinearOrder.lean:60
Lean
class LinearOrder (α : Type*) extends PartialOrder α, Min α, Max α, Ord α where
Dedukti
1 lines
LinearOrder__mk : (le_total : Proof (forall x (a3 => forall x (b3 => or (Leq a3 b3) (Leq b3 a3))))) -> (toDecidableLE : Proof (DecidableLE x)) -> (toDecidableEq : Proof (DecidableEq x)) -> (toDecidableLT : Proof (DecidableLT x)) -> (min_def : Proof (autoParam (forall x (a2 => forall x (b2 => Eqt x (Min__min a2 b2) (ite (Leq a2 b2) a2 b2)))) LinearOrder__min_def___autoParam)) -> (max_def : Proof (autoParam (forall x (a1 => forall x (b1 => Eqt x (Max__max a1 b1) (ite (Leq a1 b1) b1 a1)))) LinearOrder__max_def___autoParam)) -> (compare_eq_compareOfLessAndEq : Proof (autoParam (forall x (a => forall x (b => Eqt Ordering (Ord__compare a b) (compareOfLessAndEq a b)))) LinearOrder__compare_eq_compareOfLessAndEq___autoParam)) -> Proof (LinearOrder x).
English
Assume that for all elements $a_{3}$ and $b_{3}$ of $x$, $a_{3} \leq b_{3}$ or $b_{3} \leq a_{3}$. Assume that $\mathrm{DecidableLE}$ holds for $x$. Assume that $\mathrm{DecidableEq}$ holds for $x$. Assume that $\mathrm{DecidableLT}$ holds for $x$. Assume that $\mathrm{autoParam}$ holds for the proposition that for all elements $a_{2}$ and $b_{2}$ of $x$, $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a_{2}}{b_{2}}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a_{2} , b_{2})}{a_{2}}{b_{2}}}$ and $\mathrm{LinearOrder\_\_min\_def\_\_\_autoParam}$. Assume that $\mathrm{autoParam}$ holds for the proposition that for all elements $a_{1}$ and $b_{1}$ of $x$, $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a_{1}}{b_{1}}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a_{1} , b_{1})}{b_{1}}{a_{1}}}$ and $\mathrm{LinearOrder\_\_max\_def\_\_\_autoParam}$. Assume that $\mathrm{autoParam}$ holds for the proposition that for all elements $a$ and $b$ of $x$, the comparison of $a$ and $b$ is equal to $\mathrm{compareOfLessAndEq}$ applied to $a$ and $b$ and $\mathrm{LinearOrder\_\_compare\_eq\_compareOfLessAndEq\_\_\_autoParam}$. Then $x$ is linearly ordered.
French
Supposons que pour tous les éléments $a_{3}$ et $b_{3}$ de $x$, $a_{3} \leq b_{3}$ ou $b_{3} \leq a_{3}$. Supposons que $\mathrm{DecidableLE}$ tient pour $x$. Supposons que $\mathrm{DecidableEq}$ tient pour $x$. Supposons que $\mathrm{DecidableLT}$ tient pour $x$. Supposons que $\mathrm{autoParam}$ tient pour la proposition que pour tous les éléments $a_{2}$ et $b_{2}$ de $x$, $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a_{2}}{b_{2}}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a_{2} , b_{2})}{a_{2}}{b_{2}}}$ et $\mathrm{LinearOrder\_\_min\_def\_\_\_autoParam}$. Supposons que $\mathrm{autoParam}$ tient pour la proposition que pour tous les éléments $a_{1}$ et $b_{1}$ de $x$, $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a_{1}}{b_{1}}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a_{1} , b_{1})}{b_{1}}{a_{1}}}$ et $\mathrm{LinearOrder\_\_max\_def\_\_\_autoParam}$. Supposons que $\mathrm{autoParam}$ tient pour la proposition que pour tous les éléments $a$ et $b$ de $x$, la comparaison de $a$ et $b$ est égale à $\mathrm{compareOfLessAndEq}$ appliqué à $a$ et $b$ et $\mathrm{LinearOrder\_\_compare\_eq\_compareOfLessAndEq\_\_\_autoParam}$. Alors $x$ est totalement ordonné.
Czech
Předpokládejme, že pro všechny prvky $a_{3}$ a $b_{3}$ $x$, $a_{3} \leq b_{3}$ nebo $b_{3} \leq a_{3}$. Předpokládejme, že $\mathrm{DecidableLE}$ platí pro $x$. Předpokládejme, že $\mathrm{DecidableEq}$ platí pro $x$. Předpokládejme, že $\mathrm{DecidableLT}$ platí pro $x$. Předpokládejme, že $\mathrm{autoParam}$ platí pro výrok že pro všechny prvky $a_{2}$ a $b_{2}$ $x$, minimum $a_{2}$ a $b_{2}$ je rovné do $\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a_{2} , b_{2})}{a_{2}}{b_{2}}$ a $\mathrm{LinearOrder\_\_min\_def\_\_\_autoParam}$. Předpokládejme, že $\mathrm{autoParam}$ platí pro výrok že pro všechny prvky $a_{1}$ a $b_{1}$ $x$, maximum $a_{1}$ a $b_{1}$ je rovné do $\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a_{1} , b_{1})}{b_{1}}{a_{1}}$ a $\mathrm{LinearOrder\_\_max\_def\_\_\_autoParam}$. Předpokládejme, že $\mathrm{autoParam}$ platí pro výrok že pro všechny prvky $a$ a $b$ $x$, porovnání $a$ a $b$ je rovné do $\mathrm{compareOfLessAndEq}$ aplikovaný na $a$ a $b$ a $\mathrm{LinearOrder\_\_compare\_eq\_compareOfLessAndEq\_\_\_autoParam}$. Tedy $x$ je lineárně uspořádané.
German
Nimm an, dass für alle Elemente $a_{3}$ und $b_{3}$ von $x$, $a_{3} \leq b_{3}$ oder $b_{3} \leq a_{3}$. Nimm an, dass $\mathrm{DecidableLE}$ für $x$ hält. Nimm an, dass $\mathrm{DecidableEq}$ für $x$ hält. Nimm an, dass $\mathrm{DecidableLT}$ für $x$ hält. Nimm an, dass $\mathrm{autoParam}$ für den Satz, dass für alle Elemente $a_{2}$ und $b_{2}$ von $x$, $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a_{2}}{b_{2}}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a_{2} , b_{2})}{a_{2}}{b_{2}}}$, und $\mathrm{LinearOrder\_\_min\_def\_\_\_autoParam}$ hält. Nimm an, dass $\mathrm{autoParam}$ für den Satz, dass für alle Elemente $a_{1}$ und $b_{1}$ von $x$, $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a_{1}}{b_{1}}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a_{1} , b_{1})}{b_{1}}{a_{1}}}$, und $\mathrm{LinearOrder\_\_max\_def\_\_\_autoParam}$ hält. Nimm an, dass $\mathrm{autoParam}$ für den Satz, dass für alle Elemente $a$ und $b$ von $x$, der Vergleich von $a$ und $b$ nach $\mathrm{compareOfLessAndEq}$ angewandt auf $a$ und $b$ gleich ist, und $\mathrm{LinearOrder\_\_compare\_eq\_compareOfLessAndEq\_\_\_autoParam}$ hält. Dann ist $x$ linear geordnet.
Swedish
Anta att för alla element $a_{3}$ och $b_{3}$ av $x$, $a_{3} \leq b_{3}$ eller $b_{3} \leq a_{3}$. Anta att $\mathrm{DecidableLE}$ håller för $x$. Anta att $\mathrm{DecidableEq}$ håller för $x$. Anta att $\mathrm{DecidableLT}$ håller för $x$. Anta att $\mathrm{autoParam}$ håller för påståendet att för alla element $a_{2}$ och $b_{2}$ av $x$, $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a_{2}}{b_{2}}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a_{2} , b_{2})}{a_{2}}{b_{2}}}$ och $\mathrm{LinearOrder\_\_min\_def\_\_\_autoParam}$. Anta att $\mathrm{autoParam}$ håller för påståendet att för alla element $a_{1}$ och $b_{1}$ av $x$, $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a_{1}}{b_{1}}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a_{1} , b_{1})}{b_{1}}{a_{1}}}$ och $\mathrm{LinearOrder\_\_max\_def\_\_\_autoParam}$. Anta att $\mathrm{autoParam}$ håller för påståendet att för alla element $a$ och $b$ av $x$, är jämförelsen av $a$ och $b$ lika till $\mathrm{compareOfLessAndEq}$ applicerat på $a$ och $b$ och $\mathrm{LinearOrder\_\_compare\_eq\_compareOfLessAndEq\_\_\_autoParam}$. Då är $x$ linjärt ordnat.
Formula
$\forall a_{3} \in x . \forall b_{3} \in x . a_{3} \leq b_{3} \vee b_{3} \leq a_{3} , \mathrm{DecidableLE} (x), \mathrm{DecidableEq} (x), \mathrm{DecidableLT} (x), \mathrm{autoParam} (\forall a_{2} \in x . \forall b_{2} \in x . \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a_{2}}{b_{2}}}{\iteMACRoI {\mathrm{Leq} (a_{2} , b_{2})}{a_{2}}{b_{2}}}, \mathrm{LinearOrder\_\_min\_def\_\_\_autoParam}), \mathrm{autoParam} (\forall a_{1} \in x . \forall b_{1} \in x . \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a_{1}}{b_{1}}}{\iteMACRoI {\mathrm{Leq} (a_{1} , b_{1})}{b_{1}}{a_{1}}}, \mathrm{LinearOrder\_\_max\_def\_\_\_autoParam}), \mathrm{autoParam} (\forall a \in x . \forall b \in x . \EqtMACRoJ {\OrdcompareMACRoAU {a}{b}}{\mathrm{compareOfLessAndEq} (a , b)}, \mathrm{LinearOrder\_\_compare\_eq\_compareOfLessAndEq\_\_\_autoParam})\vdash \mathrm{LinearOrder} (x)$
LinearOrder.le_totaltheoremLinearOrder.lean:62
A linear order is total.
Lean
  protected le_total (a b : α) : a ≤ b ∨ b ≤ a
Dedukti
1 lines
LinearOrder__le_total : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (or (Leq a b) (Leq b a)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $a \leq b$ or $b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $a \leq b$ ou $b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $a \leq b$ nebo $b \leq a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $a \leq b$ oder $b \leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $a \leq b$ eller $b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash a \leq b \vee b \leq a$
LinearOrder.min_deftheoremLinearOrder.lean:72
The minimum function is equivalent to the one you get from minOfLe.
Lean
  protected min_def : ∀ a b, min a b = if a ≤ b then a else b :=
Dedukti
1 lines
LinearOrder__min_def : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min a b) (ite (Leq a b) a b)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy minimum $a$ a $b$ je rovné do $\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{\iteMACRoI {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}}$
LinearOrder.max_deftheoremLinearOrder.lean:74
The minimum function is equivalent to the one you get from maxOfLe.
Lean
  protected max_def : ∀ a b, max a b = if a ≤ b then b else a :=
Dedukti
1 lines
LinearOrder__max_def : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max a b) (ite (Leq a b) b a)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy maximum $a$ a $b$ je rovné do $\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{\iteMACRoI {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}}$
LinearOrder.compare_eq_compareOfLessAndEqtheoremLinearOrder.lean:77
Comparison via compare is equal to the canonical comparison given decidable < and =.
Lean
  compare_eq_compareOfLessAndEq : ∀ a b, compare a b = compareOfLessAndEq a b :=
Dedukti
1 lines
LinearOrder__compare_eq_compareOfLessAndEq : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Eqt Ordering (Ord__compare a b) (compareOfLessAndEq a b)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then the comparison of $a$ and $b$ is equal to $\mathrm{compareOfLessAndEq}$ applied to $a$ and $b$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors la comparaison de $a$ et $b$ est égale à $\mathrm{compareOfLessAndEq}$ appliqué à $a$ et $b$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy porovnání $a$ a $b$ je rovné do $\mathrm{compareOfLessAndEq}$ aplikovaný na $a$ a $b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann ist der Vergleich von $a$ und $b$ nach $\mathrm{compareOfLessAndEq}$ angewandt auf $a$ und $b$ gleich.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då är jämförelsen av $a$ och $b$ lika till $\mathrm{compareOfLessAndEq}$ applicerat på $a$ och $b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\OrdcompareMACRoAU {a}{b}}{\mathrm{compareOfLessAndEq} (a , b)}$
le_totaltheoremLinearOrder.lean:91
Lean
@[to_dual self] lemma le_total : ∀ a b : α, a ≤ b ∨ b ≤ a := LinearOrder.le_total
Dedukti
2 lines
def le_total : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (or (Leq a b) (Leq b a)) :=
  x => x1 => LinearOrder__le_total x.
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $a \leq b$ or $b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $a \leq b$ ou $b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $a \leq b$ nebo $b \leq a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $a \leq b$ oder $b \leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $a \leq b$ eller $b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash a \leq b \vee b \leq a$
Proof
1 lines
1.$a \leq b$ or $b \leq a$.LinearOrder.le_total
Proof, French
1 lines
1.$a \leq b$ ou $b \leq a$.LinearOrder.le_total
Proof, Czech
1 lines
1.$a \leq b$ nebo $b \leq a$.LinearOrder.le_total
Proof, German
1 lines
1.$a \leq b$ oder $b \leq a$.LinearOrder.le_total
Proof, Swedish
1 lines
1.$a \leq b$ eller $b \leq a$.LinearOrder.le_total
le_of_not_getheoremLinearOrder.lean:93
Lean
@[to_dual self] lemma le_of_not_ge : ¬a ≤ b → b ≤ a := (le_total a b).resolve_left
Dedukti
2 lines
def le_of_not_ge : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (not (Leq a b))) -> Proof (Leq b a) :=
  x => x1 => a => b => Or__resolve_left (Leq a b) (Leq b a) (le_total x a b).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that it is not the case that $a \leq b$. Then $b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels qu'il ne soit pas le cas que $a \leq b$. Alors $b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že není případ že $a \leq b$. Tedy $b \leq a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a$ nicht kleiner oder gleich $b$ ist. Dann $b \leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att det inte är fallet att $a \leq b$. Då $b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x , \neg a \leq b \vdash b \leq a$
Proof
3 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$a \leq b$ or $b \leq a$.le_total
3.$b \leq a$.Or.resolve_left 2
Proof, French
3 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$a \leq b$ ou $b \leq a$.le_total
3.$b \leq a$.Or.resolve_left 2
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$a \leq b$ nebo $b \leq a$.le_total
3.$b \leq a$.Or.resolve_left 2
Proof, German
3 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$a \leq b$ oder $b \leq a$.le_total
3.$b \leq a$.Or.resolve_left 2
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$a \leq b$ eller $b \leq a$.le_total
3.$b \leq a$.Or.resolve_left 2
lt_of_not_getheoremLinearOrder.lean:94
Lean
@[to_dual self] lemma lt_of_not_ge (h : ¬b ≤ a) : a < b := lt_of_le_not_ge (le_of_not_ge h) h
Dedukti
2 lines
def lt_of_not_ge : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (not (Leq b a))) -> Proof (Lt a b) :=
  x => x1 => a => b => h => lt_of_le_not_ge x a b (le_of_not_ge x b a h) h.
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that it is not the case that $b \leq a$. Then $a < b$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels qu'il ne soit pas le cas que $b \leq a$. Alors $a < b$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že není případ že $b \leq a$. Tedy $a < b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $b$ nicht kleiner oder gleich $a$ ist. Dann $a < b$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att det inte är fallet att $b \leq a$. Då $a < b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x , \neg b \leq a \vdash a < b$
Proof
4 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.Assume that it is not the case that $b \leq a$.
3.$a \leq b$.le_of_not_ge 2
4.$a < b$.lt_of_le_not_ge 3, 2
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.Supposons qu'il n'est pas le cas que $b \leq a$.
3.$a \leq b$.le_of_not_ge 2
4.$a < b$.lt_of_le_not_ge 3, 2
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že není případ že $b \leq a$.
3.$a \leq b$.le_of_not_ge 2
4.$a < b$.lt_of_le_not_ge 3, 2
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass es nicht der Fall dass $b \leq a$ ist.
3.$a \leq b$.le_of_not_ge 2
4.$a < b$.lt_of_le_not_ge 3, 2
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Anta att det inte är fallet att $b \leq a$.
3.$a \leq b$.le_of_not_ge 2
4.$a < b$.lt_of_le_not_ge 3, 2
lt_or_getheoremLinearOrder.lean:96
Lean
@[to_dual self] lemma lt_or_ge (a b : α) : a < b ∨ b ≤ a :=
  if hba : b ≤ a then Or.inr hba else Or.inl <| lt_of_not_ge hba
Dedukti
2 lines
def lt_or_ge : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (or (Lt a b) (Leq b a)) :=
  x => x1 => a => b => dite (Leq b a) (ifI (Leq b a) (or (Lt a b) (Leq b a)) (hba => orIr (Lt a b) (Leq b a) hba)) (ifI (not (Leq b a)) (or (Lt a b) (Leq b a)) (hba1 => orIl (Lt a b) (Leq b a) (lt_of_not_ge x a b hba1))).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $a < b$ or $b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $a < b$ ou $b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $a < b$ nebo $b \leq a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $a < b$ oder $b \leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $a < b$ eller $b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash a < b \vee b \leq a$
Proof
2 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.There is an element of $x$.dite
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.Il y a un élément de $x$.dite
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Existuje prvek $x$.dite
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Es gibt ein Element von $x$.dite
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Det finns ett element av $x$.dite
le_or_gttheoremLinearOrder.lean:99
Lean
@[to_dual self] lemma le_or_gt (a b : α) : a ≤ b ∨ b < a := (lt_or_ge b a).symm
Dedukti
2 lines
def le_or_gt : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (or (Leq a b) (Lt b a)) :=
  x => x1 => a => b => Or__symm (Lt b a) (Leq a b) (lt_or_ge x b a).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $a \leq b$ or $b < a$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $a \leq b$ ou $b < a$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $a \leq b$ nebo $b < a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $a \leq b$ oder $b < a$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $a \leq b$ eller $b < a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash a \leq b \vee b < a$
Proof
3 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$b < a$ or $a \leq b$.lt_or_ge
3.$a \leq b$ or $b < a$.Or.symm 2
Proof, French
3 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$b < a$ ou $a \leq b$.lt_or_ge
3.$a \leq b$ ou $b < a$.Or.symm 2
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$b < a$ nebo $a \leq b$.lt_or_ge
3.$a \leq b$ nebo $b < a$.Or.symm 2
Proof, German
3 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$b < a$ oder $a \leq b$.lt_or_ge
3.$a \leq b$ oder $b < a$.Or.symm 2
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$b < a$ eller $a \leq b$.lt_or_ge
3.$a \leq b$ eller $b < a$.Or.symm 2
gt_trichotomytheoremLinearOrder.lean:101
Lean
@[to_dual gt_trichotomy]
Dedukti
1 lines
gt_trichotomy : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (or (Lt b a) (or (Eqt x a b) (Lt a b))).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $b < a$, $\EqtMACRoH {a}{b}$ or $a < b$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $b < a$, $\EqtMACRoH {a}{b}$ ou $a < b$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $b < a$, $\EqtMACRoH {a}{b}$ nebo $a < b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $b < a$, $\EqtMACRoH {a}{b}$ oder $a < b$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $b < a$, $\EqtMACRoH {a}{b}$ eller $a < b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash b < a \vee (\EqtMACRoJ {a}{b}\vee a < b)$
lt_trichotomytheoremLinearOrder.lean:102
Lean
@[to_dual gt_trichotomy]
lemma lt_trichotomy (a b : α) : a < b ∨ a = b ∨ b < a :=
  (lt_or_ge a b).imp_right (fun h ↦ (Decidable.lt_or_eq_of_le' h).symm)
Dedukti
2 lines
def lt_trichotomy : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (or (Lt a b) (or (Eqt x a b) (Lt b a))) :=
  x => x1 => a => b => Or__imp_right (Leq b a) (or (Eqt x a b) (Lt b a)) (Lt a b) (ifI (Leq b a) (or (Eqt x a b) (Lt b a)) (h => Or__symm (Lt b a) (Eqt x a b) (Decidable__lt_or_eq_of_le' x a b h))) (lt_or_ge x a b).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $a < b$, $\EqtMACRoH {a}{b}$ or $b < a$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $a < b$, $\EqtMACRoH {a}{b}$ ou $b < a$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $a < b$, $\EqtMACRoH {a}{b}$ nebo $b < a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $a < b$, $\EqtMACRoH {a}{b}$ oder $b < a$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $a < b$, $\EqtMACRoH {a}{b}$ eller $b < a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash a < b \vee (\EqtMACRoJ {a}{b}\vee b < a)$
Proof
7 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.Assume that $b \leq a$.
3.$b < a$ or $\EqtMACRoJ {a}{b}$.Decidable.lt_or_eq_of_le' 2
4.$\EqtMACRoJ {a}{b}$ or $b < a$.Or.symm 3
5.If $b \leq a$, then $\EqtMACRoJ {a}{b}$ or $b < a$.ifI 4 [h]
6.$a < b$ or $b \leq a$.lt_or_ge
7.$a < b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ or $b < a$.Or.imp_right 5, 6
Proof, French
7 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $b \leq a$.
3.$b < a$ ou $\EqtMACRoJ {a}{b}$.Decidable.lt_or_eq_of_le' 2
4.$\EqtMACRoJ {a}{b}$ ou $b < a$.Or.symm 3
5.Si $b \leq a$, alors $\EqtMACRoJ {a}{b}$ ou $b < a$.ifI 4 [h]
6.$a < b$ ou $b \leq a$.lt_or_ge
7.$a < b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ ou $b < a$.Or.imp_right 5, 6
Proof, Czech
7 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $b \leq a$.
3.$b < a$ nebo $\EqtMACRoJ {a}{b}$.Decidable.lt_or_eq_of_le' 2
4.$\EqtMACRoJ {a}{b}$ nebo $b < a$.Or.symm 3
5.Jestliže $b \leq a$, pak $\EqtMACRoJ {a}{b}$ nebo $b < a$.ifI 4 [h]
6.$a < b$ nebo $b \leq a$.lt_or_ge
7.$a < b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ nebo $b < a$.Or.imp_right 5, 6
Proof, German
7 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $b \leq a$.
3.$b < a$ oder $\EqtMACRoJ {a}{b}$.Decidable.lt_or_eq_of_le' 2
4.$\EqtMACRoJ {a}{b}$ oder $b < a$.Or.symm 3
5.Wenn $b \leq a$, dann $\EqtMACRoJ {a}{b}$ oder $b < a$.ifI 4 [h]
6.$a < b$ oder $b \leq a$.lt_or_ge
7.$a < b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ oder $b < a$.Or.imp_right 5, 6
Proof, Swedish
7 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Anta att $b \leq a$.
3.$b < a$ eller $\EqtMACRoJ {a}{b}$.Decidable.lt_or_eq_of_le' 2
4.$\EqtMACRoJ {a}{b}$ eller $b < a$.Or.symm 3
5.Om $b \leq a$, så $\EqtMACRoJ {a}{b}$ eller $b < a$.ifI 4 [h]
6.$a < b$ eller $b \leq a$.lt_or_ge
7.$a < b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ eller $b < a$.Or.imp_right 5, 6
le_of_not_gttheoremLinearOrder.lean:106
Lean
@[to_dual self]
lemma le_of_not_gt (h : ¬b < a) : a ≤ b := (le_or_gt a b).resolve_right h
Dedukti
2 lines
def le_of_not_gt : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (not (Lt b a))) -> Proof (Leq a b) :=
  x => x1 => a => b => h => Or__resolve_right (Leq a b) (Lt b a) (le_or_gt x a b) h.
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $b$ is not less than $a$. Then $a \leq b$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $b$ ne soit pas inférieur à $a$. Alors $a \leq b$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $b$ není menší než $a$. Tedy $a \leq b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $b$ nicht kleiner als $a$ ist. Dann $a \leq b$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $b$ inte är mindre än $a$. Då $a \leq b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x , \neg b < a \vdash a \leq b$
Proof
4 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$a \leq b$ or $b < a$.le_or_gt
3.Assume that it is not the case that $b < a$.
4.$a \leq b$.Or.resolve_right 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$a \leq b$ ou $b < a$.le_or_gt
3.Supposons qu'il n'est pas le cas que $b < a$.
4.$a \leq b$.Or.resolve_right 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$a \leq b$ nebo $b < a$.le_or_gt
3.Předpokládejme, že není případ že $b < a$.
4.$a \leq b$.Or.resolve_right 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$a \leq b$ oder $b < a$.le_or_gt
3.Nimm an, dass es nicht der Fall dass $b < a$ ist.
4.$a \leq b$.Or.resolve_right 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$a \leq b$ eller $b < a$.le_or_gt
3.Anta att det inte är fallet att $b < a$.
4.$a \leq b$.Or.resolve_right 2, 3
lt_or_gt_of_netheoremLinearOrder.lean:109
Lean
@[to_dual gt_or_lt_of_ne]
lemma lt_or_gt_of_ne (h : a ≠ b) : a < b ∨ b < a :=
  (lt_trichotomy a b).imp_right (fun h' ↦ h'.resolve_left h)
Dedukti
2 lines
def lt_or_gt_of_ne : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Neq a b)) -> Proof (or (Lt a b) (Lt b a)) :=
  x => x1 => a => b => h => Or__imp_right (or (Eqt x a b) (Lt b a)) (Lt b a) (Lt a b) (ifI (or (Eqt x a b) (Lt b a)) (Lt b a) (h' => Or__resolve_left (Eqt x a b) (Lt b a) h' h)) (lt_trichotomy x a b).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a \neq b$. Then $a < b$ or $b < a$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a \neq b$. Alors $a < b$ ou $b < a$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a \neq b$. Tedy $a < b$ nebo $b < a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a \neq b$. Dann $a < b$ oder $b < a$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a \neq b$. Då $a < b$ eller $b < a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x , a \neq b \vdash a < b \vee b < a$
Proof
7 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.Assume that $\EqtMACRoJ {a}{b}$ or $b < a$.
3.Assume that $a \neq b$.
4.$b < a$.Or.resolve_left 2, 3
5.If $\EqtMACRoJ {a}{b}$ or $b < a$, then $b < a$.ifI 4 [h']
6.$a < b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ or $b < a$.lt_trichotomy
7.$a < b$ or $b < a$.Or.imp_right 5, 6
Proof, French
7 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $\EqtMACRoJ {a}{b}$ ou $b < a$.
3.Supposons que $a \neq b$.
4.$b < a$.Or.resolve_left 2, 3
5.Si $\EqtMACRoJ {a}{b}$ ou $b < a$, alors $b < a$.ifI 4 [h']
6.$a < b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ ou $b < a$.lt_trichotomy
7.$a < b$ ou $b < a$.Or.imp_right 5, 6
Proof, Czech
7 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $\EqtMACRoJ {a}{b}$ nebo $b < a$.
3.Předpokládejme, že $a \neq b$.
4.$b < a$.Or.resolve_left 2, 3
5.Jestliže $\EqtMACRoJ {a}{b}$ nebo $b < a$, pak $b < a$.ifI 4 [h']
6.$a < b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ nebo $b < a$.lt_trichotomy
7.$a < b$ nebo $b < a$.Or.imp_right 5, 6
Proof, German
7 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $\EqtMACRoJ {a}{b}$ oder $b < a$.
3.Nimm an, dass $a \neq b$.
4.$b < a$.Or.resolve_left 2, 3
5.Wenn $\EqtMACRoJ {a}{b}$ oder $b < a$, dann $b < a$.ifI 4 [h']
6.$a < b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ oder $b < a$.lt_trichotomy
7.$a < b$ oder $b < a$.Or.imp_right 5, 6
Proof, Swedish
7 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Anta att $\EqtMACRoJ {a}{b}$ eller $b < a$.
3.Anta att $a \neq b$.
4.$b < a$.Or.resolve_left 2, 3
5.Om $\EqtMACRoJ {a}{b}$ eller $b < a$, så $b < a$.ifI 4 [h']
6.$a < b$, $\EqtMACRoJ {a}{b}$ eller $b < a$.lt_trichotomy
7.$a < b$ eller $b < a$.Or.imp_right 5, 6
gt_or_lt_of_netheoremLinearOrder.lean:108
Lean
@[to_dual gt_or_lt_of_ne]
Dedukti
1 lines
gt_or_lt_of_ne : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Neq a b)) -> Proof (or (Lt b a) (Lt a b)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a \neq b$. Then $b < a$ or $a < b$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a \neq b$. Alors $b < a$ ou $a < b$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a \neq b$. Tedy $b < a$ nebo $a < b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a \neq b$. Dann $b < a$ oder $a < b$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a \neq b$. Då $b < a$ eller $a < b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x , a \neq b \vdash b < a \vee a < b$
ne_iff_lt_or_gttheoremLinearOrder.lean:113
Lean
@[to_dual ne_iff_gt_or_lt]
lemma ne_iff_lt_or_gt : a ≠ b ↔ a < b ∨ b < a := ⟨lt_or_gt_of_ne, (Or.elim · ne_of_lt ne_of_gt)⟩
Dedukti
2 lines
def ne_iff_lt_or_gt : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Neq a b) (or (Lt a b) (Lt b a))) :=
  x => x1 => a => b => iffI (Neq a b) (or (Lt a b) (Lt b a)) (lt_or_gt_of_ne x a b) (h => orE (Lt a b) (Lt b a) (Neq a b) h (ne_of_lt x a b) (ne_of_gt x a b)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $a \neq b$, if and only if $a < b$ or $b < a$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $a \neq b$ si et seulement si $a < b$ ou $b < a$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $a \neq b$, právě tehdy, když $a < b$ nebo $b < a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $a \neq b$, genau dann, wenn $a < b$ oder $b < a$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $a \neq b$, om och endast om $a < b$ eller $b < a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash a \neq b \leftrightarrow a < b \vee b < a$
Proof
5 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$a < b$ or $b < a$.lt_or_gt_of_ne
3.Assume that $a < b$ or $b < a$.
4.$a \neq b$.ne_of_lt
5.$a \neq b$, if and only if $a < b$ or $b < a$.iffI 2, 4 [h]
Proof, French
5 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$a < b$ ou $b < a$.lt_or_gt_of_ne
3.Supposons que $a < b$ ou $b < a$.
4.$a \neq b$.ne_of_lt
5.$a \neq b$ si et seulement si $a < b$ ou $b < a$.iffI 2, 4 [h]
Proof, Czech
5 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$a < b$ nebo $b < a$.lt_or_gt_of_ne
3.Předpokládejme, že $a < b$ nebo $b < a$.
4.$a \neq b$.ne_of_lt
5.$a \neq b$, právě tehdy, když $a < b$ nebo $b < a$.iffI 2, 4 [h]
Proof, German
5 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$a < b$ oder $b < a$.lt_or_gt_of_ne
3.Nimm an, dass $a < b$ oder $b < a$.
4.$a \neq b$.ne_of_lt
5.$a \neq b$, genau dann, wenn $a < b$ oder $b < a$.iffI 2, 4 [h]
Proof, Swedish
5 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$a < b$ eller $b < a$.lt_or_gt_of_ne
3.Anta att $a < b$ eller $b < a$.
4.$a \neq b$.ne_of_lt
5.$a \neq b$, om och endast om $a < b$ eller $b < a$.iffI 2, 4 [h]
ne_iff_gt_or_lttheoremLinearOrder.lean:112
Lean
@[to_dual ne_iff_gt_or_lt]
Dedukti
1 lines
ne_iff_gt_or_lt : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Neq a b) (or (Lt b a) (Lt a b))).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $a \neq b$, if and only if $b < a$ or $a < b$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $a \neq b$ si et seulement si $b < a$ ou $a < b$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $a \neq b$, právě tehdy, když $b < a$ nebo $a < b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $a \neq b$, genau dann, wenn $b < a$ oder $a < b$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $a \neq b$, om och endast om $b < a$ eller $a < b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash a \neq b \leftrightarrow b < a \vee a < b$
lt_iff_not_getheoremLinearOrder.lean:115
Lean
@[to_dual self] lemma lt_iff_not_ge : a < b ↔ ¬b ≤ a := ⟨not_le_of_gt, lt_of_not_ge⟩
Dedukti
2 lines
def lt_iff_not_ge : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Lt a b) (not (Leq b a))) :=
  x => x1 => a => b => iffI (Lt a b) (not (Leq b a)) (not_le_of_gt x a b) (lt_of_not_ge x a b).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $a < b$, if and only if it is not the case that $b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $a < b$ si et seulement si il n'est pas le cas que $b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $a < b$, právě tehdy, když není případ že $b \leq a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $a < b$, genau dann, wenn $b$ nicht kleiner oder gleich $a$ ist.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $a < b$, om och endast om det inte är fallet att $b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash a < b \leftrightarrow \neg b \leq a$
Proof
4 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.It is not the case that $b \leq a$.not_le_of_gt
3.$a < b$.lt_of_not_ge
4.$a < b$, if and only if it is not the case that $b \leq a$.iffI 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.Il n'est pas le cas que $b \leq a$.not_le_of_gt
3.$a < b$.lt_of_not_ge
4.$a < b$ si et seulement si il n'est pas le cas que $b \leq a$.iffI 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Není případ že $b \leq a$.not_le_of_gt
3.$a < b$.lt_of_not_ge
4.$a < b$, právě tehdy, když není případ že $b \leq a$.iffI 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Es ist nicht der Fall dass $b \leq a$.not_le_of_gt
3.$a < b$.lt_of_not_ge
4.$a < b$, genau dann, wenn es nicht der Fall dass $b \leq a$ ist.iffI 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Det är inte fallet att $b \leq a$.not_le_of_gt
3.$a < b$.lt_of_not_ge
4.$a < b$, om och endast om det inte är fallet att $b \leq a$.iffI 2, 3
not_lttheoremLinearOrder.lean:117
Lean
@[simp, push, to_dual self] lemma not_lt : ¬a < b ↔ b ≤ a := ⟨le_of_not_gt, not_lt_of_ge⟩
Dedukti
2 lines
def not_lt : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (not (Lt a b)) (Leq b a)) :=
  x => x1 => a => b => iffI (not (Lt a b)) (Leq b a) (le_of_not_gt x b a) (not_lt_of_ge x b a).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $a$ is not less than $b$, if and only if $b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $a$ n'est pas inférieur à $b$ si et seulement si $b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $a$ není menší než $b$, právě tehdy, když $b \leq a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann ist $a$ nicht kleiner als $b$, genau dann, wenn $b \leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då är $a$ inte mindre än $b$, om och endast om $b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash \neg a < b \leftrightarrow b \leq a$
Proof
4 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$b \leq a$.le_of_not_gt
3.It is not the case that $a < b$.not_lt_of_ge
4.It is not the case that $a < b$, if and only if $b \leq a$.iffI 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$b \leq a$.le_of_not_gt
3.Il n'est pas le cas que $a < b$.not_lt_of_ge
4.Il n'est pas le cas que $a < b$ si et seulement si $b \leq a$.iffI 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$b \leq a$.le_of_not_gt
3.Není případ že $a < b$.not_lt_of_ge
4.Není případ že $a < b$, právě tehdy, když $b \leq a$.iffI 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$b \leq a$.le_of_not_gt
3.Es ist nicht der Fall dass $a < b$.not_lt_of_ge
4.Es ist nicht der Fall dass $a < b$, genau dann, wenn $b \leq a$.iffI 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$b \leq a$.le_of_not_gt
3.Det är inte fallet att $a < b$.not_lt_of_ge
4.Det är inte fallet att $a < b$, om och endast om $b \leq a$.iffI 2, 3
not_letheoremLinearOrder.lean:118
Lean
@[simp, push, to_dual self] lemma not_le : ¬a ≤ b ↔ b < a := lt_iff_not_ge.symm
Dedukti
2 lines
def not_le : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (not (Leq a b)) (Lt b a)) :=
  x => x1 => a => b => Iff__symm (Lt b a) (not (Leq a b)) (lt_iff_not_ge x b a).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then it is not the case that $a \leq b$, if and only if $b < a$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors il n'est pas le cas que $a \leq b$ si et seulement si $b < a$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy není případ že $a \leq b$, právě tehdy, když $b < a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann ist $a$ nicht kleiner oder gleich $b$, genau dann, wenn $b < a$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då är det inte fallet att $a \leq b$, om och endast om $b < a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash \neg a \leq b \leftrightarrow b < a$
Proof
3 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$b < a$, if and only if it is not the case that $a \leq b$.lt_iff_not_ge
3.It is not the case that $a \leq b$, if and only if $b < a$.Iff.symm 2
Proof, French
3 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$b < a$ si et seulement si il n'est pas le cas que $a \leq b$.lt_iff_not_ge
3.Il n'est pas le cas que $a \leq b$ si et seulement si $b < a$.Iff.symm 2
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$b < a$, právě tehdy, když není případ že $a \leq b$.lt_iff_not_ge
3.Není případ že $a \leq b$, právě tehdy, když $b < a$.Iff.symm 2
Proof, German
3 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$b < a$, genau dann, wenn es nicht der Fall dass $a \leq b$ ist.lt_iff_not_ge
3.Es ist nicht der Fall dass $a \leq b$, genau dann, wenn $b < a$.Iff.symm 2
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$b < a$, om och endast om det inte är fallet att $a \leq b$.lt_iff_not_ge
3.Det är inte fallet att $a \leq b$, om och endast om $b < a$.Iff.symm 2
eq_or_lt_of_not_gttheoremLinearOrder.lean:120
Lean
@[to_dual eq_or_lt_of_not_gt]
Dedukti
1 lines
eq_or_lt_of_not_gt : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (not (Lt b a))) -> Proof (or (Eqt x a b) (Lt a b)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $b$ is not less than $a$. Then $\EqtMACRoH {a}{b}$ or $a < b$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $b$ ne soit pas inférieur à $a$. Alors $\EqtMACRoH {a}{b}$ ou $a < b$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $b$ není menší než $a$. Tedy $\EqtMACRoH {a}{b}$ nebo $a < b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $b$ nicht kleiner als $a$ ist. Dann $\EqtMACRoH {a}{b}$ oder $a < b$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $b$ inte är mindre än $a$. Då $\EqtMACRoH {a}{b}$ eller $a < b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x , \neg b < a \vdash \EqtMACRoJ {a}{b}\vee a < b$
eq_or_gt_of_not_lttheoremLinearOrder.lean:121
Lean
@[to_dual eq_or_lt_of_not_gt]
lemma eq_or_gt_of_not_lt (h : ¬a < b) : a = b ∨ b < a :=
  if h₁ : a = b then Or.inl h₁ else Or.inr (lt_of_not_ge fun hge => h (lt_of_le_of_ne hge h₁))
Dedukti
2 lines
def eq_or_gt_of_not_lt : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (not (Lt a b))) -> Proof (or (Eqt x a b) (Lt b a)) :=
  x => x1 => a => b => h => dite (Eqt x a b) (ifI (Eqt x a b) (or (Eqt x a b) (Lt b a)) (h1 => orIl (Eqt x a b) (Lt b a) h1)) (ifI (not (Eqt x a b)) (or (Eqt x a b) (Lt b a)) (h2 => orIr (Eqt x a b) (Lt b a) (lt_of_not_ge x b a (ifI (Leq a b) false (hge => ifE (Lt a b) false h (lt_of_le_of_ne x a b hge h2)))))).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a$ is not less than $b$. Then $\EqtMACRoH {a}{b}$ or $b < a$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a$ ne soit pas inférieur à $b$. Alors $\EqtMACRoH {a}{b}$ ou $b < a$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a$ není menší než $b$. Tedy $\EqtMACRoH {a}{b}$ nebo $b < a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a$ nicht kleiner als $b$ ist. Dann $\EqtMACRoH {a}{b}$ oder $b < a$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a$ inte är mindre än $b$. Då $\EqtMACRoH {a}{b}$ eller $b < a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x , \neg a < b \vdash \EqtMACRoJ {a}{b}\vee b < a$
Proof
2 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.There is an element of $x$.dite
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.Il y a un élément de $x$.dite
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Existuje prvek $x$.dite
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Es gibt ein Element von $x$.dite
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Det finns ett element av $x$.dite
le_imp_le_of_lt_imp_lttheoremLinearOrder.lean:125
Lean
@[to_dual self]
theorem le_imp_le_of_lt_imp_lt {α β} [Preorder α] [LinearOrder β] {a b : α} {c d : β}
    (H : d < c → b < a) (h : a ≤ b) : c ≤ d :=
  le_of_not_gt fun h' => not_le_of_gt (H h') h
Dedukti
2 lines
def le_imp_le_of_lt_imp_lt : (x : Set) -> (x1 : Set) -> (_ : Proof (Preorder x)) -> (_ : Proof (LinearOrder x1)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x1) -> (d : Elem x1) -> (H : Proof (if (Lt d c) (Lt b a))) -> (h : Proof (Leq a b)) -> Proof (Leq c d) :=
  x => x1 => x2 => x3 => a => b => c => d => H => h => le_of_not_gt x1 c d (ifI (Lt d c) false (h' => not_le_of_gt x b a (ifE (Lt d c) (Lt b a) H h') h)).
English
Let $x$ and $x_{1}$ be sets such that $x$ is preordered and $x_{1}$ is linearly ordered. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Let $c$ and $d$ be elements of $x_{1}$ such that if $d < c$, then $b < a$. Assume that $a \leq b$. Then $c \leq d$.
French
Soient $x$ et $x_{1}$ des ensembles tels que $x$ soit préordonné et $x_{1}$ soit totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Soient $c$ et $d$ des éléments de $x_{1}$ tels que si $d < c$, alors $b < a$. Supposons que $a \leq b$. Alors $c \leq d$.
Czech
Nechť $x$ a $x_{1}$ je množina taková, že $x$ je předuspořádané a $x_{1}$ je lineárně uspořádané. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Nechť $c$ a $d$ je prvek $x_{1}$ takový, že jestliže $d < c$, pak $b < a$. Předpokládejme, že $a \leq b$. Tedy $c \leq d$.
German
Seien $x$ und $x_{1}$ mengen derart, dass $x$ quasigeordnet ist und $x_{1}$ linear geordnet ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Seien $c$ und $d$ elemente von $x_{1}$ derart, dass wenn $d < c$, dann $b < a$. Nimm an, dass $a \leq b$. Dann $c \leq d$.
Swedish
Låt $x$ och $x_{1}$ vara mängder sådana att $x$ är kvasiordnat och $x_{1}$ är linjärt ordnat. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Låt $c$ och $d$ vara element av $x_{1}$ sådana att om $d < c$, så $b < a$. Anta att $a \leq b$. Då $c \leq d$.
Formula
$x , x_{1} \in \mathrm{Set} , \mathrm{Preorder} (x), \mathrm{LinearOrder} (x_{1}), a , b \in x , c , d \in x_{1} , d < c \rightarrow b < a , a \leq b \vdash c \leq d$
Proof
8 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.Let $c$ and $d$ be elements of $x_{1}$.
3.Assume that if $d < c$, then $b < a$.
4.Assume that $d < c$.
5.$b < a$.ifE 3, 4
6.It is not the case that $a \leq b$.not_le_of_gt 5
7.If $d < c$, then we have a contradiction.ifI 6 [h']
8.$c \leq d$.le_of_not_gt 7
Proof, French
8 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.Soient $c$ et $d$ des éléments de $x_{1}$.
3.Supposons que si $d < c$, alors $b < a$.
4.Supposons que $d < c$.
5.$b < a$.ifE 3, 4
6.Il n'est pas le cas que $a \leq b$.not_le_of_gt 5
7.Si $d < c$, alors nous avons une contradiction.ifI 6 [h']
8.$c \leq d$.le_of_not_gt 7
Proof, Czech
8 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Nechť $c$ a $d$ je prvek $x_{1}$.
3.Předpokládejme, že jestliže $d < c$, pak $b < a$.
4.Předpokládejme, že $d < c$.
5.$b < a$.ifE 3, 4
6.Není případ že $a \leq b$.not_le_of_gt 5
7.Jestliže $d < c$, pak máme spor.ifI 6 [h']
8.$c \leq d$.le_of_not_gt 7
Proof, German
8 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Seien $c$ und $d$ elemente von $x_{1}$.
3.Nimm an, dass wenn $d < c$, dann $b < a$.
4.Nimm an, dass $d < c$.
5.$b < a$.ifE 3, 4
6.Es ist nicht der Fall dass $a \leq b$.not_le_of_gt 5
7.Wenn $d < c$, dann haben wir einen Widerspruch.ifI 6 [h']
8.$c \leq d$.le_of_not_gt 7
Proof, Swedish
8 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Låt $c$ och $d$ vara element av $x_{1}$.
3.Anta att om $d < c$, så $b < a$.
4.Anta att $d < c$.
5.$b < a$.ifE 3, 4
6.Det är inte fallet att $a \leq b$.not_le_of_gt 5
7.Om $d < c$, så har vi en kontradiction.ifI 6 [h']
8.$c \leq d$.le_of_not_gt 7
min_deftheoremLinearOrder.lean:130
Lean
@[grind =]
lemma min_def (a b : α) : min a b = if a ≤ b then a else b := LinearOrder.min_def a b
Dedukti
2 lines
def min_def : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min a b) (ite (Leq a b) a b)) :=
  x => x1 => a => b => LinearOrder__min_def x a b.
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy minimum $a$ a $b$ je rovné do $\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{\iteMACRoI {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}}$
Proof
2 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{\iteMACRoI {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}}$.LinearOrder.min_def
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{\iteMACRoI {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}}$.LinearOrder.min_def
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{\iteMACRoI {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}}$.LinearOrder.min_def
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{\iteMACRoI {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}}$.LinearOrder.min_def
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{\iteMACRoI {\mathrm{Leq} (a , b)}{a}{b}}$.LinearOrder.min_def
max_deftheoremLinearOrder.lean:132
Lean
@[grind =]
lemma max_def (a b : α) : max a b = if a ≤ b then b else a := LinearOrder.max_def a b
Dedukti
2 lines
def max_def : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max a b) (ite (Leq a b) b a)) :=
  x => x1 => a => b => LinearOrder__max_def x a b.
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy maximum $a$ a $b$ je rovné do $\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{\iteMACRoI {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}}$
Proof
2 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{\iteMACRoI {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}}$.LinearOrder.max_def
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{\iteMACRoI {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}}$.LinearOrder.max_def
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{\iteMACRoI {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}}$.LinearOrder.max_def
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{\iteMACRoI {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}}$.LinearOrder.max_def
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{\iteMACRoI {\mathrm{Leq} (a , b)}{b}{a}}$.LinearOrder.max_def
min_indtheoremLinearOrder.lean:134
Lean
theorem min_ind {motive : α → Prop} (ha : a ≤ b → motive a) (hb : b ≤ a → motive b) :
    motive (min a b) :=
Dedukti
1 lines
min_ind : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (motive : (Elem x -> Prop)) -> (ha : Proof (if (Leq a b) (motive a))) -> (hb : Proof (if (Leq b a) (motive b))) -> Proof (motive (Min__min a b)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Let $\mathrm{motive}$ be a function from elements of $x$ to propositions such that if $a \leq b$, then $\mathrm{motive}$ holds for $a$ and if $b \leq a$, then $\mathrm{motive}$ holds for $b$. Then $\mathrm{motive}$ holds for $\MinminMACRoAG {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Soit $\mathrm{motive}$ une fonction des éléments de $x$ à des propositions telle que si $a \leq b$, alors $\mathrm{motive}$ tienne pour $a$ et si $b \leq a$, alors $\mathrm{motive}$ tienne pour $b$. Alors $\mathrm{motive}$ tient pour $\MinminMACRoAG {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Nechť $\mathrm{motive}$ je funkce z prvků $x$ do výroků taková, že jestliže $a \leq b$, pak $\mathrm{motive}$ platí pro $a$ a jestliže $b \leq a$, pak $\mathrm{motive}$ platí pro $b$. Tedy $\mathrm{motive}$ platí pro minimum $a$ a $b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Sei $\mathrm{motive}$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass wenn $a \leq b$, dann $\mathrm{motive}$ für $a$ hält und wenn $b \leq a$, dann $\mathrm{motive}$ für $b$ hält. Dann hält $\mathrm{motive}$ für $\MinminMACRoAG {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Låt $\mathrm{motive}$ vara en funktion från element av $x$ till påståenden sådan att om $a \leq b$, så håller $\mathrm{motive}$ för $a$ och om $b \leq a$, så håller $\mathrm{motive}$ för $b$. Då håller $\mathrm{motive}$ för $\MinminMACRoAG {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x , \mathrm{motive} \in x \rightarrow \mathrm{Prop} , a \leq b \rightarrow \mathrm{motive} (a), b \leq a \rightarrow \mathrm{motive} (b)\vdash \mathrm{motive} (\MinminMACRoAN {a}{b})$
max_indtheoremLinearOrder.lean:140
Lean
@[to_dual existing (attr := elab_as_elim)]
theorem max_ind {motive : α → Prop} (ha : b ≤ a → motive a) (hb : a ≤ b → motive b) :
    motive (max a b) :=
Dedukti
1 lines
max_ind : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (motive : (Elem x -> Prop)) -> (ha : Proof (if (Leq b a) (motive a))) -> (hb : Proof (if (Leq a b) (motive b))) -> Proof (motive (Max__max a b)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Let $\mathrm{motive}$ be a function from elements of $x$ to propositions such that if $b \leq a$, then $\mathrm{motive}$ holds for $a$ and if $a \leq b$, then $\mathrm{motive}$ holds for $b$. Then $\mathrm{motive}$ holds for $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Soit $\mathrm{motive}$ une fonction des éléments de $x$ à des propositions telle que si $b \leq a$, alors $\mathrm{motive}$ tienne pour $a$ et si $a \leq b$, alors $\mathrm{motive}$ tienne pour $b$. Alors $\mathrm{motive}$ tient pour $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Nechť $\mathrm{motive}$ je funkce z prvků $x$ do výroků taková, že jestliže $b \leq a$, pak $\mathrm{motive}$ platí pro $a$ a jestliže $a \leq b$, pak $\mathrm{motive}$ platí pro $b$. Tedy $\mathrm{motive}$ platí pro maximum $a$ a $b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Sei $\mathrm{motive}$ eine Funktion aus Elementen von $x$ nach Propositionen derart, dass wenn $b \leq a$, dann $\mathrm{motive}$ für $a$ hält und wenn $a \leq b$, dann $\mathrm{motive}$ für $b$ hält. Dann hält $\mathrm{motive}$ für $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Låt $\mathrm{motive}$ vara en funktion från element av $x$ till påståenden sådan att om $b \leq a$, så håller $\mathrm{motive}$ för $a$ och om $a \leq b$, så håller $\mathrm{motive}$ för $b$. Då håller $\mathrm{motive}$ för $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x , \mathrm{motive} \in x \rightarrow \mathrm{Prop} , b \leq a \rightarrow \mathrm{motive} (a), a \leq b \rightarrow \mathrm{motive} (b)\vdash \mathrm{motive} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b})$
max_le_ifftheoremLinearOrder.lean:146
Lean
@[to_dual le_min_iff]
theorem max_le_iff : max a b ≤ c ↔ a ≤ c ∧ b ≤ c :=
  max_ind (iff_self_and.mpr <| le_trans ·) (iff_and_self.mpr <| le_trans ·)
Dedukti
2 lines
def max_le_iff : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (iff (Leq (Max__max a b) c) (and (Leq a c) (Leq b c))) :=
  x => x1 => a => b => c => max_ind x a b (x2 => iff (Leq x2 c) (and (Leq a c) (Leq b c))) (ifI (Leq b a) (iff (Leq a c) (and (Leq a c) (Leq b c))) (h => iffEr (iff (Leq a c) (and (Leq a c) (Leq b c))) (if (Leq a c) (Leq b c)) (iff_self_and (Leq a c) (Leq b c)) (le_trans x b a c h))) (ifI (Leq a b) (iff (Leq b c) (and (Leq a c) (Leq b c))) (h2 => iffEr (iff (Leq b c) (and (Leq a c) (Leq b c))) (if (Leq b c) (Leq a c)) (iff_and_self (Leq b c) (Leq a c)) (le_trans x a b c h2))).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq c$, if and only if $a \leq c$ and $b \leq c$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq c$ si et seulement si $a \leq c$ et $b \leq c$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq c$, právě tehdy, když $a \leq c$ a $b \leq c$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$. Dann $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq c$, genau dann, wenn $a \leq c$ und $b \leq c$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq c$, om och endast om $a \leq c$ och $b \leq c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b , c \in x \vdash \MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq c \leftrightarrow a \leq c \wedge b \leq c$
Proof
12 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.$a \leq c$, if and only if $a \leq c$ and $b \leq c$, if and only if if $a \leq c$, then $b \leq c$.iff_self_and
3.Assume that $b \leq a$.
4.$b \leq c$.le_trans 3
5.$a \leq c$, if and only if $a \leq c$ and $b \leq c$.iffEr 2, 4
6.If $b \leq a$, then $a \leq c$, if and only if $a \leq c$ and $b \leq c$.ifI 5 [h]
7.$b \leq c$, if and only if $a \leq c$ and $b \leq c$, if and only if if $b \leq c$, then $a \leq c$.iff_and_self
8.Assume that $a \leq b$.
9.$a \leq c$.le_trans 8
10.$b \leq c$, if and only if $a \leq c$ and $b \leq c$.iffEr 7, 9
11.If $a \leq b$, then $b \leq c$, if and only if $a \leq c$ and $b \leq c$.ifI 10 [h2]
12.$\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq c$, if and only if $a \leq c$ and $b \leq c$.max_ind 6, 11
Proof, French
12 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.$a \leq c$ si et seulement si $a \leq c$ et $b \leq c$ si et seulement si si $a \leq c$, alors $b \leq c$.iff_self_and
3.Supposons que $b \leq a$.
4.$b \leq c$.le_trans 3
5.$a \leq c$ si et seulement si $a \leq c$ et $b \leq c$.iffEr 2, 4
6.Si $b \leq a$, alors $a \leq c$ si et seulement si $a \leq c$ et $b \leq c$.ifI 5 [h]
7.$b \leq c$ si et seulement si $a \leq c$ et $b \leq c$ si et seulement si si $b \leq c$, alors $a \leq c$.iff_and_self
8.Supposons que $a \leq b$.
9.$a \leq c$.le_trans 8
10.$b \leq c$ si et seulement si $a \leq c$ et $b \leq c$.iffEr 7, 9
11.Si $a \leq b$, alors $b \leq c$ si et seulement si $a \leq c$ et $b \leq c$.ifI 10 [h2]
12.$\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq c$ si et seulement si $a \leq c$ et $b \leq c$.max_ind 6, 11
Proof, Czech
12 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.$a \leq c$, právě tehdy, když $a \leq c$ a $b \leq c$, právě tehdy, když jestliže $a \leq c$, pak $b \leq c$.iff_self_and
3.Předpokládejme, že $b \leq a$.
4.$b \leq c$.le_trans 3
5.$a \leq c$, právě tehdy, když $a \leq c$ a $b \leq c$.iffEr 2, 4
6.Jestliže $b \leq a$, pak $a \leq c$, právě tehdy, když $a \leq c$ a $b \leq c$.ifI 5 [h]
7.$b \leq c$, právě tehdy, když $a \leq c$ a $b \leq c$, právě tehdy, když jestliže $b \leq c$, pak $a \leq c$.iff_and_self
8.Předpokládejme, že $a \leq b$.
9.$a \leq c$.le_trans 8
10.$b \leq c$, právě tehdy, když $a \leq c$ a $b \leq c$.iffEr 7, 9
11.Jestliže $a \leq b$, pak $b \leq c$, právě tehdy, když $a \leq c$ a $b \leq c$.ifI 10 [h2]
12.$\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq c$, právě tehdy, když $a \leq c$ a $b \leq c$.max_ind 6, 11
Proof, German
12 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.$a \leq c$, genau dann, wenn $a \leq c$ und $b \leq c$, genau dann, wenn wenn $a \leq c$, dann $b \leq c$.iff_self_and
3.Nimm an, dass $b \leq a$.
4.$b \leq c$.le_trans 3
5.$a \leq c$, genau dann, wenn $a \leq c$ und $b \leq c$.iffEr 2, 4
6.Wenn $b \leq a$, dann $a \leq c$, genau dann, wenn $a \leq c$ und $b \leq c$.ifI 5 [h]
7.$b \leq c$, genau dann, wenn $a \leq c$ und $b \leq c$, genau dann, wenn wenn $b \leq c$, dann $a \leq c$.iff_and_self
8.Nimm an, dass $a \leq b$.
9.$a \leq c$.le_trans 8
10.$b \leq c$, genau dann, wenn $a \leq c$ und $b \leq c$.iffEr 7, 9
11.Wenn $a \leq b$, dann $b \leq c$, genau dann, wenn $a \leq c$ und $b \leq c$.ifI 10 [h2]
12.$\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq c$, genau dann, wenn $a \leq c$ und $b \leq c$.max_ind 6, 11
Proof, Swedish
12 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.$a \leq c$, om och endast om $a \leq c$ och $b \leq c$, om och endast om om $a \leq c$, så $b \leq c$.iff_self_and
3.Anta att $b \leq a$.
4.$b \leq c$.le_trans 3
5.$a \leq c$, om och endast om $a \leq c$ och $b \leq c$.iffEr 2, 4
6.Om $b \leq a$, så $a \leq c$, om och endast om $a \leq c$ och $b \leq c$.ifI 5 [h]
7.$b \leq c$, om och endast om $a \leq c$ och $b \leq c$, om och endast om om $b \leq c$, så $a \leq c$.iff_and_self
8.Anta att $a \leq b$.
9.$a \leq c$.le_trans 8
10.$b \leq c$, om och endast om $a \leq c$ och $b \leq c$.iffEr 7, 9
11.Om $a \leq b$, så $b \leq c$, om och endast om $a \leq c$ och $b \leq c$.ifI 10 [h2]
12.$\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq c$, om och endast om $a \leq c$ och $b \leq c$.max_ind 6, 11
le_min_ifftheoremLinearOrder.lean:145
Lean
@[to_dual le_min_iff]
Dedukti
1 lines
le_min_iff : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (iff (Leq c (Min__min a b)) (and (Leq c a) (Leq c b))).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $c \leq \MinminMACRoAG {a}{b}$, if and only if $c \leq a$ and $c \leq b$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $c \leq \MinminMACRoAG {a}{b}$ si et seulement si $c \leq a$ et $c \leq b$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy $c \leq \MinminMACRoAG {a}{b}$, právě tehdy, když $c \leq a$ a $c \leq b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$. Dann $c \leq \MinminMACRoAG {a}{b}$, genau dann, wenn $c \leq a$ und $c \leq b$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då $c \leq \MinminMACRoAG {a}{b}$, om och endast om $c \leq a$ och $c \leq b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b , c \in x \vdash c \leq \MinminMACRoAN {a}{b}\leftrightarrow c \leq a \wedge c \leq b$
le_max_ifftheoremLinearOrder.lean:149
Lean
@[to_dual (attr := simp) le_max_iff]
Dedukti
1 lines
le_max_iff : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (iff (Leq c (Max__max a b)) (or (Leq c a) (Leq c b))).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $c \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$, if and only if $c \leq a$ or $c \leq b$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $c \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$ si et seulement si $c \leq a$ ou $c \leq b$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy $c \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$, právě tehdy, když $c \leq a$ nebo $c \leq b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$. Dann $c \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$, genau dann, wenn $c \leq a$ oder $c \leq b$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då $c \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$, om och endast om $c \leq a$ eller $c \leq b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b , c \in x \vdash c \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leftrightarrow c \leq a \vee c \leq b$
min_le_ifftheoremLinearOrder.lean:150
Lean
@[to_dual (attr := simp) le_max_iff]
theorem min_le_iff : min a b ≤ c ↔ a ≤ c ∨ b ≤ c :=
  min_ind (iff_self_or.mpr <| le_trans ·) (iff_or_self.mpr <| le_trans ·)
Dedukti
2 lines
def min_le_iff : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (iff (Leq (Min__min a b) c) (or (Leq a c) (Leq b c))) :=
  x => x1 => a => b => c => min_ind x a b (x2 => iff (Leq x2 c) (or (Leq a c) (Leq b c))) (ifI (Leq a b) (iff (Leq a c) (or (Leq a c) (Leq b c))) (h => iffEr (iff (Leq a c) (or (Leq a c) (Leq b c))) (if (Leq b c) (Leq a c)) (iff_self_or (Leq a c) (Leq b c)) (le_trans x a b c h))) (ifI (Leq b a) (iff (Leq b c) (or (Leq a c) (Leq b c))) (h2 => iffEr (iff (Leq b c) (or (Leq a c) (Leq b c))) (if (Leq a c) (Leq b c)) (iff_or_self (Leq a c) (Leq b c)) (le_trans x b a c h2))).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq c$, if and only if $a \leq c$ or $b \leq c$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq c$ si et seulement si $a \leq c$ ou $b \leq c$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq c$, právě tehdy, když $a \leq c$ nebo $b \leq c$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$. Dann $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq c$, genau dann, wenn $a \leq c$ oder $b \leq c$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq c$, om och endast om $a \leq c$ eller $b \leq c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b , c \in x \vdash \MinminMACRoAN {a}{b}\leq c \leftrightarrow a \leq c \vee b \leq c$
Proof
12 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.$a \leq c$, if and only if $a \leq c$ or $b \leq c$, if and only if if $b \leq c$, then $a \leq c$.iff_self_or
3.Assume that $a \leq b$.
4.$a \leq c$.le_trans 3
5.$a \leq c$, if and only if $a \leq c$ or $b \leq c$.iffEr 2, 4
6.If $a \leq b$, then $a \leq c$, if and only if $a \leq c$ or $b \leq c$.ifI 5 [h]
7.$b \leq c$, if and only if $a \leq c$ or $b \leq c$, if and only if if $a \leq c$, then $b \leq c$.iff_or_self
8.Assume that $b \leq a$.
9.$b \leq c$.le_trans 8
10.$b \leq c$, if and only if $a \leq c$ or $b \leq c$.iffEr 7, 9
11.If $b \leq a$, then $b \leq c$, if and only if $a \leq c$ or $b \leq c$.ifI 10 [h2]
12.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq c$, if and only if $a \leq c$ or $b \leq c$.min_ind 6, 11
Proof, French
12 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.$a \leq c$ si et seulement si $a \leq c$ ou $b \leq c$ si et seulement si si $b \leq c$, alors $a \leq c$.iff_self_or
3.Supposons que $a \leq b$.
4.$a \leq c$.le_trans 3
5.$a \leq c$ si et seulement si $a \leq c$ ou $b \leq c$.iffEr 2, 4
6.Si $a \leq b$, alors $a \leq c$ si et seulement si $a \leq c$ ou $b \leq c$.ifI 5 [h]
7.$b \leq c$ si et seulement si $a \leq c$ ou $b \leq c$ si et seulement si si $a \leq c$, alors $b \leq c$.iff_or_self
8.Supposons que $b \leq a$.
9.$b \leq c$.le_trans 8
10.$b \leq c$ si et seulement si $a \leq c$ ou $b \leq c$.iffEr 7, 9
11.Si $b \leq a$, alors $b \leq c$ si et seulement si $a \leq c$ ou $b \leq c$.ifI 10 [h2]
12.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq c$ si et seulement si $a \leq c$ ou $b \leq c$.min_ind 6, 11
Proof, Czech
12 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.$a \leq c$, právě tehdy, když $a \leq c$ nebo $b \leq c$, právě tehdy, když jestliže $b \leq c$, pak $a \leq c$.iff_self_or
3.Předpokládejme, že $a \leq b$.
4.$a \leq c$.le_trans 3
5.$a \leq c$, právě tehdy, když $a \leq c$ nebo $b \leq c$.iffEr 2, 4
6.Jestliže $a \leq b$, pak $a \leq c$, právě tehdy, když $a \leq c$ nebo $b \leq c$.ifI 5 [h]
7.$b \leq c$, právě tehdy, když $a \leq c$ nebo $b \leq c$, právě tehdy, když jestliže $a \leq c$, pak $b \leq c$.iff_or_self
8.Předpokládejme, že $b \leq a$.
9.$b \leq c$.le_trans 8
10.$b \leq c$, právě tehdy, když $a \leq c$ nebo $b \leq c$.iffEr 7, 9
11.Jestliže $b \leq a$, pak $b \leq c$, právě tehdy, když $a \leq c$ nebo $b \leq c$.ifI 10 [h2]
12.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq c$, právě tehdy, když $a \leq c$ nebo $b \leq c$.min_ind 6, 11
Proof, German
12 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.$a \leq c$, genau dann, wenn $a \leq c$ oder $b \leq c$, genau dann, wenn wenn $b \leq c$, dann $a \leq c$.iff_self_or
3.Nimm an, dass $a \leq b$.
4.$a \leq c$.le_trans 3
5.$a \leq c$, genau dann, wenn $a \leq c$ oder $b \leq c$.iffEr 2, 4
6.Wenn $a \leq b$, dann $a \leq c$, genau dann, wenn $a \leq c$ oder $b \leq c$.ifI 5 [h]
7.$b \leq c$, genau dann, wenn $a \leq c$ oder $b \leq c$, genau dann, wenn wenn $a \leq c$, dann $b \leq c$.iff_or_self
8.Nimm an, dass $b \leq a$.
9.$b \leq c$.le_trans 8
10.$b \leq c$, genau dann, wenn $a \leq c$ oder $b \leq c$.iffEr 7, 9
11.Wenn $b \leq a$, dann $b \leq c$, genau dann, wenn $a \leq c$ oder $b \leq c$.ifI 10 [h2]
12.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq c$, genau dann, wenn $a \leq c$ oder $b \leq c$.min_ind 6, 11
Proof, Swedish
12 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.$a \leq c$, om och endast om $a \leq c$ eller $b \leq c$, om och endast om om $b \leq c$, så $a \leq c$.iff_self_or
3.Anta att $a \leq b$.
4.$a \leq c$.le_trans 3
5.$a \leq c$, om och endast om $a \leq c$ eller $b \leq c$.iffEr 2, 4
6.Om $a \leq b$, så $a \leq c$, om och endast om $a \leq c$ eller $b \leq c$.ifI 5 [h]
7.$b \leq c$, om och endast om $a \leq c$ eller $b \leq c$, om och endast om om $a \leq c$, så $b \leq c$.iff_or_self
8.Anta att $b \leq a$.
9.$b \leq c$.le_trans 8
10.$b \leq c$, om och endast om $a \leq c$ eller $b \leq c$.iffEr 7, 9
11.Om $b \leq a$, så $b \leq c$, om och endast om $a \leq c$ eller $b \leq c$.ifI 10 [h2]
12.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq c$, om och endast om $a \leq c$ eller $b \leq c$.min_ind 6, 11
max_lt_ifftheoremLinearOrder.lean:154
Lean
@[to_dual (attr := simp) lt_min_iff]
theorem max_lt_iff : max a b < c ↔ a < c ∧ b < c :=
  max_ind (iff_self_and.mpr <| lt_of_le_of_lt ·) (iff_and_self.mpr <| lt_of_le_of_lt ·)
Dedukti
2 lines
def max_lt_iff : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (iff (Lt (Max__max a b) c) (and (Lt a c) (Lt b c))) :=
  x => x1 => a => b => c => max_ind x a b (x2 => iff (Lt x2 c) (and (Lt a c) (Lt b c))) (ifI (Leq b a) (iff (Lt a c) (and (Lt a c) (Lt b c))) (h => iffEr (iff (Lt a c) (and (Lt a c) (Lt b c))) (if (Lt a c) (Lt b c)) (iff_self_and (Lt a c) (Lt b c)) (lt_of_le_of_lt x b a c h))) (ifI (Leq a b) (iff (Lt b c) (and (Lt a c) (Lt b c))) (h2 => iffEr (iff (Lt b c) (and (Lt a c) (Lt b c))) (if (Lt b c) (Lt a c)) (iff_and_self (Lt b c) (Lt a c)) (lt_of_le_of_lt x a b c h2))).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}< c$, if and only if $a < c$ and $b < c$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}< c$ si et seulement si $a < c$ et $b < c$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}< c$, právě tehdy, když $a < c$ a $b < c$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$. Dann $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}< c$, genau dann, wenn $a < c$ und $b < c$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}< c$, om och endast om $a < c$ och $b < c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b , c \in x \vdash \MaxmaxMACRoAM {a}{b}< c \leftrightarrow a < c \wedge b < c$
Proof
12 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.$a < c$, if and only if $a < c$ and $b < c$, if and only if if $a < c$, then $b < c$.iff_self_and
3.Assume that $b \leq a$.
4.$b < c$.lt_of_le_of_lt 3
5.$a < c$, if and only if $a < c$ and $b < c$.iffEr 2, 4
6.If $b \leq a$, then $a < c$, if and only if $a < c$ and $b < c$.ifI 5 [h]
7.$b < c$, if and only if $a < c$ and $b < c$, if and only if if $b < c$, then $a < c$.iff_and_self
8.Assume that $a \leq b$.
9.$a < c$.lt_of_le_of_lt 8
10.$b < c$, if and only if $a < c$ and $b < c$.iffEr 7, 9
11.If $a \leq b$, then $b < c$, if and only if $a < c$ and $b < c$.ifI 10 [h2]
12.$\MaxmaxMACRoAM {a}{b}< c$, if and only if $a < c$ and $b < c$.max_ind 6, 11
Proof, French
12 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.$a < c$ si et seulement si $a < c$ et $b < c$ si et seulement si si $a < c$, alors $b < c$.iff_self_and
3.Supposons que $b \leq a$.
4.$b < c$.lt_of_le_of_lt 3
5.$a < c$ si et seulement si $a < c$ et $b < c$.iffEr 2, 4
6.Si $b \leq a$, alors $a < c$ si et seulement si $a < c$ et $b < c$.ifI 5 [h]
7.$b < c$ si et seulement si $a < c$ et $b < c$ si et seulement si si $b < c$, alors $a < c$.iff_and_self
8.Supposons que $a \leq b$.
9.$a < c$.lt_of_le_of_lt 8
10.$b < c$ si et seulement si $a < c$ et $b < c$.iffEr 7, 9
11.Si $a \leq b$, alors $b < c$ si et seulement si $a < c$ et $b < c$.ifI 10 [h2]
12.$\MaxmaxMACRoAM {a}{b}< c$ si et seulement si $a < c$ et $b < c$.max_ind 6, 11
Proof, Czech
12 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.$a < c$, právě tehdy, když $a < c$ a $b < c$, právě tehdy, když jestliže $a < c$, pak $b < c$.iff_self_and
3.Předpokládejme, že $b \leq a$.
4.$b < c$.lt_of_le_of_lt 3
5.$a < c$, právě tehdy, když $a < c$ a $b < c$.iffEr 2, 4
6.Jestliže $b \leq a$, pak $a < c$, právě tehdy, když $a < c$ a $b < c$.ifI 5 [h]
7.$b < c$, právě tehdy, když $a < c$ a $b < c$, právě tehdy, když jestliže $b < c$, pak $a < c$.iff_and_self
8.Předpokládejme, že $a \leq b$.
9.$a < c$.lt_of_le_of_lt 8
10.$b < c$, právě tehdy, když $a < c$ a $b < c$.iffEr 7, 9
11.Jestliže $a \leq b$, pak $b < c$, právě tehdy, když $a < c$ a $b < c$.ifI 10 [h2]
12.$\MaxmaxMACRoAM {a}{b}< c$, právě tehdy, když $a < c$ a $b < c$.max_ind 6, 11
Proof, German
12 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.$a < c$, genau dann, wenn $a < c$ und $b < c$, genau dann, wenn wenn $a < c$, dann $b < c$.iff_self_and
3.Nimm an, dass $b \leq a$.
4.$b < c$.lt_of_le_of_lt 3
5.$a < c$, genau dann, wenn $a < c$ und $b < c$.iffEr 2, 4
6.Wenn $b \leq a$, dann $a < c$, genau dann, wenn $a < c$ und $b < c$.ifI 5 [h]
7.$b < c$, genau dann, wenn $a < c$ und $b < c$, genau dann, wenn wenn $b < c$, dann $a < c$.iff_and_self
8.Nimm an, dass $a \leq b$.
9.$a < c$.lt_of_le_of_lt 8
10.$b < c$, genau dann, wenn $a < c$ und $b < c$.iffEr 7, 9
11.Wenn $a \leq b$, dann $b < c$, genau dann, wenn $a < c$ und $b < c$.ifI 10 [h2]
12.$\MaxmaxMACRoAM {a}{b}< c$, genau dann, wenn $a < c$ und $b < c$.max_ind 6, 11
Proof, Swedish
12 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.$a < c$, om och endast om $a < c$ och $b < c$, om och endast om om $a < c$, så $b < c$.iff_self_and
3.Anta att $b \leq a$.
4.$b < c$.lt_of_le_of_lt 3
5.$a < c$, om och endast om $a < c$ och $b < c$.iffEr 2, 4
6.Om $b \leq a$, så $a < c$, om och endast om $a < c$ och $b < c$.ifI 5 [h]
7.$b < c$, om och endast om $a < c$ och $b < c$, om och endast om om $b < c$, så $a < c$.iff_and_self
8.Anta att $a \leq b$.
9.$a < c$.lt_of_le_of_lt 8
10.$b < c$, om och endast om $a < c$ och $b < c$.iffEr 7, 9
11.Om $a \leq b$, så $b < c$, om och endast om $a < c$ och $b < c$.ifI 10 [h2]
12.$\MaxmaxMACRoAM {a}{b}< c$, om och endast om $a < c$ och $b < c$.max_ind 6, 11
lt_min_ifftheoremLinearOrder.lean:153
Lean
@[to_dual (attr := simp) lt_min_iff]
Dedukti
1 lines
lt_min_iff : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (iff (Lt c (Min__min a b)) (and (Lt c a) (Lt c b))).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $c < \MinminMACRoAG {a}{b}$, if and only if $c < a$ and $c < b$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $c < \MinminMACRoAG {a}{b}$ si et seulement si $c < a$ et $c < b$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy $c < \MinminMACRoAG {a}{b}$, právě tehdy, když $c < a$ a $c < b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$. Dann $c < \MinminMACRoAG {a}{b}$, genau dann, wenn $c < a$ und $c < b$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då $c < \MinminMACRoAG {a}{b}$, om och endast om $c < a$ och $c < b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b , c \in x \vdash c < \MinminMACRoAN {a}{b}\leftrightarrow c < a \wedge c < b$
lt_max_ifftheoremLinearOrder.lean:157
Lean
@[to_dual (attr := simp) lt_max_iff]
Dedukti
1 lines
lt_max_iff : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (iff (Lt c (Max__max a b)) (or (Lt c a) (Lt c b))).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $c < \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$, if and only if $c < a$ or $c < b$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $c < \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$ si et seulement si $c < a$ ou $c < b$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy $c < \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$, právě tehdy, když $c < a$ nebo $c < b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$. Dann $c < \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$, genau dann, wenn $c < a$ oder $c < b$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då $c < \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$, om och endast om $c < a$ eller $c < b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b , c \in x \vdash c < \MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leftrightarrow c < a \vee c < b$
min_lt_ifftheoremLinearOrder.lean:158
Lean
@[to_dual (attr := simp) lt_max_iff]
theorem min_lt_iff : min a b < c ↔ a < c ∨ b < c :=
  min_ind (iff_self_or.mpr <| lt_of_le_of_lt ·) (iff_or_self.mpr <| lt_of_le_of_lt ·)
Dedukti
2 lines
def min_lt_iff : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (iff (Lt (Min__min a b) c) (or (Lt a c) (Lt b c))) :=
  x => x1 => a => b => c => min_ind x a b (x2 => iff (Lt x2 c) (or (Lt a c) (Lt b c))) (ifI (Leq a b) (iff (Lt a c) (or (Lt a c) (Lt b c))) (h => iffEr (iff (Lt a c) (or (Lt a c) (Lt b c))) (if (Lt b c) (Lt a c)) (iff_self_or (Lt a c) (Lt b c)) (lt_of_le_of_lt x a b c h))) (ifI (Leq b a) (iff (Lt b c) (or (Lt a c) (Lt b c))) (h2 => iffEr (iff (Lt b c) (or (Lt a c) (Lt b c))) (if (Lt a c) (Lt b c)) (iff_or_self (Lt a c) (Lt b c)) (lt_of_le_of_lt x b a c h2))).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\MinminMACRoAG {a}{b}< c$, if and only if $a < c$ or $b < c$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {a}{b}< c$ si et seulement si $a < c$ ou $b < c$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy $\MinminMACRoAG {a}{b}< c$, právě tehdy, když $a < c$ nebo $b < c$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$. Dann $\MinminMACRoAG {a}{b}< c$, genau dann, wenn $a < c$ oder $b < c$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då $\MinminMACRoAG {a}{b}< c$, om och endast om $a < c$ eller $b < c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b , c \in x \vdash \MinminMACRoAN {a}{b}< c \leftrightarrow a < c \vee b < c$
Proof
12 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.$a < c$, if and only if $a < c$ or $b < c$, if and only if if $b < c$, then $a < c$.iff_self_or
3.Assume that $a \leq b$.
4.$a < c$.lt_of_le_of_lt 3
5.$a < c$, if and only if $a < c$ or $b < c$.iffEr 2, 4
6.If $a \leq b$, then $a < c$, if and only if $a < c$ or $b < c$.ifI 5 [h]
7.$b < c$, if and only if $a < c$ or $b < c$, if and only if if $a < c$, then $b < c$.iff_or_self
8.Assume that $b \leq a$.
9.$b < c$.lt_of_le_of_lt 8
10.$b < c$, if and only if $a < c$ or $b < c$.iffEr 7, 9
11.If $b \leq a$, then $b < c$, if and only if $a < c$ or $b < c$.ifI 10 [h2]
12.$\MinminMACRoAN {a}{b}< c$, if and only if $a < c$ or $b < c$.min_ind 6, 11
Proof, French
12 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.$a < c$ si et seulement si $a < c$ ou $b < c$ si et seulement si si $b < c$, alors $a < c$.iff_self_or
3.Supposons que $a \leq b$.
4.$a < c$.lt_of_le_of_lt 3
5.$a < c$ si et seulement si $a < c$ ou $b < c$.iffEr 2, 4
6.Si $a \leq b$, alors $a < c$ si et seulement si $a < c$ ou $b < c$.ifI 5 [h]
7.$b < c$ si et seulement si $a < c$ ou $b < c$ si et seulement si si $a < c$, alors $b < c$.iff_or_self
8.Supposons que $b \leq a$.
9.$b < c$.lt_of_le_of_lt 8
10.$b < c$ si et seulement si $a < c$ ou $b < c$.iffEr 7, 9
11.Si $b \leq a$, alors $b < c$ si et seulement si $a < c$ ou $b < c$.ifI 10 [h2]
12.$\MinminMACRoAN {a}{b}< c$ si et seulement si $a < c$ ou $b < c$.min_ind 6, 11
Proof, Czech
12 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.$a < c$, právě tehdy, když $a < c$ nebo $b < c$, právě tehdy, když jestliže $b < c$, pak $a < c$.iff_self_or
3.Předpokládejme, že $a \leq b$.
4.$a < c$.lt_of_le_of_lt 3
5.$a < c$, právě tehdy, když $a < c$ nebo $b < c$.iffEr 2, 4
6.Jestliže $a \leq b$, pak $a < c$, právě tehdy, když $a < c$ nebo $b < c$.ifI 5 [h]
7.$b < c$, právě tehdy, když $a < c$ nebo $b < c$, právě tehdy, když jestliže $a < c$, pak $b < c$.iff_or_self
8.Předpokládejme, že $b \leq a$.
9.$b < c$.lt_of_le_of_lt 8
10.$b < c$, právě tehdy, když $a < c$ nebo $b < c$.iffEr 7, 9
11.Jestliže $b \leq a$, pak $b < c$, právě tehdy, když $a < c$ nebo $b < c$.ifI 10 [h2]
12.$\MinminMACRoAN {a}{b}< c$, právě tehdy, když $a < c$ nebo $b < c$.min_ind 6, 11
Proof, German
12 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.$a < c$, genau dann, wenn $a < c$ oder $b < c$, genau dann, wenn wenn $b < c$, dann $a < c$.iff_self_or
3.Nimm an, dass $a \leq b$.
4.$a < c$.lt_of_le_of_lt 3
5.$a < c$, genau dann, wenn $a < c$ oder $b < c$.iffEr 2, 4
6.Wenn $a \leq b$, dann $a < c$, genau dann, wenn $a < c$ oder $b < c$.ifI 5 [h]
7.$b < c$, genau dann, wenn $a < c$ oder $b < c$, genau dann, wenn wenn $a < c$, dann $b < c$.iff_or_self
8.Nimm an, dass $b \leq a$.
9.$b < c$.lt_of_le_of_lt 8
10.$b < c$, genau dann, wenn $a < c$ oder $b < c$.iffEr 7, 9
11.Wenn $b \leq a$, dann $b < c$, genau dann, wenn $a < c$ oder $b < c$.ifI 10 [h2]
12.$\MinminMACRoAN {a}{b}< c$, genau dann, wenn $a < c$ oder $b < c$.min_ind 6, 11
Proof, Swedish
12 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.$a < c$, om och endast om $a < c$ eller $b < c$, om och endast om om $b < c$, så $a < c$.iff_self_or
3.Anta att $a \leq b$.
4.$a < c$.lt_of_le_of_lt 3
5.$a < c$, om och endast om $a < c$ eller $b < c$.iffEr 2, 4
6.Om $a \leq b$, så $a < c$, om och endast om $a < c$ eller $b < c$.ifI 5 [h]
7.$b < c$, om och endast om $a < c$ eller $b < c$, om och endast om om $a < c$, så $b < c$.iff_or_self
8.Anta att $b \leq a$.
9.$b < c$.lt_of_le_of_lt 8
10.$b < c$, om och endast om $a < c$ eller $b < c$.iffEr 7, 9
11.Om $b \leq a$, så $b < c$, om och endast om $a < c$ eller $b < c$.ifI 10 [h2]
12.$\MinminMACRoAN {a}{b}< c$, om och endast om $a < c$ eller $b < c$.min_ind 6, 11
le_max_lefttheoremLinearOrder.lean:161
Lean
@[to_dual le_max_left]
Dedukti
1 lines
le_max_left : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Leq a (Max__max a b)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $a \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $a \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $a \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $a \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $a \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$
min_le_lefttheoremLinearOrder.lean:162
Lean
@[to_dual le_max_left]
lemma min_le_left (a b : α) : min a b ≤ a := min_le_iff.mpr (.inl le_rfl)
Dedukti
2 lines
def min_le_left : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Leq (Min__min a b) a) :=
  x => x1 => a => b => iffEr (Leq (Min__min a b) a) (or (Leq a a) (Leq b a)) (min_le_iff x a b a) (orIl (Leq a a) (Leq b a) (le_rfl x a)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq a$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash \MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$
Proof
5 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$, if and only if $a \leq a$ or $b \leq a$.min_le_iff
3.$a \leq a$.le_rfl
4.$a \leq a$ or $b \leq a$.orIl 3
5.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$.iffEr 2, 4
Proof, French
5 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$ si et seulement si $a \leq a$ ou $b \leq a$.min_le_iff
3.$a \leq a$.le_rfl
4.$a \leq a$ ou $b \leq a$.orIl 3
5.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$.iffEr 2, 4
Proof, Czech
5 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$, právě tehdy, když $a \leq a$ nebo $b \leq a$.min_le_iff
3.$a \leq a$.le_rfl
4.$a \leq a$ nebo $b \leq a$.orIl 3
5.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$.iffEr 2, 4
Proof, German
5 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$, genau dann, wenn $a \leq a$ oder $b \leq a$.min_le_iff
3.$a \leq a$.le_rfl
4.$a \leq a$ oder $b \leq a$.orIl 3
5.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$.iffEr 2, 4
Proof, Swedish
5 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$, om och endast om $a \leq a$ eller $b \leq a$.min_le_iff
3.$a \leq a$.le_rfl
4.$a \leq a$ eller $b \leq a$.orIl 3
5.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$.iffEr 2, 4
le_max_righttheoremLinearOrder.lean:164
Lean
@[to_dual le_max_right]
Dedukti
1 lines
le_max_right : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Leq b (Max__max a b)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $b \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $b \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $b \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $b \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $b \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash b \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$
min_le_righttheoremLinearOrder.lean:165
Lean
@[to_dual le_max_right]
lemma min_le_right (a b : α) : min a b ≤ b := min_le_iff.mpr (.inr le_rfl)
Dedukti
2 lines
def min_le_right : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Leq (Min__min a b) b) :=
  x => x1 => a => b => iffEr (Leq (Min__min a b) b) (or (Leq a b) (Leq b b)) (min_le_iff x a b b) (orIr (Leq a b) (Leq b b) (le_rfl x b)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq b$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq b$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq b$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash \MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$
Proof
5 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$, if and only if $a \leq b$ or $b \leq b$.min_le_iff
3.$b \leq b$.le_rfl
4.$a \leq b$ or $b \leq b$.orIr 3
5.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.iffEr 2, 4
Proof, French
5 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$ si et seulement si $a \leq b$ ou $b \leq b$.min_le_iff
3.$b \leq b$.le_rfl
4.$a \leq b$ ou $b \leq b$.orIr 3
5.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.iffEr 2, 4
Proof, Czech
5 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$, právě tehdy, když $a \leq b$ nebo $b \leq b$.min_le_iff
3.$b \leq b$.le_rfl
4.$a \leq b$ nebo $b \leq b$.orIr 3
5.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.iffEr 2, 4
Proof, German
5 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$, genau dann, wenn $a \leq b$ oder $b \leq b$.min_le_iff
3.$b \leq b$.le_rfl
4.$a \leq b$ oder $b \leq b$.orIr 3
5.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.iffEr 2, 4
Proof, Swedish
5 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$, om och endast om $a \leq b$ eller $b \leq b$.min_le_iff
3.$b \leq b$.le_rfl
4.$a \leq b$ eller $b \leq b$.orIr 3
5.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.iffEr 2, 4
le_mintheoremLinearOrder.lean:168
Lean
@[to_dual max_le]
lemma le_min (h₁ : c ≤ a) (h₂ : c ≤ b) : c ≤ min a b := le_min_iff.mpr ⟨h₁, h₂⟩
Dedukti
2 lines
def le_min : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Leq c a)) -> (h1 : Proof (Leq c b)) -> Proof (Leq c (Min__min a b)) :=
  x => x1 => a => b => c => h => h1 => iffEr (Leq c (Min__min a b)) (and (Leq c a) (Leq c b)) (le_min_iff x a b c) (andI (Leq c a) (Leq c b) h h1).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $c \leq a$ and $c \leq b$. Then $c \leq \MinminMACRoAG {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $c \leq a$ et $c \leq b$. Alors $c \leq \MinminMACRoAG {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $c \leq a$ a $c \leq b$. Tedy $c \leq \MinminMACRoAG {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $c \leq a$ und $c \leq b$. Dann $c \leq \MinminMACRoAG {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $c \leq a$ och $c \leq b$. Då $c \leq \MinminMACRoAG {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b , c \in x , c \leq a , c \leq b \vdash c \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$
Proof
6 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.$c \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$, if and only if $c \leq a$ and $c \leq b$.le_min_iff
3.Assume that $c \leq a$.
4.Assume that $c \leq b$.
5.$c \leq a$ and $c \leq b$.andI 3, 4
6.$c \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.iffEr 2, 5
Proof, French
6 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.$c \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$ si et seulement si $c \leq a$ et $c \leq b$.le_min_iff
3.Supposons que $c \leq a$.
4.Supposons que $c \leq b$.
5.$c \leq a$ et $c \leq b$.andI 3, 4
6.$c \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.iffEr 2, 5
Proof, Czech
6 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.$c \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$, právě tehdy, když $c \leq a$ a $c \leq b$.le_min_iff
3.Předpokládejme, že $c \leq a$.
4.Předpokládejme, že $c \leq b$.
5.$c \leq a$ a $c \leq b$.andI 3, 4
6.$c \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.iffEr 2, 5
Proof, German
6 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.$c \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$, genau dann, wenn $c \leq a$ und $c \leq b$.le_min_iff
3.Nimm an, dass $c \leq a$.
4.Nimm an, dass $c \leq b$.
5.$c \leq a$ und $c \leq b$.andI 3, 4
6.$c \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.iffEr 2, 5
Proof, Swedish
6 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.$c \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$, om och endast om $c \leq a$ och $c \leq b$.le_min_iff
3.Anta att $c \leq a$.
4.Anta att $c \leq b$.
5.$c \leq a$ och $c \leq b$.andI 3, 4
6.$c \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.iffEr 2, 5
max_letheoremLinearOrder.lean:167
Lean
@[to_dual max_le]
Dedukti
1 lines
max_le : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Leq a c)) -> (h1 : Proof (Leq b c)) -> Proof (Leq (Max__max a b) c).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $a \leq c$ and $b \leq c$. Then $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq c$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $a \leq c$ et $b \leq c$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq c$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $a \leq c$ a $b \leq c$. Tedy $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq c$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq c$ und $b \leq c$. Dann $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq c$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $a \leq c$ och $b \leq c$. Då $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b , c \in x , a \leq c , b \leq c \vdash \MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq c$
eq_mintheoremLinearOrder.lean:171
Lean
@[to_dual]
lemma eq_min (h₁ : c ≤ a) (h₂ : c ≤ b) (h₃ : ∀ {d}, d ≤ a → d ≤ b → d ≤ c) : c = min a b :=
  le_antisymm (le_min h₁ h₂) (h₃ (min_le_left a b) (min_le_right a b))
Dedukti
2 lines
def eq_min : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Leq c a)) -> (h1 : Proof (Leq c b)) -> (h2 : Proof (forall x (d => if (Leq d a) (if (Leq d b) (Leq d c))))) -> Proof (Eqt x c (Min__min a b)) :=
  x => x1 => a => b => c => h => h1 => h2 => le_antisymm x c (Min__min a b) (le_min x a b c h h1) (ifE (Leq (Min__min a b) b) (Leq (Min__min a b) c) (ifE (Leq (Min__min a b) a) (if (Leq (Min__min a b) b) (Leq (Min__min a b) c)) (forallE x (d => if (Leq d a) (if (Leq d b) (Leq d c))) h2 (Min__min a b)) (min_le_left x a b)) (min_le_right x a b)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $c \leq a$, $c \leq b$ and for all elements $d$ of $x$, if $d \leq a$, then if $d \leq b$, then $d \leq c$. Then $\EqtMACRoH {c}{\MinminMACRoAG {a}{b}}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $c \leq a$, $c \leq b$ et pour tous des éléments $d$ de $x$, si $d \leq a$, alors si $d \leq b$, alors $d \leq c$. Alors $\EqtMACRoH {c}{\MinminMACRoAG {a}{b}}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $c \leq a$, $c \leq b$ a pro všechny prvky $d$ $x$, jestliže $d \leq a$, pak jestliže $d \leq b$, pak $d \leq c$. Tedy $c$ je rovné do minima $a$ a $b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $c \leq a$, $c \leq b$ und für alle Elemente $d$ von $x$, wenn $d \leq a$, dann wenn $d \leq b$, dann $d \leq c$. Dann $\EqtMACRoH {c}{\MinminMACRoAG {a}{b}}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $c \leq a$, $c \leq b$ och för alla element $d$ av $x$, om $d \leq a$, så om $d \leq b$, så $d \leq c$. Då $\EqtMACRoH {c}{\MinminMACRoAG {a}{b}}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b , c \in x , c \leq a , c \leq b , \forall d \in x . d \leq a \rightarrow d \leq b \rightarrow d \leq c \vdash \EqtMACRoJ {c}{\MinminMACRoAN {a}{b}}$
Proof
11 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.Assume that $c \leq a$.
3.Assume that $c \leq b$.
4.$c \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.le_min 2, 3
5.Assume that for all elements $d$ of $x$, if $d \leq a$, then if $d \leq b$, then $d \leq c$.
6.If $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$, then if $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$, then $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq c$.forallE 5
7.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$.min_le_left
8.If $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$, then $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq c$.ifE 6, 7
9.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.min_le_right
10.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq c$.ifE 8, 9
11.$\EqtMACRoJ {c}{\MinminMACRoAN {a}{b}}$.le_antisymm 4, 10
Proof, French
11 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $c \leq a$.
3.Supposons que $c \leq b$.
4.$c \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.le_min 2, 3
5.Supposons que pour tous les éléments $d$ de $x$, si $d \leq a$, alors si $d \leq b$, alors $d \leq c$.
6.Si $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$, alors si $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$, alors $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq c$.forallE 5
7.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$.min_le_left
8.Si $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$, alors $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq c$.ifE 6, 7
9.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.min_le_right
10.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq c$.ifE 8, 9
11.$\EqtMACRoJ {c}{\MinminMACRoAN {a}{b}}$.le_antisymm 4, 10
Proof, Czech
11 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $c \leq a$.
3.Předpokládejme, že $c \leq b$.
4.$c \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.le_min 2, 3
5.Předpokládejme, že pro všechny prvky $d$ $x$, jestliže $d \leq a$, pak jestliže $d \leq b$, pak $d \leq c$.
6.Jestliže $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$, pak jestliže $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$, pak $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq c$.forallE 5
7.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$.min_le_left
8.Jestliže $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$, pak $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq c$.ifE 6, 7
9.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.min_le_right
10.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq c$.ifE 8, 9
11.$\EqtMACRoJ {c}{\MinminMACRoAN {a}{b}}$.le_antisymm 4, 10
Proof, German
11 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $c \leq a$.
3.Nimm an, dass $c \leq b$.
4.$c \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.le_min 2, 3
5.Nimm an, dass für alle Elemente $d$ von $x$, wenn $d \leq a$, dann wenn $d \leq b$, dann $d \leq c$.
6.Wenn $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$, dann wenn $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$, dann $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq c$.forallE 5
7.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$.min_le_left
8.Wenn $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$, dann $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq c$.ifE 6, 7
9.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.min_le_right
10.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq c$.ifE 8, 9
11.$\EqtMACRoJ {c}{\MinminMACRoAN {a}{b}}$.le_antisymm 4, 10
Proof, Swedish
11 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.Anta att $c \leq a$.
3.Anta att $c \leq b$.
4.$c \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.le_min 2, 3
5.Anta att för alla element $d$ av $x$, om $d \leq a$, så om $d \leq b$, så $d \leq c$.
6.Om $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$, så om $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$, så $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq c$.forallE 5
7.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$.min_le_left
8.Om $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$, så $\MinminMACRoAN {a}{b}\leq c$.ifE 6, 7
9.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.min_le_right
10.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq c$.ifE 8, 9
11.$\EqtMACRoJ {c}{\MinminMACRoAN {a}{b}}$.le_antisymm 4, 10
eq_maxtheoremLinearOrder.lean:170
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
eq_max : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Leq a c)) -> (h1 : Proof (Leq b c)) -> (h2 : Proof (forall x (d => if (Leq a d) (if (Leq b d) (Leq c d))))) -> Proof (Eqt x c (Max__max a b)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $a \leq c$, $b \leq c$ and for all elements $d$ of $x$, if $a \leq d$, then if $b \leq d$, then $c \leq d$. Then $\EqtMACRoH {c}{\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $a \leq c$, $b \leq c$ et pour tous des éléments $d$ de $x$, si $a \leq d$, alors si $b \leq d$, alors $c \leq d$. Alors $\EqtMACRoH {c}{\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $a \leq c$, $b \leq c$ a pro všechny prvky $d$ $x$, jestliže $a \leq d$, pak jestliže $b \leq d$, pak $c \leq d$. Tedy $c$ je rovné do maxima $a$ a $b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq c$, $b \leq c$ und für alle Elemente $d$ von $x$, wenn $a \leq d$, dann wenn $b \leq d$, dann $c \leq d$. Dann $\EqtMACRoH {c}{\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $a \leq c$, $b \leq c$ och för alla element $d$ av $x$, om $a \leq d$, så om $b \leq d$, så $c \leq d$. Då $\EqtMACRoH {c}{\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b , c \in x , a \leq c , b \leq c , \forall d \in x . a \leq d \rightarrow b \leq d \rightarrow c \leq d \vdash \EqtMACRoJ {c}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$
min_commtheoremLinearOrder.lean:175
Lean
@[to_dual]
lemma min_comm (a b : α) : min a b = min b a :=
  eq_min (min_le_right a b) (min_le_left a b) fun h₁ h₂ => le_min h₂ h₁
Dedukti
2 lines
def min_comm : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min a b) (Min__min b a)) :=
  x => x1 => a => b => eq_min x b a (Min__min a b) (min_le_right x a b) (min_le_left x a b) (forallI x (x2 => if (Leq x2 b) (if (Leq x2 a) (Leq x2 (Min__min a b)))) (x2 => ifI (Leq x2 b) (if (Leq x2 a) (Leq x2 (Min__min a b))) (h => ifI (Leq x2 a) (Leq x2 (Min__min a b)) (h1 => le_min x a b x2 h1 h)))).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{\MinminMACRoAG {b}{a}}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{\MinminMACRoAG {b}{a}}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy minimum $a$ a $b$ je rovné do minima $b$ a $a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{\MinminMACRoAG {b}{a}}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{\MinminMACRoAG {b}{a}}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{\MinminMACRoAN {b}{a}}$
Proof
11 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.min_le_right
3.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$.min_le_left
4.Let $x_{2}$ be an element of $x$.
5.Assume that $x_{2} \leq a$.
6.Assume that $x_{2} \leq b$.
7.$x_{2} \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.le_min 5, 6
8.If $x_{2} \leq a$, then $x_{2} \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.ifI 7 [h1]
9.If $x_{2} \leq b$, then if $x_{2} \leq a$, then $x_{2} \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.ifI 8 [h]
10.For all elements $x_{2}$ of $x$, if $x_{2} \leq b$, then if $x_{2} \leq a$, then $x_{2} \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.forallI 4, 9 [x2]
11.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{\MinminMACRoAN {b}{a}}$.eq_min 2, 3, 10
Proof, French
11 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.min_le_right
3.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$.min_le_left
4.Soit $x_{2}$ un élément de $x$.
5.Supposons que $x_{2} \leq a$.
6.Supposons que $x_{2} \leq b$.
7.$x_{2} \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.le_min 5, 6
8.Si $x_{2} \leq a$, alors $x_{2} \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.ifI 7 [h1]
9.Si $x_{2} \leq b$, alors si $x_{2} \leq a$, alors $x_{2} \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.ifI 8 [h]
10.Pour tous les éléments $x_{2}$ de $x$, si $x_{2} \leq b$, alors si $x_{2} \leq a$, alors $x_{2} \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.forallI 4, 9 [x2]
11.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{\MinminMACRoAN {b}{a}}$.eq_min 2, 3, 10
Proof, Czech
11 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.min_le_right
3.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$.min_le_left
4.Nechť $x_{2}$ je prvek $x$.
5.Předpokládejme, že $x_{2} \leq a$.
6.Předpokládejme, že $x_{2} \leq b$.
7.$x_{2} \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.le_min 5, 6
8.Jestliže $x_{2} \leq a$, pak $x_{2} \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.ifI 7 [h1]
9.Jestliže $x_{2} \leq b$, pak jestliže $x_{2} \leq a$, pak $x_{2} \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.ifI 8 [h]
10.Pro všechny prvky $x_{2}$ $x$, jestliže $x_{2} \leq b$, pak jestliže $x_{2} \leq a$, pak $x_{2} \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.forallI 4, 9 [x2]
11.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{\MinminMACRoAN {b}{a}}$.eq_min 2, 3, 10
Proof, German
11 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.min_le_right
3.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$.min_le_left
4.Sei $x_{2}$ ein Element von $x$.
5.Nimm an, dass $x_{2} \leq a$.
6.Nimm an, dass $x_{2} \leq b$.
7.$x_{2} \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.le_min 5, 6
8.Wenn $x_{2} \leq a$, dann $x_{2} \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.ifI 7 [h1]
9.Wenn $x_{2} \leq b$, dann wenn $x_{2} \leq a$, dann $x_{2} \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.ifI 8 [h]
10.Für alle Elemente $x_{2}$ von $x$, wenn $x_{2} \leq b$, dann wenn $x_{2} \leq a$, dann $x_{2} \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.forallI 4, 9 [x2]
11.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{\MinminMACRoAN {b}{a}}$.eq_min 2, 3, 10
Proof, Swedish
11 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.min_le_right
3.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$.min_le_left
4.Låt $x_{2}$ vara ett element av $x$.
5.Anta att $x_{2} \leq a$.
6.Anta att $x_{2} \leq b$.
7.$x_{2} \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.le_min 5, 6
8.Om $x_{2} \leq a$, så $x_{2} \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.ifI 7 [h1]
9.Om $x_{2} \leq b$, så om $x_{2} \leq a$, så $x_{2} \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.ifI 8 [h]
10.För alla element $x_{2}$ av $x$, om $x_{2} \leq b$, så om $x_{2} \leq a$, så $x_{2} \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$.forallI 4, 9 [x2]
11.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{\MinminMACRoAN {b}{a}}$.eq_min 2, 3, 10
max_commtheoremLinearOrder.lean:174
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
max_comm : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max a b) (Max__max b a)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{\MaxmaxMACRoAF {b}{a}}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{\MaxmaxMACRoAF {b}{a}}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy maximum $a$ a $b$ je rovné do maxima $b$ a $a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{\MaxmaxMACRoAF {b}{a}}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{\MaxmaxMACRoAF {b}{a}}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{\MaxmaxMACRoAM {b}{a}}$
min_def'theoremLinearOrder.lean:179
Lean
@[to_dual existing max_def]
theorem min_def' (a b : α) : min a b = if b ≤ a then b else a :=
Dedukti
1 lines
min_def' : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min a b) (ite (Leq b a) b a)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (b , a)}{b}{a}}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (b , a)}{b}{a}}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy minimum $a$ a $b$ je rovné do $\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (b , a)}{b}{a}$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (b , a)}{b}{a}}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (b , a)}{b}{a}}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{\iteMACRoI {\mathrm{Leq} (b , a)}{b}{a}}$
max_def'theoremLinearOrder.lean:182
Lean
@[to_dual existing min_def]
theorem max_def' (a b : α) : max a b = if b ≤ a then a else b :=
Dedukti
1 lines
max_def' : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max a b) (ite (Leq b a) a b)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (b , a)}{a}{b}}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (b , a)}{a}{b}}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy maximum $a$ a $b$ je rovné do $\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (b , a)}{a}{b}$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (b , a)}{a}{b}}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{\iteMACRoG {\mathrm{Leq} (b , a)}{a}{b}}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{\iteMACRoI {\mathrm{Leq} (b , a)}{a}{b}}$
min_assoctheoremLinearOrder.lean:185
Lean
@[to_dual]
lemma min_assoc (a b c : α) : min (min a b) c = min a (min b c) :=
Dedukti
1 lines
min_assoc : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min (Min__min a b) c) (Min__min a (Min__min b c))).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{c}}{\MinminMACRoAG {a}{(\MinminMACRoAG {b}{c})}}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{c}$ est égal au minimum de $a$ et $\MinminMACRoAG {b}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy minimum minima $a$ a $b$ a $c$ je rovné do minima $a$ a minimum $b$ a $c$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är minimet av $\MinminMACRoAG {a}{b}$ och $c$ lika till minimet av $a$ och $\MinminMACRoAG {b}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {(\MinminMACRoAN {a}{b})}{c}}{\MinminMACRoAN {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}}$
max_assoctheoremLinearOrder.lean:184
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
max_assoc : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max (Max__max a b) c) (Max__max a (Max__max b c))).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}{c}}{\MaxmaxMACRoAF {a}{(\MaxmaxMACRoAF {b}{c})}}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}{c}$ est égal au maximum de $a$ et $\MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy maximum maxima $a$ a $b$ a $c$ je rovné do maxima $a$ a maximum $b$ a $c$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är maximet av $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}$ och $c$ lika till maximet av $a$ och $\MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{c}}{\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MaxmaxMACRoAM {b}{c})}}$
max_left_commtheoremLinearOrder.lean:188
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
max_left_comm : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max a (Max__max b c)) (Max__max b (Max__max a c))).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{(\MaxmaxMACRoAF {b}{c})}}{\MaxmaxMACRoAF {b}{(\MaxmaxMACRoAF {a}{c})}}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {a}{(\MaxmaxMACRoAF {b}{c})}$ est égal au maximum de $b$ et $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy maximum $a$ a maximum $b$ a $c$ je rovné do maxima $b$ a maximum $a$ a $c$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är maximet av $a$ och $\MaxmaxMACRoAF {b}{c}$ lika till maximet av $b$ och $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MaxmaxMACRoAM {b}{c})}}{\MaxmaxMACRoAM {b}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}}$
min_left_commtheoremLinearOrder.lean:189
Lean
@[to_dual]
lemma min_left_comm (a b c : α) : min a (min b c) = min b (min a c) :=
Dedukti
1 lines
min_left_comm : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min a (Min__min b c)) (Min__min b (Min__min a c))).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{(\MinminMACRoAG {b}{c})}}{\MinminMACRoAG {b}{(\MinminMACRoAG {a}{c})}}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {a}{(\MinminMACRoAG {b}{c})}$ est égal au minimum de $b$ et $\MinminMACRoAG {a}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy minimum $a$ a minimum $b$ a $c$ je rovné do minima $b$ a minimum $a$ a $c$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är minimet av $a$ och $\MinminMACRoAG {b}{c}$ lika till minimet av $b$ och $\MinminMACRoAG {a}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}}{\MinminMACRoAN {b}{(\MinminMACRoAN {a}{c})}}$
min_selftheoremLinearOrder.lean:192
Lean
@[to_dual (attr := simp)] lemma min_self (a : α) : min a a = a :=
Dedukti
1 lines
min_self : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min a a) a).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ be an element of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{a}}{a}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soit $a$ un élément de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{a}}{a}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ je prvek $x$. Tedy minimum $a$ a $a$ je rovné do $a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Sei $a$ ein Element von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{a}}{a}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ vara ett element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{a}}{a}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{a}}{a}$
max_selftheoremLinearOrder.lean:192
Lean
@[to_dual (attr := simp)] lemma min_self (a : α) : min a a = a :=
Dedukti
1 lines
max_self : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max a a) a).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ be an element of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{a}}{a}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soit $a$ un élément de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{a}}{a}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ je prvek $x$. Tedy maximum $a$ a $a$ je rovné do $a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Sei $a$ ein Element von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{a}}{a}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ vara ett element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{a}}{a}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{a}}{a}$
max_eq_lefttheoremLinearOrder.lean:194
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
max_eq_left : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Leq b a)) -> Proof (Eqt x (Max__max a b) a).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $b \leq a$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $b \leq a$. Alors $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $b \leq a$. Tedy maximum $a$ a $b$ je rovné do $a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $b \leq a$. Dann $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $b \leq a$. Då $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x , b \leq a \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$
min_eq_lefttheoremLinearOrder.lean:195
Lean
@[to_dual]
lemma min_eq_left (h : a ≤ b) : min a b = a := (eq_min le_rfl h (fun h _ ↦ h)).symm
Dedukti
2 lines
def min_eq_left : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Leq a b)) -> Proof (Eqt x (Min__min a b) a) :=
  x => x1 => a => b => h => Eq__symm x a (Min__min a b) (eq_min x a b a (le_rfl x a) h (forallI x (x2 => if (Leq x2 a) (if (Leq x2 b) (Leq x2 a))) (x2 => ifI (Leq x2 a) (if (Leq x2 b) (Leq x2 a)) (h1 => ifI (Leq x2 b) (Leq x2 a) (h2 => h1))))).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a \leq b$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a \leq b$. Alors $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a \leq b$. Tedy minimum $a$ a $b$ je rovné do $a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq b$. Dann $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a \leq b$. Då $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x , a \leq b \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{a}$
Proof
10 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$a \leq a$.le_rfl
3.Assume that $a \leq b$.
4.Let $x_{2}$ be an element of $x$.
5.Assume that $x_{2} \leq a$.
6.If $x_{2} \leq b$, then $x_{2} \leq a$.ifI 5 [h2]
7.If $x_{2} \leq a$, then if $x_{2} \leq b$, then $x_{2} \leq a$.ifI 6 [h1]
8.For all elements $x_{2}$ of $x$, if $x_{2} \leq a$, then if $x_{2} \leq b$, then $x_{2} \leq a$.forallI 4, 7 [x2]
9.$\EqtMACRoJ {a}{\MinminMACRoAN {a}{b}}$.eq_min 2, 3, 8
10.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{a}$.Eq.symm 9
Proof, French
10 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$a \leq a$.le_rfl
3.Supposons que $a \leq b$.
4.Soit $x_{2}$ un élément de $x$.
5.Supposons que $x_{2} \leq a$.
6.Si $x_{2} \leq b$, alors $x_{2} \leq a$.ifI 5 [h2]
7.Si $x_{2} \leq a$, alors si $x_{2} \leq b$, alors $x_{2} \leq a$.ifI 6 [h1]
8.Pour tous les éléments $x_{2}$ de $x$, si $x_{2} \leq a$, alors si $x_{2} \leq b$, alors $x_{2} \leq a$.forallI 4, 7 [x2]
9.$\EqtMACRoJ {a}{\MinminMACRoAN {a}{b}}$.eq_min 2, 3, 8
10.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{a}$.Eq.symm 9
Proof, Czech
10 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$a \leq a$.le_rfl
3.Předpokládejme, že $a \leq b$.
4.Nechť $x_{2}$ je prvek $x$.
5.Předpokládejme, že $x_{2} \leq a$.
6.Jestliže $x_{2} \leq b$, pak $x_{2} \leq a$.ifI 5 [h2]
7.Jestliže $x_{2} \leq a$, pak jestliže $x_{2} \leq b$, pak $x_{2} \leq a$.ifI 6 [h1]
8.Pro všechny prvky $x_{2}$ $x$, jestliže $x_{2} \leq a$, pak jestliže $x_{2} \leq b$, pak $x_{2} \leq a$.forallI 4, 7 [x2]
9.$\EqtMACRoJ {a}{\MinminMACRoAN {a}{b}}$.eq_min 2, 3, 8
10.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{a}$.Eq.symm 9
Proof, German
10 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$a \leq a$.le_rfl
3.Nimm an, dass $a \leq b$.
4.Sei $x_{2}$ ein Element von $x$.
5.Nimm an, dass $x_{2} \leq a$.
6.Wenn $x_{2} \leq b$, dann $x_{2} \leq a$.ifI 5 [h2]
7.Wenn $x_{2} \leq a$, dann wenn $x_{2} \leq b$, dann $x_{2} \leq a$.ifI 6 [h1]
8.Für alle Elemente $x_{2}$ von $x$, wenn $x_{2} \leq a$, dann wenn $x_{2} \leq b$, dann $x_{2} \leq a$.forallI 4, 7 [x2]
9.$\EqtMACRoJ {a}{\MinminMACRoAN {a}{b}}$.eq_min 2, 3, 8
10.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{a}$.Eq.symm 9
Proof, Swedish
10 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$a \leq a$.le_rfl
3.Anta att $a \leq b$.
4.Låt $x_{2}$ vara ett element av $x$.
5.Anta att $x_{2} \leq a$.
6.Om $x_{2} \leq b$, så $x_{2} \leq a$.ifI 5 [h2]
7.Om $x_{2} \leq a$, så om $x_{2} \leq b$, så $x_{2} \leq a$.ifI 6 [h1]
8.För alla element $x_{2}$ av $x$, om $x_{2} \leq a$, så om $x_{2} \leq b$, så $x_{2} \leq a$.forallI 4, 7 [x2]
9.$\EqtMACRoJ {a}{\MinminMACRoAN {a}{b}}$.eq_min 2, 3, 8
10.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{a}$.Eq.symm 9
min_eq_righttheoremLinearOrder.lean:198
Lean
@[to_dual]
lemma min_eq_right (h : b ≤ a) : min a b = b :=
Dedukti
1 lines
min_eq_right : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Leq b a)) -> Proof (Eqt x (Min__min a b) b).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $b \leq a$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $b \leq a$. Alors $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $b \leq a$. Tedy minimum $a$ a $b$ je rovné do $b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $b \leq a$. Dann $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $b \leq a$. Då $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x , b \leq a \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{b}$
max_eq_righttheoremLinearOrder.lean:197
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
max_eq_right : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Leq a b)) -> Proof (Eqt x (Max__max a b) b).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a \leq b$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a \leq b$. Alors $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a \leq b$. Tedy maximum $a$ a $b$ je rovné do $b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq b$. Dann $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a \leq b$. Då $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x , a \leq b \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$
min_eq_left_of_lttheoremLinearOrder.lean:200
Lean
@[to_dual] lemma min_eq_left_of_lt (h : a < b) : min a b = a := min_eq_left (le_of_lt h)
Dedukti
2 lines
def min_eq_left_of_lt : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Lt a b)) -> Proof (Eqt x (Min__min a b) a) :=
  x => x1 => a => b => h => min_eq_left x a b (le_of_lt x a b h).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a < b$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a < b$. Alors $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a < b$. Tedy minimum $a$ a $b$ je rovné do $a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a < b$. Dann $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a < b$. Då $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x , a < b \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{a}$
Proof
4 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.Assume that $a < b$.
3.$a \leq b$.le_of_lt 2
4.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{a}$.min_eq_left 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $a < b$.
3.$a \leq b$.le_of_lt 2
4.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{a}$.min_eq_left 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $a < b$.
3.$a \leq b$.le_of_lt 2
4.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{a}$.min_eq_left 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $a < b$.
3.$a \leq b$.le_of_lt 2
4.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{a}$.min_eq_left 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Anta att $a < b$.
3.$a \leq b$.le_of_lt 2
4.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{a}$.min_eq_left 3
max_eq_left_of_lttheoremLinearOrder.lean:200
Lean
@[to_dual] lemma min_eq_left_of_lt (h : a < b) : min a b = a := min_eq_left (le_of_lt h)
Dedukti
2 lines
def max_eq_left_of_lt : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Lt b a)) -> Proof (Eqt x (Max__max a b) a) :=
  x => x1 => a => b => h => max_eq_left x a b (le_of_lt x b a h).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $b < a$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $b < a$. Alors $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $b < a$. Tedy maximum $a$ a $b$ je rovné do $a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $b < a$. Dann $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $b < a$. Då $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x , b < a \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$
Proof
4 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.Assume that $b < a$.
3.$b \leq a$.le_of_lt 2
4.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$.max_eq_left 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $b < a$.
3.$b \leq a$.le_of_lt 2
4.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$.max_eq_left 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $b < a$.
3.$b \leq a$.le_of_lt 2
4.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$.max_eq_left 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $b < a$.
3.$b \leq a$.le_of_lt 2
4.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$.max_eq_left 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Anta att $b < a$.
3.$b \leq a$.le_of_lt 2
4.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$.max_eq_left 3
min_eq_right_of_lttheoremLinearOrder.lean:201
Lean
@[to_dual] lemma min_eq_right_of_lt (h : b < a) : min a b = b := min_eq_right (le_of_lt h)
Dedukti
2 lines
def min_eq_right_of_lt : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Lt b a)) -> Proof (Eqt x (Min__min a b) b) :=
  x => x1 => a => b => h => min_eq_right x a b (le_of_lt x b a h).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $b < a$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $b < a$. Alors $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $b < a$. Tedy minimum $a$ a $b$ je rovné do $b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $b < a$. Dann $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $b < a$. Då $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x , b < a \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{b}$
Proof
4 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.Assume that $b < a$.
3.$b \leq a$.le_of_lt 2
4.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{b}$.min_eq_right 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $b < a$.
3.$b \leq a$.le_of_lt 2
4.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{b}$.min_eq_right 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $b < a$.
3.$b \leq a$.le_of_lt 2
4.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{b}$.min_eq_right 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $b < a$.
3.$b \leq a$.le_of_lt 2
4.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{b}$.min_eq_right 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Anta att $b < a$.
3.$b \leq a$.le_of_lt 2
4.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{b}$.min_eq_right 3
max_eq_right_of_lttheoremLinearOrder.lean:201
Lean
@[to_dual] lemma min_eq_right_of_lt (h : b < a) : min a b = b := min_eq_right (le_of_lt h)
Dedukti
2 lines
def max_eq_right_of_lt : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Lt a b)) -> Proof (Eqt x (Max__max a b) b) :=
  x => x1 => a => b => h => max_eq_right x a b (le_of_lt x a b h).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a < b$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a < b$. Alors $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a < b$. Tedy maximum $a$ a $b$ je rovné do $b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a < b$. Dann $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a < b$. Då $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x , a < b \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$
Proof
4 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.Assume that $a < b$.
3.$a \leq b$.le_of_lt 2
4.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$.max_eq_right 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $a < b$.
3.$a \leq b$.le_of_lt 2
4.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$.max_eq_right 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $a < b$.
3.$a \leq b$.le_of_lt 2
4.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$.max_eq_right 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $a < b$.
3.$a \leq b$.le_of_lt 2
4.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$.max_eq_right 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Anta att $a < b$.
3.$a \leq b$.le_of_lt 2
4.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$.max_eq_right 3
lt_mintheoremLinearOrder.lean:204
Lean
@[to_dual max_lt]
lemma lt_min (h₁ : a < b) (h₂ : a < c) : a < min b c := lt_min_iff.mpr ⟨h₁, h₂⟩
Dedukti
2 lines
def lt_min : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Lt a b)) -> (h1 : Proof (Lt a c)) -> Proof (Lt a (Min__min b c)) :=
  x => x1 => a => b => c => h => h1 => iffEr (Lt a (Min__min b c)) (and (Lt a b) (Lt a c)) (lt_min_iff x b c a) (andI (Lt a b) (Lt a c) h h1).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $a < b$ and $a < c$. Then $a < \MinminMACRoAG {b}{c}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $a < b$ et $a < c$. Alors $a < \MinminMACRoAG {b}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $a < b$ a $a < c$. Tedy $a < \MinminMACRoAG {b}{c}$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $a < b$ und $a < c$. Dann $a < \MinminMACRoAG {b}{c}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $a < b$ och $a < c$. Då $a < \MinminMACRoAG {b}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b , c \in x , a < b , a < c \vdash a < \MinminMACRoAN {b}{c}$
Proof
6 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.$a < \MinminMACRoAN {b}{c}$, if and only if $a < b$ and $a < c$.lt_min_iff
3.Assume that $a < b$.
4.Assume that $a < c$.
5.$a < b$ and $a < c$.andI 3, 4
6.$a < \MinminMACRoAN {b}{c}$.iffEr 2, 5
Proof, French
6 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.$a < \MinminMACRoAN {b}{c}$ si et seulement si $a < b$ et $a < c$.lt_min_iff
3.Supposons que $a < b$.
4.Supposons que $a < c$.
5.$a < b$ et $a < c$.andI 3, 4
6.$a < \MinminMACRoAN {b}{c}$.iffEr 2, 5
Proof, Czech
6 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.$a < \MinminMACRoAN {b}{c}$, právě tehdy, když $a < b$ a $a < c$.lt_min_iff
3.Předpokládejme, že $a < b$.
4.Předpokládejme, že $a < c$.
5.$a < b$ a $a < c$.andI 3, 4
6.$a < \MinminMACRoAN {b}{c}$.iffEr 2, 5
Proof, German
6 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.$a < \MinminMACRoAN {b}{c}$, genau dann, wenn $a < b$ und $a < c$.lt_min_iff
3.Nimm an, dass $a < b$.
4.Nimm an, dass $a < c$.
5.$a < b$ und $a < c$.andI 3, 4
6.$a < \MinminMACRoAN {b}{c}$.iffEr 2, 5
Proof, Swedish
6 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.$a < \MinminMACRoAN {b}{c}$, om och endast om $a < b$ och $a < c$.lt_min_iff
3.Anta att $a < b$.
4.Anta att $a < c$.
5.$a < b$ och $a < c$.andI 3, 4
6.$a < \MinminMACRoAN {b}{c}$.iffEr 2, 5
max_lttheoremLinearOrder.lean:203
Lean
@[to_dual max_lt]
Dedukti
1 lines
max_lt : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Lt b a)) -> (h1 : Proof (Lt c a)) -> Proof (Lt (Max__max b c) a).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $b < a$ and $c < a$. Then $\MaxmaxMACRoAF {b}{c}< a$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $b < a$ et $c < a$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {b}{c}< a$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $b < a$ a $c < a$. Tedy $\MaxmaxMACRoAF {b}{c}< a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $b < a$ und $c < a$. Dann $\MaxmaxMACRoAF {b}{c}< a$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $b < a$ och $c < a$. Då $\MaxmaxMACRoAF {b}{c}< a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b , c \in x , b < a , c < a \vdash \MaxmaxMACRoAM {b}{c}< a$
compare_lt_iff_lttheoremLinearOrder.lean:208
Lean
lemma compare_lt_iff_lt : compare a b = .lt ↔ a < b :=
Dedukti
1 lines
compare_lt_iff_lt : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Eqt Ordering (Ord__compare a b) Ordering__lt) (Lt a b)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then the comparison of $a$ and $b$ is equal to $\operatorname{lt}$, if and only if $a < b$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors la comparaison de $a$ et $b$ est égale à $\operatorname{lt}$ si et seulement si $a < b$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy porovnání $a$ a $b$ je rovné do $\operatorname{lt}$, právě tehdy, když $a < b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann ist der Vergleich von $a$ und $b$ nach $\operatorname{lt}$ gleich, genau dann, wenn $a < b$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då är jämförelsen av $a$ och $b$ lika till $\operatorname{lt}$, om och endast om $a < b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\OrdcompareMACRoAU {a}{b}}{\operatorname{lt}}\leftrightarrow a < b$
compare_eq_iff_eqtheoremLinearOrder.lean:211
Lean
lemma compare_eq_iff_eq : compare a b = .eq ↔ a = b :=
Dedukti
1 lines
compare_eq_iff_eq : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Eqt Ordering (Ord__compare a b) Ordering__eq) (Eqt x a b)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then the comparison of $a$ and $b$ is equal to $\operatorname{eq}$, if and only if $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors la comparaison de $a$ et $b$ est égale à $\operatorname{eq}$ si et seulement si $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy porovnání $a$ a $b$ je rovné do $\operatorname{eq}$, právě tehdy, když $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann ist der Vergleich von $a$ und $b$ nach $\operatorname{eq}$ gleich, genau dann, wenn $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då är jämförelsen av $a$ och $b$ lika till $\operatorname{eq}$, om och endast om $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\OrdcompareMACRoAU {a}{b}}{\operatorname{eq}}\leftrightarrow \EqtMACRoJ {a}{b}$
compare_gt_iff_gttheoremLinearOrder.lean:214
Lean
lemma compare_gt_iff_gt : compare a b = .gt ↔ b < a :=
Dedukti
1 lines
compare_gt_iff_gt : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Eqt Ordering (Ord__compare a b) Ordering__gt) (Lt b a)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then the comparison of $a$ and $b$ is equal to $\operatorname{gt}$, if and only if $b < a$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors la comparaison de $a$ et $b$ est égale à $\operatorname{gt}$ si et seulement si $b < a$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy porovnání $a$ a $b$ je rovné do $\operatorname{gt}$, právě tehdy, když $b < a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann ist der Vergleich von $a$ und $b$ nach $\operatorname{gt}$ gleich, genau dann, wenn $b < a$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då är jämförelsen av $a$ och $b$ lika till $\operatorname{gt}$, om och endast om $b < a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\OrdcompareMACRoAU {a}{b}}{\operatorname{gt}}\leftrightarrow b < a$
compare_le_iff_letheoremLinearOrder.lean:218
Lean
lemma compare_le_iff_le : compare a b ≠ .gt ↔ a ≤ b :=
Dedukti
1 lines
compare_le_iff_le : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Neq (Ord__compare a b) Ordering__gt) (Leq a b)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then the comparison of $a$ and $b$ is distinct from $\operatorname{gt}$, if and only if $a \leq b$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors la comparaison de $a$ et $b$ est distincte de $\operatorname{gt}$ si et seulement si $a \leq b$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy porovnání $a$ a $b$ je různé od $\operatorname{gt}$, právě tehdy, když $a \leq b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann ist der Vergleich von $a$ und $b$ ungleich $\operatorname{gt}$, genau dann, wenn $a \leq b$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då är jämförelsen av $a$ och $b$ skild från $\operatorname{gt}$, om och endast om $a \leq b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash \OrdcompareMACRoAU {a}{b}\neq \operatorname{gt} \leftrightarrow a \leq b$
compare_ge_iff_getheoremLinearOrder.lean:224
Lean
lemma compare_ge_iff_ge : compare a b ≠ .lt ↔ b ≤ a :=
Dedukti
1 lines
compare_ge_iff_ge : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Neq (Ord__compare a b) Ordering__lt) (Leq b a)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then the comparison of $a$ and $b$ is distinct from $\operatorname{lt}$, if and only if $b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors la comparaison de $a$ et $b$ est distincte de $\operatorname{lt}$ si et seulement si $b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy porovnání $a$ a $b$ je různé od $\operatorname{lt}$, právě tehdy, když $b \leq a$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann ist der Vergleich von $a$ und $b$ ungleich $\operatorname{lt}$, genau dann, wenn $b \leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då är jämförelsen av $a$ och $b$ skild från $\operatorname{lt}$, om och endast om $b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash \OrdcompareMACRoAU {a}{b}\neq \operatorname{lt} \leftrightarrow b \leq a$
compare_ifftheoremLinearOrder.lean:230
Lean
lemma compare_iff (a b : α) {o : Ordering} : compare a b = o ↔ o.Compares a b :=
Dedukti
1 lines
compare_iff : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (o : Elem Ordering) -> Proof (iff (Eqt Ordering (Ord__compare a b) o) (Ordering__Compares o a b)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Let $o$ be an element of $\mathrm{Ordering}$. Then the comparison of $a$ and $b$ is equal to $o$, if and only if $\operatorname{Compares}$ holds for $o$, $a$ and $b$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Soit $o$ un élément de $\mathrm{Ordering}$. Alors la comparaison de $a$ et $b$ est égale à $o$ si et seulement si $\operatorname{Compares}$ tient pour $o$, $a$ et $b$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Nechť $o$ je prvek $\mathrm{Ordering}$. Tedy porovnání $a$ a $b$ je rovné do $o$, právě tehdy, když $\operatorname{Compares}$ platí pro $o$, $a$ a $b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Sei $o$ ein Element von $\mathrm{Ordering}$. Dann ist der Vergleich von $a$ und $b$ nach $o$ gleich, genau dann, wenn $\operatorname{Compares}$ für $o$, $a$ und $b$ hält.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Låt $o$ vara ett element av $\mathrm{Ordering}$. Då är jämförelsen av $a$ och $b$ lika till $o$, om och endast om $\operatorname{Compares}$ håller för $o$, $a$ och $b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x , o \in \mathrm{Ordering} \vdash \EqtMACRoJ {\OrdcompareMACRoAU {a}{b}}{o}\leftrightarrow \operatorname{Compares} (o , a , b)$
cmp_eq_comparetheoremLinearOrder.lean:236
Lean
theorem cmp_eq_compare (a b : α) : cmp a b = compare a b :=
Dedukti
1 lines
cmp_eq_compare : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Eqt Ordering (cmp a b) (Ord__compare a b)).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then the comparison of $a$ and $b$ is equal to the comparison of $a$ and $b$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors la comparaison de $a$ et $b$ est égale à la comparaison de $a$ et $b$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy porovnání $a$ a $b$ je rovné do porovnání $a$ a $b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann ist der Vergleich von $a$ und $b$ nach dem Vergleich von $a$ und $b$ gleich.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då är jämförelsen av $a$ och $b$ lika till jämförelsen av $a$ och $b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\mathrm{cmp} (a , b)}{\OrdcompareMACRoAU {a}{b}}$
cmp_eq_compareOfLessAndEqtheoremLinearOrder.lean:243
Lean
theorem cmp_eq_compareOfLessAndEq (a b : α) : cmp a b = compareOfLessAndEq a b :=
  (cmp_eq_compare ..).trans (LinearOrder.compare_eq_compareOfLessAndEq ..)
Dedukti
2 lines
def cmp_eq_compareOfLessAndEq : (x : Set) -> (_ : Proof (LinearOrder x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Eqt Ordering (cmp a b) (compareOfLessAndEq a b)) :=
  x => x1 => a => b => Eq__trans Ordering (cmp a b) (Ord__compare a b) (compareOfLessAndEq a b) (cmp_eq_compare x a b) (LinearOrder__compare_eq_compareOfLessAndEq x a b).
English
Let $x$ be a linearly ordered set. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then the comparison of $a$ and $b$ is equal to $\mathrm{compareOfLessAndEq}$ applied to $a$ and $b$.
French
Soit $x$ un ensemble totalement ordonné. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors la comparaison de $a$ et $b$ est égale à $\mathrm{compareOfLessAndEq}$ appliqué à $a$ et $b$.
Czech
Nechť $x$ je lineárně uspořádaná množina. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy porovnání $a$ a $b$ je rovné do $\mathrm{compareOfLessAndEq}$ aplikovaný na $a$ a $b$.
German
Sei $x$ eine linear geordnete Menge. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann ist der Vergleich von $a$ und $b$ nach $\mathrm{compareOfLessAndEq}$ angewandt auf $a$ und $b$ gleich.
Swedish
Låt $x$ vara en linjärt ordnad mängd. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då är jämförelsen av $a$ och $b$ lika till $\mathrm{compareOfLessAndEq}$ applicerat på $a$ och $b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{LinearOrder} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\mathrm{cmp} (a , b)}{\mathrm{compareOfLessAndEq} (a , b)}$
Proof
4 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.The comparison of $a$ and $b$ is equal to $\OrdcompareMACRoAU {a}{b}$.cmp_eq_compare
3.$\EqtMACRoJ {\OrdcompareMACRoAU {a}{b}}{\mathrm{compareOfLessAndEq} (a , b)}$.LinearOrder.compare_eq_compareOfLessAndEq
4.The comparison of $a$ and $b$ is equal to $\mathrm{compareOfLessAndEq}$ applied to $a$ and $b$.Eq.trans 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.La comparaison de $a$ et $b$ est égale à $\OrdcompareMACRoAU {a}{b}$.cmp_eq_compare
3.$\EqtMACRoJ {\OrdcompareMACRoAU {a}{b}}{\mathrm{compareOfLessAndEq} (a , b)}$.LinearOrder.compare_eq_compareOfLessAndEq
4.La comparaison de $a$ et $b$ est égale à $\mathrm{compareOfLessAndEq}$ appliqué à $a$ et $b$.Eq.trans 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.Porovnání $a$ a $b$ je rovné do $\OrdcompareMACRoAU {a}{b}$.cmp_eq_compare
3.$\EqtMACRoJ {\OrdcompareMACRoAU {a}{b}}{\mathrm{compareOfLessAndEq} (a , b)}$.LinearOrder.compare_eq_compareOfLessAndEq
4.Porovnání $a$ a $b$ je rovné do $\mathrm{compareOfLessAndEq}$ aplikovaný na $a$ a $b$.Eq.trans 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.Der Vergleich von $a$ und $b$ ist nach $\OrdcompareMACRoAU {a}{b}$ gleich.cmp_eq_compare
3.$\EqtMACRoJ {\OrdcompareMACRoAU {a}{b}}{\mathrm{compareOfLessAndEq} (a , b)}$.LinearOrder.compare_eq_compareOfLessAndEq
4.Der Vergleich von $a$ und $b$ ist nach $\mathrm{compareOfLessAndEq}$ angewandt auf $a$ und $b$ gleich.Eq.trans 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.Jämförelsen av $a$ och $b$ är lika till $\OrdcompareMACRoAU {a}{b}$.cmp_eq_compare
3.$\EqtMACRoJ {\OrdcompareMACRoAU {a}{b}}{\mathrm{compareOfLessAndEq} (a , b)}$.LinearOrder.compare_eq_compareOfLessAndEq
4.Jämförelsen av $a$ och $b$ är lika till $\mathrm{compareOfLessAndEq}$ applicerat på $a$ och $b$.Eq.trans 2, 3
LinOrdinductiveLinearOrder.lean:262
The category of linear orders.
This will get reused to define OrderType.
Lean
structure LinOrd where
Dedukti
1 lines
LinOrd : Set.
English
The linear orders are a basic type.
French
Les ordres linéaires sont un type de base.
Czech
Lineární řády jsou základní typ.
German
Die linearen Ordnungen sind ein Grundtyp.
Swedish
De linjära ordningarna är en grundtyp.
Formula
$\mathrm{LinOrd} \ \mathsf{set}$
LinOrd.ofconstructorLinearOrder.lean:264
Construct a bundled LinOrd from the underlying type and typeclass.
Lean
  of ::
Dedukti
1 lines
LinOrd__of : (carrier : Set) -> Elem LinOrd.
English
Let $\mathrm{carrier}$ be a set. Then $\operatorname{of}$ applied to $\mathrm{carrier}$ is a linear order.
French
Soit $\mathrm{carrier}$ un ensemble. Alors $\operatorname{of}$ appliqué à $\mathrm{carrier}$ est un ordre linéaire.
Czech
Nechť $\mathrm{carrier}$ je množina. Tedy $\operatorname{of}$ aplikovaný na $\mathrm{carrier}$ je lineární řád.
German
Sei $\mathrm{carrier}$ eine Menge. Dann ist $\operatorname{of}$ angewandt auf $\mathrm{carrier}$ eine lineare Ordnung.
Swedish
Låt $\mathrm{carrier}$ vara en mängd. Då är $\operatorname{of}$ applicerat på $\mathrm{carrier}$ en linjär ordning.
Formula
$\mathrm{carrier} \in \mathrm{Set} \vdash \operatorname{of} (\mathrm{carrier})\in \mathrm{LinOrd}$
LinOrd.carrierdefLinearOrder.lean:266
The underlying linearly ordered type.
Lean
  (carrier : Type*)
Dedukti
1 lines
LinOrd__carrier : (self : Elem LinOrd) -> Set.
English
Let $\mathrm{self}$ be a linear order. Then the carriers of $\mathrm{self}$ are a basic type.
French
Soit $\mathrm{self}$ un élément de $\mathrm{LinOrd}$. Alors les éléments de $\operatorname{carrier}$ appliqué à $\mathrm{self}$ sont un type de base.
Czech
Nechť $\mathrm{self}$ je prvek $\mathrm{LinOrd}$. Tedy prvky $\operatorname{carrier}$ aplikovaný na $\mathrm{self}$ jsou základní typ.
German
Sei $\mathrm{self}$ ein Element von $\mathrm{LinOrd}$. Dann sind die Elemente von $\operatorname{carrier}$ angewandt auf $\mathrm{self}$ ein Grundtyp.
Swedish
Låt $\mathrm{self}$ vara ett element av $\mathrm{LinOrd}$. Då är elementen av $\operatorname{carrier}$ applicerat på $\mathrm{self}$ en grundtyp.
Formula
$\mathrm{self} \in \mathrm{LinOrd} \vdash \operatorname{carrier} (\mathrm{self})\ \mathsf{set}$

Mathlib.Order.Defs.Lattice source

SemilatticeSupinductiveLattice.lean:56
A SemilatticeSup is a join-semilattice, that is, a partial order with a join (a.k.a. lub / least upper bound, sup / supremum) operation ⊔ which is the least element larger than both factors.
Lean
class SemilatticeSup (α : Type u) extends PartialOrder α where
Dedukti
1 lines
SemilatticeSup : (x : Set) -> Prop.
English
Let $x$ be a set. Then we can say that $x$ is a join semilattice.
French
Soit $x$ un ensemble. Alors nous pouvons dire que $x$ est un demi-treillis de bornes supérieures.
Czech
Nechť $x$ je množina. Tedy můžeme říkat, že $x$ je spojenípolosvaz.
German
Sei $x$ eine Menge. Dann können wir sagen, dass $x$ ein SupHalbverband ist.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Då kan vi säga att $x$ är ett supremumhalvgitter.
Formula
$x \in \mathrm{Set} \vdash \mathrm{SemilatticeSup} (x)\ \mathsf{prop}$
SemilatticeSup.mkconstructorLattice.lean:56
Lean
class SemilatticeSup (α : Type u) extends PartialOrder α where
Dedukti
1 lines
SemilatticeSup__mk : (sup : (Elem x -> Elem x -> x)) -> (le_sup_left : Proof (forall x (a2 => forall x (b2 => Leq a2 (sup a2 b2))))) -> (le_sup_right : Proof (forall x (a1 => forall x (b1 => Leq b1 (sup a1 b1))))) -> (sup_le : Proof (forall x (a => forall x (b => forall x (c => if (Leq a c) (if (Leq b c) (Leq (sup a b) c))))))) -> Proof (SemilatticeSup x).
English
Let $\mathrm{sup}$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to elements of $x$ such that for all elements $a_{2}$ of $x$, for all elements $b_{2}$ of $x$, $a_{2} \leq \mathrm{sup} (a_{2} , b_{2})$, for all elements $a_{1}$ of $x$, for all elements $b_{1}$ of $x$, $b_{1} \leq \mathrm{sup} (a_{1} , b_{1})$ and for all elements $a$ of $x$, for all elements $b$ of $x$, for all elements $c$ of $x$, if $a \leq c$, then if $b \leq c$, then $\mathrm{sup} (a , b)\leq c$. Then $x$ is a join semilattice.
French
Soit $\mathrm{sup}$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des éléments de $x$ telle que pour tous des éléments $a_{2}$ de $x$, pour tous des éléments $b_{2}$ de $x$, $a_{2} \leq \mathrm{sup} (a_{2} , b_{2})$, pour tous des éléments $a_{1}$ de $x$, pour tous des éléments $b_{1}$ de $x$, $b_{1} \leq \mathrm{sup} (a_{1} , b_{1})$ et pour tous des éléments $a$ de $x$, pour tous des éléments $b$ de $x$, pour tous des éléments $c$ de $x$, si $a \leq c$, alors si $b \leq c$, alors $\mathrm{sup} (a , b)\leq c$. Alors $x$ est un demi-treillis de bornes supérieures.
Czech
Nechť $\mathrm{sup}$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do prvků $x$ taková, že pro všechny prvky $a_{2}$ $x$, pro všechny prvky $b_{2}$ $x$, $a_{2} \leq \mathrm{sup} (a_{2} , b_{2})$, pro všechny prvky $a_{1}$ $x$, pro všechny prvky $b_{1}$ $x$, $b_{1} \leq \mathrm{sup} (a_{1} , b_{1})$ a pro všechny prvky $a$ $x$, pro všechny prvky $b$ $x$, pro všechny prvky $c$ $x$, jestliže $a \leq c$, pak jestliže $b \leq c$, pak $\mathrm{sup} (a , b)\leq c$. Tedy $x$ je spojenípolosvaz.
German
Sei $\mathrm{sup}$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Elementen von $x$ derart, dass für alle Elemente $a_{2}$ von $x$, für alle Elemente $b_{2}$ von $x$, $a_{2} \leq \mathrm{sup} (a_{2} , b_{2})$, für alle Elemente $a_{1}$ von $x$, für alle Elemente $b_{1}$ von $x$, $b_{1} \leq \mathrm{sup} (a_{1} , b_{1})$ und für alle Elemente $a$ von $x$, für alle Elemente $b$ von $x$, für alle Elemente $c$ von $x$, wenn $a \leq c$, dann wenn $b \leq c$, dann $\mathrm{sup} (a , b)\leq c$. Dann ist $x$ ein SupHalbverband.
Swedish
Låt $\mathrm{sup}$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till element av $x$ sådan att för alla element $a_{2}$ av $x$, för alla element $b_{2}$ av $x$, $a_{2} \leq \mathrm{sup} (a_{2} , b_{2})$, för alla element $a_{1}$ av $x$, för alla element $b_{1}$ av $x$, $b_{1} \leq \mathrm{sup} (a_{1} , b_{1})$ och för alla element $a$ av $x$, för alla element $b$ av $x$, för alla element $c$ av $x$, om $a \leq c$, så om $b \leq c$, så $\mathrm{sup} (a , b)\leq c$. Då är $x$ ett supremumhalvgitter.
Formula
$\mathrm{sup} \in x \rightarrow x \rightarrow x , \forall a_{2} \in x . \forall b_{2} \in x . a_{2} \leq \mathrm{sup} (a_{2} , b_{2}), \forall a_{1} \in x . \forall b_{1} \in x . b_{1} \leq \mathrm{sup} (a_{1} , b_{1}), \forall a \in x . \forall b \in x . \forall c \in x . a \leq c \rightarrow b \leq c \rightarrow \mathrm{sup} (a , b)\leq c \vdash \mathrm{SemilatticeSup} (x)$
SemilatticeSup.supdefLattice.lean:58
The binary supremum, used to derive Max α
Lean
  sup : α → α → α
Dedukti
1 lines
SemilatticeSup__sup : (x1 : Elem x) -> (x2 : Elem x) -> Elem x.
English
Let $x_{1}$ and $x_{2}$ be elements of $x$. Then the supremum of $x_{1}$ and $x_{2}$ is an element of $x$.
French
Soient $x_{1}$ et $x_{2}$ des éléments de $x$. Alors le supremum de $x_{1}$ et $x_{2}$ est un élément de $x$.
Czech
Nechť $x_{1}$ a $x_{2}$ je prvek $x$. Tedy supremum $x_{1}$ a $x_{2}$ je prvek $x$.
German
Seien $x_{1}$ und $x_{2}$ elemente von $x$. Dann ist das Supremum von $x_{1}$ und $x_{2}$ ein Element von $x$.
Swedish
Låt $x_{1}$ och $x_{2}$ vara element av $x$. Då är supremumet av $x_{1}$ och $x_{2}$ ett element av $x$.
Formula
$x_{1} , x_{2} \in x \vdash \SemilatticeSupsupMACRoAV {x_{1}}{x_{2}}\in x$
SemilatticeSup.le_sup_lefttheoremLattice.lean:60
The supremum is an upper bound on the first argument
Lean
  protected le_sup_left : ∀ a b : α, a ≤ sup a b
Dedukti
1 lines
SemilatticeSup__le_sup_left : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Leq a (SemilatticeSup__sup a b)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $a \leq \SemilatticeSupsupMACRoAM {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $a \leq \SemilatticeSupsupMACRoAM {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $a \leq \SemilatticeSupsupMACRoAM {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $a \leq \SemilatticeSupsupMACRoAM {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $a \leq \SemilatticeSupsupMACRoAM {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b \in x \vdash a \leq \SemilatticeSupsupMACRoAV {a}{b}$
SemilatticeSup.le_sup_righttheoremLattice.lean:62
The supremum is an upper bound on the second argument
Lean
  protected le_sup_right : ∀ a b : α, b ≤ sup a b
Dedukti
1 lines
SemilatticeSup__le_sup_right : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Leq b (SemilatticeSup__sup a b)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $b \leq \SemilatticeSupsupMACRoAM {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $b \leq \SemilatticeSupsupMACRoAM {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $b \leq \SemilatticeSupsupMACRoAM {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $b \leq \SemilatticeSupsupMACRoAM {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $b \leq \SemilatticeSupsupMACRoAM {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b \in x \vdash b \leq \SemilatticeSupsupMACRoAV {a}{b}$
SemilatticeSup.sup_letheoremLattice.lean:64
The supremum is the least upper bound
Lean
  protected sup_le : ∀ a b c : α, a ≤ c → b ≤ c → sup a b ≤ c
Dedukti
1 lines
SemilatticeSup__sup_le : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Leq a c)) -> (h1 : Proof (Leq b c)) -> Proof (Leq (SemilatticeSup__sup a b) c).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $a \leq c$ and $b \leq c$. Then $\SemilatticeSupsupMACRoAM {a}{b}\leq c$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $a \leq c$ et $b \leq c$. Alors $\SemilatticeSupsupMACRoAM {a}{b}\leq c$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $a \leq c$ a $b \leq c$. Tedy $\SemilatticeSupsupMACRoAM {a}{b}\leq c$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq c$ und $b \leq c$. Dann $\SemilatticeSupsupMACRoAM {a}{b}\leq c$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $a \leq c$ och $b \leq c$. Då $\SemilatticeSupsupMACRoAM {a}{b}\leq c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b , c \in x , a \leq c , b \leq c \vdash \SemilatticeSupsupMACRoAV {a}{b}\leq c$
SemilatticeInfinductiveLattice.lean:70
A SemilatticeInf is a meet-semilattice, that is, a partial order with a meet (a.k.a. glb / greatest lower bound, inf / infimum) operation ⊓ which is the greatest element smaller than both factors.
Lean
@[to_dual]
class SemilatticeInf (α : Type u) extends PartialOrder α where
Dedukti
1 lines
SemilatticeInf : (x : Set) -> Prop.
English
Let $x$ be a set. Then we can say that $x$ is a meet semilattice.
French
Soit $x$ un ensemble. Alors nous pouvons dire que $x$ est un demi-treillis inférieur.
Czech
Nechť $x$ je množina. Tedy můžeme říkat, že $x$ je průsekový polosvaz.
German
Sei $x$ eine Menge. Dann können wir sagen, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Då kan vi säga att $x$ är ett infimalt halvgitter.
Formula
$x \in \mathrm{Set} \vdash \mathrm{SemilatticeInf} (x)\ \mathsf{prop}$
SemilatticeInf.mkconstructorLattice.lean:70
Lean
class SemilatticeInf (α : Type u) extends PartialOrder α where
Dedukti
1 lines
SemilatticeInf__mk : (inf : (Elem x -> Elem x -> x)) -> (inf_le_left : Proof (forall x (a2 => forall x (b2 => Leq (inf a2 b2) a2)))) -> (inf_le_right : Proof (forall x (a1 => forall x (b1 => Leq (inf a1 b1) b1)))) -> (le_inf : Proof (forall x (a => forall x (b => forall x (c => if (Leq a b) (if (Leq a c) (Leq a (inf b c)))))))) -> Proof (SemilatticeInf x).
English
Let $\mathrm{inf}$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to elements of $x$ such that for all elements $a_{2}$ of $x$, for all elements $b_{2}$ of $x$, $\mathrm{inf} (a_{2} , b_{2})\leq a_{2}$, for all elements $a_{1}$ of $x$, for all elements $b_{1}$ of $x$, $\mathrm{inf} (a_{1} , b_{1})\leq b_{1}$ and for all elements $a$ of $x$, for all elements $b$ of $x$, for all elements $c$ of $x$, if $a \leq b$, then if $a \leq c$, then $a \leq \mathrm{inf} (b , c)$. Then $x$ is a meet semilattice.
French
Soit $\mathrm{inf}$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des éléments de $x$ telle que pour tous des éléments $a_{2}$ de $x$, pour tous des éléments $b_{2}$ de $x$, $\mathrm{inf} (a_{2} , b_{2})\leq a_{2}$, pour tous des éléments $a_{1}$ de $x$, pour tous des éléments $b_{1}$ de $x$, $\mathrm{inf} (a_{1} , b_{1})\leq b_{1}$ et pour tous des éléments $a$ de $x$, pour tous des éléments $b$ de $x$, pour tous des éléments $c$ de $x$, si $a \leq b$, alors si $a \leq c$, alors $a \leq \mathrm{inf} (b , c)$. Alors $x$ est un demi-treillis inférieur.
Czech
Nechť $\mathrm{inf}$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do prvků $x$ taková, že pro všechny prvky $a_{2}$ $x$, pro všechny prvky $b_{2}$ $x$, $\mathrm{inf} (a_{2} , b_{2})\leq a_{2}$, pro všechny prvky $a_{1}$ $x$, pro všechny prvky $b_{1}$ $x$, $\mathrm{inf} (a_{1} , b_{1})\leq b_{1}$ a pro všechny prvky $a$ $x$, pro všechny prvky $b$ $x$, pro všechny prvky $c$ $x$, jestliže $a \leq b$, pak jestliže $a \leq c$, pak $a \leq \mathrm{inf} (b , c)$. Tedy $x$ je průsekový polosvaz.
German
Sei $\mathrm{inf}$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Elementen von $x$ derart, dass für alle Elemente $a_{2}$ von $x$, für alle Elemente $b_{2}$ von $x$, $\mathrm{inf} (a_{2} , b_{2})\leq a_{2}$, für alle Elemente $a_{1}$ von $x$, für alle Elemente $b_{1}$ von $x$, $\mathrm{inf} (a_{1} , b_{1})\leq b_{1}$ und für alle Elemente $a$ von $x$, für alle Elemente $b$ von $x$, für alle Elemente $c$ von $x$, wenn $a \leq b$, dann wenn $a \leq c$, dann $a \leq \mathrm{inf} (b , c)$. Dann ist $x$ ein infimaler Halbverband.
Swedish
Låt $\mathrm{inf}$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till element av $x$ sådan att för alla element $a_{2}$ av $x$, för alla element $b_{2}$ av $x$, $\mathrm{inf} (a_{2} , b_{2})\leq a_{2}$, för alla element $a_{1}$ av $x$, för alla element $b_{1}$ av $x$, $\mathrm{inf} (a_{1} , b_{1})\leq b_{1}$ och för alla element $a$ av $x$, för alla element $b$ av $x$, för alla element $c$ av $x$, om $a \leq b$, så om $a \leq c$, så $a \leq \mathrm{inf} (b , c)$. Då är $x$ ett infimalt halvgitter.
Formula
$\mathrm{inf} \in x \rightarrow x \rightarrow x , \forall a_{2} \in x . \forall b_{2} \in x . \mathrm{inf} (a_{2} , b_{2})\leq a_{2} , \forall a_{1} \in x . \forall b_{1} \in x . \mathrm{inf} (a_{1} , b_{1})\leq b_{1} , \forall a \in x . \forall b \in x . \forall c \in x . a \leq b \rightarrow a \leq c \rightarrow a \leq \mathrm{inf} (b , c)\vdash \mathrm{SemilatticeInf} (x)$
SemilatticeInf.infdefLattice.lean:72
The binary infimum, used to derive Min α
Lean
  inf : α → α → α
Dedukti
1 lines
SemilatticeInf__inf : (x1 : Elem x) -> (x2 : Elem x) -> Elem x.
English
Let $x_{1}$ and $x_{2}$ be elements of $x$. Then the infimum of $x_{1}$ and $x_{2}$ is an element of $x$.
French
Soient $x_{1}$ et $x_{2}$ des éléments de $x$. Alors l'infimum de $x_{1}$ et $x_{2}$ est un élément de $x$.
Czech
Nechť $x_{1}$ a $x_{2}$ je prvek $x$. Tedy infimum $x_{1}$ a $x_{2}$ je prvek $x$.
German
Seien $x_{1}$ und $x_{2}$ elemente von $x$. Dann ist das Infimum von $x_{1}$ und $x_{2}$ ein Element von $x$.
Swedish
Låt $x_{1}$ och $x_{2}$ vara element av $x$. Då är infimumet av $x_{1}$ och $x_{2}$ ett element av $x$.
Formula
$x_{1} , x_{2} \in x \vdash \SemilatticeInfinfMACRoAW {x_{1}}{x_{2}}\in x$
SemilatticeInf.inf_le_lefttheoremLattice.lean:74
The infimum is a lower bound on the first argument
Lean
  protected inf_le_left : ∀ a b : α, inf a b ≤ a
Dedukti
1 lines
SemilatticeInf__inf_le_left : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Leq (SemilatticeInf__inf a b) a).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\SemilatticeInfinfMACRoAN {a}{b}\leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\SemilatticeInfinfMACRoAN {a}{b}\leq a$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $\SemilatticeInfinfMACRoAN {a}{b}\leq a$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\SemilatticeInfinfMACRoAN {a}{b}\leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\SemilatticeInfinfMACRoAN {a}{b}\leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b \in x \vdash \SemilatticeInfinfMACRoAW {a}{b}\leq a$
SemilatticeInf.inf_le_righttheoremLattice.lean:76
The infimum is a lower bound on the second argument
Lean
  protected inf_le_right : ∀ a b : α, inf a b ≤ b
Dedukti
1 lines
SemilatticeInf__inf_le_right : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Leq (SemilatticeInf__inf a b) b).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\SemilatticeInfinfMACRoAN {a}{b}\leq b$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\SemilatticeInfinfMACRoAN {a}{b}\leq b$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $\SemilatticeInfinfMACRoAN {a}{b}\leq b$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\SemilatticeInfinfMACRoAN {a}{b}\leq b$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\SemilatticeInfinfMACRoAN {a}{b}\leq b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b \in x \vdash \SemilatticeInfinfMACRoAW {a}{b}\leq b$
SemilatticeInf.le_inftheoremLattice.lean:78
The infimum is the greatest lower bound
Lean
  protected le_inf : ∀ a b c : α, a ≤ b → a ≤ c → a ≤ inf b c
Dedukti
1 lines
SemilatticeInf__le_inf : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Leq a b)) -> (h1 : Proof (Leq a c)) -> Proof (Leq a (SemilatticeInf__inf b c)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $a \leq b$ and $a \leq c$. Then $a \leq \SemilatticeInfinfMACRoAN {b}{c}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $a \leq b$ et $a \leq c$. Alors $a \leq \SemilatticeInfinfMACRoAN {b}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $a \leq b$ a $a \leq c$. Tedy $a \leq \SemilatticeInfinfMACRoAN {b}{c}$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq b$ und $a \leq c$. Dann $a \leq \SemilatticeInfinfMACRoAN {b}{c}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $a \leq b$ och $a \leq c$. Då $a \leq \SemilatticeInfinfMACRoAN {b}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b , c \in x , a \leq b , a \leq c \vdash a \leq \SemilatticeInfinfMACRoAW {b}{c}$
le_sup_lefttheoremLattice.lean:90
Lean
@[to_dual (attr := simp) inf_le_left]
theorem le_sup_left : a ≤ a ⊔ b :=
  SemilatticeSup.le_sup_left a b
Dedukti
2 lines
def le_sup_left : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Leq a (Max__max a b)) :=
  x => x1 => a => b => SemilatticeSup__le_sup_left x a b.
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $a \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $a \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $a \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $a \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $a \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b \in x \vdash a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$
Proof
2 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$a \leq \SemilatticeSupsupMACRoAV {a}{b}$.SemilatticeSup.le_sup_left
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$a \leq \SemilatticeSupsupMACRoAV {a}{b}$.SemilatticeSup.le_sup_left
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$a \leq \SemilatticeSupsupMACRoAV {a}{b}$.SemilatticeSup.le_sup_left
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$a \leq \SemilatticeSupsupMACRoAV {a}{b}$.SemilatticeSup.le_sup_left
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$a \leq \SemilatticeSupsupMACRoAV {a}{b}$.SemilatticeSup.le_sup_left
inf_le_lefttheoremLattice.lean:89
Lean
@[to_dual (attr := simp) inf_le_left]
Dedukti
1 lines
inf_le_left : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Leq (Min__min a b) a).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq a$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq a$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b \in x \vdash \MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$
inf_le_righttheoremLattice.lean:93
Lean
@[to_dual (attr := simp) inf_le_right]
Dedukti
1 lines
inf_le_right : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Leq (Min__min a b) b).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq b$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq b$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq b$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq b$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b \in x \vdash \MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$
le_sup_righttheoremLattice.lean:94
Lean
@[to_dual (attr := simp) inf_le_right]
theorem le_sup_right : b ≤ a ⊔ b :=
  SemilatticeSup.le_sup_right a b
Dedukti
2 lines
def le_sup_right : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Leq b (Max__max a b)) :=
  x => x1 => a => b => SemilatticeSup__le_sup_right x a b.
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $b \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $b \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $b \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $b \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $b \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b \in x \vdash b \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$
Proof
2 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$b \leq \SemilatticeSupsupMACRoAV {a}{b}$.SemilatticeSup.le_sup_right
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$b \leq \SemilatticeSupsupMACRoAV {a}{b}$.SemilatticeSup.le_sup_right
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$b \leq \SemilatticeSupsupMACRoAV {a}{b}$.SemilatticeSup.le_sup_right
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$b \leq \SemilatticeSupsupMACRoAV {a}{b}$.SemilatticeSup.le_sup_right
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$b \leq \SemilatticeSupsupMACRoAV {a}{b}$.SemilatticeSup.le_sup_right
le_inftheoremLattice.lean:97
Lean
@[to_dual (reorder := a b c) le_inf]
Dedukti
1 lines
le_inf : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (c : Elem x) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Leq c a)) -> (h1 : Proof (Leq c b)) -> Proof (Leq c (Min__min a b)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $c$, $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $c \leq a$ and $c \leq b$. Then $c \leq \MinminMACRoAG {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $c$, $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $c \leq a$ et $c \leq b$. Alors $c \leq \MinminMACRoAG {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $c$, $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $c \leq a$ a $c \leq b$. Tedy $c \leq \MinminMACRoAG {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $c$, $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $c \leq a$ und $c \leq b$. Dann $c \leq \MinminMACRoAG {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $c$, $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $c \leq a$ och $c \leq b$. Då $c \leq \MinminMACRoAG {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), c , a , b \in x , c \leq a , c \leq b \vdash c \leq \MinminMACRoAN {a}{b}$
sup_letheoremLattice.lean:98
Lean
@[to_dual (reorder := a b c) le_inf]
theorem sup_le : a ≤ c → b ≤ c → a ⊔ b ≤ c :=
  SemilatticeSup.sup_le a b c
Dedukti
2 lines
def sup_le : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Leq a c)) -> (h1 : Proof (Leq b c)) -> Proof (Leq (Max__max a b) c) :=
  x => x1 => a => b => c => SemilatticeSup__sup_le x a b c.
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $a \leq c$ and $b \leq c$. Then $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq c$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $a \leq c$ et $b \leq c$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq c$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $a \leq c$ a $b \leq c$. Tedy $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq c$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq c$ und $b \leq c$. Dann $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq c$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $a \leq c$ och $b \leq c$. Då $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b , c \in x , a \leq c , b \leq c \vdash \MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq c$
Proof
2 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.$\SemilatticeSupsupMACRoAV {a}{b}\leq c$.SemilatticeSup.sup_le
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.$\SemilatticeSupsupMACRoAV {a}{b}\leq c$.SemilatticeSup.sup_le
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.$\SemilatticeSupsupMACRoAV {a}{b}\leq c$.SemilatticeSup.sup_le
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.$\SemilatticeSupsupMACRoAV {a}{b}\leq c$.SemilatticeSup.sup_le
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.$\SemilatticeSupsupMACRoAV {a}{b}\leq c$.SemilatticeSup.sup_le
inf_le_of_left_letheoremLattice.lean:101
Lean
@[to_dual inf_le_of_left_le]
Dedukti
1 lines
inf_le_of_left_le : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Leq a c)) -> Proof (Leq (Min__min a b) c).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $a \leq c$. Then $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq c$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $a \leq c$. Alors $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq c$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $a \leq c$. Tedy $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq c$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq c$. Dann $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq c$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $a \leq c$. Då $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b , c \in x , a \leq c \vdash \MinminMACRoAN {a}{b}\leq c$
le_sup_of_le_lefttheoremLattice.lean:102
Lean
@[to_dual inf_le_of_left_le]
theorem le_sup_of_le_left (h : c ≤ a) : c ≤ a ⊔ b :=
  le_trans h le_sup_left
Dedukti
2 lines
def le_sup_of_le_left : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Leq c a)) -> Proof (Leq c (Max__max a b)) :=
  x => x1 => a => b => c => h => le_trans x c a (Max__max a b) h (le_sup_left x a b).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $c \leq a$. Then $c \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $c \leq a$. Alors $c \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $c \leq a$. Tedy $c \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $c \leq a$. Dann $c \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $c \leq a$. Då $c \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b , c \in x , c \leq a \vdash c \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$
Proof
4 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.Assume that $c \leq a$.
3.$a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_left
4.$c \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_trans 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $c \leq a$.
3.$a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_left
4.$c \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_trans 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $c \leq a$.
3.$a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_left
4.$c \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_trans 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $c \leq a$.
3.$a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_left
4.$c \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_trans 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.Anta att $c \leq a$.
3.$a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_left
4.$c \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_trans 2, 3
le_sup_of_le_righttheoremLattice.lean:106
Lean
@[to_dual inf_le_of_right_le]
theorem le_sup_of_le_right (h : c ≤ b) : c ≤ a ⊔ b :=
  le_trans h le_sup_right
Dedukti
2 lines
def le_sup_of_le_right : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Leq c b)) -> Proof (Leq c (Max__max a b)) :=
  x => x1 => a => b => c => h => le_trans x c b (Max__max a b) h (le_sup_right x a b).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $c \leq b$. Then $c \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $c \leq b$. Alors $c \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $c \leq b$. Tedy $c \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $c \leq b$. Dann $c \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $c \leq b$. Då $c \leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b , c \in x , c \leq b \vdash c \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$
Proof
4 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.Assume that $c \leq b$.
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_right
4.$c \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_trans 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $c \leq b$.
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_right
4.$c \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_trans 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $c \leq b$.
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_right
4.$c \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_trans 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $c \leq b$.
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_right
4.$c \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_trans 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.Anta att $c \leq b$.
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_right
4.$c \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_trans 2, 3
inf_le_of_right_letheoremLattice.lean:105
Lean
@[to_dual inf_le_of_right_le]
Dedukti
1 lines
inf_le_of_right_le : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Leq b c)) -> Proof (Leq (Min__min a b) c).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $b \leq c$. Then $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq c$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $b \leq c$. Alors $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq c$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $b \leq c$. Tedy $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq c$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $b \leq c$. Dann $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq c$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $b \leq c$. Då $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b , c \in x , b \leq c \vdash \MinminMACRoAN {a}{b}\leq c$
lt_sup_of_lt_lefttheoremLattice.lean:110
Lean
@[to_dual inf_lt_of_left_lt]
theorem lt_sup_of_lt_left (h : c < a) : c < a ⊔ b :=
  lt_of_lt_of_le h le_sup_left
Dedukti
2 lines
def lt_sup_of_lt_left : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Lt c a)) -> Proof (Lt c (Max__max a b)) :=
  x => x1 => a => b => c => h => lt_of_lt_of_le x c a (Max__max a b) h (le_sup_left x a b).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $c < a$. Then $c < \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $c < a$. Alors $c < \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $c < a$. Tedy $c < \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $c < a$. Dann $c < \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $c < a$. Då $c < \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b , c \in x , c < a \vdash c < \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$
Proof
4 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.Assume that $c < a$.
3.$a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_left
4.$c < \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.lt_of_lt_of_le 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $c < a$.
3.$a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_left
4.$c < \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.lt_of_lt_of_le 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $c < a$.
3.$a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_left
4.$c < \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.lt_of_lt_of_le 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $c < a$.
3.$a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_left
4.$c < \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.lt_of_lt_of_le 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.Anta att $c < a$.
3.$a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_left
4.$c < \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.lt_of_lt_of_le 2, 3
inf_lt_of_left_lttheoremLattice.lean:109
Lean
@[to_dual inf_lt_of_left_lt]
Dedukti
1 lines
inf_lt_of_left_lt : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Lt a c)) -> Proof (Lt (Min__min a b) c).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $a < c$. Then $\MinminMACRoAG {a}{b}< c$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $a < c$. Alors $\MinminMACRoAG {a}{b}< c$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $a < c$. Tedy $\MinminMACRoAG {a}{b}< c$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $a < c$. Dann $\MinminMACRoAG {a}{b}< c$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $a < c$. Då $\MinminMACRoAG {a}{b}< c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b , c \in x , a < c \vdash \MinminMACRoAN {a}{b}< c$
inf_lt_of_right_lttheoremLattice.lean:113
Lean
@[to_dual inf_lt_of_right_lt]
Dedukti
1 lines
inf_lt_of_right_lt : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Lt b c)) -> Proof (Lt (Min__min a b) c).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $b < c$. Then $\MinminMACRoAG {a}{b}< c$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $b < c$. Alors $\MinminMACRoAG {a}{b}< c$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $b < c$. Tedy $\MinminMACRoAG {a}{b}< c$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $b < c$. Dann $\MinminMACRoAG {a}{b}< c$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $b < c$. Då $\MinminMACRoAG {a}{b}< c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b , c \in x , b < c \vdash \MinminMACRoAN {a}{b}< c$
lt_sup_of_lt_righttheoremLattice.lean:114
Lean
@[to_dual inf_lt_of_right_lt]
theorem lt_sup_of_lt_right (h : c < b) : c < a ⊔ b :=
  lt_of_lt_of_le h le_sup_right
Dedukti
2 lines
def lt_sup_of_lt_right : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Lt c b)) -> Proof (Lt c (Max__max a b)) :=
  x => x1 => a => b => c => h => lt_of_lt_of_le x c b (Max__max a b) h (le_sup_right x a b).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $c < b$. Then $c < \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $c < b$. Alors $c < \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $c < b$. Tedy $c < \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $c < b$. Dann $c < \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $c < b$. Då $c < \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b , c \in x , c < b \vdash c < \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$
Proof
4 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.Assume that $c < b$.
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_right
4.$c < \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.lt_of_lt_of_le 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $c < b$.
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_right
4.$c < \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.lt_of_lt_of_le 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $c < b$.
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_right
4.$c < \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.lt_of_lt_of_le 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $c < b$.
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_right
4.$c < \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.lt_of_lt_of_le 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.Anta att $c < b$.
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_right
4.$c < \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.lt_of_lt_of_le 2, 3
le_inf_ifftheoremLattice.lean:117
Lean
@[to_dual (attr := simp) (reorder := a b c) le_inf_iff]
Dedukti
1 lines
le_inf_iff : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (c : Elem x) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Leq c (Min__min a b)) (and (Leq c a) (Leq c b))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $c$, $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $c \leq \MinminMACRoAG {a}{b}$, if and only if $c \leq a$ and $c \leq b$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $c$, $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $c \leq \MinminMACRoAG {a}{b}$ si et seulement si $c \leq a$ et $c \leq b$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $c$, $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $c \leq \MinminMACRoAG {a}{b}$, právě tehdy, když $c \leq a$ a $c \leq b$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $c$, $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $c \leq \MinminMACRoAG {a}{b}$, genau dann, wenn $c \leq a$ und $c \leq b$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $c$, $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $c \leq \MinminMACRoAG {a}{b}$, om och endast om $c \leq a$ och $c \leq b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), c , a , b \in x \vdash c \leq \MinminMACRoAN {a}{b}\leftrightarrow c \leq a \wedge c \leq b$
sup_le_ifftheoremLattice.lean:118
Lean
@[to_dual (attr := simp) (reorder := a b c) le_inf_iff]
theorem sup_le_iff : a ⊔ b ≤ c ↔ a ≤ c ∧ b ≤ c :=
Dedukti
1 lines
sup_le_iff : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (iff (Leq (Max__max a b) c) (and (Leq a c) (Leq b c))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq c$, if and only if $a \leq c$ and $b \leq c$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq c$ si et seulement si $a \leq c$ et $b \leq c$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq c$, právě tehdy, když $a \leq c$ a $b \leq c$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$. Dann $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq c$, genau dann, wenn $a \leq c$ und $b \leq c$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq c$, om och endast om $a \leq c$ och $b \leq c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b , c \in x \vdash \MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq c \leftrightarrow a \leq c \wedge b \leq c$
sup_eq_lefttheoremLattice.lean:123
Lean
@[to_dual (attr := simp)]
theorem sup_eq_left : a ⊔ b = a ↔ b ≤ a :=
  le_antisymm_iff.trans <| by simp
Dedukti
2 lines
def sup_eq_left : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Eqt x (Max__max a b) a) (Leq b a)) :=
  x => x1 => a => b => Iff__trans (Eqt x (Max__max a b) a) (and (Leq (Max__max a b) a) (Leq a (Max__max a b))) (Leq b a) (le_antisymm_iff x (Max__max a b) a) (of_eq_true (iff (and (Leq (Max__max a b) a) (Leq a (Max__max a b))) (Leq b a)) (Eq__trans Prop (iff (and (Leq (Max__max a b) a) (Leq a (Max__max a b))) (Leq b a)) (iff (Leq b a) (Leq b a)) True (congrFun' Prop Prop (iff (and (Leq (Max__max a b) a) (Leq a (Max__max a b)))) (iff (Leq b a)) (congrArg Prop (Prop -> Prop) (and (Leq (Max__max a b) a) (Leq a (Max__max a b))) (Leq b a) iff (Eq__trans Prop (and (Leq (Max__max a b) a) (Leq a (Max__max a b))) (and (Leq b a) True) (Leq b a) (congr Prop Prop (and (Leq (Max__max a b) a)) (and (Leq b a)) (Leq a (Max__max a b)) True (congrArg Prop (Prop -> Prop) (Leq (Max__max a b) a) (Leq b a) and (Eq__trans Prop (Leq (Max__max a b) a) (and (Leq a a) (Leq b a)) (Leq b a) (sup_le_iff___simp_3 x a b a) (Eq__trans Prop (and (Leq a a) (Leq b a)) (and True (Leq b a)) (Leq b a) (congrFun' Prop Prop (and (Leq a a)) (and True) (congrArg Prop (Prop -> Prop) (Leq a a) True and (Std__le_refl___simp_1 x a)) (Leq b a)) (true_and (Leq b a))))) (le_sup_left___simp_2 x a b)) (and_true (Leq b a)))) (Leq b a)) (iff_self (Leq b a)))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$, if and only if $b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$ si et seulement si $b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy maximum $a$ a $b$ je rovné do $a$, právě tehdy, když $b \leq a$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$, genau dann, wenn $b \leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$, om och endast om $b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}\leftrightarrow b \leq a$
Proof
20 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$, if and only if $\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_antisymm_iff
3.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a)}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , a), \mathrm{Leq} (b , a))}$.sup_le_iff._simp_3
4.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (a , a)}{\mathrm{True}}$.Std.le_refl._simp_1
5.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , a))}{\mathrm{and} (\mathrm{True})}$.congrArg 4
6.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , a), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{and} (\mathrm{True} , \mathrm{Leq} (b , a))}$.congrFun' 5
7.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{True} , \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.true_and
8.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , a), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.Eq.trans 6, 7
9.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a)}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.Eq.trans 3, 8
10.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (b , a))}$.congrArg 9
11.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{\mathrm{True}}$.le_sup_left._simp_2
12.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b}))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (b , a), \mathrm{True})}$.congr 10, 11
13.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (b , a), \mathrm{True})}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.and_true
14.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b}))}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.Eq.trans 12, 13
15.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})))}{\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (b , a))}$.congrArg 14
16.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (b , a), \mathrm{Leq} (b , a))}$.congrFun' 15
17.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (b , a), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{True}}$.iff_self
18.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{True}}$.Eq.trans 16, 17
19.$\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$, if and only if $b \leq a$.of_eq_true 18
20.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$, if and only if $b \leq a$.Iff.trans 2, 19
Proof, French
20 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$ si et seulement si $\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_antisymm_iff
3.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a)}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , a), \mathrm{Leq} (b , a))}$.sup_le_iff._simp_3
4.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (a , a)}{\mathrm{True}}$.Std.le_refl._simp_1
5.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , a))}{\mathrm{and} (\mathrm{True})}$.congrArg 4
6.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , a), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{and} (\mathrm{True} , \mathrm{Leq} (b , a))}$.congrFun' 5
7.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{True} , \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.true_and
8.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , a), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.Eq.trans 6, 7
9.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a)}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.Eq.trans 3, 8
10.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (b , a))}$.congrArg 9
11.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{\mathrm{True}}$.le_sup_left._simp_2
12.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b}))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (b , a), \mathrm{True})}$.congr 10, 11
13.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (b , a), \mathrm{True})}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.and_true
14.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b}))}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.Eq.trans 12, 13
15.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})))}{\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (b , a))}$.congrArg 14
16.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (b , a), \mathrm{Leq} (b , a))}$.congrFun' 15
17.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (b , a), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{True}}$.iff_self
18.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{True}}$.Eq.trans 16, 17
19.$\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$ si et seulement si $b \leq a$.of_eq_true 18
20.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$ si et seulement si $b \leq a$.Iff.trans 2, 19
Proof, Czech
20 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$, právě tehdy, když $\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_antisymm_iff
3.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a)}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , a), \mathrm{Leq} (b , a))}$.sup_le_iff._simp_3
4.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (a , a)}{\mathrm{True}}$.Std.le_refl._simp_1
5.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , a))}{\mathrm{and} (\mathrm{True})}$.congrArg 4
6.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , a), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{and} (\mathrm{True} , \mathrm{Leq} (b , a))}$.congrFun' 5
7.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{True} , \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.true_and
8.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , a), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.Eq.trans 6, 7
9.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a)}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.Eq.trans 3, 8
10.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (b , a))}$.congrArg 9
11.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{\mathrm{True}}$.le_sup_left._simp_2
12.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b}))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (b , a), \mathrm{True})}$.congr 10, 11
13.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (b , a), \mathrm{True})}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.and_true
14.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b}))}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.Eq.trans 12, 13
15.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})))}{\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (b , a))}$.congrArg 14
16.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (b , a), \mathrm{Leq} (b , a))}$.congrFun' 15
17.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (b , a), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{True}}$.iff_self
18.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{True}}$.Eq.trans 16, 17
19.$\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$, právě tehdy, když $b \leq a$.of_eq_true 18
20.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$, právě tehdy, když $b \leq a$.Iff.trans 2, 19
Proof, German
20 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$, genau dann, wenn $\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_antisymm_iff
3.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a)}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , a), \mathrm{Leq} (b , a))}$.sup_le_iff._simp_3
4.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (a , a)}{\mathrm{True}}$.Std.le_refl._simp_1
5.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , a))}{\mathrm{and} (\mathrm{True})}$.congrArg 4
6.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , a), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{and} (\mathrm{True} , \mathrm{Leq} (b , a))}$.congrFun' 5
7.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{True} , \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.true_and
8.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , a), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.Eq.trans 6, 7
9.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a)}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.Eq.trans 3, 8
10.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (b , a))}$.congrArg 9
11.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{\mathrm{True}}$.le_sup_left._simp_2
12.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b}))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (b , a), \mathrm{True})}$.congr 10, 11
13.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (b , a), \mathrm{True})}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.and_true
14.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b}))}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.Eq.trans 12, 13
15.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})))}{\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (b , a))}$.congrArg 14
16.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (b , a), \mathrm{Leq} (b , a))}$.congrFun' 15
17.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (b , a), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{True}}$.iff_self
18.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{True}}$.Eq.trans 16, 17
19.$\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$, genau dann, wenn $b \leq a$.of_eq_true 18
20.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$, genau dann, wenn $b \leq a$.Iff.trans 2, 19
Proof, Swedish
20 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$, om och endast om $\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_antisymm_iff
3.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a)}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , a), \mathrm{Leq} (b , a))}$.sup_le_iff._simp_3
4.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (a , a)}{\mathrm{True}}$.Std.le_refl._simp_1
5.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , a))}{\mathrm{and} (\mathrm{True})}$.congrArg 4
6.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , a), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{and} (\mathrm{True} , \mathrm{Leq} (b , a))}$.congrFun' 5
7.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{True} , \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.true_and
8.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , a), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.Eq.trans 6, 7
9.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a)}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.Eq.trans 3, 8
10.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (b , a))}$.congrArg 9
11.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{\mathrm{True}}$.le_sup_left._simp_2
12.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b}))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (b , a), \mathrm{True})}$.congr 10, 11
13.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (b , a), \mathrm{True})}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.and_true
14.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b}))}{\mathrm{Leq} (b , a)}$.Eq.trans 12, 13
15.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})))}{\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (b , a))}$.congrArg 14
16.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (b , a), \mathrm{Leq} (b , a))}$.congrFun' 15
17.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (b , a), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{True}}$.iff_self
18.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, a), \mathrm{Leq} (a , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})), \mathrm{Leq} (b , a))}{\mathrm{True}}$.Eq.trans 16, 17
19.$\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$, om och endast om $b \leq a$.of_eq_true 18
20.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$, om och endast om $b \leq a$.Iff.trans 2, 19
inf_eq_lefttheoremLattice.lean:122
Lean
@[to_dual (attr := simp)]
Dedukti
1 lines
inf_eq_left : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Eqt x (Min__min a b) a) (Leq a b)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$, if and only if $a \leq b$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$ si et seulement si $a \leq b$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy minimum $a$ a $b$ je rovné do $a$, právě tehdy, když $a \leq b$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$, genau dann, wenn $a \leq b$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$, om och endast om $a \leq b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{a}\leftrightarrow a \leq b$
inf_eq_righttheoremLattice.lean:126
Lean
@[to_dual (attr := simp)]
Dedukti
1 lines
inf_eq_right : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Eqt x (Min__min a b) b) (Leq b a)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$, if and only if $b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$ si et seulement si $b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy minimum $a$ a $b$ je rovné do $b$, právě tehdy, když $b \leq a$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$, genau dann, wenn $b \leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$, om och endast om $b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{b}\leftrightarrow b \leq a$
sup_eq_righttheoremLattice.lean:127
Lean
@[to_dual (attr := simp)]
theorem sup_eq_right : a ⊔ b = b ↔ a ≤ b :=
  le_antisymm_iff.trans <| by simp
Dedukti
2 lines
def sup_eq_right : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Eqt x (Max__max a b) b) (Leq a b)) :=
  x => x1 => a => b => Iff__trans (Eqt x (Max__max a b) b) (and (Leq (Max__max a b) b) (Leq b (Max__max a b))) (Leq a b) (le_antisymm_iff x (Max__max a b) b) (of_eq_true (iff (and (Leq (Max__max a b) b) (Leq b (Max__max a b))) (Leq a b)) (Eq__trans Prop (iff (and (Leq (Max__max a b) b) (Leq b (Max__max a b))) (Leq a b)) (iff (Leq a b) (Leq a b)) True (congrFun' Prop Prop (iff (and (Leq (Max__max a b) b) (Leq b (Max__max a b)))) (iff (Leq a b)) (congrArg Prop (Prop -> Prop) (and (Leq (Max__max a b) b) (Leq b (Max__max a b))) (Leq a b) iff (Eq__trans Prop (and (Leq (Max__max a b) b) (Leq b (Max__max a b))) (and (Leq a b) True) (Leq a b) (congr Prop Prop (and (Leq (Max__max a b) b)) (and (Leq a b)) (Leq b (Max__max a b)) True (congrArg Prop (Prop -> Prop) (Leq (Max__max a b) b) (Leq a b) and (Eq__trans Prop (Leq (Max__max a b) b) (and (Leq a b) (Leq b b)) (Leq a b) (sup_le_iff___simp_3 x a b b) (Eq__trans Prop (and (Leq a b) (Leq b b)) (and (Leq a b) True) (Leq a b) (congrArg Prop Prop (Leq b b) True (and (Leq a b)) (Std__le_refl___simp_1 x b)) (and_true (Leq a b))))) (le_sup_right___simp_2 x a b)) (and_true (Leq a b)))) (Leq a b)) (iff_self (Leq a b)))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$, if and only if $a \leq b$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$ si et seulement si $a \leq b$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy maximum $a$ a $b$ je rovné do $b$, právě tehdy, když $a \leq b$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$, genau dann, wenn $a \leq b$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$, om och endast om $a \leq b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}\leftrightarrow a \leq b$
Proof
18 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$, if and only if $\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq b \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_antisymm_iff
3.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b)}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (b , b))}$.sup_le_iff._simp_3
4.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (b , b)}{\mathrm{True}}$.Std.le_refl._simp_1
5.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (b , b))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{True})}$.congrArg 4
6.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{True})}{\mathrm{Leq} (a , b)}$.and_true
7.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (b , b))}{\mathrm{Leq} (a , b)}$.Eq.trans 5, 6
8.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b)}{\mathrm{Leq} (a , b)}$.Eq.trans 3, 7
9.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b))}$.congrArg 8
10.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{\mathrm{True}}$.le_sup_right._simp_2
11.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b}))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{True})}$.congr 9, 10
12.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b}))}{\mathrm{Leq} (a , b)}$.Eq.trans 11, 6
13.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})))}{\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (a , b))}$.congrArg 12
14.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})), \mathrm{Leq} (a , b))}{\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (a , b))}$.congrFun' 13
15.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (a , b))}{\mathrm{True}}$.iff_self
16.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})), \mathrm{Leq} (a , b))}{\mathrm{True}}$.Eq.trans 14, 15
17.$\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq b \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$, if and only if $a \leq b$.of_eq_true 16
18.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$, if and only if $a \leq b$.Iff.trans 2, 17
Proof, French
18 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$ si et seulement si $\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq b \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_antisymm_iff
3.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b)}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (b , b))}$.sup_le_iff._simp_3
4.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (b , b)}{\mathrm{True}}$.Std.le_refl._simp_1
5.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (b , b))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{True})}$.congrArg 4
6.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{True})}{\mathrm{Leq} (a , b)}$.and_true
7.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (b , b))}{\mathrm{Leq} (a , b)}$.Eq.trans 5, 6
8.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b)}{\mathrm{Leq} (a , b)}$.Eq.trans 3, 7
9.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b))}$.congrArg 8
10.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{\mathrm{True}}$.le_sup_right._simp_2
11.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b}))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{True})}$.congr 9, 10
12.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b}))}{\mathrm{Leq} (a , b)}$.Eq.trans 11, 6
13.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})))}{\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (a , b))}$.congrArg 12
14.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})), \mathrm{Leq} (a , b))}{\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (a , b))}$.congrFun' 13
15.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (a , b))}{\mathrm{True}}$.iff_self
16.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})), \mathrm{Leq} (a , b))}{\mathrm{True}}$.Eq.trans 14, 15
17.$\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq b \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$ si et seulement si $a \leq b$.of_eq_true 16
18.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$ si et seulement si $a \leq b$.Iff.trans 2, 17
Proof, Czech
18 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$, právě tehdy, když $\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq b \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_antisymm_iff
3.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b)}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (b , b))}$.sup_le_iff._simp_3
4.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (b , b)}{\mathrm{True}}$.Std.le_refl._simp_1
5.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (b , b))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{True})}$.congrArg 4
6.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{True})}{\mathrm{Leq} (a , b)}$.and_true
7.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (b , b))}{\mathrm{Leq} (a , b)}$.Eq.trans 5, 6
8.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b)}{\mathrm{Leq} (a , b)}$.Eq.trans 3, 7
9.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b))}$.congrArg 8
10.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{\mathrm{True}}$.le_sup_right._simp_2
11.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b}))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{True})}$.congr 9, 10
12.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b}))}{\mathrm{Leq} (a , b)}$.Eq.trans 11, 6
13.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})))}{\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (a , b))}$.congrArg 12
14.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})), \mathrm{Leq} (a , b))}{\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (a , b))}$.congrFun' 13
15.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (a , b))}{\mathrm{True}}$.iff_self
16.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})), \mathrm{Leq} (a , b))}{\mathrm{True}}$.Eq.trans 14, 15
17.$\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq b \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$, právě tehdy, když $a \leq b$.of_eq_true 16
18.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$, právě tehdy, když $a \leq b$.Iff.trans 2, 17
Proof, German
18 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$, genau dann, wenn $\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq b \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_antisymm_iff
3.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b)}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (b , b))}$.sup_le_iff._simp_3
4.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (b , b)}{\mathrm{True}}$.Std.le_refl._simp_1
5.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (b , b))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{True})}$.congrArg 4
6.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{True})}{\mathrm{Leq} (a , b)}$.and_true
7.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (b , b))}{\mathrm{Leq} (a , b)}$.Eq.trans 5, 6
8.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b)}{\mathrm{Leq} (a , b)}$.Eq.trans 3, 7
9.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b))}$.congrArg 8
10.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{\mathrm{True}}$.le_sup_right._simp_2
11.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b}))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{True})}$.congr 9, 10
12.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b}))}{\mathrm{Leq} (a , b)}$.Eq.trans 11, 6
13.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})))}{\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (a , b))}$.congrArg 12
14.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})), \mathrm{Leq} (a , b))}{\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (a , b))}$.congrFun' 13
15.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (a , b))}{\mathrm{True}}$.iff_self
16.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})), \mathrm{Leq} (a , b))}{\mathrm{True}}$.Eq.trans 14, 15
17.$\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq b \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$, genau dann, wenn $a \leq b$.of_eq_true 16
18.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$, genau dann, wenn $a \leq b$.Iff.trans 2, 17
Proof, Swedish
18 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$, om och endast om $\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq b \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_antisymm_iff
3.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b)}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (b , b))}$.sup_le_iff._simp_3
4.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (b , b)}{\mathrm{True}}$.Std.le_refl._simp_1
5.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (b , b))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{True})}$.congrArg 4
6.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{True})}{\mathrm{Leq} (a , b)}$.and_true
7.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (b , b))}{\mathrm{Leq} (a , b)}$.Eq.trans 5, 6
8.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b)}{\mathrm{Leq} (a , b)}$.Eq.trans 3, 7
9.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b))}$.congrArg 8
10.$\EqtMACRoJ {\mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{\mathrm{True}}$.le_sup_right._simp_2
11.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b}))}{\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{True})}$.congr 9, 10
12.$\EqtMACRoJ {\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b}))}{\mathrm{Leq} (a , b)}$.Eq.trans 11, 6
13.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})))}{\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (a , b))}$.congrArg 12
14.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})), \mathrm{Leq} (a , b))}{\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (a , b))}$.congrFun' 13
15.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{Leq} (a , b), \mathrm{Leq} (a , b))}{\mathrm{True}}$.iff_self
16.$\EqtMACRoJ {\mathrm{iff} (\mathrm{and} (\mathrm{Leq} (\MaxmaxMACRoAM {a}{b}, b), \mathrm{Leq} (b , \MaxmaxMACRoAM {a}{b})), \mathrm{Leq} (a , b))}{\mathrm{True}}$.Eq.trans 14, 15
17.$\MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq b \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$, om och endast om $a \leq b$.of_eq_true 16
18.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$, om och endast om $a \leq b$.Iff.trans 2, 17
left_eq_suptheoremLattice.lean:131
Lean
@[to_dual (attr := simp)]
theorem left_eq_sup : a = a ⊔ b ↔ b ≤ a :=
  eq_comm.trans sup_eq_left
Dedukti
2 lines
def left_eq_sup : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Eqt x a (Max__max a b)) (Leq b a)) :=
  x => x1 => a => b => Iff__trans (Eqt x a (Max__max a b)) (Eqt x (Max__max a b) a) (Leq b a) (eq_comm x a (Max__max a b)) (sup_eq_left x a b).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {a}{\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}$, if and only if $b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {a}{\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}$ si et seulement si $b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $a$ je rovné do maxima $a$ a $b$, právě tehdy, když $b \leq a$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {a}{\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}$, genau dann, wenn $b \leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {a}{\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}$, om och endast om $b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {a}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}\leftrightarrow b \leq a$
Proof
4 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$\EqtMACRoJ {a}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$, if and only if $\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$.eq_comm
3.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$, if and only if $b \leq a$.sup_eq_left
4.$\EqtMACRoJ {a}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$, if and only if $b \leq a$.Iff.trans 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$\EqtMACRoJ {a}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$ si et seulement si $\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$.eq_comm
3.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$ si et seulement si $b \leq a$.sup_eq_left
4.$\EqtMACRoJ {a}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$ si et seulement si $b \leq a$.Iff.trans 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$\EqtMACRoJ {a}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$, právě tehdy, když $\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$.eq_comm
3.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$, právě tehdy, když $b \leq a$.sup_eq_left
4.$\EqtMACRoJ {a}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$, právě tehdy, když $b \leq a$.Iff.trans 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$\EqtMACRoJ {a}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$, genau dann, wenn $\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$.eq_comm
3.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$, genau dann, wenn $b \leq a$.sup_eq_left
4.$\EqtMACRoJ {a}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$, genau dann, wenn $b \leq a$.Iff.trans 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$\EqtMACRoJ {a}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$, om och endast om $\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$.eq_comm
3.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$, om och endast om $b \leq a$.sup_eq_left
4.$\EqtMACRoJ {a}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$, om och endast om $b \leq a$.Iff.trans 2, 3
left_eq_inftheoremLattice.lean:130
Lean
@[to_dual (attr := simp)]
Dedukti
1 lines
left_eq_inf : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Eqt x a (Min__min a b)) (Leq a b)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {a}{\MinminMACRoAG {a}{b}}$, if and only if $a \leq b$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {a}{\MinminMACRoAG {a}{b}}$ si et seulement si $a \leq b$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $a$ je rovné do minima $a$ a $b$, právě tehdy, když $a \leq b$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {a}{\MinminMACRoAG {a}{b}}$, genau dann, wenn $a \leq b$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {a}{\MinminMACRoAG {a}{b}}$, om och endast om $a \leq b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {a}{\MinminMACRoAN {a}{b}}\leftrightarrow a \leq b$
right_eq_inftheoremLattice.lean:134
Lean
@[to_dual (attr := simp)]
Dedukti
1 lines
right_eq_inf : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Eqt x b (Min__min a b)) (Leq b a)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {b}{\MinminMACRoAG {a}{b}}$, if and only if $b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {b}{\MinminMACRoAG {a}{b}}$ si et seulement si $b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $b$ je rovné do minima $a$ a $b$, právě tehdy, když $b \leq a$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {b}{\MinminMACRoAG {a}{b}}$, genau dann, wenn $b \leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {b}{\MinminMACRoAG {a}{b}}$, om och endast om $b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {b}{\MinminMACRoAN {a}{b}}\leftrightarrow b \leq a$
right_eq_suptheoremLattice.lean:135
Lean
@[to_dual (attr := simp)]
theorem right_eq_sup : b = a ⊔ b ↔ a ≤ b :=
  eq_comm.trans sup_eq_right
Dedukti
2 lines
def right_eq_sup : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Eqt x b (Max__max a b)) (Leq a b)) :=
  x => x1 => a => b => Iff__trans (Eqt x b (Max__max a b)) (Eqt x (Max__max a b) b) (Leq a b) (eq_comm x b (Max__max a b)) (sup_eq_right x a b).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {b}{\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}$, if and only if $a \leq b$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {b}{\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}$ si et seulement si $a \leq b$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $b$ je rovné do maxima $a$ a $b$, právě tehdy, když $a \leq b$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {b}{\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}$, genau dann, wenn $a \leq b$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {b}{\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}$, om och endast om $a \leq b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {b}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}\leftrightarrow a \leq b$
Proof
4 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$\EqtMACRoJ {b}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$, if and only if $\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$.eq_comm
3.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$, if and only if $a \leq b$.sup_eq_right
4.$\EqtMACRoJ {b}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$, if and only if $a \leq b$.Iff.trans 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$\EqtMACRoJ {b}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$ si et seulement si $\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$.eq_comm
3.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$ si et seulement si $a \leq b$.sup_eq_right
4.$\EqtMACRoJ {b}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$ si et seulement si $a \leq b$.Iff.trans 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$\EqtMACRoJ {b}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$, právě tehdy, když $\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$.eq_comm
3.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$, právě tehdy, když $a \leq b$.sup_eq_right
4.$\EqtMACRoJ {b}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$, právě tehdy, když $a \leq b$.Iff.trans 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$\EqtMACRoJ {b}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$, genau dann, wenn $\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$.eq_comm
3.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$, genau dann, wenn $a \leq b$.sup_eq_right
4.$\EqtMACRoJ {b}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$, genau dann, wenn $a \leq b$.Iff.trans 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$\EqtMACRoJ {b}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$, om och endast om $\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$.eq_comm
3.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$, om och endast om $a \leq b$.sup_eq_right
4.$\EqtMACRoJ {b}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$, om och endast om $a \leq b$.Iff.trans 2, 3
sup_of_le_lefttheoremLattice.lean:138
*Alias* of the reverse direction of sup_eq_left.
Lean
alias ⟨le_of_sup_eq', sup_of_le_left⟩ := sup_eq_left
Dedukti
2 lines
def sup_of_le_left : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Leq b a)) -> Proof (Eqt x (Max__max a b) a) :=
  x => x1 => a => b => iffEr (Eqt x (Max__max a b) a) (Leq b a) (sup_eq_left x a b).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $b \leq a$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $b \leq a$. Alors $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $b \leq a$. Tedy maximum $a$ a $b$ je rovné do $a$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $b \leq a$. Dann $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $b \leq a$. Då $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b \in x , b \leq a \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$
Proof
3 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$, if and only if $b \leq a$.sup_eq_left
3.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$.iffEr 2
Proof, French
3 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$ si et seulement si $b \leq a$.sup_eq_left
3.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$.iffEr 2
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$, právě tehdy, když $b \leq a$.sup_eq_left
3.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$.iffEr 2
Proof, German
3 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$, genau dann, wenn $b \leq a$.sup_eq_left
3.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$.iffEr 2
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$, om och endast om $b \leq a$.sup_eq_left
3.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$.iffEr 2
le_of_sup_eq'theoremLattice.lean:138
*Alias* of the forward direction of sup_eq_left.
Lean
alias ⟨le_of_sup_eq', sup_of_le_left⟩ := sup_eq_left
Dedukti
2 lines
def le_of_sup_eq' : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Eqt x (Max__max a b) a)) -> Proof (Leq b a) :=
  x => x1 => a => b => iffEl (Eqt x (Max__max a b) a) (Leq b a) (sup_eq_left x a b).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$. Then $b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$. Alors $b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že maximum $a$ a $b$ je rovné do $a$. Tedy $b \leq a$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$. Dann $b \leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$. Då $b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b \in x , \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}\vdash b \leq a$
Proof
3 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$, if and only if $b \leq a$.sup_eq_left
3.$b \leq a$.iffEl 2
Proof, French
3 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$ si et seulement si $b \leq a$.sup_eq_left
3.$b \leq a$.iffEl 2
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$, právě tehdy, když $b \leq a$.sup_eq_left
3.$b \leq a$.iffEl 2
Proof, German
3 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$, genau dann, wenn $b \leq a$.sup_eq_left
3.$b \leq a$.iffEl 2
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$, om och endast om $b \leq a$.sup_eq_left
3.$b \leq a$.iffEl 2
sup_of_le_righttheoremLattice.lean:140
*Alias* of the reverse direction of sup_eq_right.
Lean
alias ⟨le_of_sup_eq, sup_of_le_right⟩ := sup_eq_right
Dedukti
2 lines
def sup_of_le_right : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Leq a b)) -> Proof (Eqt x (Max__max a b) b) :=
  x => x1 => a => b => iffEr (Eqt x (Max__max a b) b) (Leq a b) (sup_eq_right x a b).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a \leq b$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a \leq b$. Alors $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a \leq b$. Tedy maximum $a$ a $b$ je rovné do $b$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq b$. Dann $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a \leq b$. Då $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b \in x , a \leq b \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$
Proof
3 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$, if and only if $a \leq b$.sup_eq_right
3.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$.iffEr 2
Proof, French
3 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$ si et seulement si $a \leq b$.sup_eq_right
3.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$.iffEr 2
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$, právě tehdy, když $a \leq b$.sup_eq_right
3.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$.iffEr 2
Proof, German
3 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$, genau dann, wenn $a \leq b$.sup_eq_right
3.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$.iffEr 2
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$, om och endast om $a \leq b$.sup_eq_right
3.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$.iffEr 2
le_of_sup_eqtheoremLattice.lean:140
*Alias* of the forward direction of sup_eq_right.
Lean
alias ⟨le_of_sup_eq, sup_of_le_right⟩ := sup_eq_right
Dedukti
2 lines
def le_of_sup_eq : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Eqt x (Max__max a b) b)) -> Proof (Leq a b) :=
  x => x1 => a => b => iffEl (Eqt x (Max__max a b) b) (Leq a b) (sup_eq_right x a b).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$. Then $a \leq b$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$. Alors $a \leq b$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že maximum $a$ a $b$ je rovné do $b$. Tedy $a \leq b$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$. Dann $a \leq b$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$. Då $a \leq b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b \in x , \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}\vdash a \leq b$
Proof
3 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$, if and only if $a \leq b$.sup_eq_right
3.$a \leq b$.iffEl 2
Proof, French
3 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$ si et seulement si $a \leq b$.sup_eq_right
3.$a \leq b$.iffEl 2
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$, právě tehdy, když $a \leq b$.sup_eq_right
3.$a \leq b$.iffEl 2
Proof, German
3 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$, genau dann, wenn $a \leq b$.sup_eq_right
3.$a \leq b$.iffEl 2
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}$, om och endast om $a \leq b$.sup_eq_right
3.$a \leq b$.iffEl 2
inf_of_le_righttheoremLattice.lean:142
*Alias* of the reverse direction of inf_eq_right.
Lean
attribute [to_dual (attr := simp)] sup_of_le_left sup_of_le_right
Dedukti
1 lines
inf_of_le_right : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Leq b a)) -> Proof (Eqt x (Min__min a b) b).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $b \leq a$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $b \leq a$. Alors $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $b \leq a$. Tedy minimum $a$ a $b$ je rovné do $b$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $b \leq a$. Dann $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $b \leq a$. Då $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b \in x , b \leq a \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{b}$
inf_of_le_lefttheoremLattice.lean:142
*Alias* of the reverse direction of inf_eq_left.
Lean
attribute [to_dual (attr := simp)] sup_of_le_left sup_of_le_right
Dedukti
1 lines
inf_of_le_left : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Leq a b)) -> Proof (Eqt x (Min__min a b) a).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $a \leq b$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $a \leq b$. Alors $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že $a \leq b$. Tedy minimum $a$ a $b$ je rovné do $a$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq b$. Dann $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $a \leq b$. Då $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b \in x , a \leq b \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{a}$
le_of_inf_eq'theoremLattice.lean:143
*Alias* of the forward direction of inf_eq_right.
Lean
attribute [to_dual le_of_inf_eq'] le_of_sup_eq
Dedukti
1 lines
le_of_inf_eq' : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Eqt x (Min__min a b) b)) -> Proof (Leq b a).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$. Then $b \leq a$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$. Alors $b \leq a$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že minimum $a$ a $b$ je rovné do $b$. Tedy $b \leq a$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$. Dann $b \leq a$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$. Då $b \leq a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b \in x , \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{b}\vdash b \leq a$
le_of_inf_eqtheoremLattice.lean:144
*Alias* of the forward direction of inf_eq_left.
Lean
attribute [to_dual le_of_inf_eq] le_of_sup_eq'
Dedukti
1 lines
le_of_inf_eq : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Eqt x (Min__min a b) a)) -> Proof (Leq a b).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$ such that $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$. Then $a \leq b$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$ tels que $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$. Alors $a \leq b$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$ takový, že minimum $a$ a $b$ je rovné do $a$. Tedy $a \leq b$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$ derart, dass $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$. Dann $a \leq b$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$ sådana att $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$. Då $a \leq b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b \in x , \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{a}\vdash a \leq b$
inf_le_inftheoremLattice.lean:146
Lean
@[to_dual (attr := gcongr)]
Dedukti
1 lines
inf_le_inf : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (d : Elem x) -> (h : Proof (Leq b a)) -> (h1 : Proof (Leq d c)) -> Proof (Leq (Min__min b d) (Min__min a c)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$, $b$, $c$ and $d$ be elements of $x$ such that $b \leq a$ and $d \leq c$. Then $\MinminMACRoAG {b}{d}\leq \MinminMACRoAG {a}{c}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des éléments de $x$ tels que $b \leq a$ et $d \leq c$. Alors $\MinminMACRoAG {b}{d}\leq \MinminMACRoAG {a}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$, $b$, $c$ a $d$ je prvek $x$ takový, že $b \leq a$ a $d \leq c$. Tedy $\MinminMACRoAG {b}{d}\leq \MinminMACRoAG {a}{c}$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $a$, $b$, $c$ und $d$ elemente von $x$ derart, dass $b \leq a$ und $d \leq c$. Dann $\MinminMACRoAG {b}{d}\leq \MinminMACRoAG {a}{c}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$, $b$, $c$ och $d$ vara element av $x$ sådana att $b \leq a$ och $d \leq c$. Då $\MinminMACRoAG {b}{d}\leq \MinminMACRoAG {a}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b , c , d \in x , b \leq a , d \leq c \vdash \MinminMACRoAN {b}{d}\leq \MinminMACRoAN {a}{c}$
sup_le_suptheoremLattice.lean:147
Lean
@[to_dual (attr := gcongr)]
theorem sup_le_sup (h₁ : a ≤ b) (h₂ : c ≤ d) : a ⊔ c ≤ b ⊔ d :=
  sup_le (le_sup_of_le_left h₁) (le_sup_of_le_right h₂)
Dedukti
2 lines
def sup_le_sup : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (d : Elem x) -> (h : Proof (Leq a b)) -> (h1 : Proof (Leq c d)) -> Proof (Leq (Max__max a c) (Max__max b d)) :=
  x => x1 => a => b => c => d => h => h1 => sup_le x a c (Max__max b d) (le_sup_of_le_left x b d a h) (le_sup_of_le_right x b d c h1).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$, $b$, $c$ and $d$ be elements of $x$ such that $a \leq b$ and $c \leq d$. Then $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}\leq \MaxmaxMACRoAF {b}{d}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des éléments de $x$ tels que $a \leq b$ et $c \leq d$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}\leq \MaxmaxMACRoAF {b}{d}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$, $b$, $c$ a $d$ je prvek $x$ takový, že $a \leq b$ a $c \leq d$. Tedy $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}\leq \MaxmaxMACRoAF {b}{d}$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$, $b$, $c$ und $d$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq b$ und $c \leq d$. Dann $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}\leq \MaxmaxMACRoAF {b}{d}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$, $b$, $c$ och $d$ vara element av $x$ sådana att $a \leq b$ och $c \leq d$. Då $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}\leq \MaxmaxMACRoAF {b}{d}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b , c , d \in x , a \leq b , c \leq d \vdash \MaxmaxMACRoAM {a}{c}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{d}$
Proof
6 lines
1.Let $a$, $b$, $c$ and $d$ be elements of $x$.
2.Assume that $a \leq b$.
3.$a \leq \MaxmaxMACRoAM {b}{d}$.le_sup_of_le_left 2
4.Assume that $c \leq d$.
5.$c \leq \MaxmaxMACRoAM {b}{d}$.le_sup_of_le_right 4
6.$\MaxmaxMACRoAM {a}{c}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{d}$.sup_le 3, 5
Proof, French
6 lines
1.Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $a \leq b$.
3.$a \leq \MaxmaxMACRoAM {b}{d}$.le_sup_of_le_left 2
4.Supposons que $c \leq d$.
5.$c \leq \MaxmaxMACRoAM {b}{d}$.le_sup_of_le_right 4
6.$\MaxmaxMACRoAM {a}{c}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{d}$.sup_le 3, 5
Proof, Czech
6 lines
1.Nechť $a$, $b$, $c$ a $d$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $a \leq b$.
3.$a \leq \MaxmaxMACRoAM {b}{d}$.le_sup_of_le_left 2
4.Předpokládejme, že $c \leq d$.
5.$c \leq \MaxmaxMACRoAM {b}{d}$.le_sup_of_le_right 4
6.$\MaxmaxMACRoAM {a}{c}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{d}$.sup_le 3, 5
Proof, German
6 lines
1.Seien $a$, $b$, $c$ und $d$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $a \leq b$.
3.$a \leq \MaxmaxMACRoAM {b}{d}$.le_sup_of_le_left 2
4.Nimm an, dass $c \leq d$.
5.$c \leq \MaxmaxMACRoAM {b}{d}$.le_sup_of_le_right 4
6.$\MaxmaxMACRoAM {a}{c}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{d}$.sup_le 3, 5
Proof, Swedish
6 lines
1.Låt $a$, $b$, $c$ och $d$ vara element av $x$.
2.Anta att $a \leq b$.
3.$a \leq \MaxmaxMACRoAM {b}{d}$.le_sup_of_le_left 2
4.Anta att $c \leq d$.
5.$c \leq \MaxmaxMACRoAM {b}{d}$.le_sup_of_le_right 4
6.$\MaxmaxMACRoAM {a}{c}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{d}$.sup_le 3, 5
inf_le_inf_lefttheoremLattice.lean:153
Lean
@[to_dual (reorder := h₁ c)]
Dedukti
1 lines
inf_le_inf_left : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Leq b a)) -> Proof (Leq (Min__min c b) (Min__min c a)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $b \leq a$. Then $\MinminMACRoAG {c}{b}\leq \MinminMACRoAG {c}{a}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $b \leq a$. Alors $\MinminMACRoAG {c}{b}\leq \MinminMACRoAG {c}{a}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $b \leq a$. Tedy $\MinminMACRoAG {c}{b}\leq \MinminMACRoAG {c}{a}$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $b \leq a$. Dann $\MinminMACRoAG {c}{b}\leq \MinminMACRoAG {c}{a}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $b \leq a$. Då $\MinminMACRoAG {c}{b}\leq \MinminMACRoAG {c}{a}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b , c \in x , b \leq a \vdash \MinminMACRoAN {c}{b}\leq \MinminMACRoAN {c}{a}$
sup_le_sup_lefttheoremLattice.lean:154
Lean
@[to_dual (reorder := h₁ c)]
theorem sup_le_sup_left (h₁ : a ≤ b) (c) : c ⊔ a ≤ c ⊔ b :=
  sup_le_sup le_rfl h₁
Dedukti
2 lines
def sup_le_sup_left : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Leq a b)) -> (c : Elem x) -> Proof (Leq (Max__max c a) (Max__max c b)) :=
  x => x1 => a => b => h => c => sup_le_sup x c c a b (le_rfl x c) h.
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $a \leq b$. Then $\MaxmaxMACRoAF {c}{a}\leq \MaxmaxMACRoAF {c}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $a \leq b$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {c}{a}\leq \MaxmaxMACRoAF {c}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $a \leq b$. Tedy $\MaxmaxMACRoAF {c}{a}\leq \MaxmaxMACRoAF {c}{b}$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq b$. Dann $\MaxmaxMACRoAF {c}{a}\leq \MaxmaxMACRoAF {c}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $a \leq b$. Då $\MaxmaxMACRoAF {c}{a}\leq \MaxmaxMACRoAF {c}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b \in x , a \leq b , c \in x \vdash \MaxmaxMACRoAM {c}{a}\leq \MaxmaxMACRoAM {c}{b}$
Proof
4 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.$c \leq c$.le_rfl
3.Assume that $a \leq b$.
4.$\MaxmaxMACRoAM {c}{a}\leq \MaxmaxMACRoAM {c}{b}$.sup_le_sup 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.$c \leq c$.le_rfl
3.Supposons que $a \leq b$.
4.$\MaxmaxMACRoAM {c}{a}\leq \MaxmaxMACRoAM {c}{b}$.sup_le_sup 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.$c \leq c$.le_rfl
3.Předpokládejme, že $a \leq b$.
4.$\MaxmaxMACRoAM {c}{a}\leq \MaxmaxMACRoAM {c}{b}$.sup_le_sup 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.$c \leq c$.le_rfl
3.Nimm an, dass $a \leq b$.
4.$\MaxmaxMACRoAM {c}{a}\leq \MaxmaxMACRoAM {c}{b}$.sup_le_sup 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.$c \leq c$.le_rfl
3.Anta att $a \leq b$.
4.$\MaxmaxMACRoAM {c}{a}\leq \MaxmaxMACRoAM {c}{b}$.sup_le_sup 2, 3
inf_le_inf_righttheoremLattice.lean:157
Lean
@[to_dual (reorder := h₁ c)]
Dedukti
1 lines
inf_le_inf_right : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Leq b a)) -> Proof (Leq (Min__min b c) (Min__min a c)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $b \leq a$. Then $\MinminMACRoAG {b}{c}\leq \MinminMACRoAG {a}{c}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $b \leq a$. Alors $\MinminMACRoAG {b}{c}\leq \MinminMACRoAG {a}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $b \leq a$. Tedy $\MinminMACRoAG {b}{c}\leq \MinminMACRoAG {a}{c}$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $b \leq a$. Dann $\MinminMACRoAG {b}{c}\leq \MinminMACRoAG {a}{c}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $b \leq a$. Då $\MinminMACRoAG {b}{c}\leq \MinminMACRoAG {a}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b , c \in x , b \leq a \vdash \MinminMACRoAN {b}{c}\leq \MinminMACRoAN {a}{c}$
sup_le_sup_righttheoremLattice.lean:158
Lean
@[to_dual (reorder := h₁ c)]
theorem sup_le_sup_right (h₁ : a ≤ b) (c) : a ⊔ c ≤ b ⊔ c :=
  sup_le_sup h₁ le_rfl
Dedukti
2 lines
def sup_le_sup_right : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (h : Proof (Leq a b)) -> (c : Elem x) -> Proof (Leq (Max__max a c) (Max__max b c)) :=
  x => x1 => a => b => h => c => sup_le_sup x a b c c h (le_rfl x c).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $a \leq b$. Then $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}\leq \MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $a \leq b$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}\leq \MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $a \leq b$. Tedy $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}\leq \MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq b$. Dann $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}\leq \MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $a \leq b$. Då $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}\leq \MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b \in x , a \leq b , c \in x \vdash \MaxmaxMACRoAM {a}{c}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$
Proof
4 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.Assume that $a \leq b$.
3.$c \leq c$.le_rfl
4.$\MaxmaxMACRoAM {a}{c}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.sup_le_sup 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $a \leq b$.
3.$c \leq c$.le_rfl
4.$\MaxmaxMACRoAM {a}{c}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.sup_le_sup 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $a \leq b$.
3.$c \leq c$.le_rfl
4.$\MaxmaxMACRoAM {a}{c}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.sup_le_sup 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $a \leq b$.
3.$c \leq c$.le_rfl
4.$\MaxmaxMACRoAM {a}{c}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.sup_le_sup 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.Anta att $a \leq b$.
3.$c \leq c$.le_rfl
4.$\MaxmaxMACRoAM {a}{c}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.sup_le_sup 2, 3
sup_idemtheoremLattice.lean:162
Lean
@[to_dual]
theorem sup_idem (a : α) : a ⊔ a = a :=
Dedukti
1 lines
sup_idem : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max a a) a).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$ be an element of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{a}}{a}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soit $a$ un élément de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{a}}{a}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$ je prvek $x$. Tedy maximum $a$ a $a$ je rovné do $a$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Sei $a$ ein Element von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{a}}{a}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$ vara ett element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{a}}{a}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{a}}{a}$
inf_idemtheoremLattice.lean:161
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
inf_idem : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min a a) a).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$ be an element of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{a}}{a}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soit $a$ un élément de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{a}}{a}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$ je prvek $x$. Tedy minimum $a$ a $a$ je rovné do $a$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Sei $a$ ein Element von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{a}}{a}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$ vara ett element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{a}}{a}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{a}}{a}$
sup_commtheoremLattice.lean:168
Lean
@[to_dual]
theorem sup_comm (a b : α) : a ⊔ b = b ⊔ a :=
Dedukti
1 lines
sup_comm : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max a b) (Max__max b a)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{\MaxmaxMACRoAF {b}{a}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{\MaxmaxMACRoAF {b}{a}}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy maximum $a$ a $b$ je rovné do maxima $b$ a $a$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein SupHalbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{\MaxmaxMACRoAF {b}{a}}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{\MaxmaxMACRoAF {b}{a}}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{\MaxmaxMACRoAM {b}{a}}$
inf_commtheoremLattice.lean:167
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
inf_comm : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min a b) (Min__min b a)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{\MinminMACRoAG {b}{a}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{\MinminMACRoAG {b}{a}}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy minimum $a$ a $b$ je rovné do minima $b$ a $a$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein infimaler Halbverband ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{\MinminMACRoAG {b}{a}}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{\MinminMACRoAG {b}{a}}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{\MinminMACRoAN {b}{a}}$
sup_assoctheoremLattice.lean:174
Lean
@[to_dual]
theorem sup_assoc (a b c : α) : a ⊔ b ⊔ c = a ⊔ (b ⊔ c) :=
  eq_of_forall_ge_iff fun x => by simp only [sup_le_iff]; rw [and_assoc]
Dedukti
2 lines
def sup_assoc : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max (Max__max a b) c) (Max__max a (Max__max b c))) :=
  x => x1 => a => b => c => eq_of_forall_ge_iff x (Max__max (Max__max a b) c) (Max__max a (Max__max b c)) (forallI x (x2 => iff (Leq (Max__max (Max__max a b) c) x2) (Leq (Max__max a (Max__max b c)) x2)) (x2 => Eq__mpr (id (congr Prop Prop (iff (Leq (Max__max (Max__max a b) c) x2)) (iff (and (and (Leq a x2) (Leq b x2)) (Leq c x2))) (Leq (Max__max a (Max__max b c)) x2) (and (Leq a x2) (and (Leq b x2) (Leq c x2))) (congrArg Prop (Prop -> Prop) (Leq (Max__max (Max__max a b) c) x2) (and (and (Leq a x2) (Leq b x2)) (Leq c x2)) iff (Eq__trans Prop (Leq (Max__max (Max__max a b) c) x2) (and (Leq (Max__max a b) x2) (Leq c x2)) (and (and (Leq a x2) (Leq b x2)) (Leq c x2)) (sup_le_iff___simp_3 x (Max__max a b) c x2) (congrFun' Prop Prop (and (Leq (Max__max a b) x2)) (and (and (Leq a x2) (Leq b x2))) (congrArg Prop (Prop -> Prop) (Leq (Max__max a b) x2) (and (Leq a x2) (Leq b x2)) and (sup_le_iff___simp_3 x a b x2)) (Leq c x2)))) (Eq__trans Prop (Leq (Max__max a (Max__max b c)) x2) (and (Leq a x2) (Leq (Max__max b c) x2)) (and (Leq a x2) (and (Leq b x2) (Leq c x2))) (sup_le_iff___simp_3 x a (Max__max b c) x2) (congrArg Prop Prop (Leq (Max__max b c) x2) (and (Leq b x2) (Leq c x2)) (and (Leq a x2)) (sup_le_iff___simp_3 x b c x2))))) (Eq__mpr (id (congrArg Prop Prop (and (and (Leq a x2) (Leq b x2)) (Leq c x2)) (and (Leq a x2) (and (Leq b x2) (Leq c x2))) (_a => iff _a (and (Leq a x2) (and (Leq b x2) (Leq c x2)))) (propext (and_assoc (Leq a x2) (Leq b x2) (Leq c x2))))) (Iff__rfl (and (Leq a x2) (and (Leq b x2) (Leq c x2))))))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}{c}}{\MaxmaxMACRoAF {a}{(\MaxmaxMACRoAF {b}{c})}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}{c}$ est égal au maximum de $a$ et $\MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy maximum maxima $a$ a $b$ a $c$ je rovné do maxima $a$ a maximum $b$ a $c$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är maximet av $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}$ och $c$ lika till maximet av $a$ och $\MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{c}}{\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MaxmaxMACRoAM {b}{c})}}$
Proof
4 lines
1.Let $a$, $b$, $c$ and $x_{2}$ be elements of $x$.
2.There is an element of $x$.id
3.For all elements $x_{2}$ of $x$, $\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{c}\leq x_{2}$, if and only if $\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MaxmaxMACRoAM {b}{c})}\leq x_{2}$.forallI 1, 2 [x2]
4.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{c}}{\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MaxmaxMACRoAM {b}{c})}}$.eq_of_forall_ge_iff 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$, $b$, $c$ et $x_{2}$ des éléments de $x$.
2.Il y a un élément de $x$.id
3.Pour tous les éléments $x_{2}$ de $x$, $\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{c}\leq x_{2}$ si et seulement si $\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MaxmaxMACRoAM {b}{c})}\leq x_{2}$.forallI 1, 2 [x2]
4.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{c}}{\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MaxmaxMACRoAM {b}{c})}}$.eq_of_forall_ge_iff 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$, $b$, $c$ a $x_{2}$ je prvek $x$.
2.Existuje prvek $x$.id
3.Pro všechny prvky $x_{2}$ $x$, $\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{c}\leq x_{2}$, právě tehdy, když $\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MaxmaxMACRoAM {b}{c})}\leq x_{2}$.forallI 1, 2 [x2]
4.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{c}}{\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MaxmaxMACRoAM {b}{c})}}$.eq_of_forall_ge_iff 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$, $b$, $c$ und $x_{2}$ elemente von $x$.
2.Es gibt ein Element von $x$.id
3.Für alle Elemente $x_{2}$ von $x$, $\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{c}\leq x_{2}$, genau dann, wenn $\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MaxmaxMACRoAM {b}{c})}\leq x_{2}$.forallI 1, 2 [x2]
4.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{c}}{\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MaxmaxMACRoAM {b}{c})}}$.eq_of_forall_ge_iff 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$, $b$, $c$ och $x_{2}$ vara element av $x$.
2.Det finns ett element av $x$.id
3.För alla element $x_{2}$ av $x$, $\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{c}\leq x_{2}$, om och endast om $\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MaxmaxMACRoAM {b}{c})}\leq x_{2}$.forallI 1, 2 [x2]
4.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{c}}{\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MaxmaxMACRoAM {b}{c})}}$.eq_of_forall_ge_iff 3
inf_assoctheoremLattice.lean:173
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
inf_assoc : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min (Min__min a b) c) (Min__min a (Min__min b c))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{c}}{\MinminMACRoAG {a}{(\MinminMACRoAG {b}{c})}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{c}$ est égal au minimum de $a$ et $\MinminMACRoAG {b}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy minimum minima $a$ a $b$ a $c$ je rovné do minima $a$ a minimum $b$ a $c$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är minimet av $\MinminMACRoAG {a}{b}$ och $c$ lika till minimet av $a$ och $\MinminMACRoAG {b}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {(\MinminMACRoAN {a}{b})}{c}}{\MinminMACRoAN {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}}$
sup_left_right_swaptheoremLattice.lean:181
Lean
@[to_dual]
theorem sup_left_right_swap (a b c : α) : a ⊔ b ⊔ c = c ⊔ b ⊔ a :=
Dedukti
1 lines
sup_left_right_swap : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max (Max__max a b) c) (Max__max (Max__max c b) a)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}{c}}{\MaxmaxMACRoAF {(\MaxmaxMACRoAF {c}{b})}{a}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}{c}$ est égal au maximum de $\MaxmaxMACRoAF {c}{b}$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy maximum maxima $a$ a $b$ a $c$ je rovné do maxima maxima $c$ a $b$ a $a$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är maximet av $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}$ och $c$ lika till maximet av $\MaxmaxMACRoAF {c}{b}$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{c}}{\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {c}{b})}{a}}$
inf_left_right_swaptheoremLattice.lean:180
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
inf_left_right_swap : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min (Min__min a b) c) (Min__min (Min__min c b) a)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{c}}{\MinminMACRoAG {(\MinminMACRoAG {c}{b})}{a}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{c}$ est égal au minimum de $\MinminMACRoAG {c}{b}$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy minimum minima $a$ a $b$ a $c$ je rovné do minima minima $c$ a $b$ a $a$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är minimet av $\MinminMACRoAG {a}{b}$ och $c$ lika till minimet av $\MinminMACRoAG {c}{b}$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {(\MinminMACRoAN {a}{b})}{c}}{\MinminMACRoAN {(\MinminMACRoAN {c}{b})}{a}}$
sup_left_idemtheoremLattice.lean:185
Lean
@[to_dual]
theorem sup_left_idem (a b : α) : a ⊔ (a ⊔ b) = a ⊔ b :=
Dedukti
1 lines
sup_left_idem : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max a (Max__max a b)) (Max__max a b)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}}{\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}}{\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy maximum $a$ a maximum $a$ a $b$ je rovné do maxima $a$ a $b$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}}{\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$
inf_left_idemtheoremLattice.lean:184
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
inf_left_idem : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min a (Min__min a b)) (Min__min a b)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{(\MinminMACRoAG {a}{b})}}{\MinminMACRoAG {a}{b}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{(\MinminMACRoAG {a}{b})}}{\MinminMACRoAG {a}{b}}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy minimum $a$ a minimum $a$ a $b$ je rovné do minima $a$ a $b$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{(\MinminMACRoAG {a}{b})}}{\MinminMACRoAG {a}{b}}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{(\MinminMACRoAN {a}{b})}}{\MinminMACRoAN {a}{b}}$
sup_right_idemtheoremLattice.lean:188
Lean
@[to_dual]
theorem sup_right_idem (a b : α) : a ⊔ b ⊔ b = a ⊔ b :=
Dedukti
1 lines
sup_right_idem : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max (Max__max a b) b) (Max__max a b)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}{b}}{\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}{b}}{\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy maximum maxima $a$ a $b$ a $b$ je rovné do maxima $a$ a $b$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}{b}}{\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{b}}{\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}$
inf_right_idemtheoremLattice.lean:187
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
inf_right_idem : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min (Min__min a b) b) (Min__min a b)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{b}}{\MinminMACRoAG {a}{b}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{b}}{\MinminMACRoAG {a}{b}}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy minimum minima $a$ a $b$ a $b$ je rovné do minima $a$ a $b$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{b}}{\MinminMACRoAG {a}{b}}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {(\MinminMACRoAN {a}{b})}{b}}{\MinminMACRoAN {a}{b}}$
inf_left_commtheoremLattice.lean:190
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
inf_left_comm : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min a (Min__min b c)) (Min__min b (Min__min a c))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{(\MinminMACRoAG {b}{c})}}{\MinminMACRoAG {b}{(\MinminMACRoAG {a}{c})}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {a}{(\MinminMACRoAG {b}{c})}$ est égal au minimum de $b$ et $\MinminMACRoAG {a}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy minimum $a$ a minimum $b$ a $c$ je rovné do minima $b$ a minimum $a$ a $c$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är minimet av $a$ och $\MinminMACRoAG {b}{c}$ lika till minimet av $b$ och $\MinminMACRoAG {a}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}}{\MinminMACRoAN {b}{(\MinminMACRoAN {a}{c})}}$
sup_left_commtheoremLattice.lean:191
Lean
@[to_dual]
theorem sup_left_comm (a b c : α) : a ⊔ (b ⊔ c) = b ⊔ (a ⊔ c) :=
Dedukti
1 lines
sup_left_comm : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max a (Max__max b c)) (Max__max b (Max__max a c))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{(\MaxmaxMACRoAF {b}{c})}}{\MaxmaxMACRoAF {b}{(\MaxmaxMACRoAF {a}{c})}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {a}{(\MaxmaxMACRoAF {b}{c})}$ est égal au maximum de $b$ et $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy maximum $a$ a maximum $b$ a $c$ je rovné do maxima $b$ a maximum $a$ a $c$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är maximet av $a$ och $\MaxmaxMACRoAF {b}{c}$ lika till maximet av $b$ och $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MaxmaxMACRoAM {b}{c})}}{\MaxmaxMACRoAM {b}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}}$
inf_right_commtheoremLattice.lean:194
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
inf_right_comm : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min (Min__min a b) c) (Min__min (Min__min a c) b)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{c}}{\MinminMACRoAG {(\MinminMACRoAG {a}{c})}{b}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{c}$ est égal au minimum de $\MinminMACRoAG {a}{c}$ et $b$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy minimum minima $a$ a $b$ a $c$ je rovné do minima minima $a$ a $c$ a $b$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är minimet av $\MinminMACRoAG {a}{b}$ och $c$ lika till minimet av $\MinminMACRoAG {a}{c}$ och $b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {(\MinminMACRoAN {a}{b})}{c}}{\MinminMACRoAN {(\MinminMACRoAN {a}{c})}{b}}$
sup_right_commtheoremLattice.lean:195
Lean
@[to_dual]
theorem sup_right_comm (a b c : α) : a ⊔ b ⊔ c = a ⊔ c ⊔ b :=
Dedukti
1 lines
sup_right_comm : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max (Max__max a b) c) (Max__max (Max__max a c) b)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}{c}}{\MaxmaxMACRoAF {(\MaxmaxMACRoAF {a}{c})}{b}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}{c}$ est égal au maximum de $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}$ et $b$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy maximum maxima $a$ a $b$ a $c$ je rovné do maxima maxima $a$ a $c$ a $b$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är maximet av $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}$ och $c$ lika till maximet av $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}$ och $b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{c}}{\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}{b}}$
sup_sup_sup_commtheoremLattice.lean:199
Lean
@[to_dual]
theorem sup_sup_sup_comm (a b c d : α) : a ⊔ b ⊔ (c ⊔ d) = a ⊔ c ⊔ (b ⊔ d) :=
Dedukti
1 lines
sup_sup_sup_comm : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (d : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max (Max__max a b) (Max__max c d)) (Max__max (Max__max a c) (Max__max b d))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$, $b$, $c$ and $d$ be elements of $x$. Then the maximum of $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}$ and $\MaxmaxMACRoAF {c}{d}$ is equal to the maximum of $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}$ and $\MaxmaxMACRoAF {b}{d}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des éléments de $x$. Alors le maximum de $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}$ et $\MaxmaxMACRoAF {c}{d}$ est égal au maximum de $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}$ et $\MaxmaxMACRoAF {b}{d}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$, $b$, $c$ a $d$ je prvek $x$. Tedy maximum maxima $a$ a $b$ a maximum $c$ a $d$ je rovné do maxima maxima $a$ a $c$ a maximum $b$ a $d$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$, $b$, $c$ och $d$ vara element av $x$. Då är maximet av $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}$ och $\MaxmaxMACRoAF {c}{d}$ lika till maximet av $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}$ och $\MaxmaxMACRoAF {b}{d}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b , c , d \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {c}{d})}}{\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}{(\MaxmaxMACRoAM {b}{d})}}$
inf_inf_inf_commtheoremLattice.lean:198
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
inf_inf_inf_comm : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (d : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min (Min__min a b) (Min__min c d)) (Min__min (Min__min a c) (Min__min b d))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$, $b$, $c$ and $d$ be elements of $x$. Then the minimum of $\MinminMACRoAG {a}{b}$ and $\MinminMACRoAG {c}{d}$ is equal to the minimum of $\MinminMACRoAG {a}{c}$ and $\MinminMACRoAG {b}{d}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$, $b$, $c$ et $d$ des éléments de $x$. Alors le minimum de $\MinminMACRoAG {a}{b}$ et $\MinminMACRoAG {c}{d}$ est égal au minimum de $\MinminMACRoAG {a}{c}$ et $\MinminMACRoAG {b}{d}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$, $b$, $c$ a $d$ je prvek $x$. Tedy minimum minima $a$ a $b$ a minimum $c$ a $d$ je rovné do minima minima $a$ a $c$ a minimum $b$ a $d$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$, $b$, $c$ och $d$ vara element av $x$. Då är minimet av $\MinminMACRoAG {a}{b}$ och $\MinminMACRoAG {c}{d}$ lika till minimet av $\MinminMACRoAG {a}{c}$ och $\MinminMACRoAG {b}{d}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b , c , d \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {(\MinminMACRoAN {a}{b})}{(\MinminMACRoAN {c}{d})}}{\MinminMACRoAN {(\MinminMACRoAN {a}{c})}{(\MinminMACRoAN {b}{d})}}$
inf_rotatetheoremLattice.lean:202
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
inf_rotate : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min (Min__min a b) c) (Min__min (Min__min b c) a)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{c}}{\MinminMACRoAG {(\MinminMACRoAG {b}{c})}{a}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{c}$ est égal au minimum de $\MinminMACRoAG {b}{c}$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy minimum minima $a$ a $b$ a $c$ je rovné do minima minima $b$ a $c$ a $a$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är minimet av $\MinminMACRoAG {a}{b}$ och $c$ lika till minimet av $\MinminMACRoAG {b}{c}$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {(\MinminMACRoAN {a}{b})}{c}}{\MinminMACRoAN {(\MinminMACRoAN {b}{c})}{a}}$
sup_rotatetheoremLattice.lean:203
Lean
@[to_dual]
theorem sup_rotate (a b c : α) : a ⊔ b ⊔ c = b ⊔ c ⊔ a :=
Dedukti
1 lines
sup_rotate : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max (Max__max a b) c) (Max__max (Max__max b c) a)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}{c}}{\MaxmaxMACRoAF {(\MaxmaxMACRoAF {b}{c})}{a}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}{c}$ est égal au maximum de $\MaxmaxMACRoAF {b}{c}$ et $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy maximum maxima $a$ a $b$ a $c$ je rovné do maxima maxima $b$ a $c$ a $a$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är maximet av $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}$ och $c$ lika till maximet av $\MaxmaxMACRoAF {b}{c}$ och $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{c}}{\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {b}{c})}{a}}$
sup_rotate'theoremLattice.lean:207
Lean
@[to_dual]
theorem sup_rotate' (a b c : α) : a ⊔ (b ⊔ c) = b ⊔ (c ⊔ a) :=
Dedukti
1 lines
sup_rotate' : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max a (Max__max b c)) (Max__max b (Max__max c a))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{(\MaxmaxMACRoAF {b}{c})}}{\MaxmaxMACRoAF {b}{(\MaxmaxMACRoAF {c}{a})}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {a}{(\MaxmaxMACRoAF {b}{c})}$ est égal au maximum de $b$ et $\MaxmaxMACRoAF {c}{a}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy maximum $a$ a maximum $b$ a $c$ je rovné do maxima $b$ a maximum $c$ a $a$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är maximet av $a$ och $\MaxmaxMACRoAF {b}{c}$ lika till maximet av $b$ och $\MaxmaxMACRoAF {c}{a}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MaxmaxMACRoAM {b}{c})}}{\MaxmaxMACRoAM {b}{(\MaxmaxMACRoAM {c}{a})}}$
inf_rotate'theoremLattice.lean:206
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
inf_rotate' : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min a (Min__min b c)) (Min__min b (Min__min c a))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{(\MinminMACRoAG {b}{c})}}{\MinminMACRoAG {b}{(\MinminMACRoAG {c}{a})}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {a}{(\MinminMACRoAG {b}{c})}$ est égal au minimum de $b$ et $\MinminMACRoAG {c}{a}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy minimum $a$ a minimum $b$ a $c$ je rovné do minima $b$ a minimum $c$ a $a$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är minimet av $a$ och $\MinminMACRoAG {b}{c}$ lika till minimet av $b$ och $\MinminMACRoAG {c}{a}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}}{\MinminMACRoAN {b}{(\MinminMACRoAN {c}{a})}}$
sup_sup_distrib_lefttheoremLattice.lean:211
Lean
@[to_dual]
theorem sup_sup_distrib_left (a b c : α) : a ⊔ (b ⊔ c) = a ⊔ b ⊔ (a ⊔ c) :=
Dedukti
1 lines
sup_sup_distrib_left : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max a (Max__max b c)) (Max__max (Max__max a b) (Max__max a c))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{(\MaxmaxMACRoAF {b}{c})}}{\MaxmaxMACRoAF {(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAF {a}{c})}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {a}{(\MaxmaxMACRoAF {b}{c})}$ est égal au maximum de $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}$ et $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy maximum $a$ a maximum $b$ a $c$ je rovné do maxima maxima $a$ a $b$ a maximum $a$ a $c$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är maximet av $a$ och $\MaxmaxMACRoAF {b}{c}$ lika till maximet av $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}$ och $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MaxmaxMACRoAM {b}{c})}}{\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}}$
inf_inf_distrib_lefttheoremLattice.lean:210
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
inf_inf_distrib_left : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min a (Min__min b c)) (Min__min (Min__min a b) (Min__min a c))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{(\MinminMACRoAG {b}{c})}}{\MinminMACRoAG {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{(\MinminMACRoAG {a}{c})}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {a}{(\MinminMACRoAG {b}{c})}$ est égal au minimum de $\MinminMACRoAG {a}{b}$ et $\MinminMACRoAG {a}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy minimum $a$ a minimum $b$ a $c$ je rovné do minima minima $a$ a $b$ a minimum $a$ a $c$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är minimet av $a$ och $\MinminMACRoAG {b}{c}$ lika till minimet av $\MinminMACRoAG {a}{b}$ och $\MinminMACRoAG {a}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}}{\MinminMACRoAN {(\MinminMACRoAN {a}{b})}{(\MinminMACRoAN {a}{c})}}$
sup_sup_distrib_righttheoremLattice.lean:215
Lean
@[to_dual]
theorem sup_sup_distrib_right (a b c : α) : a ⊔ b ⊔ c = a ⊔ c ⊔ (b ⊔ c) :=
Dedukti
1 lines
sup_sup_distrib_right : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeSup x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max (Max__max a b) c) (Max__max (Max__max a c) (Max__max b c))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a join semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}{c}}{\MaxmaxMACRoAF {(\MaxmaxMACRoAF {a}{c})}{(\MaxmaxMACRoAF {b}{c})}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis de bornes supérieures. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}{c}$ est égal au maximum de $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}$ et $\MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je spojenípolosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy maximum maxima $a$ a $b$ a $c$ je rovné do maxima maxima $a$ a $c$ a maximum $b$ a $c$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett supremumhalvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är maximet av $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}$ och $c$ lika till maximet av $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}$ och $\MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeSup} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{c}}{\MaxmaxMACRoAM {(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}{(\MaxmaxMACRoAM {b}{c})}}$
inf_inf_distrib_righttheoremLattice.lean:214
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
inf_inf_distrib_right : (x : Set) -> (_ : Proof (SemilatticeInf x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min (Min__min a b) c) (Min__min (Min__min a c) (Min__min b c))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a meet semilattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{c}}{\MinminMACRoAG {(\MinminMACRoAG {a}{c})}{(\MinminMACRoAG {b}{c})}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un demi-treillis inférieur. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{c}$ est égal au minimum de $\MinminMACRoAG {a}{c}$ et $\MinminMACRoAG {b}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je průsekový polosvaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy minimum minima $a$ a $b$ a $c$ je rovné do minima minima $a$ a $c$ a minimum $b$ a $c$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett infimalt halvgitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är minimet av $\MinminMACRoAG {a}{b}$ och $c$ lika till minimet av $\MinminMACRoAG {a}{c}$ och $\MinminMACRoAG {b}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{SemilatticeInf} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {(\MinminMACRoAN {a}{b})}{c}}{\MinminMACRoAN {(\MinminMACRoAN {a}{c})}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}}$
LatticeinductiveLattice.lean:226
A lattice is a join-semilattice which is also a meet-semilattice.
Lean
class Lattice (α : Type u) extends SemilatticeSup α, SemilatticeInf α
Dedukti
1 lines
Lattice : (x : Set) -> Prop.
English
Let $x$ be a set. Then we can say that $x$ is a lattice.
French
Soit $x$ un ensemble. Alors nous pouvons dire que $x$ est un treillis.
Czech
Nechť $x$ je množina. Tedy můžeme říkat, že $x$ je svaz.
German
Sei $x$ eine Menge. Dann können wir sagen, dass $x$ ein Gitter ist.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Då kan vi säga att $x$ är ett gitter.
Formula
$x \in \mathrm{Set} \vdash \mathrm{Lattice} (x)\ \mathsf{prop}$
Lattice.le_inftheoremLattice.lean:226
The infimum is the greatest lower bound
Lean
class Lattice (α : Type u) extends SemilatticeSup α, SemilatticeInf α
Dedukti
1 lines
Lattice__le_inf : (x : Set) -> (_ : Proof (Lattice x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Leq a b)) -> (h1 : Proof (Leq a c)) -> Proof (Leq a (Lattice__inf b c)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a lattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $a \leq b$ and $a \leq c$. Then $a$ is less than or equal to the infimum of $b$ and $c$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $a \leq b$ et $a \leq c$. Alors $a$ est inférieur ou égal à l'infimum de $b$ et $c$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je svaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že $a \leq b$ a $a \leq c$. Tedy $a$ je menší nebo rovné než infimum $b$ a $c$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein Gitter ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$ derart, dass $a \leq b$ und $a \leq c$. Dann ist $a$ kleiner oder gleich dem Infimum von $b$ und $c$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett gitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $a \leq b$ och $a \leq c$. Då är $a$ mindre än eller lika med infimumet av $b$ och $c$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Lattice} (x), a , b , c \in x , a \leq b , a \leq c \vdash a \leq \operatorname{inf} (b , c)$
Lattice.inf_le_lefttheoremLattice.lean:226
The infimum is a lower bound on the first argument
Lean
class Lattice (α : Type u) extends SemilatticeSup α, SemilatticeInf α
Dedukti
1 lines
Lattice__inf_le_left : (x : Set) -> (_ : Proof (Lattice x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Leq (Lattice__inf a b) a).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a lattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then the infimum of $a$ and $b$ is less than or equal to $a$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors l'infimum de $a$ et $b$ est inférieur ou égal à $a$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je svaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy infimum $a$ a $b$ je menší nebo rovné než $a$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein Gitter ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann ist das Infimum von $a$ und $b$ kleiner oder gleich $a$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett gitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då är infimumet av $a$ och $b$ mindre än eller lika med $a$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Lattice} (x), a , b \in x \vdash \operatorname{inf} (a , b)\leq a$
Lattice.inf_le_righttheoremLattice.lean:226
The infimum is a lower bound on the second argument
Lean
class Lattice (α : Type u) extends SemilatticeSup α, SemilatticeInf α
Dedukti
1 lines
Lattice__inf_le_right : (x : Set) -> (_ : Proof (Lattice x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Leq (Lattice__inf a b) b).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a lattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then the infimum of $a$ and $b$ is less than or equal to $b$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors l'infimum de $a$ et $b$ est inférieur ou égal à $b$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je svaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy infimum $a$ a $b$ je menší nebo rovné než $b$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein Gitter ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann ist das Infimum von $a$ und $b$ kleiner oder gleich $b$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett gitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då är infimumet av $a$ och $b$ mindre än eller lika med $b$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Lattice} (x), a , b \in x \vdash \operatorname{inf} (a , b)\leq b$
Lattice.mkconstructorLattice.lean:226
Lean
class Lattice (α : Type u) extends SemilatticeSup α, SemilatticeInf α
Dedukti
1 lines
Lattice__mk : (inf : (Elem x -> Elem x -> x)) -> (inf_le_left : Proof (forall x (a2 => forall x (b2 => Leq (inf a2 b2) a2)))) -> (inf_le_right : Proof (forall x (a1 => forall x (b1 => Leq (inf a1 b1) b1)))) -> (le_inf : Proof (forall x (a => forall x (b => forall x (c => if (Leq a b) (if (Leq a c) (Leq a (inf b c)))))))) -> Proof (Lattice x).
English
Let $\mathrm{inf}$ be a function from elements of $x$ and elements of $x$ to elements of $x$ such that for all elements $a_{2}$ of $x$, for all elements $b_{2}$ of $x$, $\mathrm{inf} (a_{2} , b_{2})\leq a_{2}$, for all elements $a_{1}$ of $x$, for all elements $b_{1}$ of $x$, $\mathrm{inf} (a_{1} , b_{1})\leq b_{1}$ and for all elements $a$ of $x$, for all elements $b$ of $x$, for all elements $c$ of $x$, if $a \leq b$, then if $a \leq c$, then $a \leq \mathrm{inf} (b , c)$. Then $x$ is a lattice.
French
Soit $\mathrm{inf}$ une fonction des éléments de $x$ et des éléments de $x$ à des éléments de $x$ telle que pour tous des éléments $a_{2}$ de $x$, pour tous des éléments $b_{2}$ de $x$, $\mathrm{inf} (a_{2} , b_{2})\leq a_{2}$, pour tous des éléments $a_{1}$ de $x$, pour tous des éléments $b_{1}$ de $x$, $\mathrm{inf} (a_{1} , b_{1})\leq b_{1}$ et pour tous des éléments $a$ de $x$, pour tous des éléments $b$ de $x$, pour tous des éléments $c$ de $x$, si $a \leq b$, alors si $a \leq c$, alors $a \leq \mathrm{inf} (b , c)$. Alors $x$ est un treillis.
Czech
Nechť $\mathrm{inf}$ je funkce z prvků $x$ a prvků $x$ do prvků $x$ taková, že pro všechny prvky $a_{2}$ $x$, pro všechny prvky $b_{2}$ $x$, $\mathrm{inf} (a_{2} , b_{2})\leq a_{2}$, pro všechny prvky $a_{1}$ $x$, pro všechny prvky $b_{1}$ $x$, $\mathrm{inf} (a_{1} , b_{1})\leq b_{1}$ a pro všechny prvky $a$ $x$, pro všechny prvky $b$ $x$, pro všechny prvky $c$ $x$, jestliže $a \leq b$, pak jestliže $a \leq c$, pak $a \leq \mathrm{inf} (b , c)$. Tedy $x$ je svaz.
German
Sei $\mathrm{inf}$ eine Funktion aus Elementen von $x$ und Elementen von $x$ nach Elementen von $x$ derart, dass für alle Elemente $a_{2}$ von $x$, für alle Elemente $b_{2}$ von $x$, $\mathrm{inf} (a_{2} , b_{2})\leq a_{2}$, für alle Elemente $a_{1}$ von $x$, für alle Elemente $b_{1}$ von $x$, $\mathrm{inf} (a_{1} , b_{1})\leq b_{1}$ und für alle Elemente $a$ von $x$, für alle Elemente $b$ von $x$, für alle Elemente $c$ von $x$, wenn $a \leq b$, dann wenn $a \leq c$, dann $a \leq \mathrm{inf} (b , c)$. Dann ist $x$ ein Gitter.
Swedish
Låt $\mathrm{inf}$ vara en funktion från element av $x$ och element av $x$ till element av $x$ sådan att för alla element $a_{2}$ av $x$, för alla element $b_{2}$ av $x$, $\mathrm{inf} (a_{2} , b_{2})\leq a_{2}$, för alla element $a_{1}$ av $x$, för alla element $b_{1}$ av $x$, $\mathrm{inf} (a_{1} , b_{1})\leq b_{1}$ och för alla element $a$ av $x$, för alla element $b$ av $x$, för alla element $c$ av $x$, om $a \leq b$, så om $a \leq c$, så $a \leq \mathrm{inf} (b , c)$. Då är $x$ ett gitter.
Formula
$\mathrm{inf} \in x \rightarrow x \rightarrow x , \forall a_{2} \in x . \forall b_{2} \in x . \mathrm{inf} (a_{2} , b_{2})\leq a_{2} , \forall a_{1} \in x . \forall b_{1} \in x . \mathrm{inf} (a_{1} , b_{1})\leq b_{1} , \forall a \in x . \forall b \in x . \forall c \in x . a \leq b \rightarrow a \leq c \rightarrow a \leq \mathrm{inf} (b , c)\vdash \mathrm{Lattice} (x)$
Lattice.infdefLattice.lean:226
The binary infimum, used to derive Min α
Lean
class Lattice (α : Type u) extends SemilatticeSup α, SemilatticeInf α
Dedukti
1 lines
Lattice__inf : (x1 : Elem x) -> (x2 : Elem x) -> Elem x.
English
Let $x_{1}$ and $x_{2}$ be elements of $x$. Then the infimum of $x_{1}$ and $x_{2}$ is an element of $x$.
French
Soient $x_{1}$ et $x_{2}$ des éléments de $x$. Alors l'infimum de $x_{1}$ et $x_{2}$ est un élément de $x$.
Czech
Nechť $x_{1}$ a $x_{2}$ je prvek $x$. Tedy infimum $x_{1}$ a $x_{2}$ je prvek $x$.
German
Seien $x_{1}$ und $x_{2}$ elemente von $x$. Dann ist das Infimum von $x_{1}$ und $x_{2}$ ein Element von $x$.
Swedish
Låt $x_{1}$ och $x_{2}$ vara element av $x$. Då är infimumet av $x_{1}$ och $x_{2}$ ett element av $x$.
Formula
$x_{1} , x_{2} \in x \vdash \operatorname{inf} (x_{1} , x_{2})\in x$
inf_le_suptheoremLattice.lean:246
Lean
theorem inf_le_sup : a ⊓ b ≤ a ⊔ b :=
  le_trans inf_le_left le_sup_left
Dedukti
2 lines
def inf_le_sup : (x : Set) -> (_ : Proof (Lattice x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Leq (Min__min a b) (Max__max a b)) :=
  x => x1 => a => b => le_trans x (Min__min a b) a (Max__max a b) (inf_le_left x a b) (le_sup_left x a b).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a lattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je svaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein Gitter ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett gitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Lattice} (x), a , b \in x \vdash \MinminMACRoAN {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$
Proof
4 lines
1.Let $a$ and $b$ be elements of $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$.inf_le_left
3.$a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_left
4.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_trans 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$.inf_le_left
3.$a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_left
4.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_trans 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$.inf_le_left
3.$a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_left
4.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_trans 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$ und $b$ elemente von $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$.inf_le_left
3.$a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_left
4.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_trans 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$ och $b$ vara element av $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq a$.inf_le_left
3.$a \leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_sup_left
4.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.le_trans 2, 3
sup_le_inftheoremLattice.lean:249
Lean
theorem sup_le_inf : a ⊔ b ≤ a ⊓ b ↔ a = b :=
Dedukti
1 lines
sup_le_inf : (x : Set) -> (_ : Proof (Lattice x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Leq (Max__max a b) (Min__min a b)) (Eqt x a b)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a lattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq \MinminMACRoAG {a}{b}$, if and only if $\EqtMACRoH {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq \MinminMACRoAG {a}{b}$ si et seulement si $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je svaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq \MinminMACRoAG {a}{b}$, právě tehdy, když $\EqtMACRoH {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein Gitter ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq \MinminMACRoAG {a}{b}$, genau dann, wenn $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett gitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}\leq \MinminMACRoAG {a}{b}$, om och endast om $\EqtMACRoH {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Lattice} (x), a , b \in x \vdash \MaxmaxMACRoAM {a}{b}\leq \MinminMACRoAN {a}{b}\leftrightarrow \EqtMACRoJ {a}{b}$
inf_right_le_sup_lefttheoremLattice.lean:251
Lean
@[to_dual (attr := simp) inf_right_le_sup_left]
Dedukti
1 lines
inf_right_le_sup_left : (x : Set) -> (_ : Proof (Lattice x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Leq (Min__min b c) (Max__max a b)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a lattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\MinminMACRoAG {b}{c}\leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {b}{c}\leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je svaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy $\MinminMACRoAG {b}{c}\leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein Gitter ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$. Dann $\MinminMACRoAG {b}{c}\leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett gitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då $\MinminMACRoAG {b}{c}\leq \MaxmaxMACRoAF {a}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Lattice} (x), a , b , c \in x \vdash \MinminMACRoAN {b}{c}\leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$
inf_left_le_sup_righttheoremLattice.lean:252
Lean
@[to_dual (attr := simp) inf_right_le_sup_left]
lemma inf_left_le_sup_right : (a ⊓ b) ≤ (b ⊔ c) := le_trans inf_le_right le_sup_left
Dedukti
2 lines
def inf_left_le_sup_right : (x : Set) -> (_ : Proof (Lattice x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Leq (Min__min a b) (Max__max b c)) :=
  x => x1 => a => b => c => le_trans x (Min__min a b) b (Max__max b c) (inf_le_right x a b) (le_sup_left x b c).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a lattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je svaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein Gitter ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$. Dann $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett gitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Lattice} (x), a , b , c \in x \vdash \MinminMACRoAN {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$
Proof
4 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.inf_le_right
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.le_sup_left
4.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.le_trans 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.inf_le_right
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.le_sup_left
4.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.le_trans 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.inf_le_right
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.le_sup_left
4.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.le_trans 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.inf_le_right
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.le_sup_left
4.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.le_trans 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.inf_le_right
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.le_sup_left
4.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.le_trans 2, 3
inf_right_le_sup_righttheoremLattice.lean:255
Lean
@[simp, to_dual self]
lemma inf_right_le_sup_right : (b ⊓ a) ≤ (b ⊔ c) := le_trans inf_le_left le_sup_left
Dedukti
2 lines
def inf_right_le_sup_right : (x : Set) -> (_ : Proof (Lattice x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Leq (Min__min b a) (Max__max b c)) :=
  x => x1 => a => b => c => le_trans x (Min__min b a) b (Max__max b c) (inf_le_left x b a) (le_sup_left x b c).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a lattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\MinminMACRoAG {b}{a}\leq \MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {b}{a}\leq \MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je svaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy $\MinminMACRoAG {b}{a}\leq \MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein Gitter ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$. Dann $\MinminMACRoAG {b}{a}\leq \MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett gitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då $\MinminMACRoAG {b}{a}\leq \MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Lattice} (x), a , b , c \in x \vdash \MinminMACRoAN {b}{a}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$
Proof
4 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.$\MinminMACRoAN {b}{a}\leq b$.inf_le_left
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.le_sup_left
4.$\MinminMACRoAN {b}{a}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.le_trans 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.$\MinminMACRoAN {b}{a}\leq b$.inf_le_left
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.le_sup_left
4.$\MinminMACRoAN {b}{a}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.le_trans 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.$\MinminMACRoAN {b}{a}\leq b$.inf_le_left
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.le_sup_left
4.$\MinminMACRoAN {b}{a}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.le_trans 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.$\MinminMACRoAN {b}{a}\leq b$.inf_le_left
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.le_sup_left
4.$\MinminMACRoAN {b}{a}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.le_trans 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.$\MinminMACRoAN {b}{a}\leq b$.inf_le_left
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.le_sup_left
4.$\MinminMACRoAN {b}{a}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{c}$.le_trans 2, 3
inf_left_le_sup_lefttheoremLattice.lean:258
Lean
@[simp, to_dual self]
lemma inf_left_le_sup_left : (a ⊓ b) ≤ (c ⊔ b) := le_trans inf_le_right le_sup_right
Dedukti
2 lines
def inf_left_le_sup_left : (x : Set) -> (_ : Proof (Lattice x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Leq (Min__min a b) (Max__max c b)) :=
  x => x1 => a => b => c => le_trans x (Min__min a b) b (Max__max c b) (inf_le_right x a b) (le_sup_right x c b).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a lattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAF {c}{b}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAF {c}{b}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je svaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAF {c}{b}$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein Gitter ist. Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$. Dann $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAF {c}{b}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett gitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då $\MinminMACRoAG {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAF {c}{b}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Lattice} (x), a , b , c \in x \vdash \MinminMACRoAN {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAM {c}{b}$
Proof
4 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.inf_le_right
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {c}{b}$.le_sup_right
4.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAM {c}{b}$.le_trans 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.inf_le_right
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {c}{b}$.le_sup_right
4.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAM {c}{b}$.le_trans 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.inf_le_right
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {c}{b}$.le_sup_right
4.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAM {c}{b}$.le_trans 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.inf_le_right
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {c}{b}$.le_sup_right
4.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAM {c}{b}$.le_trans 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq b$.inf_le_right
3.$b \leq \MaxmaxMACRoAM {c}{b}$.le_sup_right
4.$\MinminMACRoAN {a}{b}\leq \MaxmaxMACRoAM {c}{b}$.le_trans 2, 3
le_inf_suptheoremLattice.lean:266
Lean
@[to_dual le_inf_sup]
Dedukti
1 lines
le_inf_sup : (x : Set) -> (_ : Proof (Lattice x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Leq (Max__max (Min__min a b) (Min__min a c)) (Min__min a (Max__max b c))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a lattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\MaxmaxMACRoAF {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{(\MinminMACRoAG {a}{c})}\leq \MinminMACRoAG {a}{(\MaxmaxMACRoAF {b}{c})}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{(\MinminMACRoAG {a}{c})}\leq \MinminMACRoAG {a}{(\MaxmaxMACRoAF {b}{c})}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je svaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy maximum minima $a$ a $b$ a minimum $a$ a $c$ je menší nebo rovné než minimum $a$ a maximum $b$ a $c$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett gitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då $\MaxmaxMACRoAF {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{(\MinminMACRoAG {a}{c})}\leq \MinminMACRoAG {a}{(\MaxmaxMACRoAF {b}{c})}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Lattice} (x), a , b , c \in x \vdash \MaxmaxMACRoAM {(\MinminMACRoAN {a}{b})}{(\MinminMACRoAN {a}{c})}\leq \MinminMACRoAN {a}{(\MaxmaxMACRoAM {b}{c})}$
sup_inf_letheoremLattice.lean:267
Lean
@[to_dual le_inf_sup]
theorem sup_inf_le : a ⊔ b ⊓ c ≤ (a ⊔ b) ⊓ (a ⊔ c) :=
  le_inf (sup_le_sup_left inf_le_left _) (sup_le_sup_left inf_le_right _)
Dedukti
2 lines
def sup_inf_le : (x : Set) -> (_ : Proof (Lattice x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Leq (Max__max a (Min__min b c)) (Min__min (Max__max a b) (Max__max a c))) :=
  x => x1 => a => b => c => le_inf x (Max__max a (Min__min b c)) (Max__max a b) (Max__max a c) (sup_le_sup_left x (Min__min b c) b (inf_le_left x b c) a) (sup_le_sup_left x (Min__min b c) c (inf_le_right x b c) a).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a lattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\MaxmaxMACRoAF {a}{(\MinminMACRoAG {b}{c})}\leq \MinminMACRoAG {(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAF {a}{c})}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {a}{(\MinminMACRoAG {b}{c})}\leq \MinminMACRoAG {(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAF {a}{c})}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je svaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy maximum $a$ a minimum $b$ a $c$ je menší nebo rovné než minimum maxima $a$ a $b$ a maximum $a$ a $c$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett gitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då $\MaxmaxMACRoAF {a}{(\MinminMACRoAG {b}{c})}\leq \MinminMACRoAG {(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAF {a}{c})}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Lattice} (x), a , b , c \in x \vdash \MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}\leq \MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}$
Proof
6 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.$\MinminMACRoAN {b}{c}\leq b$.inf_le_left
3.$\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}\leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.sup_le_sup_left 2
4.$\MinminMACRoAN {b}{c}\leq c$.inf_le_right
5.$\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}\leq \MaxmaxMACRoAM {a}{c}$.sup_le_sup_left 4
6.$\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}\leq \MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}$.le_inf 3, 5
Proof, French
6 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.$\MinminMACRoAN {b}{c}\leq b$.inf_le_left
3.$\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}\leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.sup_le_sup_left 2
4.$\MinminMACRoAN {b}{c}\leq c$.inf_le_right
5.$\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}\leq \MaxmaxMACRoAM {a}{c}$.sup_le_sup_left 4
6.$\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}\leq \MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}$.le_inf 3, 5
Proof, Czech
6 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.$\MinminMACRoAN {b}{c}\leq b$.inf_le_left
3.$\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}\leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.sup_le_sup_left 2
4.$\MinminMACRoAN {b}{c}\leq c$.inf_le_right
5.$\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}\leq \MaxmaxMACRoAM {a}{c}$.sup_le_sup_left 4
6.$\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}\leq \MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}$.le_inf 3, 5
Proof, German
6 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.$\MinminMACRoAN {b}{c}\leq b$.inf_le_left
3.$\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}\leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.sup_le_sup_left 2
4.$\MinminMACRoAN {b}{c}\leq c$.inf_le_right
5.$\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}\leq \MaxmaxMACRoAM {a}{c}$.sup_le_sup_left 4
6.$\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}\leq \MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}$.le_inf 3, 5
Proof, Swedish
6 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.$\MinminMACRoAN {b}{c}\leq b$.inf_le_left
3.$\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}\leq \MaxmaxMACRoAM {a}{b}$.sup_le_sup_left 2
4.$\MinminMACRoAN {b}{c}\leq c$.inf_le_right
5.$\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}\leq \MaxmaxMACRoAM {a}{c}$.sup_le_sup_left 4
6.$\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}\leq \MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}$.le_inf 3, 5
inf_sup_selftheoremLattice.lean:271
Lean
@[to_dual]
theorem inf_sup_self : a ⊓ (a ⊔ b) = a :=
Dedukti
1 lines
inf_sup_self : (x : Set) -> (_ : Proof (Lattice x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min a (Max__max a b)) a).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a lattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}}{a}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}}{a}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je svaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy minimum $a$ a maximum $a$ a $b$ je rovné do $a$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein Gitter ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}}{a}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett gitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}}{a}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Lattice} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}}{a}$
sup_inf_selftheoremLattice.lean:270
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
sup_inf_self : (x : Set) -> (_ : Proof (Lattice x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max a (Min__min a b)) a).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a lattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{(\MinminMACRoAG {a}{b})}}{a}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{(\MinminMACRoAG {a}{b})}}{a}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je svaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy maximum $a$ a minimum $a$ a $b$ je rovné do $a$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein Gitter ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{(\MinminMACRoAG {a}{b})}}{a}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett gitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{(\MinminMACRoAG {a}{b})}}{a}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Lattice} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {a}{b})}}{a}$
sup_eq_iff_inf_eqtheoremLattice.lean:274
Lean
@[to_dual]
theorem sup_eq_iff_inf_eq : a ⊔ b = b ↔ a ⊓ b = a :=
Dedukti
1 lines
sup_eq_iff_inf_eq : (x : Set) -> (_ : Proof (Lattice x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Eqt x (Max__max a b) b) (Eqt x (Min__min a b) a)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a lattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$, if and only if $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$ si et seulement si $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je svaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy maximum $a$ a $b$ je rovné do $b$, právě tehdy, když minimum $a$ a $b$ je rovné do $a$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein Gitter ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$, genau dann, wenn $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett gitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{b}$, om och endast om $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{a}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Lattice} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{b}\leftrightarrow \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{a}$
inf_eq_iff_sup_eqtheoremLattice.lean:273
Lean
@[to_dual]
Dedukti
1 lines
inf_eq_iff_sup_eq : (x : Set) -> (_ : Proof (Lattice x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> Proof (iff (Eqt x (Min__min a b) b) (Eqt x (Max__max a b) a)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a lattice. Let $a$ and $b$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$, if and only if $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis. Soient $a$ et $b$ des éléments de $x$. Alors $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$ si et seulement si $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je svaz. Nechť $a$ a $b$ je prvek $x$. Tedy minimum $a$ a $b$ je rovné do $b$, právě tehdy, když maximum $a$ a $b$ je rovné do $a$.
German
Sei $x$ eine Menge derart, dass $x$ ein Gitter ist. Seien $a$ und $b$ elemente von $x$. Dann $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$, genau dann, wenn $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett gitter. Låt $a$ och $b$ vara element av $x$. Då $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{b}}{b}$, om och endast om $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{b}}{a}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{Lattice} (x), a , b \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{b}}{b}\leftrightarrow \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{b}}{a}$
DistribLatticeinductiveLattice.lean:294
A distributive lattice is a lattice that satisfies any of four equivalent distributive properties (of sup over inf or inf over sup, on the left or right).
The definition here chooses le_sup_inf: (x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z) ≤ x ⊔ (y ⊓ z). To prove distributivity from the dual law, use DistribLattice.ofInfSupLe.
A classic example of a distributive lattice is the lattice of subsets of a set, and in fact this example is generic in the sense that every distributive lattice is realizable as a sublattice of a powerset lattice.
Lean
class DistribLattice (α) extends Lattice α where
Dedukti
1 lines
DistribLattice : (x : Set) -> Prop.
English
Let $x$ be a set. Then we can say that $x$ is a distributive lattice.
French
Soit $x$ un ensemble. Alors nous pouvons dire que $x$ est un treillis distributif.
Czech
Nechť $x$ je množina. Tedy můžeme říkat, že $x$ je distributivní svaz.
German
Sei $x$ eine Menge. Dann können wir sagen, dass $x$ ein distributives Gitter ist.
Swedish
Låt $x$ vara en mängd. Då kan vi säga att $x$ är ett distributivt gitter.
Formula
$x \in \mathrm{Set} \vdash \mathrm{DistribLattice} (x)\ \mathsf{prop}$
DistribLattice.mkconstructorLattice.lean:294
Lean
class DistribLattice (α) extends Lattice α where
Dedukti
1 lines
DistribLattice__mk : (le_sup_inf : Proof (forall x (x1 => forall x (y => forall x (z => Leq (Min__min (Max__max x1 y) (Max__max x1 z)) (Max__max x1 (Min__min y z))))))) -> Proof (DistribLattice x).
English
Assume that for all elements $x_{1}$, $y$ and $z$ of $x$, $\MinminMACRoAG {(\MaxmaxMACRoAF {x_{1}}{y})}{(\MaxmaxMACRoAF {x_{1}}{z})}\leq \MaxmaxMACRoAF {x_{1}}{(\MinminMACRoAG {y}{z})}$. Then $x$ is a distributive lattice.
French
Supposons que pour tous les éléments $x_{1}$, $y$ et $z$ de $x$, $\MinminMACRoAG {(\MaxmaxMACRoAF {x_{1}}{y})}{(\MaxmaxMACRoAF {x_{1}}{z})}\leq \MaxmaxMACRoAF {x_{1}}{(\MinminMACRoAG {y}{z})}$. Alors $x$ est un treillis distributif.
Czech
Předpokládejme, že pro všechny prvky $x_{1}$, $y$ a $z$ $x$, minimum maxima $x_{1}$ a $y$ a maximum $x_{1}$ a $z$ je menší nebo rovné než maximum $x_{1}$ a minimum $y$ a $z$. Tedy $x$ je distributivní svaz.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Anta att för alla element $x_{1}$, $y$ och $z$ av $x$, $\MinminMACRoAG {(\MaxmaxMACRoAF {x_{1}}{y})}{(\MaxmaxMACRoAF {x_{1}}{z})}\leq \MaxmaxMACRoAF {x_{1}}{(\MinminMACRoAG {y}{z})}$. Då är $x$ ett distributivt gitter.
Formula
$\forall x_{1} \in x . \forall y \in x . \forall z \in x . \MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {x_{1}}{y})}{(\MaxmaxMACRoAM {x_{1}}{z})}\leq \MaxmaxMACRoAM {x_{1}}{(\MinminMACRoAN {y}{z})}\vdash \mathrm{DistribLattice} (x)$
DistribLattice.le_sup_inftheoremLattice.lean:296
The infimum distributes over the supremum
Lean
  protected le_sup_inf : ∀ x y z : α, (x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z) ≤ x ⊔ y ⊓ z
Dedukti
1 lines
DistribLattice__le_sup_inf : (x : Set) -> (_ : Proof (DistribLattice x)) -> (x1 : Elem x) -> (y : Elem x) -> (z : Elem x) -> Proof (Leq (Min__min (Max__max x1 y) (Max__max x1 z)) (Max__max x1 (Min__min y z))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a distributive lattice. Let $x_{1}$, $y$ and $z$ be elements of $x$. Then $\MinminMACRoAG {(\MaxmaxMACRoAF {x_{1}}{y})}{(\MaxmaxMACRoAF {x_{1}}{z})}\leq \MaxmaxMACRoAF {x_{1}}{(\MinminMACRoAG {y}{z})}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis distributif. Soient $x_{1}$, $y$ et $z$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {(\MaxmaxMACRoAF {x_{1}}{y})}{(\MaxmaxMACRoAF {x_{1}}{z})}\leq \MaxmaxMACRoAF {x_{1}}{(\MinminMACRoAG {y}{z})}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je distributivní svaz. Nechť $x_{1}$, $y$ a $z$ je prvek $x$. Tedy minimum maxima $x_{1}$ a $y$ a maximum $x_{1}$ a $z$ je menší nebo rovné než maximum $x_{1}$ a minimum $y$ a $z$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett distributivt gitter. Låt $x_{1}$, $y$ och $z$ vara element av $x$. Då $\MinminMACRoAG {(\MaxmaxMACRoAF {x_{1}}{y})}{(\MaxmaxMACRoAF {x_{1}}{z})}\leq \MaxmaxMACRoAF {x_{1}}{(\MinminMACRoAG {y}{z})}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{DistribLattice} (x), x_{1} , y , z \in x \vdash \MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {x_{1}}{y})}{(\MaxmaxMACRoAM {x_{1}}{z})}\leq \MaxmaxMACRoAM {x_{1}}{(\MinminMACRoAN {y}{z})}$
DistribLattice.ofInfSupLedefLattice.lean:301
Prove distributivity of an existing lattice from the dual distributive law.
Lean
@[to_dual existing mk]
abbrev DistribLattice.ofInfSupLe
    [Lattice α] (inf_sup_le : ∀ a b c : α, a ⊓ (b ⊔ c) ≤ a ⊓ b ⊔ a ⊓ c) : DistribLattice α where
Dedukti
1 lines
DistribLattice__ofInfSupLe : (inf_sup_le : Proof (forall x (a => forall x (b => forall x (c => Leq (Min__min a (Max__max b c)) (Max__max (Min__min a b) (Min__min a c))))))) -> Proof (DistribLattice x).
English
Assume that for all elements $a$, $b$ and $c$ of $x$, $\MinminMACRoAG {a}{(\MaxmaxMACRoAF {b}{c})}\leq \MaxmaxMACRoAF {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{(\MinminMACRoAG {a}{c})}$. Then $x$ is a distributive lattice.
French
Supposons que pour tous les éléments $a$, $b$ et $c$ de $x$, $\MinminMACRoAG {a}{(\MaxmaxMACRoAF {b}{c})}\leq \MaxmaxMACRoAF {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{(\MinminMACRoAG {a}{c})}$. Alors $x$ est un treillis distributif.
Czech
Předpokládejme, že pro všechny prvky $a$, $b$ a $c$ $x$, minimum $a$ a maximum $b$ a $c$ je menší nebo rovné než maximum minima $a$ a $b$ a minimum $a$ a $c$. Tedy $x$ je distributivní svaz.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Anta att för alla element $a$, $b$ och $c$ av $x$, $\MinminMACRoAG {a}{(\MaxmaxMACRoAF {b}{c})}\leq \MaxmaxMACRoAF {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{(\MinminMACRoAG {a}{c})}$. Då är $x$ ett distributivt gitter.
Formula
$\forall a \in x . \forall b \in x . \forall c \in x . \MinminMACRoAN {a}{(\MaxmaxMACRoAM {b}{c})}\leq \MaxmaxMACRoAM {(\MinminMACRoAN {a}{b})}{(\MinminMACRoAN {a}{c})}\vdash \mathrm{DistribLattice} (x)$
le_sup_inftheoremLattice.lean:313
Lean
theorem le_sup_inf {x y z : α} : (x ⊔ y) ⊓ (x ⊔ z) ≤ x ⊔ y ⊓ z :=
  DistribLattice.le_sup_inf x y z
Dedukti
2 lines
def le_sup_inf : (x : Set) -> (_ : Proof (DistribLattice x)) -> (x2 : Elem x) -> (y : Elem x) -> (z : Elem x) -> Proof (Leq (Min__min (Max__max x2 y) (Max__max x2 z)) (Max__max x2 (Min__min y z))) :=
  x => x1 => x2 => y => z => DistribLattice__le_sup_inf x x2 y z.
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a distributive lattice. Let $x_{2}$, $y$ and $z$ be elements of $x$. Then $\MinminMACRoAG {(\MaxmaxMACRoAF {x_{2}}{y})}{(\MaxmaxMACRoAF {x_{2}}{z})}\leq \MaxmaxMACRoAF {x_{2}}{(\MinminMACRoAG {y}{z})}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis distributif. Soient $x_{2}$, $y$ et $z$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {(\MaxmaxMACRoAF {x_{2}}{y})}{(\MaxmaxMACRoAF {x_{2}}{z})}\leq \MaxmaxMACRoAF {x_{2}}{(\MinminMACRoAG {y}{z})}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je distributivní svaz. Nechť $x_{2}$, $y$ a $z$ je prvek $x$. Tedy minimum maxima $x_{2}$ a $y$ a maximum $x_{2}$ a $z$ je menší nebo rovné než maximum $x_{2}$ a minimum $y$ a $z$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett distributivt gitter. Låt $x_{2}$, $y$ och $z$ vara element av $x$. Då $\MinminMACRoAG {(\MaxmaxMACRoAF {x_{2}}{y})}{(\MaxmaxMACRoAF {x_{2}}{z})}\leq \MaxmaxMACRoAF {x_{2}}{(\MinminMACRoAG {y}{z})}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{DistribLattice} (x), x_{2} , y , z \in x \vdash \MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {x_{2}}{y})}{(\MaxmaxMACRoAM {x_{2}}{z})}\leq \MaxmaxMACRoAM {x_{2}}{(\MinminMACRoAN {y}{z})}$
Proof
2 lines
1.Let $x_{2}$, $y$ and $z$ be elements of $x$.
2.$\MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {x_{2}}{y})}{(\MaxmaxMACRoAM {x_{2}}{z})}\leq \MaxmaxMACRoAM {x_{2}}{(\MinminMACRoAN {y}{z})}$.DistribLattice.le_sup_inf
Proof, French
2 lines
1.Soient $x_{2}$, $y$ et $z$ des éléments de $x$.
2.$\MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {x_{2}}{y})}{(\MaxmaxMACRoAM {x_{2}}{z})}\leq \MaxmaxMACRoAM {x_{2}}{(\MinminMACRoAN {y}{z})}$.DistribLattice.le_sup_inf
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $x_{2}$, $y$ a $z$ je prvek $x$.
2.$\MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {x_{2}}{y})}{(\MaxmaxMACRoAM {x_{2}}{z})}\leq \MaxmaxMACRoAM {x_{2}}{(\MinminMACRoAN {y}{z})}$.DistribLattice.le_sup_inf
Proof, German
2 lines
1.Seien $x_{2}$, $y$ und $z$ elemente von $x$.
2.$\MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {x_{2}}{y})}{(\MaxmaxMACRoAM {x_{2}}{z})}\leq \MaxmaxMACRoAM {x_{2}}{(\MinminMACRoAN {y}{z})}$.DistribLattice.le_sup_inf
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $x_{2}$, $y$ och $z$ vara element av $x$.
2.$\MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {x_{2}}{y})}{(\MaxmaxMACRoAM {x_{2}}{z})}\leq \MaxmaxMACRoAM {x_{2}}{(\MinminMACRoAN {y}{z})}$.DistribLattice.le_sup_inf
sup_inf_lefttheoremLattice.lean:316
Lean
theorem sup_inf_left (a b c : α) : a ⊔ b ⊓ c = (a ⊔ b) ⊓ (a ⊔ c) :=
  le_antisymm sup_inf_le le_sup_inf
Dedukti
2 lines
def sup_inf_left : (x : Set) -> (_ : Proof (DistribLattice x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max a (Min__min b c)) (Min__min (Max__max a b) (Max__max a c))) :=
  x => x1 => a => b => c => le_antisymm x (Max__max a (Min__min b c)) (Min__min (Max__max a b) (Max__max a c)) (sup_inf_le x a b c) (le_sup_inf x a b c).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a distributive lattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {a}{(\MinminMACRoAG {b}{c})}}{\MinminMACRoAG {(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAF {a}{c})}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis distributif. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {a}{(\MinminMACRoAG {b}{c})}$ est égal au minimum de $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}$ et $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je distributivní svaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy maximum $a$ a minimum $b$ a $c$ je rovné do minima maxima $a$ a $b$ a maximum $a$ a $c$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett distributivt gitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är maximet av $a$ och $\MinminMACRoAG {b}{c}$ lika till minimet av $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}$ och $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{DistribLattice} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}}{\MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}}$
Proof
4 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.$\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}\leq \MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}$.sup_inf_le
3.$\MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}\leq \MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}$.le_sup_inf
4.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}}{\MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}}$.le_antisymm 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.$\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}\leq \MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}$.sup_inf_le
3.$\MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}\leq \MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}$.le_sup_inf
4.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}}{\MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}}$.le_antisymm 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.$\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}\leq \MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}$.sup_inf_le
3.$\MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}\leq \MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}$.le_sup_inf
4.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}}{\MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}}$.le_antisymm 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.$\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}\leq \MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}$.sup_inf_le
3.$\MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}\leq \MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}$.le_sup_inf
4.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}}{\MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}}$.le_antisymm 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.$\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}\leq \MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}$.sup_inf_le
3.$\MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}\leq \MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}$.le_sup_inf
4.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {a}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}}{\MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}}$.le_antisymm 2, 3
sup_inf_righttheoremLattice.lean:319
Lean
theorem sup_inf_right (a b c : α) : a ⊓ b ⊔ c = (a ⊔ c) ⊓ (b ⊔ c) :=
Dedukti
1 lines
sup_inf_right : (x : Set) -> (_ : Proof (DistribLattice x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Max__max (Min__min a b) c) (Min__min (Max__max a c) (Max__max b c))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a distributive lattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{c}}{\MinminMACRoAG {(\MaxmaxMACRoAF {a}{c})}{(\MaxmaxMACRoAF {b}{c})}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis distributif. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MaxmaxMACRoAF {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{c}$ est égal au minimum de $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}$ et $\MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je distributivní svaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy maximum minima $a$ a $b$ a $c$ je rovné do minima maxima $a$ a $c$ a maximum $b$ a $c$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett distributivt gitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är maximet av $\MinminMACRoAG {a}{b}$ och $c$ lika till minimet av $\MaxmaxMACRoAF {a}{c}$ och $\MaxmaxMACRoAF {b}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{DistribLattice} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {(\MinminMACRoAN {a}{b})}{c}}{\MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{c})}{(\MaxmaxMACRoAM {b}{c})}}$
inf_sup_lefttheoremLattice.lean:323
Lean
@[to_dual existing]
theorem inf_sup_left (a b c : α) : a ⊓ (b ⊔ c) = a ⊓ b ⊔ a ⊓ c :=
  calc
    a ⊓ (b ⊔ c) = a ⊓ (a ⊔ c) ⊓ (b ⊔ c) := by rw [inf_sup_self]
    _ = a ⊓ (a ⊓ b ⊔ c) := by simp only [inf_assoc, sup_inf_right]
    _ = (a ⊔ a ⊓ b) ⊓ (a ⊓ b ⊔ c) := by rw [sup_inf_self]
    _ = (a ⊓ b ⊔ a) ⊓ (a ⊓ b ⊔ c) := by rw [sup_comm]
    _ = a ⊓ b ⊔ a ⊓ c := by rw [sup_inf_left]
Dedukti
2 lines
def inf_sup_left : (x : Set) -> (_ : Proof (DistribLattice x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min a (Max__max b c)) (Max__max (Min__min a b) (Min__min a c))) :=
  x => x1 => a => b => c => Trans__trans (Trans__trans (Trans__trans (Trans__trans (Eq__mpr (id (congrArg x Prop (Min__min a (Max__max a c)) a (_a => Eqt x (Min__min a (Max__max b c)) (Min__min _a (Max__max b c))) (inf_sup_self x a c))) (Eq__refl (Min__min a (Max__max b c)))) (of_eq_true (Eqt x (Min__min (Min__min a (Max__max a c)) (Max__max b c)) (Min__min a (Max__max (Min__min a b) c))) (Eq__trans Prop (Eqt x (Min__min (Min__min a (Max__max a c)) (Max__max b c)) (Min__min a (Max__max (Min__min a b) c))) (Eqt x (Min__min a (Min__min (Max__max a c) (Max__max b c))) (Min__min a (Min__min (Max__max a c) (Max__max b c)))) True (congr x Prop (Eq (Min__min (Min__min a (Max__max a c)) (Max__max b c))) (Eq (Min__min a (Min__min (Max__max a c) (Max__max b c)))) (Min__min a (Max__max (Min__min a b) c)) (Min__min a (Min__min (Max__max a c) (Max__max b c))) (congrArg x (Elem x -> Prop) (Min__min (Min__min a (Max__max a c)) (Max__max b c)) (Min__min a (Min__min (Max__max a c) (Max__max b c))) Eq (inf_assoc x a (Max__max a c) (Max__max b c))) (congrArg x x (Max__max (Min__min a b) c) (Min__min (Max__max a c) (Max__max b c)) (Min__min a) (sup_inf_right x a b c))) (eq_self x (Min__min a (Min__min (Max__max a c) (Max__max b c))))))) (Eq__mpr (id (congrArg x Prop (Max__max a (Min__min a b)) a (_a1 => Eqt x (Min__min a (Max__max (Min__min a b) c)) (Min__min _a1 (Max__max (Min__min a b) c))) (sup_inf_self x a b))) (Eq__refl (Min__min a (Max__max (Min__min a b) c))))) (Eq__mpr (id (congrArg x Prop (Max__max a (Min__min a b)) (Max__max (Min__min a b) a) (_a2 => Eqt x (Min__min _a2 (Max__max (Min__min a b) c)) (Min__min (Max__max (Min__min a b) a) (Max__max (Min__min a b) c))) (sup_comm x a (Min__min a b)))) (Eq__refl (Min__min (Max__max (Min__min a b) a) (Max__max (Min__min a b) c))))) (Eq__mpr (id (congrArg x Prop (Max__max (Min__min a b) (Min__min a c)) (Min__min (Max__max (Min__min a b) a) (Max__max (Min__min a b) c)) (_a3 => Eqt x (Min__min (Max__max (Min__min a b) a) (Max__max (Min__min a b) c)) _a3) (sup_inf_left x (Min__min a b) a c))) (Eq__refl (Min__min (Max__max (Min__min a b) a) (Max__max (Min__min a b) c)))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a distributive lattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {a}{(\MaxmaxMACRoAF {b}{c})}}{\MaxmaxMACRoAF {(\MinminMACRoAG {a}{b})}{(\MinminMACRoAG {a}{c})}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis distributif. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {a}{(\MaxmaxMACRoAF {b}{c})}$ est égal au maximum de $\MinminMACRoAG {a}{b}$ et $\MinminMACRoAG {a}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je distributivní svaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy minimum $a$ a maximum $b$ a $c$ je rovné do maxima minima $a$ a $b$ a minimum $a$ a $c$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett distributivt gitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är minimet av $a$ och $\MaxmaxMACRoAF {b}{c}$ lika till maximet av $\MinminMACRoAG {a}{b}$ och $\MinminMACRoAG {a}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{DistribLattice} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {a}{(\MaxmaxMACRoAM {b}{c})}}{\MaxmaxMACRoAM {(\MinminMACRoAN {a}{b})}{(\MinminMACRoAN {a}{c})}}$
Proof
2 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.There is an element of $t$ applied to $a$ and $c$.Trans.trans
Proof, French
2 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.Il y a un élément de $t$ appliqué à $a$ et $c$.Trans.trans
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.Existuje prvek $t$ aplikovaný na $a$ a $c$.Trans.trans
Proof, German
2 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.Es gibt ein Element von $t$ angewandt auf $a$ und $c$.Trans.trans
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.Det finns ett element av $t$ applicerat på $a$ och $c$.Trans.trans
inf_sup_letheoremLattice.lean:332
Lean
@[to_dual existing le_sup_inf]
theorem inf_sup_le {x y z : α} : x ⊓ (y ⊔ z) ≤ (x ⊓ y) ⊔ (x ⊓ z) :=
Dedukti
1 lines
inf_sup_le : (x : Set) -> (_ : Proof (DistribLattice x)) -> (x2 : Elem x) -> (y : Elem x) -> (z : Elem x) -> Proof (Leq (Min__min x2 (Max__max y z)) (Max__max (Min__min x2 y) (Min__min x2 z))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a distributive lattice. Let $x_{2}$, $y$ and $z$ be elements of $x$. Then $\MinminMACRoAG {x_{2}}{(\MaxmaxMACRoAF {y}{z})}\leq \MaxmaxMACRoAF {(\MinminMACRoAG {x_{2}}{y})}{(\MinminMACRoAG {x_{2}}{z})}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis distributif. Soient $x_{2}$, $y$ et $z$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {x_{2}}{(\MaxmaxMACRoAF {y}{z})}\leq \MaxmaxMACRoAF {(\MinminMACRoAG {x_{2}}{y})}{(\MinminMACRoAG {x_{2}}{z})}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je distributivní svaz. Nechť $x_{2}$, $y$ a $z$ je prvek $x$. Tedy minimum $x_{2}$ a maximum $y$ a $z$ je menší nebo rovné než maximum minima $x_{2}$ a $y$ a minimum $x_{2}$ a $z$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett distributivt gitter. Låt $x_{2}$, $y$ och $z$ vara element av $x$. Då $\MinminMACRoAG {x_{2}}{(\MaxmaxMACRoAF {y}{z})}\leq \MaxmaxMACRoAF {(\MinminMACRoAG {x_{2}}{y})}{(\MinminMACRoAG {x_{2}}{z})}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{DistribLattice} (x), x_{2} , y , z \in x \vdash \MinminMACRoAN {x_{2}}{(\MaxmaxMACRoAM {y}{z})}\leq \MaxmaxMACRoAM {(\MinminMACRoAN {x_{2}}{y})}{(\MinminMACRoAN {x_{2}}{z})}$
inf_sup_righttheoremLattice.lean:336
Lean
@[to_dual existing]
theorem inf_sup_right (a b c : α) : (a ⊔ b) ⊓ c = a ⊓ c ⊔ b ⊓ c :=
Dedukti
1 lines
inf_sup_right : (x : Set) -> (_ : Proof (DistribLattice x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> Proof (Eqt x (Min__min (Max__max a b) c) (Max__max (Min__min a c) (Min__min b c))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a distributive lattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$. Then $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}{c}}{\MaxmaxMACRoAF {(\MinminMACRoAG {a}{c})}{(\MinminMACRoAG {b}{c})}}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis distributif. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$. Alors $\MinminMACRoAG {(\MaxmaxMACRoAF {a}{b})}{c}$ est égal au maximum de $\MinminMACRoAG {a}{c}$ et $\MinminMACRoAG {b}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je distributivní svaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$. Tedy minimum maxima $a$ a $b$ a $c$ je rovné do maxima minima $a$ a $c$ a minimum $b$ a $c$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett distributivt gitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$. Då är minimet av $\MaxmaxMACRoAF {a}{b}$ och $c$ lika till maximet av $\MinminMACRoAG {a}{c}$ och $\MinminMACRoAG {b}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{DistribLattice} (x), a , b , c \in x \vdash \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {(\MaxmaxMACRoAM {a}{b})}{c}}{\MaxmaxMACRoAM {(\MinminMACRoAN {a}{c})}{(\MinminMACRoAN {b}{c})}}$
le_of_inf_le_sup_letheoremLattice.lean:340
Lean
@[to_dual self (reorder := x y, h₁ h₂)]
theorem le_of_inf_le_sup_le (h₁ : x ⊓ z ≤ y ⊓ z) (h₂ : x ⊔ z ≤ y ⊔ z) : x ≤ y :=
  calc
    x ≤ y ⊓ z ⊔ x := le_sup_right
    _ = (y ⊔ x) ⊓ (x ⊔ z) := by rw [sup_inf_right, sup_comm x]
    _ ≤ (y ⊔ x) ⊓ (y ⊔ z) := inf_le_inf_left _ h₂
    _ = y ⊔ x ⊓ z := by rw [← sup_inf_left]
    _ ≤ y ⊔ y ⊓ z := sup_le_sup_left h₁ _
    _ ≤ _ := sup_le (le_refl y) inf_le_left
Dedukti
2 lines
def le_of_inf_le_sup_le : (x : Set) -> (_ : Proof (DistribLattice x)) -> (x2 : Elem x) -> (y : Elem x) -> (z : Elem x) -> (h : Proof (Leq (Min__min x2 z) (Min__min y z))) -> (h1 : Proof (Leq (Max__max x2 z) (Max__max y z))) -> Proof (Leq x2 y) :=
  x => x1 => x2 => y => z => h => h1 => Trans__trans (Trans__trans (Trans__trans (Trans__trans (Trans__trans (le_sup_right x (Min__min y z) x2) (Eq__mpr (id (congrArg x Prop (Max__max (Min__min y z) x2) (Min__min (Max__max y x2) (Max__max z x2)) (_a => Eqt x _a (Min__min (Max__max y x2) (Max__max x2 z))) (sup_inf_right x y z x2))) (Eq__mpr (id (congrArg x Prop (Max__max x2 z) (Max__max z x2) (_a1 => Eqt x (Min__min (Max__max y x2) (Max__max z x2)) (Min__min (Max__max y x2) _a1)) (sup_comm x x2 z))) (Eq__refl (Min__min (Max__max y x2) (Max__max z x2)))))) (inf_le_inf_left x (Max__max y z) (Max__max x2 z) (Max__max y x2) h1)) (Eq__mpr (id (congrArg x Prop (Min__min (Max__max y x2) (Max__max y z)) (Max__max y (Min__min x2 z)) (_a2 => Eqt x _a2 (Max__max y (Min__min x2 z))) (Eq__symm x (Max__max y (Min__min x2 z)) (Min__min (Max__max y x2) (Max__max y z)) (sup_inf_left x y x2 z)))) (Eq__refl (Max__max y (Min__min x2 z))))) (sup_le_sup_left x (Min__min x2 z) (Min__min y z) h y)) (sup_le x y (Min__min y z) y (le_refl x y) (inf_le_left x y z)).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a distributive lattice. Let $x_{2}$, $y$ and $z$ be elements of $x$ such that $\MinminMACRoAG {x_{2}}{z}\leq \MinminMACRoAG {y}{z}$ and $\MaxmaxMACRoAF {x_{2}}{z}\leq \MaxmaxMACRoAF {y}{z}$. Then $x_{2} \leq y$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis distributif. Soient $x_{2}$, $y$ et $z$ des éléments de $x$ tels que $\MinminMACRoAG {x_{2}}{z}\leq \MinminMACRoAG {y}{z}$ et $\MaxmaxMACRoAF {x_{2}}{z}\leq \MaxmaxMACRoAF {y}{z}$. Alors $x_{2} \leq y$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je distributivní svaz. Nechť $x_{2}$, $y$ a $z$ je prvek $x$ takový, že $\MinminMACRoAG {x_{2}}{z}\leq \MinminMACRoAG {y}{z}$ a $\MaxmaxMACRoAF {x_{2}}{z}\leq \MaxmaxMACRoAF {y}{z}$. Tedy $x_{2} \leq y$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett distributivt gitter. Låt $x_{2}$, $y$ och $z$ vara element av $x$ sådana att $\MinminMACRoAG {x_{2}}{z}\leq \MinminMACRoAG {y}{z}$ och $\MaxmaxMACRoAF {x_{2}}{z}\leq \MaxmaxMACRoAF {y}{z}$. Då $x_{2} \leq y$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{DistribLattice} (x), x_{2} , y , z \in x , \MinminMACRoAN {x_{2}}{z}\leq \MinminMACRoAN {y}{z}, \MaxmaxMACRoAM {x_{2}}{z}\leq \MaxmaxMACRoAM {y}{z}\vdash x_{2} \leq y$
Proof
2 lines
1.Let $x_{2}$, $y$ and $z$ be elements of $x$.
2.There is an element of $t$ applied to $a$ and $c$.Trans.trans
Proof, French
2 lines
1.Soient $x_{2}$, $y$ et $z$ des éléments de $x$.
2.Il y a un élément de $t$ appliqué à $a$ et $c$.Trans.trans
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $x_{2}$, $y$ a $z$ je prvek $x$.
2.Existuje prvek $t$ aplikovaný na $a$ a $c$.Trans.trans
Proof, German
2 lines
1.Seien $x_{2}$, $y$ und $z$ elemente von $x$.
2.Es gibt ein Element von $t$ angewandt auf $a$ und $c$.Trans.trans
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $x_{2}$, $y$ och $z$ vara element av $x$.
2.Det finns ett element av $t$ applicerat på $a$ och $c$.Trans.trans
eq_of_inf_eq_sup_eqtheoremLattice.lean:350
Lean
@[to_dual self (reorder := h₁ h₂)]
theorem eq_of_inf_eq_sup_eq {a b c : α} (h₁ : b ⊓ a = c ⊓ a) (h₂ : b ⊔ a = c ⊔ a) : b = c :=
  le_antisymm (le_of_inf_le_sup_le (le_of_eq h₁) (le_of_eq h₂))
    (le_of_inf_le_sup_le (le_of_eq h₁.symm) (le_of_eq h₂.symm))
Dedukti
2 lines
def eq_of_inf_eq_sup_eq : (x : Set) -> (_ : Proof (DistribLattice x)) -> (a : Elem x) -> (b : Elem x) -> (c : Elem x) -> (h : Proof (Eqt x (Min__min b a) (Min__min c a))) -> (h1 : Proof (Eqt x (Max__max b a) (Max__max c a))) -> Proof (Eqt x b c) :=
  x => x1 => a => b => c => h => h1 => le_antisymm x b c (le_of_inf_le_sup_le x b c a (le_of_eq x (Min__min b a) (Min__min c a) h) (le_of_eq x (Max__max b a) (Max__max c a) h1)) (le_of_inf_le_sup_le x c b a (le_of_eq x (Min__min c a) (Min__min b a) (Eq__symm x (Min__min b a) (Min__min c a) h)) (le_of_eq x (Max__max c a) (Max__max b a) (Eq__symm x (Max__max b a) (Max__max c a) h1))).
English
Let $x$ be a set such that $x$ is a distributive lattice. Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$ such that $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {b}{a}}{\MinminMACRoAG {c}{a}}$ and $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {b}{a}}{\MaxmaxMACRoAF {c}{a}}$. Then $\EqtMACRoH {b}{c}$.
French
Soit $x$ un ensemble tel que $x$ soit un treillis distributif. Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$ tels que $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {b}{a}}{\MinminMACRoAG {c}{a}}$ et $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {b}{a}}{\MaxmaxMACRoAF {c}{a}}$. Alors $\EqtMACRoH {b}{c}$.
Czech
Nechť $x$ je množina taková, že $x$ je distributivní svaz. Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$ takový, že minimum $b$ a $a$ je rovné do minima $c$ a $a$ a maximum $b$ a $a$ je rovné do maxima $c$ a $a$. Tedy $\EqtMACRoH {b}{c}$.
German
no reading: generation took over the time limit
Swedish
Låt $x$ vara en mängd sådan att $x$ är ett distributivt gitter. Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$ sådana att $\EqtMACRoH {\MinminMACRoAG {b}{a}}{\MinminMACRoAG {c}{a}}$ och $\EqtMACRoH {\MaxmaxMACRoAF {b}{a}}{\MaxmaxMACRoAF {c}{a}}$. Då $\EqtMACRoH {b}{c}$.
Formula
$x \in \mathrm{Set} , \mathrm{DistribLattice} (x), a , b , c \in x , \EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {b}{a}}{\MinminMACRoAN {c}{a}}, \EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {b}{a}}{\MaxmaxMACRoAM {c}{a}}\vdash \EqtMACRoJ {b}{c}$
Proof
12 lines
1.Let $a$, $b$ and $c$ be elements of $x$.
2.Assume that $\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {b}{a}}{\MinminMACRoAN {c}{a}}$.
3.$\MinminMACRoAN {b}{a}\leq \MinminMACRoAN {c}{a}$.le_of_eq 2
4.Assume that $\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {b}{a}}{\MaxmaxMACRoAM {c}{a}}$.
5.$\MaxmaxMACRoAM {b}{a}\leq \MaxmaxMACRoAM {c}{a}$.le_of_eq 4
6.$b \leq c$.le_of_inf_le_sup_le 3, 5
7.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {c}{a}}{\MinminMACRoAN {b}{a}}$.Eq.symm 2
8.$\MinminMACRoAN {c}{a}\leq \MinminMACRoAN {b}{a}$.le_of_eq 7
9.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {c}{a}}{\MaxmaxMACRoAM {b}{a}}$.Eq.symm 4
10.$\MaxmaxMACRoAM {c}{a}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{a}$.le_of_eq 9
11.$c \leq b$.le_of_inf_le_sup_le 8, 10
12.$\EqtMACRoJ {b}{c}$.le_antisymm 6, 11
Proof, French
12 lines
1.Soient $a$, $b$ et $c$ des éléments de $x$.
2.Supposons que $\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {b}{a}}{\MinminMACRoAN {c}{a}}$.
3.$\MinminMACRoAN {b}{a}\leq \MinminMACRoAN {c}{a}$.le_of_eq 2
4.Supposons que $\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {b}{a}}{\MaxmaxMACRoAM {c}{a}}$.
5.$\MaxmaxMACRoAM {b}{a}\leq \MaxmaxMACRoAM {c}{a}$.le_of_eq 4
6.$b \leq c$.le_of_inf_le_sup_le 3, 5
7.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {c}{a}}{\MinminMACRoAN {b}{a}}$.Eq.symm 2
8.$\MinminMACRoAN {c}{a}\leq \MinminMACRoAN {b}{a}$.le_of_eq 7
9.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {c}{a}}{\MaxmaxMACRoAM {b}{a}}$.Eq.symm 4
10.$\MaxmaxMACRoAM {c}{a}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{a}$.le_of_eq 9
11.$c \leq b$.le_of_inf_le_sup_le 8, 10
12.$\EqtMACRoJ {b}{c}$.le_antisymm 6, 11
Proof, Czech
12 lines
1.Nechť $a$, $b$ a $c$ je prvek $x$.
2.Předpokládejme, že $\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {b}{a}}{\MinminMACRoAN {c}{a}}$.
3.$\MinminMACRoAN {b}{a}\leq \MinminMACRoAN {c}{a}$.le_of_eq 2
4.Předpokládejme, že $\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {b}{a}}{\MaxmaxMACRoAM {c}{a}}$.
5.$\MaxmaxMACRoAM {b}{a}\leq \MaxmaxMACRoAM {c}{a}$.le_of_eq 4
6.$b \leq c$.le_of_inf_le_sup_le 3, 5
7.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {c}{a}}{\MinminMACRoAN {b}{a}}$.Eq.symm 2
8.$\MinminMACRoAN {c}{a}\leq \MinminMACRoAN {b}{a}$.le_of_eq 7
9.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {c}{a}}{\MaxmaxMACRoAM {b}{a}}$.Eq.symm 4
10.$\MaxmaxMACRoAM {c}{a}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{a}$.le_of_eq 9
11.$c \leq b$.le_of_inf_le_sup_le 8, 10
12.$\EqtMACRoJ {b}{c}$.le_antisymm 6, 11
Proof, German
12 lines
1.Seien $a$, $b$ und $c$ elemente von $x$.
2.Nimm an, dass $\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {b}{a}}{\MinminMACRoAN {c}{a}}$.
3.$\MinminMACRoAN {b}{a}\leq \MinminMACRoAN {c}{a}$.le_of_eq 2
4.Nimm an, dass $\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {b}{a}}{\MaxmaxMACRoAM {c}{a}}$.
5.$\MaxmaxMACRoAM {b}{a}\leq \MaxmaxMACRoAM {c}{a}$.le_of_eq 4
6.$b \leq c$.le_of_inf_le_sup_le 3, 5
7.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {c}{a}}{\MinminMACRoAN {b}{a}}$.Eq.symm 2
8.$\MinminMACRoAN {c}{a}\leq \MinminMACRoAN {b}{a}$.le_of_eq 7
9.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {c}{a}}{\MaxmaxMACRoAM {b}{a}}$.Eq.symm 4
10.$\MaxmaxMACRoAM {c}{a}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{a}$.le_of_eq 9
11.$c \leq b$.le_of_inf_le_sup_le 8, 10
12.$\EqtMACRoJ {b}{c}$.le_antisymm 6, 11
Proof, Swedish
12 lines
1.Låt $a$, $b$ och $c$ vara element av $x$.
2.Anta att $\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {b}{a}}{\MinminMACRoAN {c}{a}}$.
3.$\MinminMACRoAN {b}{a}\leq \MinminMACRoAN {c}{a}$.le_of_eq 2
4.Anta att $\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {b}{a}}{\MaxmaxMACRoAM {c}{a}}$.
5.$\MaxmaxMACRoAM {b}{a}\leq \MaxmaxMACRoAM {c}{a}$.le_of_eq 4
6.$b \leq c$.le_of_inf_le_sup_le 3, 5
7.$\EqtMACRoJ {\MinminMACRoAN {c}{a}}{\MinminMACRoAN {b}{a}}$.Eq.symm 2
8.$\MinminMACRoAN {c}{a}\leq \MinminMACRoAN {b}{a}$.le_of_eq 7
9.$\EqtMACRoJ {\MaxmaxMACRoAM {c}{a}}{\MaxmaxMACRoAM {b}{a}}$.Eq.symm 4
10.$\MaxmaxMACRoAM {c}{a}\leq \MaxmaxMACRoAM {b}{a}$.le_of_eq 9
11.$c \leq b$.le_of_inf_le_sup_le 8, 10
12.$\EqtMACRoJ {b}{c}$.le_antisymm 6, 11