Mathlib.Data.Nat.Prime

Statements of Mathlib (commit c31114ff81), each with its Lean source, its translation to Dedukti by Export.lean, and its informalization by Informath, in English, as a formula, and in French, Czech, German and Swedish, which the buttons at each entry show there, and the check boxes above the entries everywhere. The Dedukti translation drops implicit and instance arguments and maps Lean's arithmetic and logic to Informath's base (mapping.tsv); the other Mathlib constants are worded by the symbol table mathlib.dkgf, whose English wordings Informath also renders in the other languages. Constants without a wording appear as $\mathrm{name}$.

modulestatementsfully worded, EnglishFrenchCzechGermanSwedish
Mathlib.Data.Nat.Prime.Defs656363636363
Mathlib.Data.Nat.Prime.Basic555555555555
Mathlib.Data.Nat.Prime.Factorial444444
Mathlib.Data.Nat.Prime.Infinite211111
Mathlib.Data.Nat.Prime.Pow222222
Show also:

Mathlib.Data.Nat.Prime.Defs source

Nat.PrimedefDefs.lean:42
Nat.Prime p means that p is a prime number, that is, a natural number at least 2 whose only divisors are p and 1. The theorem Nat.prime_def witnesses this description of a prime number.
Lean
@[pp_nodot, wikidata Q49008, oeis A000040]
def Prime (p : ℕ) :=
  Irreducible p
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime : (p : Elem Nat) -> Prop :=
  p => Irreducible p.
English
Let $p$ be a natural number. Then $p$ is prime, if $p$ is irreducible.
French
Soit $p$ un nombre naturel. Alors $p$ est premier si $p$ est irréductible.
Czech
Nechť $p$ je přirozené číslo. Tedy $p$ je prvočíselné, jestliže $p$ je ireducibilní.
German
Sei $p$ eine natürliche Zahl. Dann ist $p$ prim, wenn $p$ irreduzibl ist.
Swedish
Låt $p$ vara ett naturligt tal. Då är $p$ primt, om $p$ är irreducibelt.
Formula
$p \in \Natural \vdash \operatorname{Prime} (p):\Leftrightarrow \mathrm{Irreducible} (p)$
Nat.irreducible_iff_nat_primetheoremDefs.lean:45
Lean
theorem irreducible_iff_nat_prime (a : ℕ) : Irreducible a ↔ Nat.Prime a :=
  Iff.rfl
Dedukti
2 lines
def Nat__irreducible_iff_nat_prime : (a : Elem Nat) -> Proof (iff (Irreducible a) (prime a)) :=
  a => Iff__rfl (Irreducible a).
English
Let $a$ be a natural number. Then $a$ is irreducible, if and only if $a$ is prime.
French
Soit $a$ un nombre naturel. Alors $a$ est irréductible si et seulement si $a$ est premier.
Czech
Nechť $a$ je přirozené číslo. Tedy $a$ je ireducibilní, právě tehdy, když $a$ je prvočíselné.
German
Sei $a$ eine natürliche Zahl. Dann ist $a$ irreduzibl, genau dann, wenn $a$ prim ist.
Swedish
Låt $a$ vara ett naturligt tal. Då är $a$ irreducibelt, om och endast om $a$ är primt.
Formula
$a \in \Natural \vdash \mathrm{Irreducible} (a)\leftrightarrow \mathrm{prime} (a)$
Proof
2 lines
1.Let $a$ be an element of $\Natural$.
2.$a$ is irreducible, if and only if $a$ is irreducible.Iff.rfl
Proof, French
2 lines
1.Soit $a$ un élément de $\Natural$.
2.$a$ est irréductible si et seulement si $a$ est irréductible.Iff.rfl
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $a$ je prvek $\Natural$.
2.$a$ je ireducibilní, právě tehdy, když $a$ je ireducibilní.Iff.rfl
Proof, German
2 lines
1.Sei $a$ ein Element von $\Natural$.
2.$a$ ist irreduzibl, genau dann, wenn $a$ irreduzibl ist.Iff.rfl
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $a$ vara ett element av $\Natural$.
2.$a$ är irreducibelt, om och endast om $a$ är irreducibelt.Iff.rfl
Nat.not_prime_zerotheoremDefs.lean:48
Lean
theorem not_prime_zero : ¬ Prime 0
Dedukti
1 lines
Nat__not_prime_zero : Proof (not (prime 0)).
English
$0$ is not prime.
French
$0$ n'est pas premier.
Czech
$0$ není prvočíselné.
German
$0$ ist nicht prim.
Swedish
$0$ är inte primt.
Formula
$\neg \mathrm{prime} (0)$
Nat.prime_zero_falsetheoremDefs.lean:54
A copy of not_prime_zero stated in a way that works for aesop.
See https://github.com/leanprover-community/aesop/issues/197 for an explanation.
Lean
@[aesop safe destruct] theorem prime_zero_false : Prime 0 → False :=
  not_prime_zero
Dedukti
2 lines
def Nat__prime_zero_false : (h : Proof (prime 0)) -> Proof false :=
  Nat__not_prime_zero.
English
Assume that $0$ is prime. Then we have a contradiction.
French
Supposons que $0$ est premier. Alors nous avons une contradiction.
Czech
Předpokládejme, že $0$ je prvočíselné. Tedy máme spor.
German
Nimm an, dass $0$ prim ist. Dann haben wir einen Widerspruch.
Swedish
Anta att $0$ är primt. Då har vi en kontradiction.
Formula
$\mathrm{prime} (0)\vdash \bot$
Proof
1 lines
1.$0$ is not prime.Nat.not_prime_zero
Proof, French
1 lines
1.$0$ n'est pas premier.Nat.not_prime_zero
Proof, Czech
1 lines
1.$0$ není prvočíselné.Nat.not_prime_zero
Proof, German
1 lines
1.$0$ ist nicht prim.Nat.not_prime_zero
Proof, Swedish
1 lines
1.$0$ är inte primt.Nat.not_prime_zero
Nat.not_prime_onetheoremDefs.lean:57
Lean
theorem not_prime_one : ¬ Prime 1
Dedukti
1 lines
Nat__not_prime_one : Proof (not (prime 1)).
English
$1$ is not prime.
French
$1$ n'est pas premier.
Czech
$1$ není prvočíselné.
German
$1$ ist nicht prim.
Swedish
$1$ är inte primt.
Formula
$\neg \mathrm{prime} (1)$
Nat.prime_one_falsetheoremDefs.lean:63
A copy of not_prime_one stated in a way that works for aesop.
See https://github.com/leanprover-community/aesop/issues/197 for an explanation.
Lean
@[aesop safe destruct] theorem prime_one_false : Prime 1 → False :=
  not_prime_one
Dedukti
2 lines
def Nat__prime_one_false : (h : Proof (prime 1)) -> Proof false :=
  Nat__not_prime_one.
English
Assume that $1$ is prime. Then we have a contradiction.
French
Supposons que $1$ est premier. Alors nous avons une contradiction.
Czech
Předpokládejme, že $1$ je prvočíselné. Tedy máme spor.
German
Nimm an, dass $1$ prim ist. Dann haben wir einen Widerspruch.
Swedish
Anta att $1$ är primt. Då har vi en kontradiction.
Formula
$\mathrm{prime} (1)\vdash \bot$
Proof
1 lines
1.$1$ is not prime.Nat.not_prime_one
Proof, French
1 lines
1.$1$ n'est pas premier.Nat.not_prime_one
Proof, Czech
1 lines
1.$1$ není prvočíselné.Nat.not_prime_one
Proof, German
1 lines
1.$1$ ist nicht prim.Nat.not_prime_one
Proof, Swedish
1 lines
1.$1$ är inte primt.Nat.not_prime_one
Nat.Prime.ne_zerotheoremDefs.lean:66
Lean
theorem Prime.ne_zero {n : ℕ} (h : Prime n) : n ≠ 0 :=
  Irreducible.ne_zero h
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime__ne_zero : (n : Elem Nat) -> (h : Proof (prime n)) -> Proof (Neq n 0) :=
  n => h => Irreducible__ne_zero Nat n h.
English
Let $n$ be a prime natural number. Then $n \neq 0$.
French
Soit $n$ un nombre naturel premier. Alors $n \neq 0$.
Czech
Nechť $n$ je prvočíselné přirozené číslo. Tedy $n \neq 0$.
German
Sei $n$ eine prime natürliche Zahl. Dann $n \neq 0$.
Swedish
Låt $n$ vara ett primt naturligt tal. Då $n \neq 0$.
Formula
$n \in \Natural , \mathrm{prime} (n)\vdash n \neq 0$
Proof
3 lines
1.Let $n$ be an element of $\Natural$.
2.Assume that $n$ is prime.
3.$n \neq 0$.Irreducible.ne_zero 2
Proof, French
3 lines
1.Soit $n$ un élément de $\Natural$.
2.Supposons que $n$ est premier.
3.$n \neq 0$.Irreducible.ne_zero 2
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $n$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $n$ je prvočíselné.
3.$n \neq 0$.Irreducible.ne_zero 2
Proof, German
3 lines
1.Sei $n$ ein Element von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $n$ prim ist.
3.$n \neq 0$.Irreducible.ne_zero 2
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $n$ vara ett element av $\Natural$.
2.Anta att $n$ är primt.
3.$n \neq 0$.Irreducible.ne_zero 2
Nat.Prime.postheoremDefs.lean:69
Lean
theorem Prime.pos {p : ℕ} (pp : Prime p) : 0 < p :=
  Nat.pos_of_ne_zero pp.ne_zero
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime__pos : (p : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> Proof (Lt 0 p) :=
  p => pp => Nat__pos_of_ne_zero p (Nat__Prime__ne_zero p pp).
English
Let $p$ be a prime natural number. Then $0 < p$.
French
Soit $p$ un nombre naturel premier. Alors $0 < p$.
Czech
Nechť $p$ je prvočíselné přirozené číslo. Tedy $0 < p$.
German
Sei $p$ eine prime natürliche Zahl. Dann $0 < p$.
Swedish
Låt $p$ vara ett primt naturligt tal. Då $0 < p$.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash 0 < p$
Proof
4 lines
1.Let $p$ be an element of $\Natural$.
2.Assume that $p$ is prime.
3.$p \neq 0$.Nat.Prime.ne_zero 2
4.$0 < p$.Nat.pos_of_ne_zero 3
Proof, French
4 lines
1.Soit $p$ un élément de $\Natural$.
2.Supposons que $p$ est premier.
3.$p \neq 0$.Nat.Prime.ne_zero 2
4.$0 < p$.Nat.pos_of_ne_zero 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $p$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
3.$p \neq 0$.Nat.Prime.ne_zero 2
4.$0 < p$.Nat.pos_of_ne_zero 3
Proof, German
4 lines
1.Sei $p$ ein Element von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $p$ prim ist.
3.$p \neq 0$.Nat.Prime.ne_zero 2
4.$0 < p$.Nat.pos_of_ne_zero 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $p$ vara ett element av $\Natural$.
2.Anta att $p$ är primt.
3.$p \neq 0$.Nat.Prime.ne_zero 2
4.$0 < p$.Nat.pos_of_ne_zero 3
Nat.Prime.two_letheoremDefs.lean:72
Lean
theorem Prime.two_le : ∀ {p : ℕ}, Prime p → 2 ≤ p
Dedukti
1 lines
Nat__Prime__two_le : (p : Elem Nat) -> (h : Proof (prime p)) -> Proof (Leq 2 p).
English
Let $p$ be a prime natural number. Then $2 \leq p$.
French
Soit $p$ un nombre naturel premier. Alors $2 \leq p$.
Czech
Nechť $p$ je prvočíselné přirozené číslo. Tedy $2 \leq p$.
German
Sei $p$ eine prime natürliche Zahl. Dann $2 \leq p$.
Swedish
Låt $p$ vara ett primt naturligt tal. Då $2 \leq p$.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash 2 \leq p$
Nat.Prime.one_lttheoremDefs.lean:77
Lean
theorem Prime.one_lt {p : ℕ} : Prime p → 1 < p :=
  Prime.two_le
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime__one_lt : (p : Elem Nat) -> (h : Proof (prime p)) -> Proof (Lt 1 p) :=
  p => Nat__Prime__two_le p.
English
Let $p$ be a prime natural number. Then $1 < p$.
French
Soit $p$ un nombre naturel premier. Alors $1 < p$.
Czech
Nechť $p$ je prvočíselné přirozené číslo. Tedy $1 < p$.
German
Sei $p$ eine prime natürliche Zahl. Dann $1 < p$.
Swedish
Låt $p$ vara ett primt naturligt tal. Då $1 < p$.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash 1 < p$
Proof
2 lines
1.Let $p$ be an element of $\Natural$.
2.$2 \leq p$.Nat.Prime.two_le
Proof, French
2 lines
1.Soit $p$ un élément de $\Natural$.
2.$2 \leq p$.Nat.Prime.two_le
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $p$ je prvek $\Natural$.
2.$2 \leq p$.Nat.Prime.two_le
Proof, German
2 lines
1.Sei $p$ ein Element von $\Natural$.
2.$2 \leq p$.Nat.Prime.two_le
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $p$ vara ett element av $\Natural$.
2.$2 \leq p$.Nat.Prime.two_le
Nat.Prime.one_letheoremDefs.lean:80
Lean
lemma Prime.one_le {p : ℕ} (hp : p.Prime) : 1 ≤ p := hp.one_lt.le
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime__one_le : (p : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> Proof (Leq 1 p) :=
  p => hp => LT__lt__le Nat 1 p (Nat__Prime__one_lt p hp).
English
Let $p$ be a prime natural number. Then $1 \leq p$.
French
Soit $p$ un nombre naturel premier. Alors $1 \leq p$.
Czech
Nechť $p$ je prvočíselné přirozené číslo. Tedy $1 \leq p$.
German
Sei $p$ eine prime natürliche Zahl. Dann $1 \leq p$.
Swedish
Låt $p$ vara ett primt naturligt tal. Då $1 \leq p$.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash 1 \leq p$
Proof
4 lines
1.Let $p$ be an element of $\Natural$.
2.Assume that $p$ is prime.
3.$1 < p$.Nat.Prime.one_lt 2
4.$1 \leq p$.LT.lt.le 3
Proof, French
4 lines
1.Soit $p$ un élément de $\Natural$.
2.Supposons que $p$ est premier.
3.$1 < p$.Nat.Prime.one_lt 2
4.$1 \leq p$.LT.lt.le 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $p$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
3.$1 < p$.Nat.Prime.one_lt 2
4.$1 \leq p$.LT.lt.le 3
Proof, German
4 lines
1.Sei $p$ ein Element von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $p$ prim ist.
3.$1 < p$.Nat.Prime.one_lt 2
4.$1 \leq p$.LT.lt.le 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $p$ vara ett element av $\Natural$.
2.Anta att $p$ är primt.
3.$1 < p$.Nat.Prime.one_lt 2
4.$1 \leq p$.LT.lt.le 3
Nat.Prime.ne_onetheoremDefs.lean:85
Lean
theorem Prime.ne_one {p : ℕ} (hp : p.Prime) : p ≠ 1 :=
  hp.one_lt.ne'
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime__ne_one : (p : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> Proof (Neq p 1) :=
  p => hp => LT__lt__ne' Nat p 1 (Nat__Prime__one_lt p hp).
English
Let $p$ be a prime natural number. Then $p \neq 1$.
French
Soit $p$ un nombre naturel premier. Alors $p \neq 1$.
Czech
Nechť $p$ je prvočíselné přirozené číslo. Tedy $p \neq 1$.
German
Sei $p$ eine prime natürliche Zahl. Dann $p \neq 1$.
Swedish
Låt $p$ vara ett primt naturligt tal. Då $p \neq 1$.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash p \neq 1$
Proof
4 lines
1.Let $p$ be an element of $\Natural$.
2.Assume that $p$ is prime.
3.$1 < p$.Nat.Prime.one_lt 2
4.$p \neq 1$.LT.lt.ne' 3
Proof, French
4 lines
1.Soit $p$ un élément de $\Natural$.
2.Supposons que $p$ est premier.
3.$1 < p$.Nat.Prime.one_lt 2
4.$p \neq 1$.LT.lt.ne' 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $p$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
3.$1 < p$.Nat.Prime.one_lt 2
4.$p \neq 1$.LT.lt.ne' 3
Proof, German
4 lines
1.Sei $p$ ein Element von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $p$ prim ist.
3.$1 < p$.Nat.Prime.one_lt 2
4.$p \neq 1$.LT.lt.ne' 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $p$ vara ett element av $\Natural$.
2.Anta att $p$ är primt.
3.$1 < p$.Nat.Prime.one_lt 2
4.$p \neq 1$.LT.lt.ne' 3
Nat.Prime.eq_one_or_self_of_dvdtheoremDefs.lean:88
Lean
theorem Prime.eq_one_or_self_of_dvd {p : ℕ} (pp : p.Prime) (m : ℕ) (hm : m ∣ p) :
    m = 1 ∨ m = p := by
  obtain ⟨n, hn⟩ := hm
  have := pp.isUnit_or_isUnit hn
  rw [Nat.isUnit_iff, Nat.isUnit_iff] at this
  apply Or.imp_right _ this
  rintro rfl
  rw [hn, mul_one]
Dedukti
1 lines
Nat__Prime__eq_one_or_self_of_dvd : (p : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> (m : Elem Nat) -> (hm : Proof (divide m p)) -> Proof (or (Eq m 1) (Eq m p)).
English
Let $p$ and $m$ be natural numbers such that $p$ is prime and $m$ divides $p$. Then $m = 1$ or $m = p$.
French
Soient $p$ et $m$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier et $m$ divise $p$. Alors $m = 1$ ou $m = p$.
Czech
Nechť $p$ a $m$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné a $m$ dělí $p$. Tedy $m = 1$ nebo $m = p$.
German
Seien $p$ und $m$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist und $m$ $p$ teilt. Dann $m = 1$ oder $m = p$.
Swedish
Låt $p$ och $m$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt och $m$ delar $p$. Då $m = 1$ eller $m = p$.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{prime} (p), m \in \Natural , \divides {m}{p}\vdash m = 1 \vee m = p$
Proof
6 lines
1.Let $n$ be an element of $\Natural$ such that $p = m \times n$.obtain ⟨n, hn⟩ := hm
2.$m$ is a unit or $n$ is a unit.have := pp.isUnit_or_isUnit hn
3.$m = 1$ or $n = 1$.rw [Nat.isUnit_iff, Nat.isUnit_iff] at this
4.It is enough to show that if $n = 1$, then $m = p$.apply Or.imp_right _ this
5.Assume that $n = 1$.rintro rfl
6.$m = p$.rw [hn, mul_one]
Proof, French
6 lines
1.Soit $n$ un élément de $\Natural$ tel que $p = m \times n$.obtain ⟨n, hn⟩ := hm
2.$m$ est une unité ou $n$ est une unité.have := pp.isUnit_or_isUnit hn
3.$m = 1$ ou $n = 1$.rw [Nat.isUnit_iff, Nat.isUnit_iff] at this
4.Il suffit de montrer que si $n = 1$, alors $m = p$.apply Or.imp_right _ this
5.Supposons que $n = 1$.rintro rfl
6.$m = p$.rw [hn, mul_one]
Proof, Czech
6 lines
1.Nechť $n$ je prvek $\Natural$ takový, že $p = m \times n$.obtain ⟨n, hn⟩ := hm
2.$m$ je jednotka nebo $n$ je jednotka.have := pp.isUnit_or_isUnit hn
3.$m = 1$ nebo $n = 1$.rw [Nat.isUnit_iff, Nat.isUnit_iff] at this
4.Stačí ukázat, že jestliže $n = 1$, pak $m = p$.apply Or.imp_right _ this
5.Předpokládejme, že $n = 1$.rintro rfl
6.$m = p$.rw [hn, mul_one]
Proof, German
6 lines
1.Sei $n$ ein Element von $\Natural$ derart, dass $p = m \times n$.obtain ⟨n, hn⟩ := hm
2.$m$ ist eine Einheit oder $n$ ist eine Einheit.have := pp.isUnit_or_isUnit hn
3.$m = 1$ oder $n = 1$.rw [Nat.isUnit_iff, Nat.isUnit_iff] at this
4.Es genügt zu zeigen, dass wenn $n = 1$, dann $m = p$.apply Or.imp_right _ this
5.Nimm an, dass $n = 1$.rintro rfl
6.$m = p$.rw [hn, mul_one]
Proof, Swedish
6 lines
1.Låt $n$ vara ett element av $\Natural$ sådant att $p = m \times n$.obtain ⟨n, hn⟩ := hm
2.$m$ är en enhet eller $n$ är en enhet.have := pp.isUnit_or_isUnit hn
3.$m = 1$ eller $n = 1$.rw [Nat.isUnit_iff, Nat.isUnit_iff] at this
4.Det räcker att visa att om $n = 1$, så $m = p$.apply Or.imp_right _ this
5.Anta att $n = 1$.rintro rfl
6.$m = p$.rw [hn, mul_one]
Nat.prime_deftheoremDefs.lean:98
Nat.Prime p means that p is a prime number, that is, a natural number at least 2 whose only divisors are p and 1. The theorem Nat.prime_def witnesses this description of a prime number.
Lean
@[inherit_doc Nat.Prime]
theorem prime_def {p : ℕ} : Prime p ↔ 2 ≤ p ∧ ∀ m, m ∣ p → m = 1 ∨ m = p := by
  refine ⟨fun h => ⟨h.two_le, h.eq_one_or_self_of_dvd⟩, fun h => ?_⟩
  have h1 := Nat.one_lt_two.trans_le h.1
  refine ⟨mt Nat.isUnit_iff.mp h1.ne', ?_⟩
  rintro a b rfl
  simp only [Nat.isUnit_iff]
  refine (h.2 a <| dvd_mul_right ..).imp_right fun hab ↦ ?_
  rw [← mul_right_inj' (Nat.ne_zero_of_lt h1), ← hab, ← hab, mul_one]
Dedukti
1 lines
Nat__prime_def : (p : Elem Nat) -> Proof (iff (prime p) (and (Leq 2 p) (forall Nat (m => if (divide m p) (or (Eq m 1) (Eq m p)))))).
English
Let $p$ be a natural number. Then $p$ is prime, if and only if $2 \leq p$ and for all natural numbers $m$, if $m$ divides $p$, then $m = 1$ or $m = p$.
French
Soit $p$ un nombre naturel. Alors $p$ est premier si et seulement si $2 \leq p$ et pour tous des nombres naturels $m$, si $m$ divise $p$, alors $m = 1$ ou $m = p$.
Czech
Nechť $p$ je přirozené číslo. Tedy $p$ je prvočíselné, právě tehdy, když $2 \leq p$ a pro všechna přirozená čísla $m$, jestliže $m$ dělí $p$, pak $m = 1$ nebo $m = p$.
German
Sei $p$ eine natürliche Zahl. Dann ist $p$ prim, genau dann, wenn $2 \leq p$ und für alle natürliche Zahlen $m$, wenn $m$ $p$ teilt, dann $m = 1$ oder $m = p$.
Swedish
Låt $p$ vara ett naturligt tal. Då är $p$ primt, om och endast om $2 \leq p$ och för alla naturliga tal $m$, om $m$ delar $p$, så $m = 1$ eller $m = p$.
Formula
$p \in \Natural \vdash \mathrm{prime} (p)\leftrightarrow 2 \leq p \wedge (\forall m \in \Natural . \divides {m}{p}\rightarrow m = 1 \vee m = p)$
Proof
9 lines
1.Assume that $2 \leq p$ and for all elements $m$ of $\Natural$, if $\divides {m}{p}$, then $m = 1$ or $m = p$.refine ⟨fun h => ⟨h.two_le, h.eq_one_or_self_of_dvd⟩, fun h => ?_⟩
2.It is enough to show that $p$ is prime.refine ⟨fun h => ⟨h.two_le, h.eq_one_or_self_of_dvd⟩, fun h => ?_⟩
3.$1 < p$.have h1 := Nat.one_lt_two.trans_le h.1
4.It is enough to show that for all elements $a$ and $b$ of $\Natural$, if $p = a \times b$, then $a$ is a unit or $b$ is a unit.refine ⟨mt Nat.isUnit_iff.mp h1.ne', ?_⟩
5.Let $a$ and $b$ be elements of $\Natural$.rintro a b rfl
6.It is enough to show that $a = 1$ or $b = 1$.simp only [Nat.isUnit_iff]
7.Assume that $a = a \times b$.refine (h.2 a <| dvd_mul_right ..).imp_right fun hab ↦ ?_
8.It is enough to show that $b = 1$.refine (h.2 a <| dvd_mul_right ..).imp_right fun hab ↦ ?_
9.$b = 1$.rw [← mul_right_inj' (Nat.ne_zero_of_lt h1), ← hab, ← hab, mul_one]
Proof, French
9 lines
1.Supposons que $2 \leq p$ et pour tous des éléments $m$ de $\Natural$, si $\divides {m}{p}$, alors $m = 1$ ou $m = p$.refine ⟨fun h => ⟨h.two_le, h.eq_one_or_self_of_dvd⟩, fun h => ?_⟩
2.Il suffit de montrer que $p$ est premier.refine ⟨fun h => ⟨h.two_le, h.eq_one_or_self_of_dvd⟩, fun h => ?_⟩
3.$1 < p$.have h1 := Nat.one_lt_two.trans_le h.1
4.Il suffit de montrer que pour tous les éléments $a$ et $b$ de $\Natural$, si $p = a \times b$, alors $a$ est une unité ou $b$ est une unité.refine ⟨mt Nat.isUnit_iff.mp h1.ne', ?_⟩
5.Soient $a$ et $b$ des éléments de $\Natural$.rintro a b rfl
6.Il suffit de montrer que $a = 1$ ou $b = 1$.simp only [Nat.isUnit_iff]
7.Supposons que $a = a \times b$.refine (h.2 a <| dvd_mul_right ..).imp_right fun hab ↦ ?_
8.Il suffit de montrer que $b = 1$.refine (h.2 a <| dvd_mul_right ..).imp_right fun hab ↦ ?_
9.$b = 1$.rw [← mul_right_inj' (Nat.ne_zero_of_lt h1), ← hab, ← hab, mul_one]
Proof, Czech
9 lines
1.Předpokládejme, že $2 \leq p$ a pro všechny prvky $m$ $\Natural$, jestliže $\divides {m}{p}$, pak $m = 1$ nebo $m = p$.refine ⟨fun h => ⟨h.two_le, h.eq_one_or_self_of_dvd⟩, fun h => ?_⟩
2.Stačí ukázat, že $p$ je prvočíselné.refine ⟨fun h => ⟨h.two_le, h.eq_one_or_self_of_dvd⟩, fun h => ?_⟩
3.$1 < p$.have h1 := Nat.one_lt_two.trans_le h.1
4.Stačí ukázat, že pro všechny prvky $a$ a $b$ $\Natural$, jestliže $p = a \times b$, pak $a$ je jednotka nebo $b$ je jednotka.refine ⟨mt Nat.isUnit_iff.mp h1.ne', ?_⟩
5.Nechť $a$ a $b$ je prvek $\Natural$.rintro a b rfl
6.Stačí ukázat, že $a = 1$ nebo $b = 1$.simp only [Nat.isUnit_iff]
7.Předpokládejme, že $a = a \times b$.refine (h.2 a <| dvd_mul_right ..).imp_right fun hab ↦ ?_
8.Stačí ukázat, že $b = 1$.refine (h.2 a <| dvd_mul_right ..).imp_right fun hab ↦ ?_
9.$b = 1$.rw [← mul_right_inj' (Nat.ne_zero_of_lt h1), ← hab, ← hab, mul_one]
Proof, German
9 lines
1.Nimm an, dass $2 \leq p$ und für alle Elemente $m$ von $\Natural$, wenn $\divides {m}{p}$, dann $m = 1$ oder $m = p$.refine ⟨fun h => ⟨h.two_le, h.eq_one_or_self_of_dvd⟩, fun h => ?_⟩
2.Es genügt zu zeigen, dass $p$ prim ist.refine ⟨fun h => ⟨h.two_le, h.eq_one_or_self_of_dvd⟩, fun h => ?_⟩
3.$1 < p$.have h1 := Nat.one_lt_two.trans_le h.1
4.Es genügt zu zeigen, dass für alle Elemente $a$ und $b$ von $\Natural$, wenn $p = a \times b$, dann $a$ eine Einheit ist oder $b$ eine Einheit ist.refine ⟨mt Nat.isUnit_iff.mp h1.ne', ?_⟩
5.Seien $a$ und $b$ elemente von $\Natural$.rintro a b rfl
6.Es genügt zu zeigen, dass $a = 1$ oder $b = 1$.simp only [Nat.isUnit_iff]
7.Nimm an, dass $a = a \times b$.refine (h.2 a <| dvd_mul_right ..).imp_right fun hab ↦ ?_
8.Es genügt zu zeigen, dass $b = 1$.refine (h.2 a <| dvd_mul_right ..).imp_right fun hab ↦ ?_
9.$b = 1$.rw [← mul_right_inj' (Nat.ne_zero_of_lt h1), ← hab, ← hab, mul_one]
Proof, Swedish
9 lines
1.Anta att $2 \leq p$ och för alla element $m$ av $\Natural$, om $\divides {m}{p}$, så $m = 1$ eller $m = p$.refine ⟨fun h => ⟨h.two_le, h.eq_one_or_self_of_dvd⟩, fun h => ?_⟩
2.Det räcker att visa att $p$ är primt.refine ⟨fun h => ⟨h.two_le, h.eq_one_or_self_of_dvd⟩, fun h => ?_⟩
3.$1 < p$.have h1 := Nat.one_lt_two.trans_le h.1
4.Det räcker att visa att för alla element $a$ och $b$ av $\Natural$, om $p = a \times b$, så är $a$ en enhet eller $b$ är en enhet.refine ⟨mt Nat.isUnit_iff.mp h1.ne', ?_⟩
5.Låt $a$ och $b$ vara element av $\Natural$.rintro a b rfl
6.Det räcker att visa att $a = 1$ eller $b = 1$.simp only [Nat.isUnit_iff]
7.Anta att $a = a \times b$.refine (h.2 a <| dvd_mul_right ..).imp_right fun hab ↦ ?_
8.Det räcker att visa att $b = 1$.refine (h.2 a <| dvd_mul_right ..).imp_right fun hab ↦ ?_
9.$b = 1$.rw [← mul_right_inj' (Nat.ne_zero_of_lt h1), ← hab, ← hab, mul_one]
Nat.prime_def_lttheoremDefs.lean:107
Lean
theorem prime_def_lt {p : ℕ} : Prime p ↔ 2 ≤ p ∧ ∀ m < p, m ∣ p → m = 1 :=
  prime_def.trans <|
    and_congr_right fun p2 =>
      forall_congr' fun _ =>
        ⟨fun h l d => (h d).resolve_right (ne_of_lt l), fun h d =>
          (le_of_dvd (le_of_succ_le p2) d).lt_or_eq_dec.imp_left fun l => h l d⟩
Dedukti
2 lines
def Nat__prime_def_lt : (p : Elem Nat) -> Proof (iff (prime p) (and (Leq 2 p) (forall Nat (m => if (Lt m p) (if (divide m p) (Eq m 1)))))) :=
  p => Iff__trans (prime p) (and (Leq 2 p) (forall Nat (m => if (divide m p) (or (Eq m 1) (Eq m p))))) (and (Leq 2 p) (forall Nat (m1 => if (Lt m1 p) (if (divide m1 p) (Eq m1 1))))) (Nat__prime_def p) (and_congr_right (Leq 2 p) (forall Nat (m2 => if (divide m2 p) (or (Eq m2 1) (Eq m2 p)))) (forall Nat (m3 => if (Lt m3 p) (if (divide m3 p) (Eq m3 1)))) (ifI (Leq 2 p) (iff (forall Nat (a => if (divide a p) (or (Eq a 1) (Eq a p)))) (forall Nat (a1 => if (Lt a1 p) (if (divide a1 p) (Eq a1 1))))) (p2 => forall_congr' Nat (m4 => if (divide m4 p) (or (Eq m4 1) (Eq m4 p))) (m5 => if (Lt m5 p) (if (divide m5 p) (Eq m5 1))) (forallI Nat (x => iff (if (divide x p) (or (Eq x 1) (Eq x p))) (if (Lt x p) (if (divide x p) (Eq x 1)))) (x => iffI (if (divide x p) (or (Eq x 1) (Eq x p))) (if (Lt x p) (if (divide x p) (Eq x 1))) (h12 => ifI (Lt x p) (if (divide x p) (Eq x 1)) (l => ifI (divide x p) (Eq x 1) (d => Or__resolve_right (Eq x 1) (Eq x p) (ifE (divide x p) (or (Eq x 1) (Eq x p)) h12 d) (Nat__ne_of_lt x p l)))) (h13 => ifI (divide x p) (or (Eq x 1) (Eq x p)) (d2 => Or__imp_left (Lt x p) (Eq x 1) (Eq x p) (ifI (Lt x p) (Eq x 1) (l1 => ifE (divide x p) (Eq x 1) (ifE (Lt x p) (if (divide x p) (Eq x 1)) h13 l1) d2)) (LE__le__lt_or_eq_dec Nat x p (Nat__le_of_dvd x p (Nat__le_of_succ_le (succ 0) p p2) d2))))))))).
English
Let $p$ be a natural number. Then $p$ is prime, if and only if $2 \leq p$ and for all natural numbers $m$, if $m < p$, then if $m$ divides $p$, then $m = 1$.
French
Soit $p$ un nombre naturel. Alors $p$ est premier si et seulement si $2 \leq p$ et pour tous des nombres naturels $m$, si $m < p$, alors si $m$ divise $p$, alors $m = 1$.
Czech
Nechť $p$ je přirozené číslo. Tedy $p$ je prvočíselné, právě tehdy, když $2 \leq p$ a pro všechna přirozená čísla $m$, jestliže $m < p$, pak jestliže $m$ dělí $p$, pak $m = 1$.
German
Sei $p$ eine natürliche Zahl. Dann ist $p$ prim, genau dann, wenn $2 \leq p$ und für alle natürliche Zahlen $m$, wenn $m < p$, dann wenn $m$ $p$ teilt, dann $m = 1$.
Swedish
Låt $p$ vara ett naturligt tal. Då är $p$ primt, om och endast om $2 \leq p$ och för alla naturliga tal $m$, om $m < p$, så om $m$ delar $p$, så $m = 1$.
Formula
$p \in \Natural \vdash \mathrm{prime} (p)\leftrightarrow 2 \leq p \wedge (\forall m \in \Natural . m < p \rightarrow \divides {m}{p}\rightarrow m = 1)$
Proof
29 lines
1.Let $p$ be an element of $\Natural$.
2.$p$ is prime, if and only if $2 \leq p$ and for all elements $m$ of $\Natural$, if $\divides {m}{p}$, then $m = 1$ or $m = p$.Nat.prime_def
3.Let $x$ be an element of $\Natural$.
4.Assume that if $\divides {x}{p}$, then $x = 1$ or $x = p$.
5.Assume that $\divides {x}{p}$.
6.$x = 1$ or $x = p$.ifE 4, 5
7.Assume that $x < p$.
8.$x \neq p$.Nat.ne_of_lt 7
9.$x = 1$.Or.resolve_right 6, 8
10.If $\divides {x}{p}$, then $x = 1$.ifI 9 [d]
11.If $x < p$, then if $\divides {x}{p}$, then $x = 1$.ifI 10 [l]
12.Assume that if $x < p$, then if $\divides {x}{p}$, then $x = 1$.
13.Assume that $x < p$.
14.If $\divides {x}{p}$, then $x = 1$.ifE 12, 13
15.Assume that $\divides {x}{p}$.
16.$x = 1$.ifE 14, 15
17.If $x < p$, then $x = 1$.ifI 16 [l1]
18.Assume that $2 \leq p$.
19.The successor of $0$ is less than or equal to $p$.Nat.le_of_succ_le 18
20.$x \leq p$.Nat.le_of_dvd 19, 15
21.$x < p$ or $\EqtMACRoJ {x}{p}$.LE.le.lt_or_eq_dec 20
22.$x = 1$ or $x = p$.Or.imp_left 17, 21
23.If $\divides {x}{p}$, then $x = 1$ or $x = p$.ifI 22 [d2]
24.If $\divides {x}{p}$, then $x = 1$ or $x = p$, if and only if if $x < p$, then if $\divides {x}{p}$, then $x = 1$.iffI 11, 23 [h12, h13]
25.For all elements $x$ of $\Natural$, if $\divides {x}{p}$, then $x = 1$ or $x = p$, if and only if if $x < p$, then if $\divides {x}{p}$, then $x = 1$.forallI 3, 24 [x]
26.For all elements $m_{4}$ of $\Natural$, if $\divides {m_{4}}{p}$, then $m_{4} = 1$ or $m_{4} = p$, if and only if for all elements $m_{5}$ of $\Natural$, if $m_{5} < p$, then if $\divides {m_{5}}{p}$, then $m_{5} = 1$.forall_congr' 25
27.If $2 \leq p$, then for all elements $a$ of $\Natural$, if $\divides {a}{p}$, then $a = 1$ or $a = p$, if and only if for all elements $a_{1}$ of $\Natural$, if $a_{1} < p$, then if $\divides {a_{1}}{p}$, then $a_{1} = 1$.ifI 26 [p2]
28.$2 \leq p$ and for all elements $m_{2}$ of $\Natural$, if $\divides {m_{2}}{p}$, then $m_{2} = 1$ or $m_{2} = p$, if and only if $2 \leq p$ and for all elements $m_{3}$ of $\Natural$, if $m_{3} < p$, then if $\divides {m_{3}}{p}$, then $m_{3} = 1$.and_congr_right 27
29.$p$ is prime, if and only if $2 \leq p$ and for all elements $m_{1}$ of $\Natural$, if $m_{1} < p$, then if $\divides {m_{1}}{p}$, then $m_{1} = 1$.Iff.trans 2, 28
Proof, French
29 lines
1.Soit $p$ un élément de $\Natural$.
2.$p$ est premier si et seulement si $2 \leq p$ et pour tous des éléments $m$ de $\Natural$, si $\divides {m}{p}$, alors $m = 1$ ou $m = p$.Nat.prime_def
3.Soit $x$ un élément de $\Natural$.
4.Supposons que si $\divides {x}{p}$, alors $x = 1$ ou $x = p$.
5.Supposons que $\divides {x}{p}$.
6.$x = 1$ ou $x = p$.ifE 4, 5
7.Supposons que $x < p$.
8.$x \neq p$.Nat.ne_of_lt 7
9.$x = 1$.Or.resolve_right 6, 8
10.Si $\divides {x}{p}$, alors $x = 1$.ifI 9 [d]
11.Si $x < p$, alors si $\divides {x}{p}$, alors $x = 1$.ifI 10 [l]
12.Supposons que si $x < p$, alors si $\divides {x}{p}$, alors $x = 1$.
13.Supposons que $x < p$.
14.Si $\divides {x}{p}$, alors $x = 1$.ifE 12, 13
15.Supposons que $\divides {x}{p}$.
16.$x = 1$.ifE 14, 15
17.Si $x < p$, alors $x = 1$.ifI 16 [l1]
18.Supposons que $2 \leq p$.
19.Le successeur de $0$ est inférieur ou égal à $p$.Nat.le_of_succ_le 18
20.$x \leq p$.Nat.le_of_dvd 19, 15
21.$x < p$ ou $\EqtMACRoJ {x}{p}$.LE.le.lt_or_eq_dec 20
22.$x = 1$ ou $x = p$.Or.imp_left 17, 21
23.Si $\divides {x}{p}$, alors $x = 1$ ou $x = p$.ifI 22 [d2]
24.Si $\divides {x}{p}$, alors $x = 1$ ou $x = p$ si et seulement si si $x < p$, alors si $\divides {x}{p}$, alors $x = 1$.iffI 11, 23 [h12, h13]
25.Pour tous les éléments $x$ de $\Natural$, si $\divides {x}{p}$, alors $x = 1$ ou $x = p$ si et seulement si si $x < p$, alors si $\divides {x}{p}$, alors $x = 1$.forallI 3, 24 [x]
26.Pour tous les éléments $m_{4}$ de $\Natural$, si $\divides {m_{4}}{p}$, alors $m_{4} = 1$ ou $m_{4} = p$ si et seulement si pour tous les éléments $m_{5}$ de $\Natural$, si $m_{5} < p$, alors si $\divides {m_{5}}{p}$, alors $m_{5} = 1$.forall_congr' 25
27.Si $2 \leq p$, alors pour tous les éléments $a$ de $\Natural$, si $\divides {a}{p}$, alors $a = 1$ ou $a = p$ si et seulement si pour tous les éléments $a_{1}$ de $\Natural$, si $a_{1} < p$, alors si $\divides {a_{1}}{p}$, alors $a_{1} = 1$.ifI 26 [p2]
28.$2 \leq p$ et pour tous des éléments $m_{2}$ de $\Natural$, si $\divides {m_{2}}{p}$, alors $m_{2} = 1$ ou $m_{2} = p$ si et seulement si $2 \leq p$ et pour tous des éléments $m_{3}$ de $\Natural$, si $m_{3} < p$, alors si $\divides {m_{3}}{p}$, alors $m_{3} = 1$.and_congr_right 27
29.$p$ est premier si et seulement si $2 \leq p$ et pour tous des éléments $m_{1}$ de $\Natural$, si $m_{1} < p$, alors si $\divides {m_{1}}{p}$, alors $m_{1} = 1$.Iff.trans 2, 28
Proof, Czech
29 lines
1.Nechť $p$ je prvek $\Natural$.
2.$p$ je prvočíselné, právě tehdy, když $2 \leq p$ a pro všechny prvky $m$ $\Natural$, jestliže $\divides {m}{p}$, pak $m = 1$ nebo $m = p$.Nat.prime_def
3.Nechť $x$ je prvek $\Natural$.
4.Předpokládejme, že jestliže $\divides {x}{p}$, pak $x = 1$ nebo $x = p$.
5.Předpokládejme, že $\divides {x}{p}$.
6.$x = 1$ nebo $x = p$.ifE 4, 5
7.Předpokládejme, že $x < p$.
8.$x \neq p$.Nat.ne_of_lt 7
9.$x = 1$.Or.resolve_right 6, 8
10.Jestliže $\divides {x}{p}$, pak $x = 1$.ifI 9 [d]
11.Jestliže $x < p$, pak jestliže $\divides {x}{p}$, pak $x = 1$.ifI 10 [l]
12.Předpokládejme, že jestliže $x < p$, pak jestliže $\divides {x}{p}$, pak $x = 1$.
13.Předpokládejme, že $x < p$.
14.Jestliže $\divides {x}{p}$, pak $x = 1$.ifE 12, 13
15.Předpokládejme, že $\divides {x}{p}$.
16.$x = 1$.ifE 14, 15
17.Jestliže $x < p$, pak $x = 1$.ifI 16 [l1]
18.Předpokládejme, že $2 \leq p$.
19.Následník $0$ je menší nebo rovný než $p$.Nat.le_of_succ_le 18
20.$x \leq p$.Nat.le_of_dvd 19, 15
21.$x < p$ nebo $\EqtMACRoJ {x}{p}$.LE.le.lt_or_eq_dec 20
22.$x = 1$ nebo $x = p$.Or.imp_left 17, 21
23.Jestliže $\divides {x}{p}$, pak $x = 1$ nebo $x = p$.ifI 22 [d2]
24.Jestliže $\divides {x}{p}$, pak $x = 1$ nebo $x = p$, právě tehdy, když jestliže $x < p$, pak jestliže $\divides {x}{p}$, pak $x = 1$.iffI 11, 23 [h12, h13]
25.Pro všechny prvky $x$ $\Natural$, jestliže $\divides {x}{p}$, pak $x = 1$ nebo $x = p$, právě tehdy, když jestliže $x < p$, pak jestliže $\divides {x}{p}$, pak $x = 1$.forallI 3, 24 [x]
26.Pro všechny prvky $m_{4}$ $\Natural$, jestliže $\divides {m_{4}}{p}$, pak $m_{4} = 1$ nebo $m_{4} = p$, právě tehdy, když pro všechny prvky $m_{5}$ $\Natural$, jestliže $m_{5} < p$, pak jestliže $\divides {m_{5}}{p}$, pak $m_{5} = 1$.forall_congr' 25
27.Jestliže $2 \leq p$, pak pro všechny prvky $a$ $\Natural$, jestliže $\divides {a}{p}$, pak $a = 1$ nebo $a = p$, právě tehdy, když pro všechny prvky $a_{1}$ $\Natural$, jestliže $a_{1} < p$, pak jestliže $\divides {a_{1}}{p}$, pak $a_{1} = 1$.ifI 26 [p2]
28.$2 \leq p$ a pro všechny prvky $m_{2}$ $\Natural$, jestliže $\divides {m_{2}}{p}$, pak $m_{2} = 1$ nebo $m_{2} = p$, právě tehdy, když $2 \leq p$ a pro všechny prvky $m_{3}$ $\Natural$, jestliže $m_{3} < p$, pak jestliže $\divides {m_{3}}{p}$, pak $m_{3} = 1$.and_congr_right 27
29.$p$ je prvočíselné, právě tehdy, když $2 \leq p$ a pro všechny prvky $m_{1}$ $\Natural$, jestliže $m_{1} < p$, pak jestliže $\divides {m_{1}}{p}$, pak $m_{1} = 1$.Iff.trans 2, 28
Proof, German
29 lines
1.Sei $p$ ein Element von $\Natural$.
2.$p$ ist prim, genau dann, wenn $2 \leq p$ und für alle Elemente $m$ von $\Natural$, wenn $\divides {m}{p}$, dann $m = 1$ oder $m = p$.Nat.prime_def
3.Sei $x$ ein Element von $\Natural$.
4.Nimm an, dass wenn $\divides {x}{p}$, dann $x = 1$ oder $x = p$.
5.Nimm an, dass $\divides {x}{p}$.
6.$x = 1$ oder $x = p$.ifE 4, 5
7.Nimm an, dass $x < p$.
8.$x \neq p$.Nat.ne_of_lt 7
9.$x = 1$.Or.resolve_right 6, 8
10.Wenn $\divides {x}{p}$, dann $x = 1$.ifI 9 [d]
11.Wenn $x < p$, dann wenn $\divides {x}{p}$, dann $x = 1$.ifI 10 [l]
12.Nimm an, dass wenn $x < p$, dann wenn $\divides {x}{p}$, dann $x = 1$.
13.Nimm an, dass $x < p$.
14.Wenn $\divides {x}{p}$, dann $x = 1$.ifE 12, 13
15.Nimm an, dass $\divides {x}{p}$.
16.$x = 1$.ifE 14, 15
17.Wenn $x < p$, dann $x = 1$.ifI 16 [l1]
18.Nimm an, dass $2 \leq p$.
19.Der Nachfolger von $0$ ist kleiner oder gleich $p$.Nat.le_of_succ_le 18
20.$x \leq p$.Nat.le_of_dvd 19, 15
21.$x < p$ oder $\EqtMACRoJ {x}{p}$.LE.le.lt_or_eq_dec 20
22.$x = 1$ oder $x = p$.Or.imp_left 17, 21
23.Wenn $\divides {x}{p}$, dann $x = 1$ oder $x = p$.ifI 22 [d2]
24.Wenn $\divides {x}{p}$, dann $x = 1$ oder $x = p$, genau dann, wenn wenn $x < p$, dann wenn $\divides {x}{p}$, dann $x = 1$.iffI 11, 23 [h12, h13]
25.Für alle Elemente $x$ von $\Natural$, wenn $\divides {x}{p}$, dann $x = 1$ oder $x = p$, genau dann, wenn wenn $x < p$, dann wenn $\divides {x}{p}$, dann $x = 1$.forallI 3, 24 [x]
26.Für alle Elemente $m_{4}$ von $\Natural$, wenn $\divides {m_{4}}{p}$, dann $m_{4} = 1$ oder $m_{4} = p$, genau dann, wenn für alle Elemente $m_{5}$ von $\Natural$, wenn $m_{5} < p$, dann wenn $\divides {m_{5}}{p}$, dann $m_{5} = 1$.forall_congr' 25
27.Wenn $2 \leq p$, dann für alle Elemente $a$ von $\Natural$, wenn $\divides {a}{p}$, dann $a = 1$ oder $a = p$, genau dann, wenn für alle Elemente $a_{1}$ von $\Natural$, wenn $a_{1} < p$, dann wenn $\divides {a_{1}}{p}$, dann $a_{1} = 1$.ifI 26 [p2]
28.$2 \leq p$ und für alle Elemente $m_{2}$ von $\Natural$, wenn $\divides {m_{2}}{p}$, dann $m_{2} = 1$ oder $m_{2} = p$, genau dann, wenn $2 \leq p$ und für alle Elemente $m_{3}$ von $\Natural$, wenn $m_{3} < p$, dann wenn $\divides {m_{3}}{p}$, dann $m_{3} = 1$.and_congr_right 27
29.$p$ ist prim, genau dann, wenn $2 \leq p$ und für alle Elemente $m_{1}$ von $\Natural$, wenn $m_{1} < p$, dann wenn $\divides {m_{1}}{p}$, dann $m_{1} = 1$.Iff.trans 2, 28
Proof, Swedish
29 lines
1.Låt $p$ vara ett element av $\Natural$.
2.$p$ är primt, om och endast om $2 \leq p$ och för alla element $m$ av $\Natural$, om $\divides {m}{p}$, så $m = 1$ eller $m = p$.Nat.prime_def
3.Låt $x$ vara ett element av $\Natural$.
4.Anta att om $\divides {x}{p}$, så $x = 1$ eller $x = p$.
5.Anta att $\divides {x}{p}$.
6.$x = 1$ eller $x = p$.ifE 4, 5
7.Anta att $x < p$.
8.$x \neq p$.Nat.ne_of_lt 7
9.$x = 1$.Or.resolve_right 6, 8
10.Om $\divides {x}{p}$, så $x = 1$.ifI 9 [d]
11.Om $x < p$, så om $\divides {x}{p}$, så $x = 1$.ifI 10 [l]
12.Anta att om $x < p$, så om $\divides {x}{p}$, så $x = 1$.
13.Anta att $x < p$.
14.Om $\divides {x}{p}$, så $x = 1$.ifE 12, 13
15.Anta att $\divides {x}{p}$.
16.$x = 1$.ifE 14, 15
17.Om $x < p$, så $x = 1$.ifI 16 [l1]
18.Anta att $2 \leq p$.
19.Efterföljaret av $0$ är mindre än eller lika med $p$.Nat.le_of_succ_le 18
20.$x \leq p$.Nat.le_of_dvd 19, 15
21.$x < p$ eller $\EqtMACRoJ {x}{p}$.LE.le.lt_or_eq_dec 20
22.$x = 1$ eller $x = p$.Or.imp_left 17, 21
23.Om $\divides {x}{p}$, så $x = 1$ eller $x = p$.ifI 22 [d2]
24.Om $\divides {x}{p}$, så $x = 1$ eller $x = p$, om och endast om om $x < p$, så om $\divides {x}{p}$, så $x = 1$.iffI 11, 23 [h12, h13]
25.För alla element $x$ av $\Natural$, om $\divides {x}{p}$, så $x = 1$ eller $x = p$, om och endast om om $x < p$, så om $\divides {x}{p}$, så $x = 1$.forallI 3, 24 [x]
26.För alla element $m_{4}$ av $\Natural$, om $\divides {m_{4}}{p}$, så $m_{4} = 1$ eller $m_{4} = p$, om och endast om för alla element $m_{5}$ av $\Natural$, om $m_{5} < p$, så om $\divides {m_{5}}{p}$, så $m_{5} = 1$.forall_congr' 25
27.Om $2 \leq p$, så för alla element $a$ av $\Natural$, om $\divides {a}{p}$, så $a = 1$ eller $a = p$, om och endast om för alla element $a_{1}$ av $\Natural$, om $a_{1} < p$, så om $\divides {a_{1}}{p}$, så $a_{1} = 1$.ifI 26 [p2]
28.$2 \leq p$ och för alla element $m_{2}$ av $\Natural$, om $\divides {m_{2}}{p}$, så $m_{2} = 1$ eller $m_{2} = p$, om och endast om $2 \leq p$ och för alla element $m_{3}$ av $\Natural$, om $m_{3} < p$, så om $\divides {m_{3}}{p}$, så $m_{3} = 1$.and_congr_right 27
29.$p$ är primt, om och endast om $2 \leq p$ och för alla element $m_{1}$ av $\Natural$, om $m_{1} < p$, så om $\divides {m_{1}}{p}$, så $m_{1} = 1$.Iff.trans 2, 28
Nat.prime_def_lt'theoremDefs.lean:114
Lean
theorem prime_def_lt' {p : ℕ} : Prime p ↔ 2 ≤ p ∧ ∀ m, 2 ≤ m → m < p → ¬m ∣ p :=
  prime_def_lt.trans <|
    and_congr_right fun p2 =>
      forall_congr' fun m =>
        ⟨fun h m2 l d => not_lt_of_ge m2 ((h l d).symm ▸ by decide), fun h l d => by
          rcases m with (_ | _ | m)
          · omega
          · rfl
          · exact (h (le_add_left 2 m) l).elim d⟩
Dedukti
1 lines
Nat__prime_def_lt' : (p : Elem Nat) -> Proof (iff (prime p) (and (Leq 2 p) (forall Nat (m => if (Leq 2 m) (if (Lt m p) (not (divide m p))))))).
English
Let $p$ be a natural number. Then $p$ is prime, if and only if $2 \leq p$ and for all natural numbers $m$, if $2 \leq m$, then if $m < p$, then $m$ does not divide $p$.
French
Soit $p$ un nombre naturel. Alors $p$ est premier si et seulement si $2 \leq p$ et pour tous des nombres naturels $m$, si $2 \leq m$, alors si $m < p$, alors $m$ ne divise pas $p$.
Czech
Nechť $p$ je přirozené číslo. Tedy $p$ je prvočíselné, právě tehdy, když $2 \leq p$ a pro všechna přirozená čísla $m$, jestliže $2 \leq m$, pak jestliže $m < p$, pak $m$ nedělí $p$.
German
Sei $p$ eine natürliche Zahl. Dann ist $p$ prim, genau dann, wenn $2 \leq p$ und für alle natürliche Zahlen $m$, wenn $2 \leq m$, dann wenn $m < p$, dann $m$ nicht $p$ teilt.
Swedish
Låt $p$ vara ett naturligt tal. Då är $p$ primt, om och endast om $2 \leq p$ och för alla naturliga tal $m$, om $2 \leq m$, så om $m < p$, så delar $m$ inte $p$.
Formula
$p \in \Natural \vdash \mathrm{prime} (p)\leftrightarrow 2 \leq p \wedge (\forall m \in \Natural . 2 \leq m \rightarrow m < p \rightarrow \neg (\divides {m}{p}))$
Proof
9 lines
1.$1 < 2$.decide
2.Assume that if $2 \leq m$, then if $m < p$, then it is not the case that $\divides {m}{p}$.
3.We reason by cases:rcases m with (_ | _ | m)
4.Assume that if $2 \leq 0$, then if $0 < p$, then it is not the case that $\divides {0}{p}$. Assume that $0 < p$. Assume that $\divides {0}{p}$.
5.$0 = 1$.omega
6.Assume that if $2 \leq 0 + 1$, then if $0 + 1 < p$, then it is not the case that $\divides {0 + 1}{p}$. Assume that $0 + 1 < p$. Assume that $\divides {0 + 1}{p}$.
7.$0 + 1 = 1$.rfl
8.Assume that if $2 \leq m + 1 + 1$, then if $m + 1 + 1 < p$, then it is not the case that $\divides {m + 1 + 1}{p}$. Assume that $m + 1 + 1 < p$. Assume that $\divides {m + 1 + 1}{p}$.
9.$m + 1 + 1 = 1$.exact (h (le_add_left 2 m) l).elim d
Proof, French
9 lines
1.$1 < 2$.decide
2.Supposons que si $2 \leq m$, alors si $m < p$, alors il n'est pas le cas que $\divides {m}{p}$.
3.Par cas:rcases m with (_ | _ | m)
4.Supposons que si $2 \leq 0$, alors si $0 < p$, alors il n'est pas le cas que $\divides {0}{p}$. Supposons que $0 < p$. Supposons que $\divides {0}{p}$.
5.$0 = 1$.omega
6.Supposons que si $2 \leq 0 + 1$, alors si $0 + 1 < p$, alors il n'est pas le cas que $\divides {0 + 1}{p}$. Supposons que $0 + 1 < p$. Supposons que $\divides {0 + 1}{p}$.
7.$0 + 1 = 1$.rfl
8.Supposons que si $2 \leq m + 1 + 1$, alors si $m + 1 + 1 < p$, alors il n'est pas le cas que $\divides {m + 1 + 1}{p}$. Supposons que $m + 1 + 1 < p$. Supposons que $\divides {m + 1 + 1}{p}$.
9.$m + 1 + 1 = 1$.exact (h (le_add_left 2 m) l).elim d
Proof, Czech
9 lines
1.$1 < 2$.decide
2.Předpokládejme, že jestliže $2 \leq m$, pak jestliže $m < p$, pak není případ že $\divides {m}{p}$.
3.Rozlišíme případy:rcases m with (_ | _ | m)
4.Předpokládejme, že jestliže $2 \leq 0$, pak jestliže $0 < p$, pak není případ že $\divides {0}{p}$. Předpokládejme, že $0 < p$. Předpokládejme, že $\divides {0}{p}$.
5.$0 = 1$.omega
6.Předpokládejme, že jestliže $2 \leq 0 + 1$, pak jestliže $0 + 1 < p$, pak není případ že $\divides {0 + 1}{p}$. Předpokládejme, že $0 + 1 < p$. Předpokládejme, že $\divides {0 + 1}{p}$.
7.$0 + 1 = 1$.rfl
8.Předpokládejme, že jestliže $2 \leq m + 1 + 1$, pak jestliže $m + 1 + 1 < p$, pak není případ že $\divides {m + 1 + 1}{p}$. Předpokládejme, že $m + 1 + 1 < p$. Předpokládejme, že $\divides {m + 1 + 1}{p}$.
9.$m + 1 + 1 = 1$.exact (h (le_add_left 2 m) l).elim d
Proof, German
9 lines
1.$1 < 2$.decide
2.Nimm an, dass wenn $2 \leq m$, dann wenn $m < p$, dann es nicht der Fall dass $\divides {m}{p}$ ist.
3.Wir unterscheiden Fälle:rcases m with (_ | _ | m)
4.Nimm an, dass wenn $2 \leq 0$, dann wenn $0 < p$, dann es nicht der Fall dass $\divides {0}{p}$ ist. Nimm an, dass $0 < p$. Nimm an, dass $\divides {0}{p}$.
5.$0 = 1$.omega
6.Nimm an, dass wenn $2 \leq 0 + 1$, dann wenn $0 + 1 < p$, dann es nicht der Fall dass $\divides {0 + 1}{p}$ ist. Nimm an, dass $0 + 1 < p$. Nimm an, dass $\divides {0 + 1}{p}$.
7.$0 + 1 = 1$.rfl
8.Nimm an, dass wenn $2 \leq m + 1 + 1$, dann wenn $m + 1 + 1 < p$, dann es nicht der Fall dass $\divides {m + 1 + 1}{p}$ ist. Nimm an, dass $m + 1 + 1 < p$. Nimm an, dass $\divides {m + 1 + 1}{p}$.
9.$m + 1 + 1 = 1$.exact (h (le_add_left 2 m) l).elim d
Proof, Swedish
9 lines
1.$1 < 2$.decide
2.Anta att om $2 \leq m$, så om $m < p$, så är det inte fallet att $\divides {m}{p}$.
3.Vi resonerar med fallanalys:rcases m with (_ | _ | m)
4.Anta att om $2 \leq 0$, så om $0 < p$, så är det inte fallet att $\divides {0}{p}$. Anta att $0 < p$. Anta att $\divides {0}{p}$.
5.$0 = 1$.omega
6.Anta att om $2 \leq 0 + 1$, så om $0 + 1 < p$, så är det inte fallet att $\divides {0 + 1}{p}$. Anta att $0 + 1 < p$. Anta att $\divides {0 + 1}{p}$.
7.$0 + 1 = 1$.rfl
8.Anta att om $2 \leq m + 1 + 1$, så om $m + 1 + 1 < p$, så är det inte fallet att $\divides {m + 1 + 1}{p}$. Anta att $m + 1 + 1 < p$. Anta att $\divides {m + 1 + 1}{p}$.
9.$m + 1 + 1 = 1$.exact (h (le_add_left 2 m) l).elim d
Nat.prime_def_le_sqrttheoremDefs.lean:124
Lean
theorem prime_def_le_sqrt {p : ℕ} : Prime p ↔ 2 ≤ p ∧ ∀ m, 2 ≤ m → m ≤ sqrt p → ¬m ∣ p :=
  prime_def_lt'.trans <|
    and_congr_right fun p2 =>
      ⟨fun a m m2 l => a m m2 <| lt_of_le_of_lt l <| sqrt_lt_self p2, fun a m m2 l mdvd@⟨k, e⟩ => by
        rcases le_sqrt_of_eq_mul e with hm | hk
        · exact a m m2 hm mdvd
        · rw [mul_comm] at e
          exact a k (Nat.lt_of_mul_lt_mul_right (a := m) (by rwa [one_mul, ← e])) hk ⟨m, e⟩⟩
Dedukti
1 lines
Nat__prime_def_le_sqrt : (p : Elem Nat) -> Proof (iff (prime p) (and (Leq 2 p) (forall Nat (m => if (Leq 2 m) (if (Leq m (Nat__sqrt p)) (not (divide m p))))))).
English
Let $p$ be a natural number. Then $p$ is prime, if and only if $2 \leq p$ and for all natural numbers $m$, if $2 \leq m$, then if $m \leq \NatsqrtMACRoD {p}$, then $m$ does not divide $p$.
French
Soit $p$ un nombre naturel. Alors $p$ est premier si et seulement si $2 \leq p$ et pour tous des nombres naturels $m$, si $2 \leq m$, alors si $m \leq \NatsqrtMACRoD {p}$, alors $m$ ne divise pas $p$.
Czech
Nechť $p$ je přirozené číslo. Tedy $p$ je prvočíselné, právě tehdy, když $2 \leq p$ a pro všechna přirozená čísla $m$, jestliže $2 \leq m$, pak jestliže $m \leq \NatsqrtMACRoD {p}$, pak $m$ nedělí $p$.
German
Sei $p$ eine natürliche Zahl. Dann ist $p$ prim, genau dann, wenn $2 \leq p$ und für alle natürliche Zahlen $m$, wenn $2 \leq m$, dann wenn $m \leq \NatsqrtMACRoD {p}$, dann $m$ nicht $p$ teilt.
Swedish
Låt $p$ vara ett naturligt tal. Då är $p$ primt, om och endast om $2 \leq p$ och för alla naturliga tal $m$, om $2 \leq m$, så om $m \leq \NatsqrtMACRoD {p}$, så delar $m$ inte $p$.
Formula
$p \in \Natural \vdash \mathrm{prime} (p)\leftrightarrow 2 \leq p \wedge (\forall m \in \Natural . 2 \leq m \rightarrow m \leq \NatsqrtMACRoE {p}\rightarrow \neg (\divides {m}{p}))$
Proof
7 lines
1.We reason by cases:rcases le_sqrt_of_eq_mul e with hm | hk
2.Assume that $m \leq \NatsqrtMACRoE {p}$.
3.We have a contradiction.exact a m m2 hm mdvd
4.Assume that $k \leq \NatsqrtMACRoE {p}$.
5.$p = k \times m$.rw [mul_comm] at e
6.We have a contradiction.exact a k (Nat.lt_of_mul_lt_mul_right (a := m) (by rwa [one_mul, ← e])) hk ⟨m, e⟩
7.$1 \times m < k \times m$.rwa [one_mul, ← e]
Proof, French
7 lines
1.Par cas:rcases le_sqrt_of_eq_mul e with hm | hk
2.Supposons que $m \leq \NatsqrtMACRoE {p}$.
3.Nous avons une contradiction.exact a m m2 hm mdvd
4.Supposons que $k \leq \NatsqrtMACRoE {p}$.
5.$p = k \times m$.rw [mul_comm] at e
6.Nous avons une contradiction.exact a k (Nat.lt_of_mul_lt_mul_right (a := m) (by rwa [one_mul, ← e])) hk ⟨m, e⟩
7.$1 \times m < k \times m$.rwa [one_mul, ← e]
Proof, Czech
7 lines
1.Rozlišíme případy:rcases le_sqrt_of_eq_mul e with hm | hk
2.Předpokládejme, že $m \leq \NatsqrtMACRoE {p}$.
3.Máme spor.exact a m m2 hm mdvd
4.Předpokládejme, že $k \leq \NatsqrtMACRoE {p}$.
5.$p = k \times m$.rw [mul_comm] at e
6.Máme spor.exact a k (Nat.lt_of_mul_lt_mul_right (a := m) (by rwa [one_mul, ← e])) hk ⟨m, e⟩
7.$1 \times m < k \times m$.rwa [one_mul, ← e]
Proof, German
7 lines
1.Wir unterscheiden Fälle:rcases le_sqrt_of_eq_mul e with hm | hk
2.Nimm an, dass $m \leq \NatsqrtMACRoE {p}$.
3.Wir haben einen Widerspruch.exact a m m2 hm mdvd
4.Nimm an, dass $k \leq \NatsqrtMACRoE {p}$.
5.$p = k \times m$.rw [mul_comm] at e
6.Wir haben einen Widerspruch.exact a k (Nat.lt_of_mul_lt_mul_right (a := m) (by rwa [one_mul, ← e])) hk ⟨m, e⟩
7.$1 \times m < k \times m$.rwa [one_mul, ← e]
Proof, Swedish
7 lines
1.Vi resonerar med fallanalys:rcases le_sqrt_of_eq_mul e with hm | hk
2.Anta att $m \leq \NatsqrtMACRoE {p}$.
3.Vi har en kontradiction.exact a m m2 hm mdvd
4.Anta att $k \leq \NatsqrtMACRoE {p}$.
5.$p = k \times m$.rw [mul_comm] at e
6.Vi har en kontradiction.exact a k (Nat.lt_of_mul_lt_mul_right (a := m) (by rwa [one_mul, ← e])) hk ⟨m, e⟩
7.$1 \times m < k \times m$.rwa [one_mul, ← e]
Nat.prime_iff_not_exists_mul_eqtheoremDefs.lean:133
Lean
theorem prime_iff_not_exists_mul_eq {p : ℕ} :
    p.Prime ↔ 2 ≤ p ∧ ¬ ∃ m n, m < p ∧ n < p ∧ m * n = p := by
  push Not
  simp_rw [prime_def_lt, dvd_def, exists_imp]
  refine and_congr_right fun hp ↦ forall_congr' fun m ↦ (forall_congr' fun h ↦ ?_).trans forall_comm
  simp_rw [Ne, forall_comm (β := _ = _), eq_comm, imp_false, not_lt]
  refine forall₂_congr fun n hp ↦ ⟨by simp_all, fun hpn ↦ ?_⟩
  have := mul_ne_zero_iff.mp (hp ▸ show p ≠ 0 by lia)
  exact (Nat.mul_eq_right (by lia)).mp
    (hp.symm.trans (hpn.antisymm (hp ▸ Nat.le_mul_of_pos_left _ (by lia))))
Dedukti
1 lines
Nat__prime_iff_not_exists_mul_eq : (p : Elem Nat) -> Proof (iff (prime p) (and (Leq 2 p) (not (exists Nat (m => exists Nat (n => and (Lt m p) (and (Lt n p) (Eq (times m n) p)))))))).
English
Let $p$ be a natural number. Then $p$ is prime, if and only if $2 \leq p$ and it is not the case that there exists a natural number $m$ such that there exists a natural number $n$ such that $m < p$ and $n < p$ and $m \times n = p$.
French
Soit $p$ un nombre naturel. Alors $p$ est premier si et seulement si $2 \leq p$ et il n'est pas le cas qu'il existe un nombre naturel $m$ tel qu'il existe un nombre naturel $n$ tel que $m < p$ et $n < p$ et $m \times n = p$.
Czech
Nechť $p$ je přirozené číslo. Tedy $p$ je prvočíselné, právě tehdy, když $2 \leq p$ a není případ že existuje přirozené číslo $m$ takové, že existuje přirozené číslo $n$ takové, že $m < p$ a $n < p$ a $m \times n = p$.
German
Sei $p$ eine natürliche Zahl. Dann ist $p$ prim, genau dann, wenn $2 \leq p$ und es nicht der Fall dass es eine natürliche Zahl $m$ derart, dass es eine natürliche Zahl $n$ derart, dass $m < p$ und $n < p$ und $m \times n = p$ gibt gibt ist.
Swedish
Låt $p$ vara ett naturligt tal. Då är $p$ primt, om och endast om $2 \leq p$ och det inte är fallet att det finns ett naturligt tal $m$ sådant att det finns ett naturligt tal $n$ sådant att $m < p$ och $n < p$ och $m \times n = p$.
Formula
$p \in \Natural \vdash \mathrm{prime} (p)\leftrightarrow 2 \leq p \wedge \neg (\exists m \in \Natural . \exists n \in \Natural . m < p \wedge (n < p \wedge m \times n = p))$
Proof
13 lines
1.It is enough to show that $p$ is prime, if and only if $2 \leq p$ and for all elements $m$ of $\Natural$, for all elements $n$ of $\Natural$, if $m < p$, then if $n < p$, then $m \times n \neq p$.push Not
2.It is enough to show that $2 \leq p$ and for all elements $m$ of $\Natural$, if $m < p$, then for all elements $x$ of $\Natural$, if $p = m \times x$, then $m = 1$, if and only if $2 \leq p$ and for all elements $m_{1}$ of $\Natural$, for all elements $n$ of $\Natural$, if $m_{1} < p$, then if $n < p$, then $m_{1} \times n \neq p$.simp_rw [prime_def_lt, dvd_def, exists_imp]
3.Assume that $2 \leq p$. Let $m$ be an element of $\Natural$ such that $m < p$.refine and_congr_right fun hp ↦ forall_congr' fun m ↦ (forall_congr' fun h ↦ ?_).trans forall_comm
4.It is enough to show that for all elements $x$ of $\Natural$, if $p = m \times x$, then $m = 1$, if and only if for all elements $b$ of $\Natural$, if $b < p$, then $m \times b \neq p$.refine and_congr_right fun hp ↦ forall_congr' fun m ↦ (forall_congr' fun h ↦ ?_).trans forall_comm
5.It is enough to show that for all elements $x$ of $\Natural$, if $p = m \times x$, then $m = 1$, if and only if for all elements $b$ of $\Natural$, if $p = m \times b$, then $p \leq b$.simp_rw [Ne, forall_comm (β := _ = _), eq_comm, imp_false, not_lt]
6.Let $n$ be an element of $\Natural$ such that $p \leq n$.refine forall₂_congr fun n hp ↦ ⟨by simp_all, fun hpn ↦ ?_⟩
7.It is enough to show that $m = 1$.refine forall₂_congr fun n hp ↦ ⟨by simp_all, fun hpn ↦ ?_⟩
8.If $m = 1$, then $p \leq n$.simp_all
9.$m \neq 0$ and $n \neq 0$.have := mul_ne_zero_iff.mp (hp ▸ show p ≠ 0 by lia)
10.$p \neq 0$.lia
11.$m = 1$.exact (Nat.mul_eq_right (by lia)).mp
12.$n \neq 0$.lia
13.$0 < m$.lia
Proof, French
13 lines
1.Il suffit de montrer que $p$ est premier si et seulement si $2 \leq p$ et pour tous des éléments $m$ de $\Natural$, pour tous des éléments $n$ de $\Natural$, si $m < p$, alors si $n < p$, alors $m \times n \neq p$.push Not
2.Il suffit de montrer que $2 \leq p$ et pour tous des éléments $m$ de $\Natural$, si $m < p$, alors pour tous des éléments $x$ de $\Natural$, si $p = m \times x$, alors $m = 1$ si et seulement si $2 \leq p$ et pour tous des éléments $m_{1}$ de $\Natural$, pour tous des éléments $n$ de $\Natural$, si $m_{1} < p$, alors si $n < p$, alors $m_{1} \times n \neq p$.simp_rw [prime_def_lt, dvd_def, exists_imp]
3.Supposons que $2 \leq p$. Soit $m$ un élément de $\Natural$ tel que $m < p$.refine and_congr_right fun hp ↦ forall_congr' fun m ↦ (forall_congr' fun h ↦ ?_).trans forall_comm
4.Il suffit de montrer que pour tous les éléments $x$ de $\Natural$, si $p = m \times x$, alors $m = 1$ si et seulement si pour tous les éléments $b$ de $\Natural$, si $b < p$, alors $m \times b \neq p$.refine and_congr_right fun hp ↦ forall_congr' fun m ↦ (forall_congr' fun h ↦ ?_).trans forall_comm
5.Il suffit de montrer que pour tous les éléments $x$ de $\Natural$, si $p = m \times x$, alors $m = 1$ si et seulement si pour tous les éléments $b$ de $\Natural$, si $p = m \times b$, alors $p \leq b$.simp_rw [Ne, forall_comm (β := _ = _), eq_comm, imp_false, not_lt]
6.Soit $n$ un élément de $\Natural$ tel que $p \leq n$.refine forall₂_congr fun n hp ↦ ⟨by simp_all, fun hpn ↦ ?_⟩
7.Il suffit de montrer que $m = 1$.refine forall₂_congr fun n hp ↦ ⟨by simp_all, fun hpn ↦ ?_⟩
8.Si $m = 1$, alors $p \leq n$.simp_all
9.$m \neq 0$ et $n \neq 0$.have := mul_ne_zero_iff.mp (hp ▸ show p ≠ 0 by lia)
10.$p \neq 0$.lia
11.$m = 1$.exact (Nat.mul_eq_right (by lia)).mp
12.$n \neq 0$.lia
13.$0 < m$.lia
Proof, Czech
13 lines
1.Stačí ukázat, že $p$ je prvočíselné, právě tehdy, když $2 \leq p$ a pro všechny prvky $m$ $\Natural$, pro všechny prvky $n$ $\Natural$, jestliže $m < p$, pak jestliže $n < p$, pak $m \times n \neq p$.push Not
2.Stačí ukázat, že $2 \leq p$ a pro všechny prvky $m$ $\Natural$, jestliže $m < p$, pak pro všechny prvky $x$ $\Natural$, jestliže $p = m \times x$, pak $m = 1$, právě tehdy, když $2 \leq p$ a pro všechny prvky $m_{1}$ $\Natural$, pro všechny prvky $n$ $\Natural$, jestliže $m_{1} < p$, pak jestliže $n < p$, pak $m_{1} \times n \neq p$.simp_rw [prime_def_lt, dvd_def, exists_imp]
3.Předpokládejme, že $2 \leq p$. Nechť $m$ je prvek $\Natural$ takový, že $m < p$.refine and_congr_right fun hp ↦ forall_congr' fun m ↦ (forall_congr' fun h ↦ ?_).trans forall_comm
4.Stačí ukázat, že pro všechny prvky $x$ $\Natural$, jestliže $p = m \times x$, pak $m = 1$, právě tehdy, když pro všechny prvky $b$ $\Natural$, jestliže $b < p$, pak $m \times b \neq p$.refine and_congr_right fun hp ↦ forall_congr' fun m ↦ (forall_congr' fun h ↦ ?_).trans forall_comm
5.Stačí ukázat, že pro všechny prvky $x$ $\Natural$, jestliže $p = m \times x$, pak $m = 1$, právě tehdy, když pro všechny prvky $b$ $\Natural$, jestliže $p = m \times b$, pak $p \leq b$.simp_rw [Ne, forall_comm (β := _ = _), eq_comm, imp_false, not_lt]
6.Nechť $n$ je prvek $\Natural$ takový, že $p \leq n$.refine forall₂_congr fun n hp ↦ ⟨by simp_all, fun hpn ↦ ?_⟩
7.Stačí ukázat, že $m = 1$.refine forall₂_congr fun n hp ↦ ⟨by simp_all, fun hpn ↦ ?_⟩
8.Jestliže $m = 1$, pak $p \leq n$.simp_all
9.$m \neq 0$ a $n \neq 0$.have := mul_ne_zero_iff.mp (hp ▸ show p ≠ 0 by lia)
10.$p \neq 0$.lia
11.$m = 1$.exact (Nat.mul_eq_right (by lia)).mp
12.$n \neq 0$.lia
13.$0 < m$.lia
Proof, German
13 lines
1.Es genügt zu zeigen, dass $p$ prim ist, genau dann, wenn $2 \leq p$ und für alle Elemente $m$ von $\Natural$, für alle Elemente $n$ von $\Natural$, wenn $m < p$, dann wenn $n < p$, dann $m \times n \neq p$.push Not
2.Es genügt zu zeigen, dass $2 \leq p$ und für alle Elemente $m$ von $\Natural$, wenn $m < p$, dann für alle Elemente $x$ von $\Natural$, wenn $p = m \times x$, dann $m = 1$, genau dann, wenn $2 \leq p$ und für alle Elemente $m_{1}$ von $\Natural$, für alle Elemente $n$ von $\Natural$, wenn $m_{1} < p$, dann wenn $n < p$, dann $m_{1} \times n \neq p$.simp_rw [prime_def_lt, dvd_def, exists_imp]
3.Nimm an, dass $2 \leq p$. Sei $m$ ein Element von $\Natural$ derart, dass $m < p$.refine and_congr_right fun hp ↦ forall_congr' fun m ↦ (forall_congr' fun h ↦ ?_).trans forall_comm
4.Es genügt zu zeigen, dass für alle Elemente $x$ von $\Natural$, wenn $p = m \times x$, dann $m = 1$, genau dann, wenn für alle Elemente $b$ von $\Natural$, wenn $b < p$, dann $m \times b \neq p$.refine and_congr_right fun hp ↦ forall_congr' fun m ↦ (forall_congr' fun h ↦ ?_).trans forall_comm
5.Es genügt zu zeigen, dass für alle Elemente $x$ von $\Natural$, wenn $p = m \times x$, dann $m = 1$, genau dann, wenn für alle Elemente $b$ von $\Natural$, wenn $p = m \times b$, dann $p \leq b$.simp_rw [Ne, forall_comm (β := _ = _), eq_comm, imp_false, not_lt]
6.Sei $n$ ein Element von $\Natural$ derart, dass $p \leq n$.refine forall₂_congr fun n hp ↦ ⟨by simp_all, fun hpn ↦ ?_⟩
7.Es genügt zu zeigen, dass $m = 1$.refine forall₂_congr fun n hp ↦ ⟨by simp_all, fun hpn ↦ ?_⟩
8.Wenn $m = 1$, dann $p \leq n$.simp_all
9.$m \neq 0$ und $n \neq 0$.have := mul_ne_zero_iff.mp (hp ▸ show p ≠ 0 by lia)
10.$p \neq 0$.lia
11.$m = 1$.exact (Nat.mul_eq_right (by lia)).mp
12.$n \neq 0$.lia
13.$0 < m$.lia
Proof, Swedish
13 lines
1.Det räcker att visa att $p$ är primt, om och endast om $2 \leq p$ och för alla element $m$ av $\Natural$, för alla element $n$ av $\Natural$, om $m < p$, så om $n < p$, så $m \times n \neq p$.push Not
2.Det räcker att visa att $2 \leq p$ och för alla element $m$ av $\Natural$, om $m < p$, så för alla element $x$ av $\Natural$, om $p = m \times x$, så $m = 1$, om och endast om $2 \leq p$ och för alla element $m_{1}$ av $\Natural$, för alla element $n$ av $\Natural$, om $m_{1} < p$, så om $n < p$, så $m_{1} \times n \neq p$.simp_rw [prime_def_lt, dvd_def, exists_imp]
3.Anta att $2 \leq p$. Låt $m$ vara ett element av $\Natural$ sådant att $m < p$.refine and_congr_right fun hp ↦ forall_congr' fun m ↦ (forall_congr' fun h ↦ ?_).trans forall_comm
4.Det räcker att visa att för alla element $x$ av $\Natural$, om $p = m \times x$, så $m = 1$, om och endast om för alla element $b$ av $\Natural$, om $b < p$, så $m \times b \neq p$.refine and_congr_right fun hp ↦ forall_congr' fun m ↦ (forall_congr' fun h ↦ ?_).trans forall_comm
5.Det räcker att visa att för alla element $x$ av $\Natural$, om $p = m \times x$, så $m = 1$, om och endast om för alla element $b$ av $\Natural$, om $p = m \times b$, så $p \leq b$.simp_rw [Ne, forall_comm (β := _ = _), eq_comm, imp_false, not_lt]
6.Låt $n$ vara ett element av $\Natural$ sådant att $p \leq n$.refine forall₂_congr fun n hp ↦ ⟨by simp_all, fun hpn ↦ ?_⟩
7.Det räcker att visa att $m = 1$.refine forall₂_congr fun n hp ↦ ⟨by simp_all, fun hpn ↦ ?_⟩
8.Om $m = 1$, så $p \leq n$.simp_all
9.$m \neq 0$ och $n \neq 0$.have := mul_ne_zero_iff.mp (hp ▸ show p ≠ 0 by lia)
10.$p \neq 0$.lia
11.$m = 1$.exact (Nat.mul_eq_right (by lia)).mp
12.$n \neq 0$.lia
13.$0 < m$.lia
Nat.prime_of_coprimetheoremDefs.lean:144
Lean
theorem prime_of_coprime (n : ℕ) (h1 : 1 < n) (h : ∀ m < n, m ≠ 0 → n.Coprime m) : Prime n := by
  refine prime_def_lt.mpr ⟨h1, fun m mlt mdvd => ?_⟩
  have hm : m ≠ 0 := by
    rintro rfl
    rw [zero_dvd_iff] at mdvd
    exact mlt.ne' mdvd
  exact (h m mlt hm).symm.eq_one_of_dvd mdvd
Dedukti
1 lines
Nat__prime_of_coprime : (n : Elem Nat) -> (h1 : Proof (Lt 1 n)) -> (h : Proof (forall Nat (m => if (Lt m n) (if (Neq m 0) (Nat__Coprime n m))))) -> Proof (prime n).
English
Let $n$ be a natural number such that $1 < n$ and for all natural numbers $m$, if $m < n$, then if $m \neq 0$, then $n$ and $m$ are coprime. Then $n$ is prime.
French
Soit $n$ un nombre naturel tel que $1 < n$ et pour tous des nombres naturels $m$, si $m < n$, alors si $m \neq 0$, alors $\NatCoprimeMACRoC {n}{m}$. Alors $n$ est premier.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo takové, že $1 < n$ a pro všechna přirozená čísla $m$, jestliže $m < n$, pak jestliže $m \neq 0$, pak $n$ a $m$ je nesoudělné. Tedy $n$ je prvočíselné.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass $1 < n$ und für alle natürliche Zahlen $m$, wenn $m < n$, dann wenn $m \neq 0$, dann $\NatCoprimeMACRoC {n}{m}$. Dann ist $n$ prim.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal sådant att $1 < n$ och för alla naturliga tal $m$, om $m < n$, så om $m \neq 0$, så $\NatCoprimeMACRoC {n}{m}$. Då är $n$ primt.
Formula
$n \in \Natural , 1 < n , \forall m \in \Natural . m < n \rightarrow m \neq 0 \rightarrow \NatCoprimeMACRoD {n}{m}\vdash \mathrm{prime} (n)$
Proof
6 lines
1.Let $m$ be an element of $\Natural$ such that $m < n$ and $\divides {m}{n}$.refine prime_def_lt.mpr ⟨h1, fun m mlt mdvd => ?_⟩
2.It is enough to show that $m = 1$.refine prime_def_lt.mpr ⟨h1, fun m mlt mdvd => ?_⟩
3.First verify that $m \neq 0$.have hm : m ≠ 0
4.$n = 0$.rw [zero_dvd_iff] at mdvd
5.We have a contradiction.exact mlt.ne' mdvd
6.$m = 1$.exact (h m mlt hm).symm.eq_one_of_dvd mdvd
Proof, French
6 lines
1.Soit $m$ un élément de $\Natural$ tel que $m < n$ et $\divides {m}{n}$.refine prime_def_lt.mpr ⟨h1, fun m mlt mdvd => ?_⟩
2.Il suffit de montrer que $m = 1$.refine prime_def_lt.mpr ⟨h1, fun m mlt mdvd => ?_⟩
3.D'abord vérifier que $m \neq 0$.have hm : m ≠ 0
4.$n = 0$.rw [zero_dvd_iff] at mdvd
5.Nous avons une contradiction.exact mlt.ne' mdvd
6.$m = 1$.exact (h m mlt hm).symm.eq_one_of_dvd mdvd
Proof, Czech
6 lines
1.Nechť $m$ je prvek $\Natural$ takový, že $m < n$ a $\divides {m}{n}$.refine prime_def_lt.mpr ⟨h1, fun m mlt mdvd => ?_⟩
2.Stačí ukázat, že $m = 1$.refine prime_def_lt.mpr ⟨h1, fun m mlt mdvd => ?_⟩
3.Nejprve ověřme, že $m \neq 0$.have hm : m ≠ 0
4.$n = 0$.rw [zero_dvd_iff] at mdvd
5.Máme spor.exact mlt.ne' mdvd
6.$m = 1$.exact (h m mlt hm).symm.eq_one_of_dvd mdvd
Proof, German
6 lines
1.Sei $m$ ein Element von $\Natural$ derart, dass $m < n$ und $\divides {m}{n}$.refine prime_def_lt.mpr ⟨h1, fun m mlt mdvd => ?_⟩
2.Es genügt zu zeigen, dass $m = 1$.refine prime_def_lt.mpr ⟨h1, fun m mlt mdvd => ?_⟩
3.Zuerst prüfen wir, dass $m \neq 0$.have hm : m ≠ 0
4.$n = 0$.rw [zero_dvd_iff] at mdvd
5.Wir haben einen Widerspruch.exact mlt.ne' mdvd
6.$m = 1$.exact (h m mlt hm).symm.eq_one_of_dvd mdvd
Proof, Swedish
6 lines
1.Låt $m$ vara ett element av $\Natural$ sådant att $m < n$ och $\divides {m}{n}$.refine prime_def_lt.mpr ⟨h1, fun m mlt mdvd => ?_⟩
2.Det räcker att visa att $m = 1$.refine prime_def_lt.mpr ⟨h1, fun m mlt mdvd => ?_⟩
3.Verifiera först att $m \neq 0$.have hm : m ≠ 0
4.$n = 0$.rw [zero_dvd_iff] at mdvd
5.Vi har en kontradiction.exact mlt.ne' mdvd
6.$m = 1$.exact (h m mlt hm).symm.eq_one_of_dvd mdvd
Nat.prime_twotheoremDefs.lean:171
Lean
theorem prime_two : Prime 2 := by decide
Dedukti
1 lines
Nat__prime_two : Proof (prime 2).
English
$2$ is prime.
French
$2$ est premier.
Czech
$2$ je prvočíselné.
German
$2$ ist prim.
Swedish
$2$ är primt.
Formula
$\mathrm{prime} (2)$
Proof
1 lines
1.$2$ is prime.decide
Proof, French
1 lines
1.$2$ est premier.decide
Proof, Czech
1 lines
1.$2$ je prvočíselné.decide
Proof, German
1 lines
1.$2$ ist prim.decide
Proof, Swedish
1 lines
1.$2$ är primt.decide
Nat.prime_threetheoremDefs.lean:173
Lean
theorem prime_three : Prime 3 := by decide
Dedukti
1 lines
Nat__prime_three : Proof (prime 3).
English
$3$ is prime.
French
$3$ est premier.
Czech
$3$ je prvočíselné.
German
$3$ ist prim.
Swedish
$3$ är primt.
Formula
$\mathrm{prime} (3)$
Proof
1 lines
1.$3$ is prime.decide
Proof, French
1 lines
1.$3$ est premier.decide
Proof, Czech
1 lines
1.$3$ je prvočíselné.decide
Proof, German
1 lines
1.$3$ ist prim.decide
Proof, Swedish
1 lines
1.$3$ är primt.decide
Nat.prime_fivetheoremDefs.lean:175
Lean
theorem prime_five : Prime 5 := by decide
Dedukti
1 lines
Nat__prime_five : Proof (prime 5).
English
$5$ is prime.
French
$5$ est premier.
Czech
$5$ je prvočíselné.
German
$5$ ist prim.
Swedish
$5$ är primt.
Formula
$\mathrm{prime} (5)$
Proof
1 lines
1.$5$ is prime.decide
Proof, French
1 lines
1.$5$ est premier.decide
Proof, Czech
1 lines
1.$5$ je prvočíselné.decide
Proof, German
1 lines
1.$5$ ist prim.decide
Proof, Swedish
1 lines
1.$5$ är primt.decide
Nat.prime_seventheoremDefs.lean:177
Lean
theorem prime_seven : Prime 7 := by decide
Dedukti
1 lines
Nat__prime_seven : Proof (prime 7).
English
$7$ is prime.
French
$7$ est premier.
Czech
$7$ je prvočíselné.
German
$7$ ist prim.
Swedish
$7$ är primt.
Formula
$\mathrm{prime} (7)$
Proof
1 lines
1.$7$ is prime.decide
Proof, French
1 lines
1.$7$ est premier.decide
Proof, Czech
1 lines
1.$7$ je prvočíselné.decide
Proof, German
1 lines
1.$7$ ist prim.decide
Proof, Swedish
1 lines
1.$7$ är primt.decide
Nat.prime_eleventheoremDefs.lean:179
Lean
theorem prime_eleven : Prime 11 := by decide
Dedukti
1 lines
Nat__prime_eleven : Proof (prime ((nn 1 (nd 1)))).
English
$11$ is prime.
French
$11$ est premier.
Czech
$11$ je prvočíselné.
German
$11$ ist prim.
Swedish
$11$ är primt.
Formula
$\mathrm{prime} (11)$
Proof
1 lines
1.$11$ is prime.decide
Proof, French
1 lines
1.$11$ est premier.decide
Proof, Czech
1 lines
1.$11$ je prvočíselné.decide
Proof, German
1 lines
1.$11$ ist prim.decide
Proof, Swedish
1 lines
1.$11$ är primt.decide
Nat.dvd_primetheoremDefs.lean:181
Lean
theorem dvd_prime {p m : ℕ} (pp : Prime p) : m ∣ p ↔ m = 1 ∨ m = p :=
Dedukti
1 lines
Nat__dvd_prime : (p : Elem Nat) -> (m : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> Proof (iff (divide m p) (or (Eq m 1) (Eq m p))).
English
Let $p$ and $m$ be natural numbers such that $p$ is prime. Then $m$ divides $p$, if and only if $m = 1$ or $m = p$.
French
Soient $p$ et $m$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier. Alors $m$ divise $p$ si et seulement si $m = 1$ ou $m = p$.
Czech
Nechť $p$ a $m$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné. Tedy $m$ dělí $p$, právě tehdy, když $m = 1$ nebo $m = p$.
German
Seien $p$ und $m$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist. Dann teilt $m$ $p$, genau dann, wenn $m = 1$ oder $m = p$.
Swedish
Låt $p$ och $m$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt. Då delar $m$ $p$, om och endast om $m = 1$ eller $m = p$.
Formula
$p , m \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash \divides {m}{p}\leftrightarrow m = 1 \vee m = p$
Nat.dvd_prime_two_letheoremDefs.lean:185
Lean
theorem dvd_prime_two_le {p m : ℕ} (pp : Prime p) (H : 2 ≤ m) : m ∣ p ↔ m = p :=
  (dvd_prime pp).trans <| or_iff_right_of_imp <| Not.elim <| ne_of_gt H
Dedukti
2 lines
def Nat__dvd_prime_two_le : (p : Elem Nat) -> (m : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> (H : Proof (Leq 2 m)) -> Proof (iff (divide m p) (Eq m p)) :=
  p => m => pp => H => Iff__trans (divide m p) (or (Eq m 1) (Eq m p)) (Eq m p) (Nat__dvd_prime p m pp) (or_iff_right_of_imp (Eq m 1) (Eq m p) (Not__elim (ne_of_gt Nat m 1 H))).
English
Let $p$ and $m$ be natural numbers such that $p$ is prime and $2 \leq m$. Then $m$ divides $p$, if and only if $m = p$.
French
Soient $p$ et $m$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier et $2 \leq m$. Alors $m$ divise $p$ si et seulement si $m = p$.
Czech
Nechť $p$ a $m$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné a $2 \leq m$. Tedy $m$ dělí $p$, právě tehdy, když $m = p$.
German
Seien $p$ und $m$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist und $2 \leq m$. Dann teilt $m$ $p$, genau dann, wenn $m = p$.
Swedish
Låt $p$ och $m$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt och $2 \leq m$. Då delar $m$ $p$, om och endast om $m = p$.
Formula
$p , m \in \Natural , \mathrm{prime} (p), 2 \leq m \vdash \divides {m}{p}\leftrightarrow m = p$
Proof
8 lines
1.Let $p$ and $m$ be elements of $\Natural$.
2.Assume that $p$ is prime.
3.$\divides {m}{p}$, if and only if $m = 1$ or $m = p$.Nat.dvd_prime 2
4.Assume that $2 \leq m$.
5.$m \neq 1$.ne_of_gt 4
6.There is an element of $x$.Not.elim 5
7.$m = 1$ or $m = p$, if and only if $m = p$.or_iff_right_of_imp 6
8.$\divides {m}{p}$, if and only if $m = p$.Iff.trans 3, 7
Proof, French
8 lines
1.Soient $p$ et $m$ des éléments de $\Natural$.
2.Supposons que $p$ est premier.
3.$\divides {m}{p}$ si et seulement si $m = 1$ ou $m = p$.Nat.dvd_prime 2
4.Supposons que $2 \leq m$.
5.$m \neq 1$.ne_of_gt 4
6.Il y a un élément de $x$.Not.elim 5
7.$m = 1$ ou $m = p$ si et seulement si $m = p$.or_iff_right_of_imp 6
8.$\divides {m}{p}$ si et seulement si $m = p$.Iff.trans 3, 7
Proof, Czech
8 lines
1.Nechť $p$ a $m$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
3.$\divides {m}{p}$, právě tehdy, když $m = 1$ nebo $m = p$.Nat.dvd_prime 2
4.Předpokládejme, že $2 \leq m$.
5.$m \neq 1$.ne_of_gt 4
6.Existuje prvek $x$.Not.elim 5
7.$m = 1$ nebo $m = p$, právě tehdy, když $m = p$.or_iff_right_of_imp 6
8.$\divides {m}{p}$, právě tehdy, když $m = p$.Iff.trans 3, 7
Proof, German
8 lines
1.Seien $p$ und $m$ elemente von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $p$ prim ist.
3.$\divides {m}{p}$, genau dann, wenn $m = 1$ oder $m = p$.Nat.dvd_prime 2
4.Nimm an, dass $2 \leq m$.
5.$m \neq 1$.ne_of_gt 4
6.Es gibt ein Element von $x$.Not.elim 5
7.$m = 1$ oder $m = p$, genau dann, wenn $m = p$.or_iff_right_of_imp 6
8.$\divides {m}{p}$, genau dann, wenn $m = p$.Iff.trans 3, 7
Proof, Swedish
8 lines
1.Låt $p$ och $m$ vara element av $\Natural$.
2.Anta att $p$ är primt.
3.$\divides {m}{p}$, om och endast om $m = 1$ eller $m = p$.Nat.dvd_prime 2
4.Anta att $2 \leq m$.
5.$m \neq 1$.ne_of_gt 4
6.Det finns ett element av $x$.Not.elim 5
7.$m = 1$ eller $m = p$, om och endast om $m = p$.or_iff_right_of_imp 6
8.$\divides {m}{p}$, om och endast om $m = p$.Iff.trans 3, 7
Nat.prime_dvd_prime_iff_eqtheoremDefs.lean:188
Lean
theorem prime_dvd_prime_iff_eq {p q : ℕ} (pp : p.Prime) (qp : q.Prime) : p ∣ q ↔ p = q :=
  dvd_prime_two_le qp (Prime.two_le pp)
Dedukti
2 lines
def Nat__prime_dvd_prime_iff_eq : (p : Elem Nat) -> (q : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> (qp : Proof (prime q)) -> Proof (iff (divide p q) (Eq p q)) :=
  p => q => pp => qp => Nat__dvd_prime_two_le q p qp (Nat__Prime__two_le p pp).
English
Let $p$ and $q$ be prime natural numbers. Then $p$ divides $q$, if and only if $p = q$.
French
Soient $p$ et $q$ des nombres naturels premiers. Alors $p$ divise $q$ si et seulement si $p = q$.
Czech
Nechť $p$ a $q$ je prvočíselné přirozené číslo. Tedy $p$ dělí $q$, právě tehdy, když $p = q$.
German
Seien $p$ und $q$ prime natürliche Zahlen. Dann teilt $p$ $q$, genau dann, wenn $p = q$.
Swedish
Låt $p$ och $q$ vara prima naturliga tal. Då delar $p$ $q$, om och endast om $p = q$.
Formula
$p , q \in \Natural , \mathrm{prime} (p), \mathrm{prime} (q)\vdash \divides {p}{q}\leftrightarrow p = q$
Proof
5 lines
1.Let $p$ and $q$ be elements of $\Natural$.
2.Assume that $q$ is prime.
3.Assume that $p$ is prime.
4.$2 \leq p$.Nat.Prime.two_le 3
5.$\divides {p}{q}$, if and only if $p = q$.Nat.dvd_prime_two_le 2, 4
Proof, French
5 lines
1.Soient $p$ et $q$ des éléments de $\Natural$.
2.Supposons que $q$ est premier.
3.Supposons que $p$ est premier.
4.$2 \leq p$.Nat.Prime.two_le 3
5.$\divides {p}{q}$ si et seulement si $p = q$.Nat.dvd_prime_two_le 2, 4
Proof, Czech
5 lines
1.Nechť $p$ a $q$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $q$ je prvočíselné.
3.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
4.$2 \leq p$.Nat.Prime.two_le 3
5.$\divides {p}{q}$, právě tehdy, když $p = q$.Nat.dvd_prime_two_le 2, 4
Proof, German
5 lines
1.Seien $p$ und $q$ elemente von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $q$ prim ist.
3.Nimm an, dass $p$ prim ist.
4.$2 \leq p$.Nat.Prime.two_le 3
5.$\divides {p}{q}$, genau dann, wenn $p = q$.Nat.dvd_prime_two_le 2, 4
Proof, Swedish
5 lines
1.Låt $p$ och $q$ vara element av $\Natural$.
2.Anta att $q$ är primt.
3.Anta att $p$ är primt.
4.$2 \leq p$.Nat.Prime.two_le 3
5.$\divides {p}{q}$, om och endast om $p = q$.Nat.dvd_prime_two_le 2, 4
Nat.Prime.not_dvd_onetheoremDefs.lean:191
Lean
theorem Prime.not_dvd_one {p : ℕ} (pp : Prime p) : ¬p ∣ 1 :=
  Irreducible.not_dvd_one pp
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime__not_dvd_one : (p : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> Proof (not (divide p 1)) :=
  p => pp => Irreducible__not_dvd_one Nat p pp.
English
Let $p$ be a prime natural number. Then $p$ does not divide $1$.
French
Soit $p$ un nombre naturel premier. Alors $p$ ne divise pas $1$.
Czech
Nechť $p$ je prvočíselné přirozené číslo. Tedy $p$ nedělí $1$.
German
Sei $p$ eine prime natürliche Zahl. Dann teilt $p$ nicht $1$.
Swedish
Låt $p$ vara ett primt naturligt tal. Då delar $p$ inte $1$.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash \neg (\divides {p}{1})$
Proof
3 lines
1.Let $p$ be an element of $\Natural$.
2.Assume that $p$ is prime.
3.It is not the case that $\divides {p}{1}$.Irreducible.not_dvd_one 2
Proof, French
3 lines
1.Soit $p$ un élément de $\Natural$.
2.Supposons que $p$ est premier.
3.Il n'est pas le cas que $\divides {p}{1}$.Irreducible.not_dvd_one 2
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $p$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
3.Není případ že $\divides {p}{1}$.Irreducible.not_dvd_one 2
Proof, German
3 lines
1.Sei $p$ ein Element von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $p$ prim ist.
3.Es ist nicht der Fall dass $\divides {p}{1}$.Irreducible.not_dvd_one 2
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $p$ vara ett element av $\Natural$.
2.Anta att $p$ är primt.
3.Det är inte fallet att $\divides {p}{1}$.Irreducible.not_dvd_one 2
Nat.minFac_lemmatheoremDefs.lean:196
Lean
theorem minFac_lemma (n k : ℕ) (h : ¬n < k * k) : sqrt n - k < sqrt n + 2 - k :=
  (Nat.sub_lt_sub_right <| le_sqrt.2 <| le_of_not_gt h) <| Nat.lt_add_of_pos_right (by decide)
Dedukti
2 lines
def Nat__minFac_lemma : (n : Elem Nat) -> (k : Elem Nat) -> (h : Proof (not (Lt n (times k k)))) -> Proof (Lt (minus (Nat__sqrt n) k) (minus (plus (Nat__sqrt n) 2) k)) :=
  n => k => h => Nat__sub_lt_sub_right (Nat__sqrt n) (plus (Nat__sqrt n) 2) k (iffEr (Leq k (Nat__sqrt n)) (Leq (times k k) n) (Nat__le_sqrt k n) (le_of_not_gt Nat (times k k) n h)) (Nat__lt_add_of_pos_right 2 (Nat__sqrt n) (of_decide_eq_true (Lt 0 2) (id (Eq__refl Bool__true)))).
English
Let $n$ and $k$ be natural numbers such that $n$ is not less than $k \times k$. Then $\NatsqrtMACRoD {n}- k < \NatsqrtMACRoD {n}+ 2 - k$.
French
Soient $n$ et $k$ des nombres naturels tels que $n$ ne soit pas inférieur à $k \times k$. Alors $\NatsqrtMACRoD {n}- k < \NatsqrtMACRoD {n}+ 2 - k$.
Czech
Nechť $n$ a $k$ je přirozené číslo takové, že $n$ není menší než $k \times k$. Tedy $\NatsqrtMACRoD {n}- k < \NatsqrtMACRoD {n}+ 2 - k$.
German
Seien $n$ und $k$ natürliche Zahlen derart, dass $n$ nicht kleiner als $k \times k$ ist. Dann $\NatsqrtMACRoD {n}- k < \NatsqrtMACRoD {n}+ 2 - k$.
Swedish
Låt $n$ och $k$ vara naturliga tal sådana att $n$ inte är mindre än $k \times k$. Då $\NatsqrtMACRoD {n}- k < \NatsqrtMACRoD {n}+ 2 - k$.
Formula
$n , k \in \Natural , \neg n < k \times k \vdash \NatsqrtMACRoE {n}- k < \NatsqrtMACRoE {n}+ 2 - k$
Proof
9 lines
1.Let $n$ and $k$ be elements of $\Natural$.
2.$k \leq \NatsqrtMACRoE {n}$, if and only if $k \times k \leq n$.Nat.le_sqrt
3.Assume that it is not the case that $n < k \times k$.
4.$k \times k \leq n$.le_of_not_gt 3
5.$k \leq \NatsqrtMACRoE {n}$.iffEr 2, 4
6.There is an element of $x$.id
7.$0 < 2$.of_decide_eq_true 6
8.$\NatsqrtMACRoE {n}< \NatsqrtMACRoE {n}+ 2$.Nat.lt_add_of_pos_right 7
9.$\NatsqrtMACRoE {n}- k < \NatsqrtMACRoE {n}+ 2 - k$.Nat.sub_lt_sub_right 5, 8
Proof, French
9 lines
1.Soient $n$ et $k$ des éléments de $\Natural$.
2.$k \leq \NatsqrtMACRoE {n}$ si et seulement si $k \times k \leq n$.Nat.le_sqrt
3.Supposons qu'il n'est pas le cas que $n < k \times k$.
4.$k \times k \leq n$.le_of_not_gt 3
5.$k \leq \NatsqrtMACRoE {n}$.iffEr 2, 4
6.Il y a un élément de $x$.id
7.$0 < 2$.of_decide_eq_true 6
8.$\NatsqrtMACRoE {n}< \NatsqrtMACRoE {n}+ 2$.Nat.lt_add_of_pos_right 7
9.$\NatsqrtMACRoE {n}- k < \NatsqrtMACRoE {n}+ 2 - k$.Nat.sub_lt_sub_right 5, 8
Proof, Czech
9 lines
1.Nechť $n$ a $k$ je prvek $\Natural$.
2.$k \leq \NatsqrtMACRoE {n}$, právě tehdy, když $k \times k \leq n$.Nat.le_sqrt
3.Předpokládejme, že není případ že $n < k \times k$.
4.$k \times k \leq n$.le_of_not_gt 3
5.$k \leq \NatsqrtMACRoE {n}$.iffEr 2, 4
6.Existuje prvek $x$.id
7.$0 < 2$.of_decide_eq_true 6
8.$\NatsqrtMACRoE {n}< \NatsqrtMACRoE {n}+ 2$.Nat.lt_add_of_pos_right 7
9.$\NatsqrtMACRoE {n}- k < \NatsqrtMACRoE {n}+ 2 - k$.Nat.sub_lt_sub_right 5, 8
Proof, German
9 lines
1.Seien $n$ und $k$ elemente von $\Natural$.
2.$k \leq \NatsqrtMACRoE {n}$, genau dann, wenn $k \times k \leq n$.Nat.le_sqrt
3.Nimm an, dass es nicht der Fall dass $n < k \times k$ ist.
4.$k \times k \leq n$.le_of_not_gt 3
5.$k \leq \NatsqrtMACRoE {n}$.iffEr 2, 4
6.Es gibt ein Element von $x$.id
7.$0 < 2$.of_decide_eq_true 6
8.$\NatsqrtMACRoE {n}< \NatsqrtMACRoE {n}+ 2$.Nat.lt_add_of_pos_right 7
9.$\NatsqrtMACRoE {n}- k < \NatsqrtMACRoE {n}+ 2 - k$.Nat.sub_lt_sub_right 5, 8
Proof, Swedish
9 lines
1.Låt $n$ och $k$ vara element av $\Natural$.
2.$k \leq \NatsqrtMACRoE {n}$, om och endast om $k \times k \leq n$.Nat.le_sqrt
3.Anta att det inte är fallet att $n < k \times k$.
4.$k \times k \leq n$.le_of_not_gt 3
5.$k \leq \NatsqrtMACRoE {n}$.iffEr 2, 4
6.Det finns ett element av $x$.id
7.$0 < 2$.of_decide_eq_true 6
8.$\NatsqrtMACRoE {n}< \NatsqrtMACRoE {n}+ 2$.Nat.lt_add_of_pos_right 7
9.$\NatsqrtMACRoE {n}- k < \NatsqrtMACRoE {n}+ 2 - k$.Nat.sub_lt_sub_right 5, 8
Nat.minFacAuxdefDefs.lean:207
If n < k * k, then minFacAux n k = n, if k | n, then minFacAux n k = k. Otherwise, minFacAux n k = minFacAux n (k+2) using well-founded recursion. If n is odd and 1 < n, then minFacAux n 3 is the smallest prime factor of n.
This definition is by well-founded recursion, so rfl or decide cannot be used. One can use norm_num to prove Nat.prime n for small n.
Lean
def minFacAux (n : ℕ) : ℕ → ℕ
Dedukti
1 lines
Nat__minFacAux : (n : Elem Nat) -> (x : Elem Nat) -> Elem Nat.
English
Let $n$ and $x$ be natural numbers. Then $\NatminFacAuxMACRoB {n}{x}$ is a natural number.
French
Soient $n$ et $x$ des nombres naturels. Alors $\NatminFacAuxMACRoB {n}{x}$ est un nombre naturel.
Czech
Nechť $n$ a $x$ je přirozené číslo. Tedy $\NatminFacAuxMACRoB {n}{x}$ je přirozené číslo.
German
Seien $n$ und $x$ natürliche Zahlen. Dann ist $\NatminFacAuxMACRoB {n}{x}$ eine natürliche Zahl.
Swedish
Låt $n$ och $x$ vara naturliga tal. Då är $\NatminFacAuxMACRoB {n}{x}$ ett naturligt tal.
Formula
$n , x \in \Natural \vdash \NatminFacAuxMACRoC {n}{x}\in \Natural$
Nat.minFacdefDefs.lean:219
Returns the smallest prime factor of n ≠ 1.
Lean
@[oeis A020639 "the sequence skips `n = 0` which is a junk value"]
def minFac (n : ℕ) : ℕ :=
  if 2 ∣ n then 2 else minFacAux n 3
Dedukti
2 lines
def Nat__minFac : (n : Elem Nat) -> Elem Nat :=
  n => ite (divide 2 n) 2 (Nat__minFacAux n 3).
English
Let $n$ be a natural number. Then the smallest prime factor of $n$ is a natural number defined as $\iteMACRoG {(\divides {2}{n})}{2}{(\NatminFacAuxMACRoB {n}{3})}$.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Alors le plus petit facteur premier de $n$ est un nombre naturel défini comme $\iteMACRoG {(\divides {2}{n})}{2}{(\NatminFacAuxMACRoB {n}{3})}$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Tedy nejmenší prvočíselný faktor $n$ je přirozené číslo definovaný jako $\iteMACRoG {(\divides {2}{n})}{2}{(\NatminFacAuxMACRoB {n}{3})}$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann ist der kleinste prime Faktor von $n$ eine natürliche Zahl definiert als $\iteMACRoG {(\divides {2}{n})}{2}{(\NatminFacAuxMACRoB {n}{3})}$.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Då är den minsta prima faktorn av $n$ ett naturligt tal definierat som $\iteMACRoG {(\divides {2}{n})}{2}{(\NatminFacAuxMACRoB {n}{3})}$.
Formula
$n \in \Natural \vdash \NatminFacMACRoB {n}:= \iteMACRoI {(\divides {2}{n})}{2}{(\NatminFacAuxMACRoC {n}{3})}\in \Natural$
Nat.minFac_zerotheoremDefs.lean:223
Lean
@[simp]
theorem minFac_zero : minFac 0 = 2 :=
  rfl
Dedukti
2 lines
def Nat__minFac_zero : Proof (Eq (Nat__minFac 0) 2) :=
  rfl.
English
The smallest prime factor of $0$ is equal to $2$.
French
Le plus petit facteur premier de $0$ est égal à $2$.
Czech
Nejmenší prvočíselný faktor $0$ je rovný $2$.
German
Der kleinste prime Faktor von $0$ ist gleich $2$.
Swedish
Den minsta prima faktorn av $0$ är lika med $2$.
Formula
$\NatminFacMACRoB {0}= 2$
Proof
1 lines
1.For all sets $x$ and elements $a$ of $x$, $\EqtMACRoJ {a}{a}$.rfl
Proof, French
1 lines
1.Pour tous les ensembles $x$ et les éléments $a$ de $x$, $\EqtMACRoJ {a}{a}$.rfl
Proof, Czech
1 lines
1.Pro všechny množiny $x$ a prvky $a$ $x$, $\EqtMACRoJ {a}{a}$.rfl
Proof, German
1 lines
1.Für alle Mengen $x$ und Elemente $a$ von $x$, $\EqtMACRoJ {a}{a}$.rfl
Proof, Swedish
1 lines
1.För alla mängder $x$ och element $a$ av $x$, $\EqtMACRoJ {a}{a}$.rfl
Nat.minFac_onetheoremDefs.lean:227
Lean
@[simp]
theorem minFac_one : minFac 1 = 1 := by
  simp [minFac, minFacAux]
Dedukti
1 lines
Nat__minFac_one : Proof (Eq (Nat__minFac 1) 1).
English
The smallest prime factor of $1$ is equal to $1$.
French
Le plus petit facteur premier de $1$ est égal à $1$.
Czech
Nejmenší prvočíselný faktor $1$ je rovný $1$.
German
Der kleinste prime Faktor von $1$ ist gleich $1$.
Swedish
Den minsta prima faktorn av $1$ är lika med $1$.
Formula
$\NatminFacMACRoB {1}= 1$
Proof
1 lines
1.$\NatminFacMACRoB {1}= 1$.simp [minFac, minFacAux]
Proof, French
1 lines
1.$\NatminFacMACRoB {1}= 1$.simp [minFac, minFacAux]
Proof, Czech
1 lines
1.$\NatminFacMACRoB {1}= 1$.simp [minFac, minFacAux]
Proof, German
1 lines
1.$\NatminFacMACRoB {1}= 1$.simp [minFac, minFacAux]
Proof, Swedish
1 lines
1.$\NatminFacMACRoB {1}= 1$.simp [minFac, minFacAux]
Nat.minFac_twotheoremDefs.lean:231
Lean
@[simp]
theorem minFac_two : minFac 2 = 2 := by
  simp [minFac]
Dedukti
1 lines
Nat__minFac_two : Proof (Eq (Nat__minFac 2) 2).
English
The smallest prime factor of $2$ is equal to $2$.
French
Le plus petit facteur premier de $2$ est égal à $2$.
Czech
Nejmenší prvočíselný faktor $2$ je rovný $2$.
German
Der kleinste prime Faktor von $2$ ist gleich $2$.
Swedish
Den minsta prima faktorn av $2$ är lika med $2$.
Formula
$\NatminFacMACRoB {2}= 2$
Proof
1 lines
1.$\NatminFacMACRoB {2}= 2$.simp [minFac]
Proof, French
1 lines
1.$\NatminFacMACRoB {2}= 2$.simp [minFac]
Proof, Czech
1 lines
1.$\NatminFacMACRoB {2}= 2$.simp [minFac]
Proof, German
1 lines
1.$\NatminFacMACRoB {2}= 2$.simp [minFac]
Proof, Swedish
1 lines
1.$\NatminFacMACRoB {2}= 2$.simp [minFac]
Nat.minFac_eqtheoremDefs.lean:234
Lean
theorem minFac_eq (n : ℕ) : minFac n = if 2 ∣ n then 2 else minFacAux n 3 := rfl
Dedukti
2 lines
def Nat__minFac_eq : (n : Elem Nat) -> Proof (Eq (Nat__minFac n) (ite (divide 2 n) 2 (Nat__minFacAux n 3))) :=
  n => rfl.
English
Let $n$ be a natural number. Then the smallest prime factor of $n$ is equal to $\iteMACRoG {(\divides {2}{n})}{2}{(\NatminFacAuxMACRoB {n}{3})}$.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Alors le plus petit facteur premier de $n$ est égal à $\iteMACRoG {(\divides {2}{n})}{2}{(\NatminFacAuxMACRoB {n}{3})}$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Tedy nejmenší prvočíselný faktor $n$ je rovný $\iteMACRoG {(\divides {2}{n})}{2}{(\NatminFacAuxMACRoB {n}{3})}$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann ist der kleinste prime Faktor von $n$ gleich $\iteMACRoG {(\divides {2}{n})}{2}{(\NatminFacAuxMACRoB {n}{3})}$.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Då är den minsta prima faktorn av $n$ lika med $\iteMACRoG {(\divides {2}{n})}{2}{(\NatminFacAuxMACRoB {n}{3})}$.
Formula
$n \in \Natural \vdash \NatminFacMACRoB {n}= \iteMACRoI {(\divides {2}{n})}{2}{(\NatminFacAuxMACRoC {n}{3})}$
Proof
2 lines
1.Let $n$ be an element of $\Natural$.
2.For all sets $x$ and elements $a$ of $x$, $\EqtMACRoJ {a}{a}$.rfl
Proof, French
2 lines
1.Soit $n$ un élément de $\Natural$.
2.Pour tous les ensembles $x$ et les éléments $a$ de $x$, $\EqtMACRoJ {a}{a}$.rfl
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $n$ je prvek $\Natural$.
2.Pro všechny množiny $x$ a prvky $a$ $x$, $\EqtMACRoJ {a}{a}$.rfl
Proof, German
2 lines
1.Sei $n$ ein Element von $\Natural$.
2.Für alle Mengen $x$ und Elemente $a$ von $x$, $\EqtMACRoJ {a}{a}$.rfl
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $n$ vara ett element av $\Natural$.
2.För alla mängder $x$ och element $a$ av $x$, $\EqtMACRoJ {a}{a}$.rfl
Nat.minFac_dvdtheoremDefs.lean:283
Lean
theorem minFac_dvd (n : ℕ) : minFac n ∣ n :=
  if n1 : n = 1 then by simp [n1] else (minFac_has_prop n1).2.1
Dedukti
1 lines
Nat__minFac_dvd : (n : Elem Nat) -> Proof (divide (Nat__minFac n) n).
English
Let $n$ be a natural number. Then the smallest prime factor of $n$ divides $n$.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Alors le plus petit facteur premier de $n$ divise $n$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Tedy nejmenší prvočíselný faktor $n$ dělí $n$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann teilt der kleinste prime Faktor von $n$ $n$.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Då delar den minsta prima faktorn av $n$ $n$.
Formula
$n \in \Natural \vdash \divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$
Proof
1 lines
1.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.simp [n1]
Proof, French
1 lines
1.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.simp [n1]
Proof, Czech
1 lines
1.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.simp [n1]
Proof, German
1 lines
1.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.simp [n1]
Proof, Swedish
1 lines
1.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.simp [n1]
Nat.minFac_primetheoremDefs.lean:286
Lean
theorem minFac_prime {n : ℕ} (n1 : n ≠ 1) : Prime (minFac n) :=
Dedukti
1 lines
Nat__minFac_prime : (n : Elem Nat) -> (n1 : Proof (Neq n 1)) -> Proof (prime (Nat__minFac n)).
English
Let $n$ be a natural number such that $n \neq 1$. Then the smallest prime factor of $n$ is prime.
French
Soit $n$ un nombre naturel tel que $n \neq 1$. Alors le plus petit facteur premier de $n$ est premier.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo takové, že $n \neq 1$. Tedy nejmenší prvočíselný faktor $n$ je prvočíselný.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass $n \neq 1$. Dann ist der kleinste prime Faktor von $n$ prim.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal sådant att $n \neq 1$. Då är den minsta prima faktorn av $n$ prim.
Formula
$n \in \Natural , n \neq 1 \vdash \mathrm{prime} (\NatminFacMACRoB {n})$
Nat.minFac_prime_ifftheoremDefs.lean:291
Lean
@[simp]
theorem minFac_prime_iff {n : ℕ} : Prime (minFac n) ↔ n ≠ 1 := by
  refine ⟨?_, minFac_prime⟩
  rintro h rfl
  simp only [minFac_one, not_prime_one] at h
Dedukti
1 lines
Nat__minFac_prime_iff : (n : Elem Nat) -> Proof (iff (prime (Nat__minFac n)) (Neq n 1)).
English
Let $n$ be a natural number. Then the smallest prime factor of $n$ is prime, if and only if $n \neq 1$.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Alors le plus petit facteur premier de $n$ est premier si et seulement si $n \neq 1$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Tedy nejmenší prvočíselný faktor $n$ je prvočíselný, právě tehdy, když $n \neq 1$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann ist der kleinste prime Faktor von $n$ prim, genau dann, wenn $n \neq 1$.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Då är den minsta prima faktorn av $n$ prim, om och endast om $n \neq 1$.
Formula
$n \in \Natural \vdash \mathrm{prime} (\NatminFacMACRoB {n})\leftrightarrow n \neq 1$
Proof
3 lines
1.It is enough to show that if $\NatminFacMACRoB {n}$ is prime, then $n \neq 1$.refine ⟨?_, minFac_prime⟩
2.Assume that $\NatminFacMACRoB {1}$ is prime.rintro h rfl
3.We have a contradiction.simp only [minFac_one, not_prime_one] at h
Proof, French
3 lines
1.Il suffit de montrer que si $\NatminFacMACRoB {n}$ est premier, alors $n \neq 1$.refine ⟨?_, minFac_prime⟩
2.Supposons que $\NatminFacMACRoB {1}$ est premier.rintro h rfl
3.Nous avons une contradiction.simp only [minFac_one, not_prime_one] at h
Proof, Czech
3 lines
1.Stačí ukázat, že jestliže $\NatminFacMACRoB {n}$ je prvočíselné, pak $n \neq 1$.refine ⟨?_, minFac_prime⟩
2.Předpokládejme, že $\NatminFacMACRoB {1}$ je prvočíselné.rintro h rfl
3.Máme spor.simp only [minFac_one, not_prime_one] at h
Proof, German
3 lines
1.Es genügt zu zeigen, dass wenn $\NatminFacMACRoB {n}$ prim ist, dann $n \neq 1$.refine ⟨?_, minFac_prime⟩
2.Nimm an, dass $\NatminFacMACRoB {1}$ prim ist.rintro h rfl
3.Wir haben einen Widerspruch.simp only [minFac_one, not_prime_one] at h
Proof, Swedish
3 lines
1.Det räcker att visa att om $\NatminFacMACRoB {n}$ är primt, så $n \neq 1$.refine ⟨?_, minFac_prime⟩
2.Anta att $\NatminFacMACRoB {1}$ är primt.rintro h rfl
3.Vi har en kontradiction.simp only [minFac_one, not_prime_one] at h
Nat.minFac_le_of_dvdtheoremDefs.lean:296
Lean
theorem minFac_le_of_dvd {n : ℕ} : ∀ {m : ℕ}, 2 ≤ m → m ∣ n → minFac n ≤ m := by
  by_cases n1 : n = 1
  · exact fun m2 _ => n1.symm ▸ le_trans (by simp) m2
  · apply (minFac_has_prop n1).2.2
Dedukti
1 lines
Nat__minFac_le_of_dvd : (n : Elem Nat) -> (m : Elem Nat) -> (h : Proof (Leq 2 m)) -> (h1 : Proof (divide m n)) -> Proof (Leq (Nat__minFac n) m).
English
Let $n$ and $m$ be natural numbers such that $2 \leq m$ and $m$ divides $n$. Then the smallest prime factor of $n$ is less than or equal to $m$.
French
Soient $n$ et $m$ des nombres naturels tels que $2 \leq m$ et $m$ divise $n$. Alors le plus petit facteur premier de $n$ est inférieur ou égal à $m$.
Czech
Nechť $n$ a $m$ je přirozené číslo takové, že $2 \leq m$ a $m$ dělí $n$. Tedy nejmenší prvočíselný faktor $n$ je menší nebo rovný než $m$.
German
Seien $n$ und $m$ natürliche Zahlen derart, dass $2 \leq m$ und $m$ $n$ teilt. Dann ist der kleinste prime Faktor von $n$ kleiner oder gleich $m$.
Swedish
Låt $n$ och $m$ vara naturliga tal sådana att $2 \leq m$ och $m$ delar $n$. Då är den minsta prima faktorn av $n$ mindre än eller lika med $m$.
Formula
$n , m \in \Natural , 2 \leq m , \divides {m}{n}\vdash \NatminFacMACRoB {n}\leq m$
Proof
7 lines
1.We reason by cases:by_cases n1 : n = 1
2.Assume that $n = 1$.
3.If $2 \leq \mathrm{m'}$, then if $\divides {\mathrm{m'}}{n}$, then $\NatminFacMACRoB {n}\leq \mathrm{m'}$.exact fun m2 _ => n1.symm ▸ le_trans (by simp) m2
4.Assume that $2 \leq \mathrm{m'}$.
5.$\NatminFacMACRoB {1}\leq 2$.simp
6.Assume that it is not the case that $n = 1$.
7.If $2 \leq \mathrm{m'}$, then if $\divides {\mathrm{m'}}{n}$, then $\NatminFacMACRoB {n}\leq \mathrm{m'}$.apply (minFac_has_prop n1).2.2
Proof, French
7 lines
1.Par cas:by_cases n1 : n = 1
2.Supposons que $n = 1$.
3.Si $2 \leq \mathrm{m'}$, alors si $\divides {\mathrm{m'}}{n}$, alors $\NatminFacMACRoB {n}\leq \mathrm{m'}$.exact fun m2 _ => n1.symm ▸ le_trans (by simp) m2
4.Supposons que $2 \leq \mathrm{m'}$.
5.$\NatminFacMACRoB {1}\leq 2$.simp
6.Supposons qu'il n'est pas le cas que $n = 1$.
7.Si $2 \leq \mathrm{m'}$, alors si $\divides {\mathrm{m'}}{n}$, alors $\NatminFacMACRoB {n}\leq \mathrm{m'}$.apply (minFac_has_prop n1).2.2
Proof, Czech
7 lines
1.Rozlišíme případy:by_cases n1 : n = 1
2.Předpokládejme, že $n = 1$.
3.Jestliže $2 \leq \mathrm{m'}$, pak jestliže $\divides {\mathrm{m'}}{n}$, pak $\NatminFacMACRoB {n}\leq \mathrm{m'}$.exact fun m2 _ => n1.symm ▸ le_trans (by simp) m2
4.Předpokládejme, že $2 \leq \mathrm{m'}$.
5.$\NatminFacMACRoB {1}\leq 2$.simp
6.Předpokládejme, že není případ že $n = 1$.
7.Jestliže $2 \leq \mathrm{m'}$, pak jestliže $\divides {\mathrm{m'}}{n}$, pak $\NatminFacMACRoB {n}\leq \mathrm{m'}$.apply (minFac_has_prop n1).2.2
Proof, German
7 lines
1.Wir unterscheiden Fälle:by_cases n1 : n = 1
2.Nimm an, dass $n = 1$.
3.Wenn $2 \leq \mathrm{m'}$, dann wenn $\divides {\mathrm{m'}}{n}$, dann $\NatminFacMACRoB {n}\leq \mathrm{m'}$.exact fun m2 _ => n1.symm ▸ le_trans (by simp) m2
4.Nimm an, dass $2 \leq \mathrm{m'}$.
5.$\NatminFacMACRoB {1}\leq 2$.simp
6.Nimm an, dass es nicht der Fall dass $n = 1$ ist.
7.Wenn $2 \leq \mathrm{m'}$, dann wenn $\divides {\mathrm{m'}}{n}$, dann $\NatminFacMACRoB {n}\leq \mathrm{m'}$.apply (minFac_has_prop n1).2.2
Proof, Swedish
7 lines
1.Vi resonerar med fallanalys:by_cases n1 : n = 1
2.Anta att $n = 1$.
3.Om $2 \leq \mathrm{m'}$, så om $\divides {\mathrm{m'}}{n}$, så $\NatminFacMACRoB {n}\leq \mathrm{m'}$.exact fun m2 _ => n1.symm ▸ le_trans (by simp) m2
4.Anta att $2 \leq \mathrm{m'}$.
5.$\NatminFacMACRoB {1}\leq 2$.simp
6.Anta att det inte är fallet att $n = 1$.
7.Om $2 \leq \mathrm{m'}$, så om $\divides {\mathrm{m'}}{n}$, så $\NatminFacMACRoB {n}\leq \mathrm{m'}$.apply (minFac_has_prop n1).2.2
Nat.minFac_postheoremDefs.lean:301
Lean
theorem minFac_pos (n : ℕ) : 0 < minFac n := by
  by_cases n1 : n = 1
  · simp [n1]
  · exact (minFac_prime n1).pos
Dedukti
1 lines
Nat__minFac_pos : (n : Elem Nat) -> Proof (Lt 0 (Nat__minFac n)).
English
Let $n$ be a natural number. Then $0$ is less than the smallest prime factor of $n$.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Alors $0$ est inférieur au plus petit facteur premier de $n$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Tedy $0$ je menší než nejmenší prvočíselný faktor $n$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann ist $0$ kleiner als dem kleinsten primen Faktoren von $n$.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Då är $0$ mindre än den minsta prima faktorn av $n$.
Formula
$n \in \Natural \vdash 0 < \NatminFacMACRoB {n}$
Proof
5 lines
1.We reason by cases:by_cases n1 : n = 1
2.Assume that $n = 1$.
3.$0 < \NatminFacMACRoB {n}$.simp [n1]
4.Assume that it is not the case that $n = 1$.
5.$0 < \NatminFacMACRoB {n}$.exact (minFac_prime n1).pos
Proof, French
5 lines
1.Par cas:by_cases n1 : n = 1
2.Supposons que $n = 1$.
3.$0 < \NatminFacMACRoB {n}$.simp [n1]
4.Supposons qu'il n'est pas le cas que $n = 1$.
5.$0 < \NatminFacMACRoB {n}$.exact (minFac_prime n1).pos
Proof, Czech
5 lines
1.Rozlišíme případy:by_cases n1 : n = 1
2.Předpokládejme, že $n = 1$.
3.$0 < \NatminFacMACRoB {n}$.simp [n1]
4.Předpokládejme, že není případ že $n = 1$.
5.$0 < \NatminFacMACRoB {n}$.exact (minFac_prime n1).pos
Proof, German
5 lines
1.Wir unterscheiden Fälle:by_cases n1 : n = 1
2.Nimm an, dass $n = 1$.
3.$0 < \NatminFacMACRoB {n}$.simp [n1]
4.Nimm an, dass es nicht der Fall dass $n = 1$ ist.
5.$0 < \NatminFacMACRoB {n}$.exact (minFac_prime n1).pos
Proof, Swedish
5 lines
1.Vi resonerar med fallanalys:by_cases n1 : n = 1
2.Anta att $n = 1$.
3.$0 < \NatminFacMACRoB {n}$.simp [n1]
4.Anta att det inte är fallet att $n = 1$.
5.$0 < \NatminFacMACRoB {n}$.exact (minFac_prime n1).pos
Nat.minFac_letheoremDefs.lean:306
Lean
theorem minFac_le {n : ℕ} (H : 0 < n) : minFac n ≤ n :=
  le_of_dvd H (minFac_dvd n)
Dedukti
2 lines
def Nat__minFac_le : (n : Elem Nat) -> (H : Proof (Lt 0 n)) -> Proof (Leq (Nat__minFac n) n) :=
  n => H => Nat__le_of_dvd (Nat__minFac n) n H (Nat__minFac_dvd n).
English
Let $n$ be a natural number such that $0 < n$. Then the smallest prime factor of $n$ is less than or equal to $n$.
French
Soit $n$ un nombre naturel tel que $0 < n$. Alors le plus petit facteur premier de $n$ est inférieur ou égal à $n$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo takové, že $0 < n$. Tedy nejmenší prvočíselný faktor $n$ je menší nebo rovný než $n$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass $0 < n$. Dann ist der kleinste prime Faktor von $n$ kleiner oder gleich $n$.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal sådant att $0 < n$. Då är den minsta prima faktorn av $n$ mindre än eller lika med $n$.
Formula
$n \in \Natural , 0 < n \vdash \NatminFacMACRoB {n}\leq n$
Proof
4 lines
1.Let $n$ be an element of $\Natural$.
2.Assume that $0 < n$.
3.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.Nat.minFac_dvd
4.$\NatminFacMACRoB {n}\leq n$.Nat.le_of_dvd 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soit $n$ un élément de $\Natural$.
2.Supposons que $0 < n$.
3.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.Nat.minFac_dvd
4.$\NatminFacMACRoB {n}\leq n$.Nat.le_of_dvd 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $n$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $0 < n$.
3.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.Nat.minFac_dvd
4.$\NatminFacMACRoB {n}\leq n$.Nat.le_of_dvd 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Sei $n$ ein Element von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $0 < n$.
3.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.Nat.minFac_dvd
4.$\NatminFacMACRoB {n}\leq n$.Nat.le_of_dvd 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $n$ vara ett element av $\Natural$.
2.Anta att $0 < n$.
3.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.Nat.minFac_dvd
4.$\NatminFacMACRoB {n}\leq n$.Nat.le_of_dvd 2, 3
Nat.le_minFactheoremDefs.lean:309
Lean
theorem le_minFac {m n : ℕ} : n = 1 ∨ m ≤ minFac n ↔ ∀ p, Prime p → p ∣ n → m ≤ p :=
  ⟨fun h p pp d =>
    h.elim (by rintro rfl; cases pp.not_dvd_one d) fun h =>
      le_trans h <| minFac_le_of_dvd pp.two_le d,
    fun H => or_iff_not_imp_left.2 fun n1 => H _ (minFac_prime n1) (minFac_dvd _)⟩
Dedukti
1 lines
Nat__le_minFac : (m : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> Proof (iff (or (Eq n 1) (Leq m (Nat__minFac n))) (forall Nat (p => if (prime p) (if (divide p n) (Leq m p))))).
English
Let $m$ and $n$ be natural numbers. Then $n = 1$ or $m$ is less than or equal to the smallest prime factor of $n$, if and only if for all natural numbers $p$, if $p$ is prime, then if $p$ divides $n$, then $m \leq p$.
French
Soient $m$ et $n$ des nombres naturels. Alors $n = 1$ ou $m$ est inférieur ou égal au plus petit facteur premier de $n$ si et seulement si pour tous les nombres naturels $p$, si $p$ est premier, alors si $p$ divise $n$, alors $m \leq p$.
Czech
Nechť $m$ a $n$ je přirozené číslo. Tedy $n = 1$ nebo $m$ je menší nebo rovné než nejmenší prvočíselný faktor $n$, právě tehdy, když pro všechna přirozená čísla $p$, jestliže $p$ je prvočíselné, pak jestliže $p$ dělí $n$, pak $m \leq p$.
German
Seien $m$ und $n$ natürliche Zahlen. Dann $n = 1$ oder $m$ ist kleiner oder gleich dem kleinsten primen Faktoren von $n$, genau dann, wenn für alle natürliche Zahlen $p$, wenn $p$ prim ist, dann wenn $p$ $n$ teilt, dann $m \leq p$.
Swedish
Låt $m$ och $n$ vara naturliga tal. Då $n = 1$ eller $m$ är mindre än eller lika med den minsta prima faktorn av $n$, om och endast om för alla naturliga tal $p$, om $p$ är primt, så om $p$ delar $n$, så $m \leq p$.
Formula
$m , n \in \Natural \vdash n = 1 \vee m \leq \NatminFacMACRoB {n}\leftrightarrow (\forall p \in \Natural . \mathrm{prime} (p)\rightarrow \divides {p}{n}\rightarrow m \leq p)$
Proof
2 lines
1.Assume that $n = 1$.rintro rfl
2.$m \leq p$.cases pp.not_dvd_one d
Proof, French
2 lines
1.Supposons que $n = 1$.rintro rfl
2.$m \leq p$.cases pp.not_dvd_one d
Proof, Czech
2 lines
1.Předpokládejme, že $n = 1$.rintro rfl
2.$m \leq p$.cases pp.not_dvd_one d
Proof, German
2 lines
1.Nimm an, dass $n = 1$.rintro rfl
2.$m \leq p$.cases pp.not_dvd_one d
Proof, Swedish
2 lines
1.Anta att $n = 1$.rintro rfl
2.$m \leq p$.cases pp.not_dvd_one d
Nat.le_minFac'theoremDefs.lean:315
Lean
theorem le_minFac' {m n : ℕ} : n = 1 ∨ m ≤ minFac n ↔ ∀ p, 2 ≤ p → p ∣ n → m ≤ p :=
  ⟨fun h p (pp : 1 < p) d =>
    h.elim (by rintro rfl; cases not_le_of_gt pp (le_of_dvd (by decide) d)) fun h =>
      le_trans h <| minFac_le_of_dvd pp d,
    fun H => le_minFac.2 fun p pp d => H p pp.two_le d⟩
Dedukti
1 lines
Nat__le_minFac' : (m : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> Proof (iff (or (Eq n 1) (Leq m (Nat__minFac n))) (forall Nat (p => if (Leq 2 p) (if (divide p n) (Leq m p))))).
English
Let $m$ and $n$ be natural numbers. Then $n = 1$ or $m$ is less than or equal to the smallest prime factor of $n$, if and only if for all natural numbers $p$, if $2 \leq p$, then if $p$ divides $n$, then $m \leq p$.
French
Soient $m$ et $n$ des nombres naturels. Alors $n = 1$ ou $m$ est inférieur ou égal au plus petit facteur premier de $n$ si et seulement si pour tous les nombres naturels $p$, si $2 \leq p$, alors si $p$ divise $n$, alors $m \leq p$.
Czech
Nechť $m$ a $n$ je přirozené číslo. Tedy $n = 1$ nebo $m$ je menší nebo rovné než nejmenší prvočíselný faktor $n$, právě tehdy, když pro všechna přirozená čísla $p$, jestliže $2 \leq p$, pak jestliže $p$ dělí $n$, pak $m \leq p$.
German
Seien $m$ und $n$ natürliche Zahlen. Dann $n = 1$ oder $m$ ist kleiner oder gleich dem kleinsten primen Faktoren von $n$, genau dann, wenn für alle natürliche Zahlen $p$, wenn $2 \leq p$, dann wenn $p$ $n$ teilt, dann $m \leq p$.
Swedish
Låt $m$ och $n$ vara naturliga tal. Då $n = 1$ eller $m$ är mindre än eller lika med den minsta prima faktorn av $n$, om och endast om för alla naturliga tal $p$, om $2 \leq p$, så om $p$ delar $n$, så $m \leq p$.
Formula
$m , n \in \Natural \vdash n = 1 \vee m \leq \NatminFacMACRoB {n}\leftrightarrow (\forall p \in \Natural . 2 \leq p \rightarrow \divides {p}{n}\rightarrow m \leq p)$
Proof
3 lines
1.Assume that $n = 1$.rintro rfl
2.$m \leq p$.cases not_le_of_gt pp (le_of_dvd (by decide) d)
3.$0 < 1$.decide
Proof, French
3 lines
1.Supposons que $n = 1$.rintro rfl
2.$m \leq p$.cases not_le_of_gt pp (le_of_dvd (by decide) d)
3.$0 < 1$.decide
Proof, Czech
3 lines
1.Předpokládejme, že $n = 1$.rintro rfl
2.$m \leq p$.cases not_le_of_gt pp (le_of_dvd (by decide) d)
3.$0 < 1$.decide
Proof, German
3 lines
1.Nimm an, dass $n = 1$.rintro rfl
2.$m \leq p$.cases not_le_of_gt pp (le_of_dvd (by decide) d)
3.$0 < 1$.decide
Proof, Swedish
3 lines
1.Anta att $n = 1$.rintro rfl
2.$m \leq p$.cases not_le_of_gt pp (le_of_dvd (by decide) d)
3.$0 < 1$.decide
Nat.prime_def_minFactheoremDefs.lean:321
Lean
theorem prime_def_minFac {p : ℕ} : Prime p ↔ 2 ≤ p ∧ minFac p = p :=
Dedukti
1 lines
Nat__prime_def_minFac : (p : Elem Nat) -> Proof (iff (prime p) (and (Leq 2 p) (Eq (Nat__minFac p) p))).
English
Let $p$ be a natural number. Then $p$ is prime, if and only if $2 \leq p$ and the smallest prime factor of $p$ is equal to $p$.
French
Soit $p$ un nombre naturel. Alors $p$ est premier si et seulement si $2 \leq p$ et le plus petit facteur premier de $p$ est égal à $p$.
Czech
Nechť $p$ je přirozené číslo. Tedy $p$ je prvočíselné, právě tehdy, když $2 \leq p$ a nejmenší prvočíselný faktor $p$ je rovný $p$.
German
Sei $p$ eine natürliche Zahl. Dann ist $p$ prim, genau dann, wenn $2 \leq p$ und der kleinste prime Faktor von $p$ gleich $p$ ist.
Swedish
Låt $p$ vara ett naturligt tal. Då är $p$ primt, om och endast om $2 \leq p$ och den minsta prima faktorn av $p$ är lika med $p$.
Formula
$p \in \Natural \vdash \mathrm{prime} (p)\leftrightarrow 2 \leq p \wedge \NatminFacMACRoB {p}= p$
Nat.Prime.minFac_eqtheoremDefs.lean:329
Lean
@[simp]
theorem Prime.minFac_eq {p : ℕ} (hp : Prime p) : minFac p = p :=
  (prime_def_minFac.1 hp).2
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime__minFac_eq : (p : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> Proof (Eq (Nat__minFac p) p) :=
  p => hp => andEr (Leq 2 p) (Eq (Nat__minFac p) p) (iffEl (prime p) (and (Leq 2 p) (Eq (Nat__minFac p) p)) (Nat__prime_def_minFac p) hp).
English
Let $p$ be a prime natural number. Then the smallest prime factor of $p$ is equal to $p$.
French
Soit $p$ un nombre naturel premier. Alors le plus petit facteur premier de $p$ est égal à $p$.
Czech
Nechť $p$ je prvočíselné přirozené číslo. Tedy nejmenší prvočíselný faktor $p$ je rovný $p$.
German
Sei $p$ eine prime natürliche Zahl. Dann ist der kleinste prime Faktor von $p$ gleich $p$.
Swedish
Låt $p$ vara ett primt naturligt tal. Då är den minsta prima faktorn av $p$ lika med $p$.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash \NatminFacMACRoB {p}= p$
Proof
5 lines
1.Let $p$ be an element of $\Natural$.
2.$p$ is prime, if and only if $2 \leq p$ and $\NatminFacMACRoB {p}= p$.Nat.prime_def_minFac
3.Assume that $p$ is prime.
4.$2 \leq p$ and $\NatminFacMACRoB {p}= p$.iffEl 2, 3
5.$\NatminFacMACRoB {p}= p$.andEr 4
Proof, French
5 lines
1.Soit $p$ un élément de $\Natural$.
2.$p$ est premier si et seulement si $2 \leq p$ et $\NatminFacMACRoB {p}= p$.Nat.prime_def_minFac
3.Supposons que $p$ est premier.
4.$2 \leq p$ et $\NatminFacMACRoB {p}= p$.iffEl 2, 3
5.$\NatminFacMACRoB {p}= p$.andEr 4
Proof, Czech
5 lines
1.Nechť $p$ je prvek $\Natural$.
2.$p$ je prvočíselné, právě tehdy, když $2 \leq p$ a $\NatminFacMACRoB {p}= p$.Nat.prime_def_minFac
3.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
4.$2 \leq p$ a $\NatminFacMACRoB {p}= p$.iffEl 2, 3
5.$\NatminFacMACRoB {p}= p$.andEr 4
Proof, German
5 lines
1.Sei $p$ ein Element von $\Natural$.
2.$p$ ist prim, genau dann, wenn $2 \leq p$ und $\NatminFacMACRoB {p}= p$.Nat.prime_def_minFac
3.Nimm an, dass $p$ prim ist.
4.$2 \leq p$ und $\NatminFacMACRoB {p}= p$.iffEl 2, 3
5.$\NatminFacMACRoB {p}= p$.andEr 4
Proof, Swedish
5 lines
1.Låt $p$ vara ett element av $\Natural$.
2.$p$ är primt, om och endast om $2 \leq p$ och $\NatminFacMACRoB {p}= p$.Nat.prime_def_minFac
3.Anta att $p$ är primt.
4.$2 \leq p$ och $\NatminFacMACRoB {p}= p$.iffEl 2, 3
5.$\NatminFacMACRoB {p}= p$.andEr 4
Nat.decidablePrime'defDefs.lean:336
This definition is faster in the virtual machine than decidablePrime, but slower in the kernel.
Lean
def decidablePrime' (p : ℕ) : Decidable (Prime p) :=
  decidable_of_iff' _ prime_def_minFac
Dedukti
2 lines
def Nat__decidablePrime' : (p : Elem Nat) -> Proof (Decidable (prime p)) :=
  p => decidable_of_iff' (and (Leq 2 p) (Eq (Nat__minFac p) p)) Nat__prime_def_minFac.
English
Let $p$ be a natural number. Then there is a decision procedure for the proposition that $p$ is prime. Proof. Let $p$ be arbitrary. By 2. By p. By Leq. By p. By Nat__minFac. By p. By Eq. By and. By Nat__prime_def_minFac. By decidable_of_iff'.
French
Soit $p$ un nombre naturel. Alors il y a une procédure de décisions pour la proposition que $p$ est premier. Démonstration. Soit $p$ arbitraire. Par 2. Par p. Par Leq. Par p. Par Nat__minFac. Par p. Par Eq. Par and. Par Nat__prime_def_minFac. Par decidable_of_iff'.
Czech
Nechť $p$ je přirozené číslo. Tedy existuje rozhodnutíprocedura pro výrok že $p$ je prvočíselné. Důkaz. Nechť $p$ je libovolné. Pomocí 2. Pomocí p. Pomocí Leq. Pomocí p. Pomocí Nat__minFac. Pomocí p. Pomocí Eq. Pomocí and. Pomocí Nat__prime_def_minFac. Pomocí decidable_of_iff'.
German
Sei $p$ eine natürliche Zahl. Dann gibt es ein EntscheidungsVerfahren für den Satz, dass $p$ prim ist. Beweis. Sei $p$ beliebig. Mit 2. Mit p. Mit Leq. Mit p. Mit Nat__minFac. Mit p. Mit Eq. Mit and. Mit Nat__prime_def_minFac. Mit decidable_of_iff'.
Swedish
Låt $p$ vara ett naturligt tal. Då finns det en beslutprocedur för påståendet att $p$ är primt. Bevis. Låt $p$ vara godtyckligt. Med 2. Med p. Med Leq. Med p. Med Nat__minFac. Med p. Med Eq. Med and. Med Nat__prime_def_minFac. Med decidable_of_iff'.
Formula
$p \in \Natural \vdash \mathrm{Decidable} (\mathrm{prime} (p))$
Nat.decidablePrime_csimptheoremDefs.lean:339
Lean
@[csimp] theorem decidablePrime_csimp :
    @decidablePrime = @decidablePrime' := by
  subsingleton
Dedukti
1 lines
Nat__decidablePrime_csimp : Proof (Eqt ((p : Elem Nat) -> Decidable (prime p)) Nat__decidablePrime Nat__decidablePrime').
English
$\EqtMACRoH {\operatorname{decidablePrime}}{\operatorname{decidablePrime'}}$.
French
$\EqtMACRoH {\operatorname{decidablePrime}}{\operatorname{decidablePrime'}}$.
Czech
$\EqtMACRoH {\operatorname{decidablePrime}}{\operatorname{decidablePrime'}}$.
German
$\EqtMACRoH {\operatorname{decidablePrime}}{\operatorname{decidablePrime'}}$.
Swedish
$\EqtMACRoH {\operatorname{decidablePrime}}{\operatorname{decidablePrime'}}$.
Formula
$\EqtMACRoJ {\operatorname{decidablePrime}}{\operatorname{decidablePrime'}}$
Proof
1 lines
1.$\EqtMACRoJ {\operatorname{decidablePrime}}{\operatorname{decidablePrime'}}$.subsingleton
Proof, French
1 lines
1.$\EqtMACRoJ {\operatorname{decidablePrime}}{\operatorname{decidablePrime'}}$.subsingleton
Proof, Czech
1 lines
1.$\EqtMACRoJ {\operatorname{decidablePrime}}{\operatorname{decidablePrime'}}$.subsingleton
Proof, German
1 lines
1.$\EqtMACRoJ {\operatorname{decidablePrime}}{\operatorname{decidablePrime'}}$.subsingleton
Proof, Swedish
1 lines
1.$\EqtMACRoJ {\operatorname{decidablePrime}}{\operatorname{decidablePrime'}}$.subsingleton
Nat.not_prime_iff_minFac_lttheoremDefs.lean:343
Lean
theorem not_prime_iff_minFac_lt {n : ℕ} (n2 : 2 ≤ n) : ¬Prime n ↔ minFac n < n :=
  (not_congr <| prime_def_minFac.trans <| and_iff_right n2).trans
    (lt_iff_le_and_ne.trans <| and_iff_right <| minFac_le <| le_of_succ_le n2).symm
Dedukti
2 lines
def Nat__not_prime_iff_minFac_lt : (n : Elem Nat) -> (n2 : Proof (Leq 2 n)) -> Proof (iff (not (prime n)) (Lt (Nat__minFac n) n)) :=
  n => n2 => Iff__trans (not (prime n)) (not (Eq (Nat__minFac n) n)) (Lt (Nat__minFac n) n) (not_congr (prime n) (Eq (Nat__minFac n) n) (Iff__trans (prime n) (and (Leq 2 n) (Eq (Nat__minFac n) n)) (Eq (Nat__minFac n) n) (Nat__prime_def_minFac n) (and_iff_right (Leq 2 n) (Eq (Nat__minFac n) n) n2))) (Iff__symm (Lt (Nat__minFac n) n) (Neq (Nat__minFac n) n) (Iff__trans (Lt (Nat__minFac n) n) (and (Leq (Nat__minFac n) n) (Neq (Nat__minFac n) n)) (Neq (Nat__minFac n) n) (lt_iff_le_and_ne Nat (Nat__minFac n) n) (and_iff_right (Leq (Nat__minFac n) n) (Neq (Nat__minFac n) n) (Nat__minFac_le n (Nat__le_of_succ_le (succ 0) n n2))))).
English
Let $n$ be a natural number such that $2 \leq n$. Then $n$ is not prime, if and only if the smallest prime factor of $n$ is less than $n$.
French
Soit $n$ un nombre naturel tel que $2 \leq n$. Alors $n$ n'est pas premier si et seulement si le plus petit facteur premier de $n$ est inférieur à $n$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo takové, že $2 \leq n$. Tedy $n$ není prvočíselné, právě tehdy, když nejmenší prvočíselný faktor $n$ je menší než $n$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass $2 \leq n$. Dann ist $n$ nicht prim, genau dann, wenn der kleinste prime Faktor von $n$ kleiner als $n$ ist.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal sådant att $2 \leq n$. Då är $n$ inte primt, om och endast om den minsta prima faktorn av $n$ är mindre än $n$.
Formula
$n \in \Natural , 2 \leq n \vdash \neg \mathrm{prime} (n)\leftrightarrow \NatminFacMACRoB {n}< n$
Proof
13 lines
1.Let $n$ be an element of $\Natural$.
2.$n$ is prime, if and only if $2 \leq n$ and $\NatminFacMACRoB {n}= n$.Nat.prime_def_minFac
3.Assume that $2 \leq n$.
4.$2 \leq n$ and $\NatminFacMACRoB {n}= n$, if and only if $\NatminFacMACRoB {n}= n$.and_iff_right 3
5.$n$ is prime, if and only if $\NatminFacMACRoB {n}= n$.Iff.trans 2, 4
6.$n$ is not prime, if and only if it is not the case that $\NatminFacMACRoB {n}= n$.not_congr 5
7.$\NatminFacMACRoB {n}< n$, if and only if $\NatminFacMACRoB {n}\leq n$ and $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.lt_iff_le_and_ne
8.The successor of $0$ is less than or equal to $n$.Nat.le_of_succ_le 3
9.$\NatminFacMACRoB {n}\leq n$.Nat.minFac_le 8
10.$\NatminFacMACRoB {n}\leq n$ and $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$, if and only if $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.and_iff_right 9
11.$\NatminFacMACRoB {n}< n$, if and only if $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.Iff.trans 7, 10
12.$\NatminFacMACRoB {n}\neq n$, if and only if $\NatminFacMACRoB {n}< n$.Iff.symm 11
13.$n$ is not prime, if and only if $\NatminFacMACRoB {n}< n$.Iff.trans 6, 12
Proof, French
13 lines
1.Soit $n$ un élément de $\Natural$.
2.$n$ est premier si et seulement si $2 \leq n$ et $\NatminFacMACRoB {n}= n$.Nat.prime_def_minFac
3.Supposons que $2 \leq n$.
4.$2 \leq n$ et $\NatminFacMACRoB {n}= n$ si et seulement si $\NatminFacMACRoB {n}= n$.and_iff_right 3
5.$n$ est premier si et seulement si $\NatminFacMACRoB {n}= n$.Iff.trans 2, 4
6.$n$ n'est pas premier si et seulement si il n'est pas le cas que $\NatminFacMACRoB {n}= n$.not_congr 5
7.$\NatminFacMACRoB {n}< n$ si et seulement si $\NatminFacMACRoB {n}\leq n$ et $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.lt_iff_le_and_ne
8.Le successeur de $0$ est inférieur ou égal à $n$.Nat.le_of_succ_le 3
9.$\NatminFacMACRoB {n}\leq n$.Nat.minFac_le 8
10.$\NatminFacMACRoB {n}\leq n$ et $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$ si et seulement si $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.and_iff_right 9
11.$\NatminFacMACRoB {n}< n$ si et seulement si $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.Iff.trans 7, 10
12.$\NatminFacMACRoB {n}\neq n$ si et seulement si $\NatminFacMACRoB {n}< n$.Iff.symm 11
13.$n$ n'est pas premier si et seulement si $\NatminFacMACRoB {n}< n$.Iff.trans 6, 12
Proof, Czech
13 lines
1.Nechť $n$ je prvek $\Natural$.
2.$n$ je prvočíselné, právě tehdy, když $2 \leq n$ a $\NatminFacMACRoB {n}= n$.Nat.prime_def_minFac
3.Předpokládejme, že $2 \leq n$.
4.$2 \leq n$ a $\NatminFacMACRoB {n}= n$, právě tehdy, když $\NatminFacMACRoB {n}= n$.and_iff_right 3
5.$n$ je prvočíselné, právě tehdy, když $\NatminFacMACRoB {n}= n$.Iff.trans 2, 4
6.$n$ není prvočíselné, právě tehdy, když není případ že $\NatminFacMACRoB {n}= n$.not_congr 5
7.$\NatminFacMACRoB {n}< n$, právě tehdy, když $\NatminFacMACRoB {n}\leq n$ a $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.lt_iff_le_and_ne
8.Následník $0$ je menší nebo rovný než $n$.Nat.le_of_succ_le 3
9.$\NatminFacMACRoB {n}\leq n$.Nat.minFac_le 8
10.$\NatminFacMACRoB {n}\leq n$ a $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$, právě tehdy, když $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.and_iff_right 9
11.$\NatminFacMACRoB {n}< n$, právě tehdy, když $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.Iff.trans 7, 10
12.$\NatminFacMACRoB {n}\neq n$, právě tehdy, když $\NatminFacMACRoB {n}< n$.Iff.symm 11
13.$n$ není prvočíselné, právě tehdy, když $\NatminFacMACRoB {n}< n$.Iff.trans 6, 12
Proof, German
13 lines
1.Sei $n$ ein Element von $\Natural$.
2.$n$ ist prim, genau dann, wenn $2 \leq n$ und $\NatminFacMACRoB {n}= n$.Nat.prime_def_minFac
3.Nimm an, dass $2 \leq n$.
4.$2 \leq n$ und $\NatminFacMACRoB {n}= n$, genau dann, wenn $\NatminFacMACRoB {n}= n$.and_iff_right 3
5.$n$ ist prim, genau dann, wenn $\NatminFacMACRoB {n}= n$.Iff.trans 2, 4
6.$n$ ist nicht prim, genau dann, wenn es nicht der Fall dass $\NatminFacMACRoB {n}= n$ ist.not_congr 5
7.$\NatminFacMACRoB {n}< n$, genau dann, wenn $\NatminFacMACRoB {n}\leq n$ und $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.lt_iff_le_and_ne
8.Der Nachfolger von $0$ ist kleiner oder gleich $n$.Nat.le_of_succ_le 3
9.$\NatminFacMACRoB {n}\leq n$.Nat.minFac_le 8
10.$\NatminFacMACRoB {n}\leq n$ und $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$, genau dann, wenn $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.and_iff_right 9
11.$\NatminFacMACRoB {n}< n$, genau dann, wenn $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.Iff.trans 7, 10
12.$\NatminFacMACRoB {n}\neq n$, genau dann, wenn $\NatminFacMACRoB {n}< n$.Iff.symm 11
13.$n$ ist nicht prim, genau dann, wenn $\NatminFacMACRoB {n}< n$.Iff.trans 6, 12
Proof, Swedish
13 lines
1.Låt $n$ vara ett element av $\Natural$.
2.$n$ är primt, om och endast om $2 \leq n$ och $\NatminFacMACRoB {n}= n$.Nat.prime_def_minFac
3.Anta att $2 \leq n$.
4.$2 \leq n$ och $\NatminFacMACRoB {n}= n$, om och endast om $\NatminFacMACRoB {n}= n$.and_iff_right 3
5.$n$ är primt, om och endast om $\NatminFacMACRoB {n}= n$.Iff.trans 2, 4
6.$n$ är inte primt, om och endast om det inte är fallet att $\NatminFacMACRoB {n}= n$.not_congr 5
7.$\NatminFacMACRoB {n}< n$, om och endast om $\NatminFacMACRoB {n}\leq n$ och $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.lt_iff_le_and_ne
8.Efterföljaret av $0$ är mindre än eller lika med $n$.Nat.le_of_succ_le 3
9.$\NatminFacMACRoB {n}\leq n$.Nat.minFac_le 8
10.$\NatminFacMACRoB {n}\leq n$ och $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$, om och endast om $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.and_iff_right 9
11.$\NatminFacMACRoB {n}< n$, om och endast om $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.Iff.trans 7, 10
12.$\NatminFacMACRoB {n}\neq n$, om och endast om $\NatminFacMACRoB {n}< n$.Iff.symm 11
13.$n$ är inte primt, om och endast om $\NatminFacMACRoB {n}< n$.Iff.trans 6, 12
Nat.minFac_le_divtheoremDefs.lean:347
Lean
theorem minFac_le_div {n : ℕ} (pos : 0 < n) (np : ¬Prime n) : minFac n ≤ n / minFac n :=
  match minFac_dvd n with
  | ⟨0, h0⟩ => absurd pos <| by rw [h0, mul_zero]; decide
  | ⟨1, h1⟩ => by
    rw [mul_one] at h1
    rw [prime_def_minFac, not_and_or, ← h1, eq_self_iff_true, _root_.not_true, _root_.or_false,
      not_le] at np
    rw [le_antisymm (le_of_lt_succ np) (succ_le_of_lt pos), minFac_one, Nat.div_one]
  | ⟨x + 2, hx⟩ => by
    conv_rhs =>
      congr
      rw [hx]
    rw [Nat.mul_div_cancel_left _ (minFac_pos _)]
    exact minFac_le_of_dvd (le_add_left 2 x) ⟨minFac n, by rwa [mul_comm]⟩
Dedukti
1 lines
Nat__minFac_le_div : (n : Elem Nat) -> (pos : Proof (Lt 0 n)) -> (np : Proof (not (prime n))) -> Proof (Leq (Nat__minFac n) (div n (Nat__minFac n))).
English
Let $n$ be a natural number such that $0 < n$ and $n$ is not prime. Then the smallest prime factor of $n$ is less than or equal to the quotient of $n$ and the smallest prime factor of $n$.
French
Soit $n$ un nombre naturel tel que $0 < n$ et $n$ ne soit pas premier. Alors le plus petit facteur premier de $n$ est inférieur ou égal au quotient entre $n$ et le plus petit facteur premier de $n$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo takové, že $0 < n$ a $n$ není prvočíselné. Tedy nejmenší prvočíselný faktor $n$ je menší nebo rovný než podíl mezi $n$ a nejmenším prvočíselným faktorem $n$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass $0 < n$ und $n$ nicht prim ist. Dann ist der kleinste prime Faktor von $n$ kleiner oder gleich dem Quotienten zwischen $n$ und dem kleinsten primen Faktoren von $n$.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal sådant att $0 < n$ och $n$ inte är primt. Då är den minsta prima faktorn av $n$ mindre än eller lika med kvoten mellan $n$ och den minsta prima faktorn av $n$.
Formula
$n \in \Natural , 0 < n , \neg \mathrm{prime} (n)\vdash \NatminFacMACRoB {n}\leq \frac{ n}{\NatminFacMACRoB {n}}$
Proof
11 lines
1.It is enough to show that it is not the case that $0 < 0$.rw [h0, mul_zero]
2.It is not the case that $0 < 0$.decide
3.Assume that $n = \NatminFacMACRoB {n}\times 1$.
4.$n = \NatminFacMACRoB {n}$.rw [mul_one] at h1
5.$n < 2$.rw [prime_def_minFac, not_and_or, ← h1, eq_self_iff_true, _root_.not_true, _root_.or_false,
6.$\NatminFacMACRoB {n}\leq \frac{ n}{\NatminFacMACRoB {n}}$.rw [le_antisymm (le_of_lt_succ np) (succ_le_of_lt pos), minFac_one, Nat.div_one]
7.Let $x$ be an element of $\Natural$ such that $n = \NatminFacMACRoB {n}\times (x + 2)$.
8.It is enough to show that $\NatminFacMACRoB {n}\leq \frac{ \NatminFacMACRoB {n}\times (x + 2)}{\NatminFacMACRoB {n}}$.conv_rhs =>
9.It is enough to show that $\NatminFacMACRoB {n}\leq x + 2$.rw [Nat.mul_div_cancel_left _ (minFac_pos _)]
10.$\NatminFacMACRoB {n}\leq x + 2$.exact minFac_le_of_dvd (le_add_left 2 x) ⟨minFac n, by rwa [mul_comm]⟩
11.$n = (x + 2)\times \NatminFacMACRoB {n}$.rwa [mul_comm]
Proof, French
11 lines
1.Il suffit de montrer que il n'est pas le cas que $0 < 0$.rw [h0, mul_zero]
2.Il n'est pas le cas que $0 < 0$.decide
3.Supposons que $n = \NatminFacMACRoB {n}\times 1$.
4.$n = \NatminFacMACRoB {n}$.rw [mul_one] at h1
5.$n < 2$.rw [prime_def_minFac, not_and_or, ← h1, eq_self_iff_true, _root_.not_true, _root_.or_false,
6.$\NatminFacMACRoB {n}\leq \frac{ n}{\NatminFacMACRoB {n}}$.rw [le_antisymm (le_of_lt_succ np) (succ_le_of_lt pos), minFac_one, Nat.div_one]
7.Soit $x$ un élément de $\Natural$ tel que $n = \NatminFacMACRoB {n}\times (x + 2)$.
8.Il suffit de montrer que $\NatminFacMACRoB {n}\leq \frac{ \NatminFacMACRoB {n}\times (x + 2)}{\NatminFacMACRoB {n}}$.conv_rhs =>
9.Il suffit de montrer que $\NatminFacMACRoB {n}\leq x + 2$.rw [Nat.mul_div_cancel_left _ (minFac_pos _)]
10.$\NatminFacMACRoB {n}\leq x + 2$.exact minFac_le_of_dvd (le_add_left 2 x) ⟨minFac n, by rwa [mul_comm]⟩
11.$n = (x + 2)\times \NatminFacMACRoB {n}$.rwa [mul_comm]
Proof, Czech
11 lines
1.Stačí ukázat, že není případ že $0 < 0$.rw [h0, mul_zero]
2.Není případ že $0 < 0$.decide
3.Předpokládejme, že $n = \NatminFacMACRoB {n}\times 1$.
4.$n = \NatminFacMACRoB {n}$.rw [mul_one] at h1
5.$n < 2$.rw [prime_def_minFac, not_and_or, ← h1, eq_self_iff_true, _root_.not_true, _root_.or_false,
6.$\NatminFacMACRoB {n}\leq \frac{ n}{\NatminFacMACRoB {n}}$.rw [le_antisymm (le_of_lt_succ np) (succ_le_of_lt pos), minFac_one, Nat.div_one]
7.Nechť $x$ je prvek $\Natural$ takový, že $n = \NatminFacMACRoB {n}\times (x + 2)$.
8.Stačí ukázat, že $\NatminFacMACRoB {n}\leq \frac{ \NatminFacMACRoB {n}\times (x + 2)}{\NatminFacMACRoB {n}}$.conv_rhs =>
9.Stačí ukázat, že $\NatminFacMACRoB {n}\leq x + 2$.rw [Nat.mul_div_cancel_left _ (minFac_pos _)]
10.$\NatminFacMACRoB {n}\leq x + 2$.exact minFac_le_of_dvd (le_add_left 2 x) ⟨minFac n, by rwa [mul_comm]⟩
11.$n = (x + 2)\times \NatminFacMACRoB {n}$.rwa [mul_comm]
Proof, German
11 lines
1.Es genügt zu zeigen, dass es nicht der Fall dass $0 < 0$ ist.rw [h0, mul_zero]
2.Es ist nicht der Fall dass $0 < 0$.decide
3.Nimm an, dass $n = \NatminFacMACRoB {n}\times 1$.
4.$n = \NatminFacMACRoB {n}$.rw [mul_one] at h1
5.$n < 2$.rw [prime_def_minFac, not_and_or, ← h1, eq_self_iff_true, _root_.not_true, _root_.or_false,
6.$\NatminFacMACRoB {n}\leq \frac{ n}{\NatminFacMACRoB {n}}$.rw [le_antisymm (le_of_lt_succ np) (succ_le_of_lt pos), minFac_one, Nat.div_one]
7.Sei $x$ ein Element von $\Natural$ derart, dass $n = \NatminFacMACRoB {n}\times (x + 2)$.
8.Es genügt zu zeigen, dass $\NatminFacMACRoB {n}\leq \frac{ \NatminFacMACRoB {n}\times (x + 2)}{\NatminFacMACRoB {n}}$.conv_rhs =>
9.Es genügt zu zeigen, dass $\NatminFacMACRoB {n}\leq x + 2$.rw [Nat.mul_div_cancel_left _ (minFac_pos _)]
10.$\NatminFacMACRoB {n}\leq x + 2$.exact minFac_le_of_dvd (le_add_left 2 x) ⟨minFac n, by rwa [mul_comm]⟩
11.$n = (x + 2)\times \NatminFacMACRoB {n}$.rwa [mul_comm]
Proof, Swedish
11 lines
1.Det räcker att visa att det är inte fallet att $0 < 0$.rw [h0, mul_zero]
2.Det är inte fallet att $0 < 0$.decide
3.Anta att $n = \NatminFacMACRoB {n}\times 1$.
4.$n = \NatminFacMACRoB {n}$.rw [mul_one] at h1
5.$n < 2$.rw [prime_def_minFac, not_and_or, ← h1, eq_self_iff_true, _root_.not_true, _root_.or_false,
6.$\NatminFacMACRoB {n}\leq \frac{ n}{\NatminFacMACRoB {n}}$.rw [le_antisymm (le_of_lt_succ np) (succ_le_of_lt pos), minFac_one, Nat.div_one]
7.Låt $x$ vara ett element av $\Natural$ sådant att $n = \NatminFacMACRoB {n}\times (x + 2)$.
8.Det räcker att visa att $\NatminFacMACRoB {n}\leq \frac{ \NatminFacMACRoB {n}\times (x + 2)}{\NatminFacMACRoB {n}}$.conv_rhs =>
9.Det räcker att visa att $\NatminFacMACRoB {n}\leq x + 2$.rw [Nat.mul_div_cancel_left _ (minFac_pos _)]
10.$\NatminFacMACRoB {n}\leq x + 2$.exact minFac_le_of_dvd (le_add_left 2 x) ⟨minFac n, by rwa [mul_comm]⟩
11.$n = (x + 2)\times \NatminFacMACRoB {n}$.rwa [mul_comm]
Nat.minFac_sq_le_selftheoremDefs.lean:364
The square of the smallest prime factor of a composite number n is at most n.
Lean
theorem minFac_sq_le_self {n : ℕ} (w : 0 < n) (h : ¬Prime n) : minFac n ^ 2 ≤ n :=
  have t : minFac n ≤ n / minFac n := minFac_le_div w h
  calc
    minFac n ^ 2 = minFac n * minFac n := sq (minFac n)
    _ ≤ n / minFac n * minFac n := Nat.mul_le_mul_right (minFac n) t
    _ ≤ n := div_mul_le_self n (minFac n)
Dedukti
2 lines
def Nat__minFac_sq_le_self : (n : Elem Nat) -> (w : Proof (Lt 0 n)) -> (h : Proof (not (prime n))) -> Proof (Leq (pow (Nat__minFac n) 2) n) :=
  n => w => h => Trans__trans (Trans__trans (sq Nat (Nat__minFac n)) (Nat__mul_le_mul_right (Nat__minFac n) (div n (Nat__minFac n)) (Nat__minFac n) (Nat__minFac_le_div n w h))) (Nat__div_mul_le_self n (Nat__minFac n)).
English
Let $n$ be a natural number such that $0 < n$ and $n$ is not prime. Then the exponentiation of the smallest prime factor of $n$ to $2$ is less than or equal to $n$.
French
Soit $n$ un nombre naturel tel que $0 < n$ et $n$ ne soit pas premier. Alors la puissance du plus petit facteur premier de $n$ en $2$ est inférieure ou égale à $n$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo takové, že $0 < n$ a $n$ není prvočíselné. Tedy mocnina nejmenšího prvočíselného faktoru $n$ na $2$ je menší nebo rovná než $n$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass $0 < n$ und $n$ nicht prim ist. Dann ist die Potenz von dem kleinsten primen Faktoren von $n$ und $2$ kleiner oder gleich $n$.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal sådant att $0 < n$ och $n$ inte är primt. Då är potensen av den minsta prima faktorn av $n$ upphöjt till $2$ mindre än eller lika med $n$.
Formula
$n \in \Natural , 0 < n , \neg \mathrm{prime} (n)\vdash \NatminFacMACRoB {n}^ {2}\leq n$
Proof
2 lines
1.Let $n$ be an element of $\Natural$.
2.There is an element of $t$ applied to $a$ and $c$.Trans.trans
Proof, French
2 lines
1.Soit $n$ un élément de $\Natural$.
2.Il y a un élément de $t$ appliqué à $a$ et $c$.Trans.trans
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $n$ je prvek $\Natural$.
2.Existuje prvek $t$ aplikovaný na $a$ a $c$.Trans.trans
Proof, German
2 lines
1.Sei $n$ ein Element von $\Natural$.
2.Es gibt ein Element von $t$ angewandt auf $a$ und $c$.Trans.trans
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $n$ vara ett element av $\Natural$.
2.Det finns ett element av $t$ applicerat på $a$ och $c$.Trans.trans
Nat.minFac_eq_one_ifftheoremDefs.lean:372
Lean
@[simp]
theorem minFac_eq_one_iff {n : ℕ} : minFac n = 1 ↔ n = 1 := by
  constructor
  · intro h
    by_contra hn
    have := minFac_prime hn
    rw [h] at this
    exact not_prime_one this
  · rintro rfl
    simp [minFac, minFacAux]
Dedukti
1 lines
Nat__minFac_eq_one_iff : (n : Elem Nat) -> Proof (iff (Eq (Nat__minFac n) 1) (Eq n 1)).
English
Let $n$ be a natural number. Then the smallest prime factor of $n$ is equal to $1$, if and only if $n = 1$.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Alors le plus petit facteur premier de $n$ est égal à $1$ si et seulement si $n = 1$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Tedy nejmenší prvočíselný faktor $n$ je rovný $1$, právě tehdy, když $n = 1$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann ist der kleinste prime Faktor von $n$ gleich $1$, genau dann, wenn $n = 1$.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Då är den minsta prima faktorn av $n$ lika med $1$, om och endast om $n = 1$.
Formula
$n \in \Natural \vdash \NatminFacMACRoB {n}= 1 \leftrightarrow n = 1$
Proof
9 lines
1.It is enough to show that if $\NatminFacMACRoB {n}= 1$, then $n = 1$ and if $n = 1$, then $\NatminFacMACRoB {n}= 1$.constructor
2.Assume that $\NatminFacMACRoB {n}= 1$.intro h
3.Assume that it is not the case that $n = 1$.by_contra hn
4.It is enough to show that we have a contradiction.by_contra hn
5.$\NatminFacMACRoB {n}$ is prime.have := minFac_prime hn
6.$1$ is prime.rw [h] at this
7.We have a contradiction.exact not_prime_one this
8.Assume that $n = 1$.rintro rfl
9.$\NatminFacMACRoB {1}= 1$.simp [minFac, minFacAux]
Proof, French
9 lines
1.Il suffit de montrer que si $\NatminFacMACRoB {n}= 1$, alors $n = 1$ et si $n = 1$, alors $\NatminFacMACRoB {n}= 1$.constructor
2.Supposons que $\NatminFacMACRoB {n}= 1$.intro h
3.Supposons qu'il n'est pas le cas que $n = 1$.by_contra hn
4.Il suffit de montrer que nous avons une contradiction.by_contra hn
5.$\NatminFacMACRoB {n}$ est premier.have := minFac_prime hn
6.$1$ est premier.rw [h] at this
7.Nous avons une contradiction.exact not_prime_one this
8.Supposons que $n = 1$.rintro rfl
9.$\NatminFacMACRoB {1}= 1$.simp [minFac, minFacAux]
Proof, Czech
9 lines
1.Stačí ukázat, že jestliže $\NatminFacMACRoB {n}= 1$, pak $n = 1$ a jestliže $n = 1$, pak $\NatminFacMACRoB {n}= 1$.constructor
2.Předpokládejme, že $\NatminFacMACRoB {n}= 1$.intro h
3.Předpokládejme, že není případ že $n = 1$.by_contra hn
4.Stačí ukázat, že máme spor.by_contra hn
5.$\NatminFacMACRoB {n}$ je prvočíselné.have := minFac_prime hn
6.$1$ je prvočíselné.rw [h] at this
7.Máme spor.exact not_prime_one this
8.Předpokládejme, že $n = 1$.rintro rfl
9.$\NatminFacMACRoB {1}= 1$.simp [minFac, minFacAux]
Proof, German
9 lines
1.Es genügt zu zeigen, dass wenn $\NatminFacMACRoB {n}= 1$, dann $n = 1$ und wenn $n = 1$, dann $\NatminFacMACRoB {n}= 1$.constructor
2.Nimm an, dass $\NatminFacMACRoB {n}= 1$.intro h
3.Nimm an, dass es nicht der Fall dass $n = 1$ ist.by_contra hn
4.Es genügt zu zeigen, dass wir einen Widerspruch haben.by_contra hn
5.$\NatminFacMACRoB {n}$ ist prim.have := minFac_prime hn
6.$1$ ist prim.rw [h] at this
7.Wir haben einen Widerspruch.exact not_prime_one this
8.Nimm an, dass $n = 1$.rintro rfl
9.$\NatminFacMACRoB {1}= 1$.simp [minFac, minFacAux]
Proof, Swedish
9 lines
1.Det räcker att visa att om $\NatminFacMACRoB {n}= 1$, så $n = 1$ och om $n = 1$, så $\NatminFacMACRoB {n}= 1$.constructor
2.Anta att $\NatminFacMACRoB {n}= 1$.intro h
3.Anta att det inte är fallet att $n = 1$.by_contra hn
4.Det räcker att visa att vi har en kontradiction.by_contra hn
5.$\NatminFacMACRoB {n}$ är primt.have := minFac_prime hn
6.$1$ är primt.rw [h] at this
7.Vi har en kontradiction.exact not_prime_one this
8.Anta att $n = 1$.rintro rfl
9.$\NatminFacMACRoB {1}= 1$.simp [minFac, minFacAux]
Nat.minFac_eq_two_ifftheoremDefs.lean:383
Lean
@[simp]
theorem minFac_eq_two_iff (n : ℕ) : minFac n = 2 ↔ 2 ∣ n := by
  constructor
  · intro h
    rw [← h]
    exact minFac_dvd n
  · intro h
    have ub := minFac_le_of_dvd (le_refl 2) h
    have lb := minFac_pos n
    refine ub.eq_or_lt.resolve_right fun h' => ?_
    suffices n.minFac = 1 by simp_all
    exact (le_antisymm (Nat.succ_le_of_lt lb) (Nat.lt_succ_iff.mp h')).symm
Dedukti
1 lines
Nat__minFac_eq_two_iff : (n : Elem Nat) -> Proof (iff (Eq (Nat__minFac n) 2) (divide 2 n)).
English
Let $n$ be a natural number. Then the smallest prime factor of $n$ is equal to $2$, if and only if $2$ divides $n$.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Alors le plus petit facteur premier de $n$ est égal à $2$ si et seulement si $2$ divise $n$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Tedy nejmenší prvočíselný faktor $n$ je rovný $2$, právě tehdy, když $2$ dělí $n$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann ist der kleinste prime Faktor von $n$ gleich $2$, genau dann, wenn $2$ $n$ teilt.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Då är den minsta prima faktorn av $n$ lika med $2$, om och endast om $2$ delar $n$.
Formula
$n \in \Natural \vdash \NatminFacMACRoB {n}= 2 \leftrightarrow \divides {2}{n}$
Proof
13 lines
1.It is enough to show that if $\NatminFacMACRoB {n}= 2$, then $\divides {2}{n}$ and if $\divides {2}{n}$, then $\NatminFacMACRoB {n}= 2$.constructor
2.Assume that $\NatminFacMACRoB {n}= 2$.intro h
3.It is enough to show that $\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.rw [← h]
4.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.exact minFac_dvd n
5.Assume that $\divides {2}{n}$.intro h
6.$\NatminFacMACRoB {n}\leq 2$.have ub := minFac_le_of_dvd (le_refl 2) h
7.$0 < \NatminFacMACRoB {n}$.have lb := minFac_pos n
8.Assume that $\NatminFacMACRoB {n}< 2$.refine ub.eq_or_lt.resolve_right fun h' => ?_
9.It is enough to show that we have a contradiction.refine ub.eq_or_lt.resolve_right fun h' => ?_
10.It is enough to show that $\NatminFacMACRoB {n}= 1$.suffices n.minFac = 1 by simp_all
11.Assume that $\NatminFacMACRoB {n}= 1$.
12.We have a contradiction.simp_all
13.$\NatminFacMACRoB {n}= 1$.exact (le_antisymm (Nat.succ_le_of_lt lb) (Nat.lt_succ_iff.mp h')).symm
Proof, French
13 lines
1.Il suffit de montrer que si $\NatminFacMACRoB {n}= 2$, alors $\divides {2}{n}$ et si $\divides {2}{n}$, alors $\NatminFacMACRoB {n}= 2$.constructor
2.Supposons que $\NatminFacMACRoB {n}= 2$.intro h
3.Il suffit de montrer que $\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.rw [← h]
4.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.exact minFac_dvd n
5.Supposons que $\divides {2}{n}$.intro h
6.$\NatminFacMACRoB {n}\leq 2$.have ub := minFac_le_of_dvd (le_refl 2) h
7.$0 < \NatminFacMACRoB {n}$.have lb := minFac_pos n
8.Supposons que $\NatminFacMACRoB {n}< 2$.refine ub.eq_or_lt.resolve_right fun h' => ?_
9.Il suffit de montrer que nous avons une contradiction.refine ub.eq_or_lt.resolve_right fun h' => ?_
10.Il suffit de montrer que $\NatminFacMACRoB {n}= 1$.suffices n.minFac = 1 by simp_all
11.Supposons que $\NatminFacMACRoB {n}= 1$.
12.Nous avons une contradiction.simp_all
13.$\NatminFacMACRoB {n}= 1$.exact (le_antisymm (Nat.succ_le_of_lt lb) (Nat.lt_succ_iff.mp h')).symm
Proof, Czech
13 lines
1.Stačí ukázat, že jestliže $\NatminFacMACRoB {n}= 2$, pak $\divides {2}{n}$ a jestliže $\divides {2}{n}$, pak $\NatminFacMACRoB {n}= 2$.constructor
2.Předpokládejme, že $\NatminFacMACRoB {n}= 2$.intro h
3.Stačí ukázat, že $\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.rw [← h]
4.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.exact minFac_dvd n
5.Předpokládejme, že $\divides {2}{n}$.intro h
6.$\NatminFacMACRoB {n}\leq 2$.have ub := minFac_le_of_dvd (le_refl 2) h
7.$0 < \NatminFacMACRoB {n}$.have lb := minFac_pos n
8.Předpokládejme, že $\NatminFacMACRoB {n}< 2$.refine ub.eq_or_lt.resolve_right fun h' => ?_
9.Stačí ukázat, že máme spor.refine ub.eq_or_lt.resolve_right fun h' => ?_
10.Stačí ukázat, že $\NatminFacMACRoB {n}= 1$.suffices n.minFac = 1 by simp_all
11.Předpokládejme, že $\NatminFacMACRoB {n}= 1$.
12.Máme spor.simp_all
13.$\NatminFacMACRoB {n}= 1$.exact (le_antisymm (Nat.succ_le_of_lt lb) (Nat.lt_succ_iff.mp h')).symm
Proof, German
13 lines
1.Es genügt zu zeigen, dass wenn $\NatminFacMACRoB {n}= 2$, dann $\divides {2}{n}$ und wenn $\divides {2}{n}$, dann $\NatminFacMACRoB {n}= 2$.constructor
2.Nimm an, dass $\NatminFacMACRoB {n}= 2$.intro h
3.Es genügt zu zeigen, dass $\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.rw [← h]
4.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.exact minFac_dvd n
5.Nimm an, dass $\divides {2}{n}$.intro h
6.$\NatminFacMACRoB {n}\leq 2$.have ub := minFac_le_of_dvd (le_refl 2) h
7.$0 < \NatminFacMACRoB {n}$.have lb := minFac_pos n
8.Nimm an, dass $\NatminFacMACRoB {n}< 2$.refine ub.eq_or_lt.resolve_right fun h' => ?_
9.Es genügt zu zeigen, dass wir einen Widerspruch haben.refine ub.eq_or_lt.resolve_right fun h' => ?_
10.Es genügt zu zeigen, dass $\NatminFacMACRoB {n}= 1$.suffices n.minFac = 1 by simp_all
11.Nimm an, dass $\NatminFacMACRoB {n}= 1$.
12.Wir haben einen Widerspruch.simp_all
13.$\NatminFacMACRoB {n}= 1$.exact (le_antisymm (Nat.succ_le_of_lt lb) (Nat.lt_succ_iff.mp h')).symm
Proof, Swedish
13 lines
1.Det räcker att visa att om $\NatminFacMACRoB {n}= 2$, så $\divides {2}{n}$ och om $\divides {2}{n}$, så $\NatminFacMACRoB {n}= 2$.constructor
2.Anta att $\NatminFacMACRoB {n}= 2$.intro h
3.Det räcker att visa att $\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.rw [← h]
4.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.exact minFac_dvd n
5.Anta att $\divides {2}{n}$.intro h
6.$\NatminFacMACRoB {n}\leq 2$.have ub := minFac_le_of_dvd (le_refl 2) h
7.$0 < \NatminFacMACRoB {n}$.have lb := minFac_pos n
8.Anta att $\NatminFacMACRoB {n}< 2$.refine ub.eq_or_lt.resolve_right fun h' => ?_
9.Det räcker att visa att vi har en kontradiction.refine ub.eq_or_lt.resolve_right fun h' => ?_
10.Det räcker att visa att $\NatminFacMACRoB {n}= 1$.suffices n.minFac = 1 by simp_all
11.Anta att $\NatminFacMACRoB {n}= 1$.
12.Vi har en kontradiction.simp_all
13.$\NatminFacMACRoB {n}= 1$.exact (le_antisymm (Nat.succ_le_of_lt lb) (Nat.lt_succ_iff.mp h')).symm
Nat.factors_lemmatheoremDefs.lean:395
Lean
theorem factors_lemma {k} : (k + 2) / minFac (k + 2) < k + 2 :=
  div_lt_self (Nat.zero_lt_succ _) (minFac_prime (by
      apply Nat.ne_of_gt
      apply Nat.succ_lt_succ
      apply Nat.zero_lt_succ)).one_lt
Dedukti
2 lines
def Nat__factors_lemma : (k : Elem Nat) -> Proof (Lt (div (plus k 2) (Nat__minFac (plus k 2))) (plus k 2)) :=
  k => Nat__div_lt_self (plus k 2) (Nat__minFac (plus k 2)) (Nat__zero_lt_succ (plus k 1)) (Nat__Prime__one_lt (Nat__minFac (plus k 2)) (Nat__minFac_prime (plus k 2) (Nat__ne_of_gt (plus k 2) 1 (Nat__succ_lt_succ 0 (plus k 1) (Nat__zero_lt_succ k))))).
English
Let $k$ be a natural number. Then the quotient of $k + 2$ and the smallest prime factor of $k + 2$ is less than $k + 2$.
French
Soit $k$ un nombre naturel. Alors le quotient entre $k + 2$ et le plus petit facteur premier de $k + 2$ est inférieur à $k + 2$.
Czech
Nechť $k$ je přirozené číslo. Tedy podíl mezi $k + 2$ a nejmenším prvočíselným faktorem $k + 2$ je menší než $k + 2$.
German
Sei $k$ eine natürliche Zahl. Dann ist der Quotient zwischen $k + 2$ und dem kleinsten primen Faktoren von $k + 2$ kleiner als $k + 2$.
Swedish
Låt $k$ vara ett naturligt tal. Då är kvoten mellan $k + 2$ och den minsta prima faktorn av $k + 2$ mindre än $k + 2$.
Formula
$k \in \Natural \vdash \frac{ k + 2}{\NatminFacMACRoB {(k + 2)}}< k + 2$
Proof
8 lines
1.Let $k$ be an element of $\Natural$.
2.$0$ is less than the successor of $k + 1$.Nat.zero_lt_succ
3.$0$ is less than the successor of $k$.Nat.zero_lt_succ
4.The successor of $0$ is less than the successor of $k + 1$.Nat.succ_lt_succ 3
5.$k + 2 \neq 1$.Nat.ne_of_gt 4
6.$\NatminFacMACRoB {(k + 2)}$ is prime.Nat.minFac_prime 5
7.$1 < \NatminFacMACRoB {(k + 2)}$.Nat.Prime.one_lt 6
8.$\frac{ k + 2}{\NatminFacMACRoB {(k + 2)}}< k + 2$.Nat.div_lt_self 2, 7
Proof, French
8 lines
1.Soit $k$ un élément de $\Natural$.
2.$0$ est inférieur au successeur de $k + 1$.Nat.zero_lt_succ
3.$0$ est inférieur au successeur de $k$.Nat.zero_lt_succ
4.Le successeur de $0$ est inférieur au successeur de $k + 1$.Nat.succ_lt_succ 3
5.$k + 2 \neq 1$.Nat.ne_of_gt 4
6.$\NatminFacMACRoB {(k + 2)}$ est premier.Nat.minFac_prime 5
7.$1 < \NatminFacMACRoB {(k + 2)}$.Nat.Prime.one_lt 6
8.$\frac{ k + 2}{\NatminFacMACRoB {(k + 2)}}< k + 2$.Nat.div_lt_self 2, 7
Proof, Czech
8 lines
1.Nechť $k$ je prvek $\Natural$.
2.$0$ je menší než následník $k + 1$.Nat.zero_lt_succ
3.$0$ je menší než následník $k$.Nat.zero_lt_succ
4.Následník $0$ je menší než následník $k + 1$.Nat.succ_lt_succ 3
5.$k + 2 \neq 1$.Nat.ne_of_gt 4
6.$\NatminFacMACRoB {(k + 2)}$ je prvočíselné.Nat.minFac_prime 5
7.$1 < \NatminFacMACRoB {(k + 2)}$.Nat.Prime.one_lt 6
8.$\frac{ k + 2}{\NatminFacMACRoB {(k + 2)}}< k + 2$.Nat.div_lt_self 2, 7
Proof, German
8 lines
1.Sei $k$ ein Element von $\Natural$.
2.$0$ ist kleiner als dem Nachfolger von $k + 1$.Nat.zero_lt_succ
3.$0$ ist kleiner als dem Nachfolger von $k$.Nat.zero_lt_succ
4.Der Nachfolger von $0$ ist kleiner als dem Nachfolger von $k + 1$.Nat.succ_lt_succ 3
5.$k + 2 \neq 1$.Nat.ne_of_gt 4
6.$\NatminFacMACRoB {(k + 2)}$ ist prim.Nat.minFac_prime 5
7.$1 < \NatminFacMACRoB {(k + 2)}$.Nat.Prime.one_lt 6
8.$\frac{ k + 2}{\NatminFacMACRoB {(k + 2)}}< k + 2$.Nat.div_lt_self 2, 7
Proof, Swedish
8 lines
1.Låt $k$ vara ett element av $\Natural$.
2.$0$ är mindre än efterföljaret av $k + 1$.Nat.zero_lt_succ
3.$0$ är mindre än efterföljaret av $k$.Nat.zero_lt_succ
4.Efterföljaret av $0$ är mindre än efterföljaret av $k + 1$.Nat.succ_lt_succ 3
5.$k + 2 \neq 1$.Nat.ne_of_gt 4
6.$\NatminFacMACRoB {(k + 2)}$ är primt.Nat.minFac_prime 5
7.$1 < \NatminFacMACRoB {(k + 2)}$.Nat.Prime.one_lt 6
8.$\frac{ k + 2}{\NatminFacMACRoB {(k + 2)}}< k + 2$.Nat.div_lt_self 2, 7
Nat.exists_prime_and_dvdtheoremDefs.lean:403
Lean
theorem exists_prime_and_dvd {n : ℕ} (hn : n ≠ 1) : ∃ p, Prime p ∧ p ∣ n :=
  ⟨minFac n, minFac_prime hn, minFac_dvd _⟩
Dedukti
2 lines
def Nat__exists_prime_and_dvd : (n : Elem Nat) -> (hn : Proof (Neq n 1)) -> Proof (exists Nat (p => and (prime p) (divide p n))) :=
  n => hn => existsI Nat (p => and (prime p) (divide p n)) (Nat__minFac n) (andI (prime (Nat__minFac n)) (divide (Nat__minFac n) n) (Nat__minFac_prime n hn) (Nat__minFac_dvd n)).
English
Let $n$ be a natural number such that $n \neq 1$. Then there exists a natural number $p$, such that $p$ is prime and $p$ divides $n$.
French
Soit $n$ un nombre naturel tel que $n \neq 1$. Alors il existe un nombre naturel $p$ tel que $p$ soit premier et $p$ divise $n$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo takové, že $n \neq 1$. Tedy existuje přirozené číslo $p$, takový, že $p$ je prvočíselné a $p$ dělí $n$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass $n \neq 1$. Dann gibt es eine natürliche Zahl $p$, derart, dass $p$ prim ist und $p$ $n$ teilt.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal sådant att $n \neq 1$. Då finns det ett naturligt tal $p$, så att $p$ är primt och $p$ delar $n$.
Formula
$n \in \Natural , n \neq 1 \vdash \exists p \in \Natural . \mathrm{prime} (p)\wedge (\divides {p}{n})$
Proof
6 lines
1.Let $n$ be an element of $\Natural$.
2.Assume that $n \neq 1$.
3.$\NatminFacMACRoB {n}$ is prime.Nat.minFac_prime 2
4.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.Nat.minFac_dvd
5.$\NatminFacMACRoB {n}$ is prime and $\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.andI 3, 4
6.There exists an element $p$ of $\Natural$, such that $p$ is prime and $\divides {p}{n}$.existsI 5
Proof, French
6 lines
1.Soit $n$ un élément de $\Natural$.
2.Supposons que $n \neq 1$.
3.$\NatminFacMACRoB {n}$ est premier.Nat.minFac_prime 2
4.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.Nat.minFac_dvd
5.$\NatminFacMACRoB {n}$ est premier et $\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.andI 3, 4
6.Il existe un élément $p$ de $\Natural$ tel que $p$ soit premier et $\divides {p}{n}$.existsI 5
Proof, Czech
6 lines
1.Nechť $n$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $n \neq 1$.
3.$\NatminFacMACRoB {n}$ je prvočíselné.Nat.minFac_prime 2
4.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.Nat.minFac_dvd
5.$\NatminFacMACRoB {n}$ je prvočíselné a $\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.andI 3, 4
6.Existuje prvek $p$ $\Natural$, takový, že $p$ je prvočíselné a $\divides {p}{n}$.existsI 5
Proof, German
6 lines
1.Sei $n$ ein Element von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $n \neq 1$.
3.$\NatminFacMACRoB {n}$ ist prim.Nat.minFac_prime 2
4.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.Nat.minFac_dvd
5.$\NatminFacMACRoB {n}$ ist prim und $\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.andI 3, 4
6.Es gibt ein Element $p$ von $\Natural$, derart, dass $p$ prim ist und $\divides {p}{n}$.existsI 5
Proof, Swedish
6 lines
1.Låt $n$ vara ett element av $\Natural$.
2.Anta att $n \neq 1$.
3.$\NatminFacMACRoB {n}$ är primt.Nat.minFac_prime 2
4.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.Nat.minFac_dvd
5.$\NatminFacMACRoB {n}$ är primt och $\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.andI 3, 4
6.Det finns ett element $p$ av $\Natural$, så att $p$ är primt och $\divides {p}{n}$.existsI 5
Nat.coprime_of_dvdtheoremDefs.lean:406
Lean
theorem coprime_of_dvd {m n : ℕ} (H : ∀ k, Prime k → k ∣ m → ¬k ∣ n) : Coprime m n := by
  rw [coprime_iff_gcd_eq_one]
  by_contra g2
  obtain ⟨p, hp, hpdvd⟩ := exists_prime_and_dvd g2
  apply H p hp <;> apply dvd_trans hpdvd
  · exact gcd_dvd_left _ _
  · exact gcd_dvd_right _ _
Dedukti
1 lines
Nat__coprime_of_dvd : (m : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (H : Proof (forall Nat (k => if (prime k) (if (divide k m) (not (divide k n)))))) -> Proof (Nat__Coprime m n).
English
Let $m$ and $n$ be natural numbers such that for all natural numbers $k$, if $k$ is prime, then if $k$ divides $m$, then $k$ does not divide $n$. Then $m$ and $n$ are coprime.
French
Soient $m$ et $n$ des nombres naturels tels que pour tous les nombres naturels $k$, si $k$ est premier, alors si $k$ divise $m$, alors $k$ ne divise pas $n$. Alors $\NatCoprimeMACRoC {m}{n}$.
Czech
Nechť $m$ a $n$ je přirozené číslo takové, že pro všechna přirozená čísla $k$, jestliže $k$ je prvočíselné, pak jestliže $k$ dělí $m$, pak $k$ nedělí $n$. Tedy $m$ a $n$ je nesoudělné.
German
Seien $m$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass für alle natürliche Zahlen $k$, wenn $k$ prim ist, dann wenn $k$ $m$ teilt, dann $k$ nicht $n$ teilt. Dann $\NatCoprimeMACRoC {m}{n}$.
Swedish
Låt $m$ och $n$ vara naturliga tal sådana att för alla naturliga tal $k$, om $k$ är primt, så om $k$ delar $m$, så delar $k$ inte $n$. Då $\NatCoprimeMACRoC {m}{n}$.
Formula
$m , n \in \Natural , \forall k \in \Natural . \mathrm{prime} (k)\rightarrow \divides {k}{m}\rightarrow \neg (\divides {k}{n})\vdash \NatCoprimeMACRoD {m}{n}$
Proof
7 lines
1.It is enough to show that the greatest common divisor of $m$ and $n$ is equal to $1$.rw [coprime_iff_gcd_eq_one]
2.Assume that the greatest common divisor of $m$ and $n$ is not equal to $1$.by_contra g2
3.It is enough to show that we have a contradiction.by_contra g2
4.Let $p$ be an element of $\Natural$ such that $p$ is prime and $p$ divides the greatest common divisor of $m$ and $n$.obtain ⟨p, hp, hpdvd⟩ := exists_prime_and_dvd g2
5.It is enough to show that the greatest common divisor of $m$ and $n$ divides $m$ and the greatest common divisor of $m$ and $n$ divides $n$.apply H p hp <;> apply dvd_trans hpdvd
6.The greatest common divisor of $m$ and $n$ divides $m$.exact gcd_dvd_left _ _
7.The greatest common divisor of $m$ and $n$ divides $n$.exact gcd_dvd_right _ _
Proof, French
7 lines
1.Il suffit de montrer que le diviseur commun plus grand de $m$ et de $n$ est égal à $1$.rw [coprime_iff_gcd_eq_one]
2.Supposons que le diviseur commun plus grand de $m$ et de $n$ n'est pas égal à $1$.by_contra g2
3.Il suffit de montrer que nous avons une contradiction.by_contra g2
4.Soit $p$ un élément de $\Natural$ tel que $p$ soit premier et $p$ divise le diviseur commun plus grand de $m$ et de $n$.obtain ⟨p, hp, hpdvd⟩ := exists_prime_and_dvd g2
5.Il suffit de montrer que le diviseur commun plus grand de $m$ et de $n$ divise $m$ et le diviseur commun plus grand de $m$ et de $n$ divise $n$.apply H p hp <;> apply dvd_trans hpdvd
6.Le diviseur commun plus grand de $m$ et de $n$ divise $m$.exact gcd_dvd_left _ _
7.Le diviseur commun plus grand de $m$ et de $n$ divise $n$.exact gcd_dvd_right _ _
Proof, Czech
7 lines
1.Stačí ukázat, že největší společný dělitel $m$ a $n$ je rovný $1$.rw [coprime_iff_gcd_eq_one]
2.Předpokládejme, že největší společný dělitel $m$ a $n$ není rovný $1$.by_contra g2
3.Stačí ukázat, že máme spor.by_contra g2
4.Nechť $p$ je prvek $\Natural$ takový, že $p$ je prvočíselné a $p$ dělí největšího společného dělitele $m$ a $n$.obtain ⟨p, hp, hpdvd⟩ := exists_prime_and_dvd g2
5.Stačí ukázat, že největší společný dělitel $m$ a $n$ dělí $m$ a největší společný dělitel $m$ a $n$ dělí $n$.apply H p hp <;> apply dvd_trans hpdvd
6.Největší společný dělitel $m$ a $n$ dělí $m$.exact gcd_dvd_left _ _
7.Největší společný dělitel $m$ a $n$ dělí $n$.exact gcd_dvd_right _ _
Proof, German
7 lines
1.Es genügt zu zeigen, dass der große gemeinsame Teiler von $m$ und $n$ gleich $1$ ist.rw [coprime_iff_gcd_eq_one]
2.Nimm an, dass der große gemeinsame Teiler von $m$ und $n$ nicht gleich $1$ ist.by_contra g2
3.Es genügt zu zeigen, dass wir einen Widerspruch haben.by_contra g2
4.Sei $p$ ein Element von $\Natural$ derart, dass $p$ prim ist und $p$ dem großen gemeinsamen Teiler von $m$ und $n$ teilt.obtain ⟨p, hp, hpdvd⟩ := exists_prime_and_dvd g2
5.Es genügt zu zeigen, dass der große gemeinsame Teiler von $m$ und $n$ $m$ teilt und der große gemeinsame Teiler von $m$ und $n$ $n$ teilt.apply H p hp <;> apply dvd_trans hpdvd
6.Der große gemeinsame Teiler von $m$ und $n$ teilt $m$.exact gcd_dvd_left _ _
7.Der große gemeinsame Teiler von $m$ und $n$ teilt $n$.exact gcd_dvd_right _ _
Proof, Swedish
7 lines
1.Det räcker att visa att det största gemensama delaret av $m$ och $n$ är lika med $1$.rw [coprime_iff_gcd_eq_one]
2.Anta att det största gemensama delaret av $m$ och $n$ inte är lika med $1$.by_contra g2
3.Det räcker att visa att vi har en kontradiction.by_contra g2
4.Låt $p$ vara ett element av $\Natural$ sådant att $p$ är primt och $p$ delar det största gemensama delaret av $m$ och $n$.obtain ⟨p, hp, hpdvd⟩ := exists_prime_and_dvd g2
5.Det räcker att visa att det största gemensama delaret av $m$ och $n$ delar $m$ och det största gemensama delaret av $m$ och $n$ delar $n$.apply H p hp <;> apply dvd_trans hpdvd
6.Det största gemensama delaret av $m$ och $n$ delar $m$.exact gcd_dvd_left _ _
7.Det största gemensama delaret av $m$ och $n$ delar $n$.exact gcd_dvd_right _ _
Nat.Prime.coprime_iff_not_dvdtheoremDefs.lean:414
Lean
theorem Prime.coprime_iff_not_dvd {p n : ℕ} (pp : Prime p) : Coprime p n ↔ ¬p ∣ n :=
  ⟨fun co d => pp.not_dvd_one <| co.dvd_of_dvd_mul_left (by simp [d]), fun nd =>
    coprime_of_dvd fun _ m2 mp => ((prime_dvd_prime_iff_eq m2 pp).1 mp).symm ▸ nd⟩
Dedukti
1 lines
Nat__Prime__coprime_iff_not_dvd : (p : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> Proof (iff (Nat__Coprime p n) (not (divide p n))).
English
Let $p$ and $n$ be natural numbers such that $p$ is prime. Then $p$ and $n$ are coprime, if and only if $p$ does not divide $n$.
French
Soient $p$ et $n$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier. Alors $\NatCoprimeMACRoC {p}{n}$ si et seulement si $p$ ne divise pas $n$.
Czech
Nechť $p$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné. Tedy $p$ a $n$ je nesoudělné, právě tehdy, když $p$ nedělí $n$.
German
Seien $p$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist. Dann $\NatCoprimeMACRoC {p}{n}$, genau dann, wenn $p$ nicht $n$ teilt.
Swedish
Låt $p$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt. Då $\NatCoprimeMACRoC {p}{n}$, om och endast om $p$ inte delar $n$.
Formula
$p , n \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash \NatCoprimeMACRoD {p}{n}\leftrightarrow \neg (\divides {p}{n})$
Proof
1 lines
1.$\divides {p}{n \times 1}$.simp [d]
Proof, French
1 lines
1.$\divides {p}{n \times 1}$.simp [d]
Proof, Czech
1 lines
1.$\divides {p}{n \times 1}$.simp [d]
Proof, German
1 lines
1.$\divides {p}{n \times 1}$.simp [d]
Proof, Swedish
1 lines
1.$\divides {p}{n \times 1}$.simp [d]
Nat.Prime.dvd_multheoremDefs.lean:418
Lean
theorem Prime.dvd_mul {p m n : ℕ} (pp : Prime p) : p ∣ m * n ↔ p ∣ m ∨ p ∣ n :=
Dedukti
1 lines
Nat__Prime__dvd_mul : (p : Elem Nat) -> (m : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> Proof (iff (divide p (times m n)) (or (divide p m) (divide p n))).
English
Let $p$, $m$ and $n$ be natural numbers such that $p$ is prime. Then $p$ divides $m \times n$, if and only if $p$ divides $m$ or $p$ divides $n$.
French
Soient $p$, $m$ et $n$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier. Alors $p$ divise $m \times n$ si et seulement si $p$ divise $m$ ou $p$ divise $n$.
Czech
Nechť $p$, $m$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné. Tedy $p$ dělí $m \times n$, právě tehdy, když $p$ dělí $m$ nebo $p$ dělí $n$.
German
Seien $p$, $m$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist. Dann teilt $p$ $m \times n$, genau dann, wenn $p$ $m$ teilt oder $p$ $n$ teilt.
Swedish
Låt $p$, $m$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt. Då delar $p$ $m \times n$, om och endast om $p$ delar $m$ eller $p$ delar $n$.
Formula
$p , m , n \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash \divides {p}{m \times n}\leftrightarrow \divides {p}{m}\vee \divides {p}{n}$
Nat.Prime.dvd_or_dvdtheoremDefs.lean:422
*Alias* of the forward direction of Nat.Prime.dvd_mul.
Lean
alias ⟨Prime.dvd_or_dvd, _⟩ := Prime.dvd_mul
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime__dvd_or_dvd : (p : Elem Nat) -> (m : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> (h : Proof (divide p (times m n))) -> Proof (or (divide p m) (divide p n)) :=
  p => m => n => pp => iffEl (divide p (times m n)) (or (divide p m) (divide p n)) (Nat__Prime__dvd_mul p m n pp).
English
Let $p$, $m$ and $n$ be natural numbers such that $p$ is prime and $p$ divides $m \times n$. Then $p$ divides $m$ or $p$ divides $n$.
French
Soient $p$, $m$ et $n$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier et $p$ divise $m \times n$. Alors $p$ divise $m$ ou $p$ divise $n$.
Czech
Nechť $p$, $m$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné a $p$ dělí $m \times n$. Tedy $p$ dělí $m$ nebo $p$ dělí $n$.
German
Seien $p$, $m$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist und $p$ $m \times n$ teilt. Dann teilt $p$ $m$ oder $p$ teilt $n$.
Swedish
Låt $p$, $m$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt och $p$ delar $m \times n$. Då delar $p$ $m$ eller $p$ delar $n$.
Formula
$p , m , n \in \Natural , \mathrm{prime} (p), \divides {p}{m \times n}\vdash \divides {p}{m}\vee \divides {p}{n}$
Proof
4 lines
1.Let $p$, $m$ and $n$ be elements of $\Natural$.
2.Assume that $p$ is prime.
3.$\divides {p}{m \times n}$, if and only if $\divides {p}{m}$ or $\divides {p}{n}$.Nat.Prime.dvd_mul 2
4.$\divides {p}{m}$ or $\divides {p}{n}$.iffEl 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $p$, $m$ et $n$ des éléments de $\Natural$.
2.Supposons que $p$ est premier.
3.$\divides {p}{m \times n}$ si et seulement si $\divides {p}{m}$ ou $\divides {p}{n}$.Nat.Prime.dvd_mul 2
4.$\divides {p}{m}$ ou $\divides {p}{n}$.iffEl 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $p$, $m$ a $n$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
3.$\divides {p}{m \times n}$, právě tehdy, když $\divides {p}{m}$ nebo $\divides {p}{n}$.Nat.Prime.dvd_mul 2
4.$\divides {p}{m}$ nebo $\divides {p}{n}$.iffEl 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $p$, $m$ und $n$ elemente von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $p$ prim ist.
3.$\divides {p}{m \times n}$, genau dann, wenn $\divides {p}{m}$ oder $\divides {p}{n}$.Nat.Prime.dvd_mul 2
4.$\divides {p}{m}$ oder $\divides {p}{n}$.iffEl 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $p$, $m$ och $n$ vara element av $\Natural$.
2.Anta att $p$ är primt.
3.$\divides {p}{m \times n}$, om och endast om $\divides {p}{m}$ eller $\divides {p}{n}$.Nat.Prime.dvd_mul 2
4.$\divides {p}{m}$ eller $\divides {p}{n}$.iffEl 3
Nat.prime_ifftheoremDefs.lean:424
Lean
theorem prime_iff {p : ℕ} : p.Prime ↔ _root_.Prime p :=
  ⟨fun h => ⟨h.ne_zero, h.not_isUnit, fun _ _ => h.dvd_mul.mp⟩, Prime.irreducible⟩
Dedukti
2 lines
def Nat__prime_iff : (p : Elem Nat) -> Proof (iff (prime p) (Prime p)) :=
  p => iffI (prime p) (Prime p) (h => andI (Neq p 0) (and (not (IsUnit p)) (forall Nat (a => forall Nat (b => if (divide p (times a b)) (or (divide p a) (divide p b)))))) (Nat__Prime__ne_zero p h) (andI (not (IsUnit p)) (forall Nat (a1 => forall Nat (b1 => if (divide p (times a1 b1)) (or (divide p a1) (divide p b1))))) (Irreducible__not_isUnit Nat p h) (x => forallI Nat (x1 => if (divide p (times x x1)) (or (divide p x) (divide p x1))) (x1 => iffEl (divide p (times x x1)) (or (divide p x) (divide p x1)) (Nat__Prime__dvd_mul p x x1 h))))) (Prime__irreducible Nat p).
English
Let $p$ be a natural number. Then $p$ is prime, if and only if $p$ is prime.
French
Soit $p$ un nombre naturel. Alors $p$ est premier si et seulement si $p$ est premier.
Czech
Nechť $p$ je přirozené číslo. Tedy $p$ je prvočíselné, právě tehdy, když $p$ je prvočíselné.
German
Sei $p$ eine natürliche Zahl. Dann ist $p$ prim, genau dann, wenn $p$ prim ist.
Swedish
Låt $p$ vara ett naturligt tal. Då är $p$ primt, om och endast om $p$ är primt.
Formula
$p \in \Natural \vdash \mathrm{prime} (p)\leftrightarrow \mathrm{Prime} (p)$
Proof
12 lines
1.Let $p$ be an element of $\Natural$.
2.Assume that $p$ is prime.
3.$p \neq 0$.Nat.Prime.ne_zero 2
4.$p$ is not a unit.Irreducible.not_isUnit 2
5.Let $x$ and $x_{1}$ be elements of $\Natural$.
6.$\divides {p}{x \times x_{1}}$, if and only if $\divides {p}{x}$ or $\divides {p}{x_{1}}$.Nat.Prime.dvd_mul 2
7.$\divides {p}{x}$ or $\divides {p}{x_{1}}$.iffEl 6
8.For all elements $x_{1}$ of $\Natural$, if $\divides {p}{x \times x_{1}}$, then $\divides {p}{x}$ or $\divides {p}{x_{1}}$.forallI 5, 7 [x1]
9.$p$ is not a unit and for all elements $a_{1}$ of $\Natural$, for all elements $b_{1}$ of $\Natural$, if $\divides {p}{a_{1} \times b_{1}}$, then $\divides {p}{a_{1}}$ or $\divides {p}{b_{1}}$.andI 4, 5, 8 [x]
10.$p \neq 0$, $p$ is not a unit and for all elements $a$ of $\Natural$, for all elements $b$ of $\Natural$, if $\divides {p}{a \times b}$, then $\divides {p}{a}$ or $\divides {p}{b}$.andI 3, 9
11.$p$ is irreducible.Prime.irreducible
12.$p$ is prime, if and only if $p$ is prime.iffI 10, 11 [h]
Proof, French
12 lines
1.Soit $p$ un élément de $\Natural$.
2.Supposons que $p$ est premier.
3.$p \neq 0$.Nat.Prime.ne_zero 2
4.$p$ n'est pas une unité.Irreducible.not_isUnit 2
5.Soient $x$ et $x_{1}$ des éléments de $\Natural$.
6.$\divides {p}{x \times x_{1}}$ si et seulement si $\divides {p}{x}$ ou $\divides {p}{x_{1}}$.Nat.Prime.dvd_mul 2
7.$\divides {p}{x}$ ou $\divides {p}{x_{1}}$.iffEl 6
8.Pour tous les éléments $x_{1}$ de $\Natural$, si $\divides {p}{x \times x_{1}}$, alors $\divides {p}{x}$ ou $\divides {p}{x_{1}}$.forallI 5, 7 [x1]
9.$p$ n'est pas une unité et pour tous des éléments $a_{1}$ de $\Natural$, pour tous des éléments $b_{1}$ de $\Natural$, si $\divides {p}{a_{1} \times b_{1}}$, alors $\divides {p}{a_{1}}$ ou $\divides {p}{b_{1}}$.andI 4, 5, 8 [x]
10.$p \neq 0$, $p$ n'est pas une unité et pour tous des éléments $a$ de $\Natural$, pour tous des éléments $b$ de $\Natural$, si $\divides {p}{a \times b}$, alors $\divides {p}{a}$ ou $\divides {p}{b}$.andI 3, 9
11.$p$ est irréductible.Prime.irreducible
12.$p$ est premier si et seulement si $p$ est premier.iffI 10, 11 [h]
Proof, Czech
12 lines
1.Nechť $p$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
3.$p \neq 0$.Nat.Prime.ne_zero 2
4.$p$ není jednotka.Irreducible.not_isUnit 2
5.Nechť $x$ a $x_{1}$ je prvek $\Natural$.
6.$\divides {p}{x \times x_{1}}$, právě tehdy, když $\divides {p}{x}$ nebo $\divides {p}{x_{1}}$.Nat.Prime.dvd_mul 2
7.$\divides {p}{x}$ nebo $\divides {p}{x_{1}}$.iffEl 6
8.Pro všechny prvky $x_{1}$ $\Natural$, jestliže $\divides {p}{x \times x_{1}}$, pak $\divides {p}{x}$ nebo $\divides {p}{x_{1}}$.forallI 5, 7 [x1]
9.$p$ není jednotka a pro všechny prvky $a_{1}$ $\Natural$, pro všechny prvky $b_{1}$ $\Natural$, jestliže $\divides {p}{a_{1} \times b_{1}}$, pak $\divides {p}{a_{1}}$ nebo $\divides {p}{b_{1}}$.andI 4, 5, 8 [x]
10.$p \neq 0$, $p$ není jednotka a pro všechny prvky $a$ $\Natural$, pro všechny prvky $b$ $\Natural$, jestliže $\divides {p}{a \times b}$, pak $\divides {p}{a}$ nebo $\divides {p}{b}$.andI 3, 9
11.$p$ je ireducibilní.Prime.irreducible
12.$p$ je prvočíselné, právě tehdy, když $p$ je prvočíselné.iffI 10, 11 [h]
Proof, German
12 lines
1.Sei $p$ ein Element von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $p$ prim ist.
3.$p \neq 0$.Nat.Prime.ne_zero 2
4.$p$ ist nicht eine Einheit.Irreducible.not_isUnit 2
5.Seien $x$ und $x_{1}$ elemente von $\Natural$.
6.$\divides {p}{x \times x_{1}}$, genau dann, wenn $\divides {p}{x}$ oder $\divides {p}{x_{1}}$.Nat.Prime.dvd_mul 2
7.$\divides {p}{x}$ oder $\divides {p}{x_{1}}$.iffEl 6
8.Für alle Elemente $x_{1}$ von $\Natural$, wenn $\divides {p}{x \times x_{1}}$, dann $\divides {p}{x}$ oder $\divides {p}{x_{1}}$.forallI 5, 7 [x1]
9.$p$ ist nicht eine Einheit und für alle Elemente $a_{1}$ von $\Natural$, für alle Elemente $b_{1}$ von $\Natural$, wenn $\divides {p}{a_{1} \times b_{1}}$, dann $\divides {p}{a_{1}}$ oder $\divides {p}{b_{1}}$.andI 4, 5, 8 [x]
10.$p \neq 0$, $p$ ist nicht eine Einheit und für alle Elemente $a$ von $\Natural$, für alle Elemente $b$ von $\Natural$, wenn $\divides {p}{a \times b}$, dann $\divides {p}{a}$ oder $\divides {p}{b}$.andI 3, 9
11.$p$ ist irreduzibl.Prime.irreducible
12.$p$ ist prim, genau dann, wenn $p$ prim ist.iffI 10, 11 [h]
Proof, Swedish
12 lines
1.Låt $p$ vara ett element av $\Natural$.
2.Anta att $p$ är primt.
3.$p \neq 0$.Nat.Prime.ne_zero 2
4.$p$ är inte en enhet.Irreducible.not_isUnit 2
5.Låt $x$ och $x_{1}$ vara element av $\Natural$.
6.$\divides {p}{x \times x_{1}}$, om och endast om $\divides {p}{x}$ eller $\divides {p}{x_{1}}$.Nat.Prime.dvd_mul 2
7.$\divides {p}{x}$ eller $\divides {p}{x_{1}}$.iffEl 6
8.För alla element $x_{1}$ av $\Natural$, om $\divides {p}{x \times x_{1}}$, så $\divides {p}{x}$ eller $\divides {p}{x_{1}}$.forallI 5, 7 [x1]
9.$p$ är inte en enhet och för alla element $a_{1}$ av $\Natural$, för alla element $b_{1}$ av $\Natural$, om $\divides {p}{a_{1} \times b_{1}}$, så $\divides {p}{a_{1}}$ eller $\divides {p}{b_{1}}$.andI 4, 5, 8 [x]
10.$p \neq 0$, $p$ är inte en enhet och för alla element $a$ av $\Natural$, för alla element $b$ av $\Natural$, om $\divides {p}{a \times b}$, så $\divides {p}{a}$ eller $\divides {p}{b}$.andI 3, 9
11.$p$ är irreducibelt.Prime.irreducible
12.$p$ är primt, om och endast om $p$ är primt.iffI 10, 11 [h]
Prime.nat_primetheoremDefs.lean:427
*Alias* of the reverse direction of Nat.prime_iff.
Lean
alias ⟨Prime.prime, _root_.Prime.nat_prime⟩ := prime_iff
Dedukti
2 lines
def Prime__nat_prime : (p : Elem Nat) -> (h : Proof (Prime p)) -> Proof (prime p) :=
  p => iffEr (prime p) (Prime p) (Nat__prime_iff p).
English
Let $p$ be a prime natural number. Then $p$ is prime.
French
Soit $p$ un nombre naturel premier. Alors $p$ est premier.
Czech
Nechť $p$ je prvočíselné přirozené číslo. Tedy $p$ je prvočíselné.
German
Sei $p$ eine prime natürliche Zahl. Dann ist $p$ prim.
Swedish
Låt $p$ vara ett primt naturligt tal. Då är $p$ primt.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{Prime} (p)\vdash \mathrm{prime} (p)$
Proof
3 lines
1.Let $p$ be an element of $\Natural$.
2.$p$ is prime, if and only if $p$ is prime.Nat.prime_iff
3.$p$ is prime.iffEr 2
Proof, French
3 lines
1.Soit $p$ un élément de $\Natural$.
2.$p$ est premier si et seulement si $p$ est premier.Nat.prime_iff
3.$p$ est premier.iffEr 2
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $p$ je prvek $\Natural$.
2.$p$ je prvočíselné, právě tehdy, když $p$ je prvočíselné.Nat.prime_iff
3.$p$ je prvočíselné.iffEr 2
Proof, German
3 lines
1.Sei $p$ ein Element von $\Natural$.
2.$p$ ist prim, genau dann, wenn $p$ prim ist.Nat.prime_iff
3.$p$ ist prim.iffEr 2
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $p$ vara ett element av $\Natural$.
2.$p$ är primt, om och endast om $p$ är primt.Nat.prime_iff
3.$p$ är primt.iffEr 2
Nat.Prime.primetheoremDefs.lean:427
*Alias* of the forward direction of Nat.prime_iff.
Lean
alias ⟨Prime.prime, _root_.Prime.nat_prime⟩ := prime_iff
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime__prime : (p : Elem Nat) -> (h : Proof (prime p)) -> Proof (Prime p) :=
  p => iffEl (prime p) (Prime p) (Nat__prime_iff p).
English
Let $p$ be a prime natural number. Then $p$ is prime.
French
Soit $p$ un nombre naturel premier. Alors $p$ est premier.
Czech
Nechť $p$ je prvočíselné přirozené číslo. Tedy $p$ je prvočíselné.
German
Sei $p$ eine prime natürliche Zahl. Dann ist $p$ prim.
Swedish
Låt $p$ vara ett primt naturligt tal. Då är $p$ primt.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash \mathrm{Prime} (p)$
Proof
3 lines
1.Let $p$ be an element of $\Natural$.
2.$p$ is prime, if and only if $p$ is prime.Nat.prime_iff
3.$p$ is prime.iffEl 2
Proof, French
3 lines
1.Soit $p$ un élément de $\Natural$.
2.$p$ est premier si et seulement si $p$ est premier.Nat.prime_iff
3.$p$ est premier.iffEl 2
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $p$ je prvek $\Natural$.
2.$p$ je prvočíselné, právě tehdy, když $p$ je prvočíselné.Nat.prime_iff
3.$p$ je prvočíselné.iffEl 2
Proof, German
3 lines
1.Sei $p$ ein Element von $\Natural$.
2.$p$ ist prim, genau dann, wenn $p$ prim ist.Nat.prime_iff
3.$p$ ist prim.iffEl 2
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $p$ vara ett element av $\Natural$.
2.$p$ är primt, om och endast om $p$ är primt.Nat.prime_iff
3.$p$ är primt.iffEl 2
Nat.irreducible_iff_primetheoremDefs.lean:432
Lean
theorem irreducible_iff_prime {p : ℕ} : Irreducible p ↔ _root_.Prime p :=
  prime_iff
Dedukti
2 lines
def Nat__irreducible_iff_prime : (p : Elem Nat) -> Proof (iff (Irreducible p) (Prime p)) :=
  p => Nat__prime_iff p.
English
Let $p$ be a natural number. Then $p$ is irreducible, if and only if $p$ is prime.
French
Soit $p$ un nombre naturel. Alors $p$ est irréductible si et seulement si $p$ est premier.
Czech
Nechť $p$ je přirozené číslo. Tedy $p$ je ireducibilní, právě tehdy, když $p$ je prvočíselné.
German
Sei $p$ eine natürliche Zahl. Dann ist $p$ irreduzibl, genau dann, wenn $p$ prim ist.
Swedish
Låt $p$ vara ett naturligt tal. Då är $p$ irreducibelt, om och endast om $p$ är primt.
Formula
$p \in \Natural \vdash \mathrm{Irreducible} (p)\leftrightarrow \mathrm{Prime} (p)$
Proof
2 lines
1.Let $p$ be an element of $\Natural$.
2.$p$ is prime, if and only if $p$ is prime.Nat.prime_iff
Proof, French
2 lines
1.Soit $p$ un élément de $\Natural$.
2.$p$ est premier si et seulement si $p$ est premier.Nat.prime_iff
Proof, Czech
2 lines
1.Nechť $p$ je prvek $\Natural$.
2.$p$ je prvočíselné, právě tehdy, když $p$ je prvočíselné.Nat.prime_iff
Proof, German
2 lines
1.Sei $p$ ein Element von $\Natural$.
2.$p$ ist prim, genau dann, wenn $p$ prim ist.Nat.prime_iff
Proof, Swedish
2 lines
1.Låt $p$ vara ett element av $\Natural$.
2.$p$ är primt, om och endast om $p$ är primt.Nat.prime_iff
Nat.PrimesdefDefs.lean:439
The type of prime numbers
Lean
def Primes :=
  { p : ℕ // p.Prime }
  deriving DecidableEq
Dedukti
2 lines
def Nat__Primes : Set :=
  Subtype (p => prime p).
English
$\NatPrimesMACRoA$ is a set defined as $\SubtypeSet {p}{\mathrm{prime} (p)}$. (forced symbolic: no wording found)
French
$\NatPrimesMACRoA$ est un ensemble défini comme $\SubtypeSet {p}{\mathrm{prime} (p)}$. (forced symbolic: no wording found)
Czech
$\NatPrimesMACRoA$ je množina definovaný jako $\SubtypeSet {p}{\mathrm{prime} (p)}$. (forced symbolic: no wording found)
German
$\NatPrimesMACRoA$ ist eine Menge definiert als $\SubtypeSet {p}{\mathrm{prime} (p)}$. (forced symbolic: no wording found)
Swedish
$\NatPrimesMACRoA$ är en mängd definierat som $\SubtypeSet {p}{\mathrm{prime} (p)}$. (forced symbolic: no wording found)
Formula
$\NatPrimesMACRoA := \SubtypeSet {p}{\mathrm{prime} (p)}\in \mathrm{Set}$
Nat.Primes.coe_nat_injectivetheoremDefs.lean:454
Lean
theorem coe_nat_injective : Function.Injective ((↑) : Nat.Primes → ℕ) :=
  Subtype.coe_injective
Dedukti
2 lines
def Nat__Primes__coe_nat_injective : Proof (Function__Injective (p => prime p)) :=
  Subtype__coe_injective Nat (p => prime p).
English
The function that maps $p$ to the proposition that $p$ is prime is injective.
French
La fonction qui envoie $p$ à la proposition que $p$ est premier est injective.
Czech
Funkce která zobrazuje $p$ na výrok že $p$ je prvočíselné je injektivní.
German
Die Funktion, die $p$ als der Satz, dass $p$ prim ist, abbildet, ist injektiv.
Swedish
Funktionen som avbildar $p$ som påståendet att $p$ är primt är injektiv.
Formula
$\operatorname{Injective} (\lambda p . \mathrm{prime} (p))$
Proof
1 lines
1.The function that maps $a$ to $a$ is injective.Subtype.coe_injective
Proof, French
1 lines
1.La fonction qui envoie $a$ à $a$ est injective.Subtype.coe_injective
Proof, Czech
1 lines
1.Funkce která zobrazuje $a$ na $a$ je injektivní.Subtype.coe_injective
Proof, German
1 lines
1.Die Funktion, die $a$ als $a$ abbildet, ist injektiv.Subtype.coe_injective
Proof, Swedish
1 lines
1.Funktionen som avbildar $a$ som $a$ är injektiv.Subtype.coe_injective
Nat.Primes.coe_nat_injtheoremDefs.lean:457
Lean
theorem coe_nat_inj (p q : Nat.Primes) : (p : ℕ) = (q : ℕ) ↔ p = q :=
  Subtype.ext_iff.symm
Dedukti
2 lines
def Nat__Primes__coe_nat_inj : (p : Elem Nat__Primes) -> (q : Elem Nat__Primes) -> Proof (iff (Eq p q) (Eqt Nat__Primes p q)) :=
  p => q => Iff__symm (Eqt (Subtype (x => prime x)) p q) (Eq p q) (Subtype__ext_iff Nat prime p q).
English
Let $p$ and $q$ be prime numbers. Then $p = q$, if and only if $\EqtMACRoH {p}{q}$.
French
Soient $p$ et $q$ des nombres premiers. Alors $p = q$ si et seulement si $\EqtMACRoH {p}{q}$.
Czech
Nechť $p$ a $q$ je prvočíselné číslo. Tedy $p = q$, právě tehdy, když $\EqtMACRoH {p}{q}$.
German
Seien $p$ und $q$ prime Zahlen. Dann $p = q$, genau dann, wenn $\EqtMACRoH {p}{q}$.
Swedish
Låt $p$ och $q$ vara prima tal. Då $p = q$, om och endast om $\EqtMACRoH {p}{q}$.
Formula
$p , q \in \NatPrimesMACRoA \vdash p = q \leftrightarrow \EqtMACRoJ {p}{q}$
Proof
3 lines
1.Let $p$ and $q$ be elements of $\NatPrimesMACRoA$.
2.$\EqtMACRoJ {p}{q}$, if and only if $\EqtMACRoJ {p}{q}$.Subtype.ext_iff
3.$p = q$, if and only if $\EqtMACRoJ {p}{q}$.Iff.symm 2
Proof, French
3 lines
1.Soient $p$ et $q$ des éléments de $\NatPrimesMACRoA$.
2.$\EqtMACRoJ {p}{q}$ si et seulement si $\EqtMACRoJ {p}{q}$.Subtype.ext_iff
3.$p = q$ si et seulement si $\EqtMACRoJ {p}{q}$.Iff.symm 2
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $p$ a $q$ je prvek $\NatPrimesMACRoA$.
2.$\EqtMACRoJ {p}{q}$, právě tehdy, když $\EqtMACRoJ {p}{q}$.Subtype.ext_iff
3.$p = q$, právě tehdy, když $\EqtMACRoJ {p}{q}$.Iff.symm 2
Proof, German
3 lines
1.Seien $p$ und $q$ elemente von $\NatPrimesMACRoA$.
2.$\EqtMACRoJ {p}{q}$, genau dann, wenn $\EqtMACRoJ {p}{q}$.Subtype.ext_iff
3.$p = q$, genau dann, wenn $\EqtMACRoJ {p}{q}$.Iff.symm 2
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $p$ och $q$ vara element av $\NatPrimesMACRoA$.
2.$\EqtMACRoJ {p}{q}$, om och endast om $\EqtMACRoJ {p}{q}$.Subtype.ext_iff
3.$p = q$, om och endast om $\EqtMACRoJ {p}{q}$.Iff.symm 2

Mathlib.Data.Nat.Prime.Basic source

Nat.prime_mul_ifftheoremBasic.lean:25
Lean
theorem prime_mul_iff {a b : ℕ} : Nat.Prime (a * b) ↔ a.Prime ∧ b = 1 ∨ b.Prime ∧ a = 1 :=
Dedukti
1 lines
Nat__prime_mul_iff : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> Proof (iff (prime (times a b)) (or (and (prime a) (Eq b 1)) (and (prime b) (Eq a 1)))).
English
Let $a$ and $b$ be natural numbers. Then $a \times b$ is prime, if and only if $a$ is prime and $b = 1$ or $b$ is prime and $a = 1$.
French
Soient $a$ et $b$ des nombres naturels. Alors $a \times b$ est premier si et seulement si $a$ est premier et $b = 1$ ou $b$ est premier et $a = 1$.
Czech
Nechť $a$ a $b$ je přirozené číslo. Tedy $a \times b$ je prvočíselné, právě tehdy, když $a$ je prvočíselné a $b = 1$ nebo $b$ je prvočíselné a $a = 1$.
German
Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen. Dann ist $a \times b$ prim, genau dann, wenn $a$ prim ist und $b = 1$ oder $b$ prim ist und $a = 1$.
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara naturliga tal. Då är $a \times b$ primt, om och endast om $a$ är primt och $b = 1$ eller $b$ är primt och $a = 1$.
Formula
$a , b \in \Natural \vdash \mathrm{prime} (a \times b)\leftrightarrow \mathrm{prime} (a)\wedge b = 1 \vee \mathrm{prime} (b)\wedge a = 1$
Nat.not_prime_multheoremBasic.lean:28
Lean
theorem not_prime_mul {a b : ℕ} (a1 : a ≠ 1) (b1 : b ≠ 1) : ¬Prime (a * b) :=
Dedukti
1 lines
Nat__not_prime_mul : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (a1 : Proof (Neq a 1)) -> (b1 : Proof (Neq b 1)) -> Proof (not (prime (times a b))).
English
Let $a$ and $b$ be natural numbers such that $a \neq 1$ and $b \neq 1$. Then $a \times b$ is not prime.
French
Soient $a$ et $b$ des nombres naturels tels que $a \neq 1$ et $b \neq 1$. Alors $a \times b$ n'est pas premier.
Czech
Nechť $a$ a $b$ je přirozené číslo takové, že $a \neq 1$ a $b \neq 1$. Tedy $a \times b$ není prvočíselné.
German
Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen derart, dass $a \neq 1$ und $b \neq 1$. Dann ist $a \times b$ nicht prim.
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara naturliga tal sådana att $a \neq 1$ och $b \neq 1$. Då är $a \times b$ inte primt.
Formula
$a , b \in \Natural , a \neq 1 , b \neq 1 \vdash \neg \mathrm{prime} (a \times b)$
Nat.not_prime_of_mul_eqtheoremBasic.lean:31
Lean
theorem not_prime_of_mul_eq {a b n : ℕ} (h : a * b = n) (h₁ : a ≠ 1) (h₂ : b ≠ 1) : ¬Prime n :=
Dedukti
1 lines
Nat__not_prime_of_mul_eq : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (h : Proof (Eq (times a b) n)) -> (h1 : Proof (Neq a 1)) -> (h2 : Proof (Neq b 1)) -> Proof (not (prime n)).
English
Let $a$, $b$ and $n$ be natural numbers such that $a \times b = n$, $a \neq 1$ and $b \neq 1$. Then $n$ is not prime.
French
Soient $a$, $b$ et $n$ des nombres naturels tels que $a \times b = n$, $a \neq 1$ et $b \neq 1$. Alors $n$ n'est pas premier.
Czech
Nechť $a$, $b$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $a \times b = n$, $a \neq 1$ a $b \neq 1$. Tedy $n$ není prvočíselné.
German
Seien $a$, $b$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $a \times b = n$, $a \neq 1$ und $b \neq 1$. Dann ist $n$ nicht prim.
Swedish
Låt $a$, $b$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $a \times b = n$, $a \neq 1$ och $b \neq 1$. Då är $n$ inte primt.
Formula
$a , b , n \in \Natural , a \times b = n , a \neq 1 , b \neq 1 \vdash \neg \mathrm{prime} (n)$
Nat.Prime.dvd_iff_eqtheoremBasic.lean:34
Lean
theorem Prime.dvd_iff_eq {p a : ℕ} (hp : p.Prime) (a1 : a ≠ 1) : a ∣ p ↔ p = a :=
Dedukti
1 lines
Nat__Prime__dvd_iff_eq : (p : Elem Nat) -> (a : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> (a1 : Proof (Neq a 1)) -> Proof (iff (divide a p) (Eq p a)).
English
Let $p$ and $a$ be natural numbers such that $p$ is prime and $a \neq 1$. Then $a$ divides $p$, if and only if $p = a$.
French
Soient $p$ et $a$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier et $a \neq 1$. Alors $a$ divise $p$ si et seulement si $p = a$.
Czech
Nechť $p$ a $a$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné a $a \neq 1$. Tedy $a$ dělí $p$, právě tehdy, když $p = a$.
German
Seien $p$ und $a$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist und $a \neq 1$. Dann teilt $a$ $p$, genau dann, wenn $p = a$.
Swedish
Låt $p$ och $a$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt och $a \neq 1$. Då delar $a$ $p$, om och endast om $p = a$.
Formula
$p , a \in \Natural , \mathrm{prime} (p), a \neq 1 \vdash \divides {a}{p}\leftrightarrow p = a$
Nat.Prime.eq_two_or_oddtheoremBasic.lean:41
Lean
theorem Prime.eq_two_or_odd {p : ℕ} (hp : Prime p) : p = 2 ∨ p % 2 = 1 :=
  p.mod_two_eq_zero_or_one.imp_left fun h =>
    ((hp.eq_one_or_self_of_dvd 2 (dvd_of_mod_eq_zero h)).resolve_left (by decide)).symm
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime__eq_two_or_odd : (p : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> Proof (or (Eq p 2) (Eq (HMod__hMod p 2) 1)) :=
  p => hp => Or__imp_left (Eq (HMod__hMod p 2) 0) (Eq p 2) (Eq (HMod__hMod p 2) 1) (ifI (Eq (HMod__hMod p 2) 0) (Eq p 2) (h => Eq__symm Nat 2 p (Or__resolve_left (Eq 2 1) (Eq 2 p) (Nat__Prime__eq_one_or_self_of_dvd p hp 2 (Nat__dvd_of_mod_eq_zero 2 p h)) (of_decide_eq_true (not (Eq 2 1)) (id (Eq__refl Bool__true)))))) (Nat__mod_two_eq_zero_or_one p).
English
Let $p$ be a prime natural number. Then $p = 2$ or $\HModhModMACRoF {p}{2}= 1$.
French
Soit $p$ un nombre naturel premier. Alors $p = 2$ ou $\HModhModMACRoF {p}{2}= 1$.
Czech
Nechť $p$ je prvočíselné přirozené číslo. Tedy $p = 2$ nebo $\HModhModMACRoF {p}{2}= 1$.
German
Sei $p$ eine prime natürliche Zahl. Dann $p = 2$ oder $\HModhModMACRoF {p}{2}= 1$.
Swedish
Låt $p$ vara ett primt naturligt tal. Då $p = 2$ eller $\HModhModMACRoF {p}{2}= 1$.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash p = 2 \vee \HModhModMACRoH {p}{2}= 1$
Proof
12 lines
1.Let $p$ be an element of $\Natural$.
2.Assume that $p$ is prime.
3.Assume that $\HModhModMACRoH {p}{2}= 0$.
4.$\divides {2}{p}$.Nat.dvd_of_mod_eq_zero 3
5.$2 = 1$ or $2 = p$.Nat.Prime.eq_one_or_self_of_dvd 2, 4
6.There is an element of $x$.id
7.It is not the case that $2 = 1$.of_decide_eq_true 6
8.$2 = p$.Or.resolve_left 5, 7
9.$\EqtMACRoJ {p}{2}$.Eq.symm 8
10.If $\HModhModMACRoH {p}{2}= 0$, then $p = 2$.ifI 9 [h]
11.$\HModhModMACRoH {p}{2}= 0$ or $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$.Nat.mod_two_eq_zero_or_one
12.$p = 2$ or $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$.Or.imp_left 10, 11
Proof, French
12 lines
1.Soit $p$ un élément de $\Natural$.
2.Supposons que $p$ est premier.
3.Supposons que $\HModhModMACRoH {p}{2}= 0$.
4.$\divides {2}{p}$.Nat.dvd_of_mod_eq_zero 3
5.$2 = 1$ ou $2 = p$.Nat.Prime.eq_one_or_self_of_dvd 2, 4
6.Il y a un élément de $x$.id
7.Il n'est pas le cas que $2 = 1$.of_decide_eq_true 6
8.$2 = p$.Or.resolve_left 5, 7
9.$\EqtMACRoJ {p}{2}$.Eq.symm 8
10.Si $\HModhModMACRoH {p}{2}= 0$, alors $p = 2$.ifI 9 [h]
11.$\HModhModMACRoH {p}{2}= 0$ ou $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$.Nat.mod_two_eq_zero_or_one
12.$p = 2$ ou $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$.Or.imp_left 10, 11
Proof, Czech
12 lines
1.Nechť $p$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
3.Předpokládejme, že $\HModhModMACRoH {p}{2}= 0$.
4.$\divides {2}{p}$.Nat.dvd_of_mod_eq_zero 3
5.$2 = 1$ nebo $2 = p$.Nat.Prime.eq_one_or_self_of_dvd 2, 4
6.Existuje prvek $x$.id
7.Není případ že $2 = 1$.of_decide_eq_true 6
8.$2 = p$.Or.resolve_left 5, 7
9.$\EqtMACRoJ {p}{2}$.Eq.symm 8
10.Jestliže $\HModhModMACRoH {p}{2}= 0$, pak $p = 2$.ifI 9 [h]
11.$\HModhModMACRoH {p}{2}= 0$ nebo $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$.Nat.mod_two_eq_zero_or_one
12.$p = 2$ nebo $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$.Or.imp_left 10, 11
Proof, German
12 lines
1.Sei $p$ ein Element von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $p$ prim ist.
3.Nimm an, dass $\HModhModMACRoH {p}{2}= 0$.
4.$\divides {2}{p}$.Nat.dvd_of_mod_eq_zero 3
5.$2 = 1$ oder $2 = p$.Nat.Prime.eq_one_or_self_of_dvd 2, 4
6.Es gibt ein Element von $x$.id
7.Es ist nicht der Fall dass $2 = 1$.of_decide_eq_true 6
8.$2 = p$.Or.resolve_left 5, 7
9.$\EqtMACRoJ {p}{2}$.Eq.symm 8
10.Wenn $\HModhModMACRoH {p}{2}= 0$, dann $p = 2$.ifI 9 [h]
11.$\HModhModMACRoH {p}{2}= 0$ oder $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$.Nat.mod_two_eq_zero_or_one
12.$p = 2$ oder $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$.Or.imp_left 10, 11
Proof, Swedish
12 lines
1.Låt $p$ vara ett element av $\Natural$.
2.Anta att $p$ är primt.
3.Anta att $\HModhModMACRoH {p}{2}= 0$.
4.$\divides {2}{p}$.Nat.dvd_of_mod_eq_zero 3
5.$2 = 1$ eller $2 = p$.Nat.Prime.eq_one_or_self_of_dvd 2, 4
6.Det finns ett element av $x$.id
7.Det är inte fallet att $2 = 1$.of_decide_eq_true 6
8.$2 = p$.Or.resolve_left 5, 7
9.$\EqtMACRoJ {p}{2}$.Eq.symm 8
10.Om $\HModhModMACRoH {p}{2}= 0$, så $p = 2$.ifI 9 [h]
11.$\HModhModMACRoH {p}{2}= 0$ eller $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$.Nat.mod_two_eq_zero_or_one
12.$p = 2$ eller $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$.Or.imp_left 10, 11
Nat.Prime.eq_two_or_odd'theoremBasic.lean:45
Lean
theorem Prime.eq_two_or_odd' {p : ℕ} (hp : Prime p) : p = 2 ∨ Odd p :=
  Or.imp_right (fun h => ⟨p / 2, (div_add_mod p 2).symm.trans (congr_arg _ h)⟩) hp.eq_two_or_odd
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime__eq_two_or_odd' : (p : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> Proof (or (Eq p 2) (odd p)) :=
  p => hp => Or__imp_right (Eq (HMod__hMod p 2) 1) (odd p) (Eq p 2) (ifI (Eq (HMod__hMod p 2) 1) (exists Nat (k1 => Eq p (plus (times 2 k1) 1))) (h => existsI Nat (k => Eq p (plus (times 2 k) 1)) (div p 2) (Eq__trans Nat p (plus (times 2 (div p 2)) (HMod__hMod p 2)) (plus (times 2 (div p 2)) 1) (Eq__symm Nat (plus (times 2 (div p 2)) (HMod__hMod p 2)) p (Nat__div_add_mod p 2)) (congr_arg Nat Nat (HMod__hMod p 2) 1 (plus (times 2 (div p 2))) h)))) (Nat__Prime__eq_two_or_odd p hp).
English
Let $p$ be a prime natural number. Then $p = 2$ or $p$ is odd.
French
Soit $p$ un nombre naturel premier. Alors $p = 2$ ou $p$ est impair.
Czech
Nechť $p$ je prvočíselné přirozené číslo. Tedy $p = 2$ nebo $p$ je liché.
German
Sei $p$ eine prime natürliche Zahl. Dann $p = 2$ oder $p$ ist ungerade.
Swedish
Låt $p$ vara ett primt naturligt tal. Då $p = 2$ eller $p$ är udda.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash p = 2 \vee \mathrm{odd} (p)$
Proof
11 lines
1.Let $p$ be an element of $\Natural$.
2.$2 \times \frac{ p}{2}+ \HModhModMACRoH {p}{2}= p$.Nat.div_add_mod
3.$\EqtMACRoJ {p}{2 \times \frac{ p}{2}+ \HModhModMACRoH {p}{2}}$.Eq.symm 2
4.Assume that $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$.
5.$\EqtMACRoJ {2 \times \frac{ p}{2}+ \HModhModMACRoH {p}{2}}{2 \times \frac{ p}{2}+ 1}$.congr_arg 4
6.$\EqtMACRoJ {p}{2 \times \frac{ p}{2}+ 1}$.Eq.trans 3, 5
7.There exists an element $k$ of $\Natural$, such that $p = 2 \times k + 1$.existsI 6
8.If $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$, then there exists an element $k_{1}$ of $\Natural$, such that $p = 2 \times k_{1} + 1$.ifI 7 [h]
9.Assume that $p$ is prime.
10.$p = 2$ or $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$.Nat.Prime.eq_two_or_odd 9
11.$p = 2$ or $p$ is odd.Or.imp_right 8, 10
Proof, French
11 lines
1.Soit $p$ un élément de $\Natural$.
2.$2 \times \frac{ p}{2}+ \HModhModMACRoH {p}{2}= p$.Nat.div_add_mod
3.$\EqtMACRoJ {p}{2 \times \frac{ p}{2}+ \HModhModMACRoH {p}{2}}$.Eq.symm 2
4.Supposons que $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$.
5.$\EqtMACRoJ {2 \times \frac{ p}{2}+ \HModhModMACRoH {p}{2}}{2 \times \frac{ p}{2}+ 1}$.congr_arg 4
6.$\EqtMACRoJ {p}{2 \times \frac{ p}{2}+ 1}$.Eq.trans 3, 5
7.Il existe un élément $k$ de $\Natural$ tel que $p = 2 \times k + 1$.existsI 6
8.Si $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$, alors il existe un élément $k_{1}$ de $\Natural$ tel que $p = 2 \times k_{1} + 1$.ifI 7 [h]
9.Supposons que $p$ est premier.
10.$p = 2$ ou $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$.Nat.Prime.eq_two_or_odd 9
11.$p = 2$ ou $p$ est impair.Or.imp_right 8, 10
Proof, Czech
11 lines
1.Nechť $p$ je prvek $\Natural$.
2.$2 \times \frac{ p}{2}+ \HModhModMACRoH {p}{2}= p$.Nat.div_add_mod
3.$\EqtMACRoJ {p}{2 \times \frac{ p}{2}+ \HModhModMACRoH {p}{2}}$.Eq.symm 2
4.Předpokládejme, že $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$.
5.$\EqtMACRoJ {2 \times \frac{ p}{2}+ \HModhModMACRoH {p}{2}}{2 \times \frac{ p}{2}+ 1}$.congr_arg 4
6.$\EqtMACRoJ {p}{2 \times \frac{ p}{2}+ 1}$.Eq.trans 3, 5
7.Existuje prvek $k$ $\Natural$, takový, že $p = 2 \times k + 1$.existsI 6
8.Jestliže $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$, pak existuje prvek $k_{1}$ $\Natural$, takový, že $p = 2 \times k_{1} + 1$.ifI 7 [h]
9.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
10.$p = 2$ nebo $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$.Nat.Prime.eq_two_or_odd 9
11.$p = 2$ nebo $p$ je liché.Or.imp_right 8, 10
Proof, German
11 lines
1.Sei $p$ ein Element von $\Natural$.
2.$2 \times \frac{ p}{2}+ \HModhModMACRoH {p}{2}= p$.Nat.div_add_mod
3.$\EqtMACRoJ {p}{2 \times \frac{ p}{2}+ \HModhModMACRoH {p}{2}}$.Eq.symm 2
4.Nimm an, dass $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$.
5.$\EqtMACRoJ {2 \times \frac{ p}{2}+ \HModhModMACRoH {p}{2}}{2 \times \frac{ p}{2}+ 1}$.congr_arg 4
6.$\EqtMACRoJ {p}{2 \times \frac{ p}{2}+ 1}$.Eq.trans 3, 5
7.Es gibt ein Element $k$ von $\Natural$, derart, dass $p = 2 \times k + 1$.existsI 6
8.Wenn $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$, dann gibt es ein Element $k_{1}$ von $\Natural$, derart, dass $p = 2 \times k_{1} + 1$.ifI 7 [h]
9.Nimm an, dass $p$ prim ist.
10.$p = 2$ oder $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$.Nat.Prime.eq_two_or_odd 9
11.$p = 2$ oder $p$ ist ungerade.Or.imp_right 8, 10
Proof, Swedish
11 lines
1.Låt $p$ vara ett element av $\Natural$.
2.$2 \times \frac{ p}{2}+ \HModhModMACRoH {p}{2}= p$.Nat.div_add_mod
3.$\EqtMACRoJ {p}{2 \times \frac{ p}{2}+ \HModhModMACRoH {p}{2}}$.Eq.symm 2
4.Anta att $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$.
5.$\EqtMACRoJ {2 \times \frac{ p}{2}+ \HModhModMACRoH {p}{2}}{2 \times \frac{ p}{2}+ 1}$.congr_arg 4
6.$\EqtMACRoJ {p}{2 \times \frac{ p}{2}+ 1}$.Eq.trans 3, 5
7.Det finns ett element $k$ av $\Natural$, så att $p = 2 \times k + 1$.existsI 6
8.Om $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$, så finns det ett element $k_{1}$ av $\Natural$, så att $p = 2 \times k_{1} + 1$.ifI 7 [h]
9.Anta att $p$ är primt.
10.$p = 2$ eller $\HModhModMACRoH {p}{2}= 1$.Nat.Prime.eq_two_or_odd 9
11.$p = 2$ eller $p$ är udda.Or.imp_right 8, 10
Nat.Prime.five_le_of_ne_two_of_ne_threetheoremBasic.lean:50
Lean
theorem Prime.five_le_of_ne_two_of_ne_three {p : ℕ} (hp : p.Prime) (h_two : p ≠ 2)
    (h_three : p ≠ 3) : 5 ≤ p :=
Dedukti
1 lines
Nat__Prime__five_le_of_ne_two_of_ne_three : (p : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> (h_two : Proof (Neq p 2)) -> (h_three : Proof (Neq p 3)) -> Proof (Leq 5 p).
English
Let $p$ be a natural number such that $p$ is prime, $p \neq 2$ and $p \neq 3$. Then $5 \leq p$.
French
Soit $p$ un nombre naturel tel que $p$ soit premier, $p \neq 2$ et $p \neq 3$. Alors $5 \leq p$.
Czech
Nechť $p$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné, $p \neq 2$ a $p \neq 3$. Tedy $5 \leq p$.
German
Sei $p$ eine natürliche Zahl derart, dass ist $p$ prim, $p \neq 2$ und $p \neq 3$. Dann $5 \leq p$.
Swedish
Låt $p$ vara ett naturligt tal sådant att $p$ är primt, $p \neq 2$ och $p \neq 3$. Då $5 \leq p$.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{prime} (p), p \neq 2 , p \neq 3 \vdash 5 \leq p$
Nat.Prime.pred_postheoremBasic.lean:58
Lean
theorem Prime.pred_pos {p : ℕ} (pp : Prime p) : 0 < pred p :=
  lt_pred_iff.2 pp.one_lt
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime__pred_pos : (p : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> Proof (Lt 0 (Nat__pred p)) :=
  p => pp => iffEr (Lt 0 (Nat__pred p)) (Lt (succ 0) p) (Nat__lt_pred_iff 0 p) (Nat__Prime__one_lt p pp).
English
Let $p$ be a prime natural number. Then $0$ is less than the predecessor of $p$.
French
Soit $p$ un nombre naturel premier. Alors $0$ est inférieur au prédécesseur de $p$.
Czech
Nechť $p$ je prvočíselné přirozené číslo. Tedy $0$ je menší než předchůdce $p$.
German
Sei $p$ eine prime natürliche Zahl. Dann ist $0$ kleiner als dem Vorgänger von $p$.
Swedish
Låt $p$ vara ett primt naturligt tal. Då är $0$ mindre än föregångaren av $p$.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash 0 < \NatpredMACRoG {p}$
Proof
5 lines
1.Let $p$ be an element of $\Natural$.
2.$0 < \NatpredMACRoG {p}$, if and only if the successor of $0$ is less than $p$.Nat.lt_pred_iff
3.Assume that $p$ is prime.
4.$1 < p$.Nat.Prime.one_lt 3
5.$0 < \NatpredMACRoG {p}$.iffEr 2, 4
Proof, French
5 lines
1.Soit $p$ un élément de $\Natural$.
2.$0 < \NatpredMACRoG {p}$ si et seulement si le successeur de $0$ est inférieur à $p$.Nat.lt_pred_iff
3.Supposons que $p$ est premier.
4.$1 < p$.Nat.Prime.one_lt 3
5.$0 < \NatpredMACRoG {p}$.iffEr 2, 4
Proof, Czech
5 lines
1.Nechť $p$ je prvek $\Natural$.
2.$0 < \NatpredMACRoG {p}$, právě tehdy, když následník $0$ je menší než $p$.Nat.lt_pred_iff
3.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
4.$1 < p$.Nat.Prime.one_lt 3
5.$0 < \NatpredMACRoG {p}$.iffEr 2, 4
Proof, German
5 lines
1.Sei $p$ ein Element von $\Natural$.
2.$0 < \NatpredMACRoG {p}$, genau dann, wenn der Nachfolger von $0$ kleiner als $p$ ist.Nat.lt_pred_iff
3.Nimm an, dass $p$ prim ist.
4.$1 < p$.Nat.Prime.one_lt 3
5.$0 < \NatpredMACRoG {p}$.iffEr 2, 4
Proof, Swedish
5 lines
1.Låt $p$ vara ett element av $\Natural$.
2.$0 < \NatpredMACRoG {p}$, om och endast om efterföljaret av $0$ är mindre än $p$.Nat.lt_pred_iff
3.Anta att $p$ är primt.
4.$1 < p$.Nat.Prime.one_lt 3
5.$0 < \NatpredMACRoG {p}$.iffEr 2, 4
Nat.succ_pred_primetheoremBasic.lean:61
Lean
theorem succ_pred_prime {p : ℕ} (pp : Prime p) : succ (pred p) = p :=
  succ_pred_eq_of_pos pp.pos
Dedukti
2 lines
def Nat__succ_pred_prime : (p : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> Proof (Eq (succ (Nat__pred p)) p) :=
  p => pp => Nat__succ_pred_eq_of_pos p (Nat__Prime__pos p pp).
English
Let $p$ be a prime natural number. Then the successor of the predecessor of $p$ is equal to $p$.
French
Soit $p$ un nombre naturel premier. Alors le successeur du prédécesseur de $p$ est égal à $p$.
Czech
Nechť $p$ je prvočíselné přirozené číslo. Tedy následník předchůdce $p$ je rovný $p$.
German
Sei $p$ eine prime natürliche Zahl. Dann ist der Nachfolger vom Vorgänger von $p$ gleich $p$.
Swedish
Låt $p$ vara ett primt naturligt tal. Då är efterföljaret av föregångaren av $p$ lika med $p$.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash \mathrm{succ} (\NatpredMACRoG {p})= p$
Proof
4 lines
1.Let $p$ be an element of $\Natural$.
2.Assume that $p$ is prime.
3.$0 < p$.Nat.Prime.pos 2
4.The successor of $\NatpredMACRoG {p}$ is equal to $p$.Nat.succ_pred_eq_of_pos 3
Proof, French
4 lines
1.Soit $p$ un élément de $\Natural$.
2.Supposons que $p$ est premier.
3.$0 < p$.Nat.Prime.pos 2
4.Le successeur de $\NatpredMACRoG {p}$ est égal à $p$.Nat.succ_pred_eq_of_pos 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $p$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
3.$0 < p$.Nat.Prime.pos 2
4.Následník $\NatpredMACRoG {p}$ je rovný $p$.Nat.succ_pred_eq_of_pos 3
Proof, German
4 lines
1.Sei $p$ ein Element von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $p$ prim ist.
3.$0 < p$.Nat.Prime.pos 2
4.Der Nachfolger von $\NatpredMACRoG {p}$ ist gleich $p$.Nat.succ_pred_eq_of_pos 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $p$ vara ett element av $\Natural$.
2.Anta att $p$ är primt.
3.$0 < p$.Nat.Prime.pos 2
4.Efterföljaret av $\NatpredMACRoG {p}$ är lika med $p$.Nat.succ_pred_eq_of_pos 3
Nat.exists_dvd_of_not_primetheoremBasic.lean:64
Lean
theorem exists_dvd_of_not_prime {n : ℕ} (n2 : 2 ≤ n) (np : ¬Prime n) : ∃ m, m ∣ n ∧ m ≠ 1 ∧ m ≠ n :=
  ⟨minFac n, minFac_dvd _, ne_of_gt (minFac_prime (ne_of_gt n2)).one_lt,
    ne_of_lt <| (not_prime_iff_minFac_lt n2).1 np⟩
Dedukti
2 lines
def Nat__exists_dvd_of_not_prime : (n : Elem Nat) -> (n2 : Proof (Leq 2 n)) -> (np : Proof (not (prime n))) -> Proof (exists Nat (m => and (divide m n) (and (Neq m 1) (Neq m n)))) :=
  n => n2 => np => existsI Nat (m => and (divide m n) (and (Neq m 1) (Neq m n))) (Nat__minFac n) (andI (divide (Nat__minFac n) n) (and (Neq (Nat__minFac n) 1) (Neq (Nat__minFac n) n)) (Nat__minFac_dvd n) (andI (Neq (Nat__minFac n) 1) (Neq (Nat__minFac n) n) (ne_of_gt Nat (Nat__minFac n) 1 (Nat__Prime__one_lt (Nat__minFac n) (Nat__minFac_prime n (ne_of_gt Nat n 1 n2)))) (Nat__ne_of_lt (Nat__minFac n) n (iffEl (not (prime n)) (Lt (Nat__minFac n) n) (Nat__not_prime_iff_minFac_lt n n2) np)))).
English
Let $n$ be a natural number such that $2 \leq n$ and $n$ is not prime. Then there exists a natural number $m$, such that $m$ divides $n$, $m \neq 1$ and $m \neq n$.
French
Soit $n$ un nombre naturel tel que $2 \leq n$ et $n$ ne soit pas premier. Alors il existe un nombre naturel $m$ tel que $m$ divise $n$, $m \neq 1$ et $m \neq n$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo takové, že $2 \leq n$ a $n$ není prvočíselné. Tedy existuje přirozené číslo $m$, takový, že $m$ dělí $n$, $m \neq 1$ a $m \neq n$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass $2 \leq n$ und $n$ nicht prim ist. Dann gibt es eine natürliche Zahl $m$, derart, dass teilt $m$ $n$, $m \neq 1$ und $m \neq n$.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal sådant att $2 \leq n$ och $n$ inte är primt. Då finns det ett naturligt tal $m$, så att $m$ delar $n$, $m \neq 1$ och $m \neq n$.
Formula
$n \in \Natural , 2 \leq n , \neg \mathrm{prime} (n)\vdash \exists m \in \Natural . \divides {m}{n}\wedge (m \neq 1 \wedge m \neq n)$
Proof
14 lines
1.Let $n$ be an element of $\Natural$.
2.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.Nat.minFac_dvd
3.Assume that $2 \leq n$.
4.$n \neq 1$.ne_of_gt 3
5.$\NatminFacMACRoB {n}$ is prime.Nat.minFac_prime 4
6.$1 < \NatminFacMACRoB {n}$.Nat.Prime.one_lt 5
7.$\NatminFacMACRoB {n}\neq 1$.ne_of_gt 6
8.$n$ is not prime, if and only if $\NatminFacMACRoB {n}< n$.Nat.not_prime_iff_minFac_lt 3
9.Assume that $n$ is not prime.
10.$\NatminFacMACRoB {n}< n$.iffEl 8, 9
11.$\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.Nat.ne_of_lt 10
12.$\NatminFacMACRoB {n}\neq 1$ and $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.andI 7, 11
13.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$, $\NatminFacMACRoB {n}\neq 1$ and $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.andI 2, 12
14.There exists an element $m$ of $\Natural$, such that $\divides {m}{n}$, $m \neq 1$ and $m \neq n$.existsI 13
Proof, French
14 lines
1.Soit $n$ un élément de $\Natural$.
2.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.Nat.minFac_dvd
3.Supposons que $2 \leq n$.
4.$n \neq 1$.ne_of_gt 3
5.$\NatminFacMACRoB {n}$ est premier.Nat.minFac_prime 4
6.$1 < \NatminFacMACRoB {n}$.Nat.Prime.one_lt 5
7.$\NatminFacMACRoB {n}\neq 1$.ne_of_gt 6
8.$n$ n'est pas premier si et seulement si $\NatminFacMACRoB {n}< n$.Nat.not_prime_iff_minFac_lt 3
9.Supposons que $n$ n'est pas premier.
10.$\NatminFacMACRoB {n}< n$.iffEl 8, 9
11.$\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.Nat.ne_of_lt 10
12.$\NatminFacMACRoB {n}\neq 1$ et $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.andI 7, 11
13.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$, $\NatminFacMACRoB {n}\neq 1$ et $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.andI 2, 12
14.Il existe un élément $m$ de $\Natural$ tel que $\divides {m}{n}$, $m \neq 1$ et $m \neq n$.existsI 13
Proof, Czech
14 lines
1.Nechť $n$ je prvek $\Natural$.
2.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.Nat.minFac_dvd
3.Předpokládejme, že $2 \leq n$.
4.$n \neq 1$.ne_of_gt 3
5.$\NatminFacMACRoB {n}$ je prvočíselné.Nat.minFac_prime 4
6.$1 < \NatminFacMACRoB {n}$.Nat.Prime.one_lt 5
7.$\NatminFacMACRoB {n}\neq 1$.ne_of_gt 6
8.$n$ není prvočíselné, právě tehdy, když $\NatminFacMACRoB {n}< n$.Nat.not_prime_iff_minFac_lt 3
9.Předpokládejme, že $n$ není prvočíselné.
10.$\NatminFacMACRoB {n}< n$.iffEl 8, 9
11.$\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.Nat.ne_of_lt 10
12.$\NatminFacMACRoB {n}\neq 1$ a $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.andI 7, 11
13.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$, $\NatminFacMACRoB {n}\neq 1$ a $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.andI 2, 12
14.Existuje prvek $m$ $\Natural$, takový, že $\divides {m}{n}$, $m \neq 1$ a $m \neq n$.existsI 13
Proof, German
14 lines
1.Sei $n$ ein Element von $\Natural$.
2.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.Nat.minFac_dvd
3.Nimm an, dass $2 \leq n$.
4.$n \neq 1$.ne_of_gt 3
5.$\NatminFacMACRoB {n}$ ist prim.Nat.minFac_prime 4
6.$1 < \NatminFacMACRoB {n}$.Nat.Prime.one_lt 5
7.$\NatminFacMACRoB {n}\neq 1$.ne_of_gt 6
8.$n$ ist nicht prim, genau dann, wenn $\NatminFacMACRoB {n}< n$.Nat.not_prime_iff_minFac_lt 3
9.Nimm an, dass $n$ nicht prim ist.
10.$\NatminFacMACRoB {n}< n$.iffEl 8, 9
11.$\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.Nat.ne_of_lt 10
12.$\NatminFacMACRoB {n}\neq 1$ und $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.andI 7, 11
13.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$, $\NatminFacMACRoB {n}\neq 1$ und $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.andI 2, 12
14.Es gibt ein Element $m$ von $\Natural$, derart, dass $\divides {m}{n}$, $m \neq 1$ und $m \neq n$.existsI 13
Proof, Swedish
14 lines
1.Låt $n$ vara ett element av $\Natural$.
2.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.Nat.minFac_dvd
3.Anta att $2 \leq n$.
4.$n \neq 1$.ne_of_gt 3
5.$\NatminFacMACRoB {n}$ är primt.Nat.minFac_prime 4
6.$1 < \NatminFacMACRoB {n}$.Nat.Prime.one_lt 5
7.$\NatminFacMACRoB {n}\neq 1$.ne_of_gt 6
8.$n$ är inte primt, om och endast om $\NatminFacMACRoB {n}< n$.Nat.not_prime_iff_minFac_lt 3
9.Anta att $n$ inte är primt.
10.$\NatminFacMACRoB {n}< n$.iffEl 8, 9
11.$\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.Nat.ne_of_lt 10
12.$\NatminFacMACRoB {n}\neq 1$ och $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.andI 7, 11
13.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$, $\NatminFacMACRoB {n}\neq 1$ och $\NatminFacMACRoB {n}\neq n$.andI 2, 12
14.Det finns ett element $m$ av $\Natural$, så att $\divides {m}{n}$, $m \neq 1$ och $m \neq n$.existsI 13
Nat.exists_dvd_of_not_prime2theoremBasic.lean:68
Lean
theorem exists_dvd_of_not_prime2 {n : ℕ} (n2 : 2 ≤ n) (np : ¬Prime n) :
    ∃ m, m ∣ n ∧ 2 ≤ m ∧ m < n :=
  ⟨minFac n, minFac_dvd _, (minFac_prime (ne_of_gt n2)).two_le,
    (not_prime_iff_minFac_lt n2).1 np⟩
Dedukti
2 lines
def Nat__exists_dvd_of_not_prime2 : (n : Elem Nat) -> (n2 : Proof (Leq 2 n)) -> (np : Proof (not (prime n))) -> Proof (exists Nat (m => and (divide m n) (and (Leq 2 m) (Lt m n)))) :=
  n => n2 => np => existsI Nat (m => and (divide m n) (and (Leq 2 m) (Lt m n))) (Nat__minFac n) (andI (divide (Nat__minFac n) n) (and (Leq 2 (Nat__minFac n)) (Lt (Nat__minFac n) n)) (Nat__minFac_dvd n) (andI (Leq 2 (Nat__minFac n)) (Lt (Nat__minFac n) n) (Nat__Prime__two_le (Nat__minFac n) (Nat__minFac_prime n (ne_of_gt Nat n 1 n2))) (iffEl (not (prime n)) (Lt (Nat__minFac n) n) (Nat__not_prime_iff_minFac_lt n n2) np))).
English
Let $n$ be a natural number such that $2 \leq n$ and $n$ is not prime. Then there exists a natural number $m$, such that $m$ divides $n$ and $2 \leq m < n$.
French
Soit $n$ un nombre naturel tel que $2 \leq n$ et $n$ ne soit pas premier. Alors il existe un nombre naturel $m$ tel que $m$ divise $n$ et $2 \leq m < n$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo takové, že $2 \leq n$ a $n$ není prvočíselné. Tedy existuje přirozené číslo $m$, takový, že $m$ dělí $n$ a $2 \leq m < n$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass $2 \leq n$ und $n$ nicht prim ist. Dann gibt es eine natürliche Zahl $m$, derart, dass $m$ $n$ teilt und $2 \leq m < n$.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal sådant att $2 \leq n$ och $n$ inte är primt. Då finns det ett naturligt tal $m$, så att $m$ delar $n$ och $2 \leq m < n$.
Formula
$n \in \Natural , 2 \leq n , \neg \mathrm{prime} (n)\vdash \exists m \in \Natural . \divides {m}{n}\wedge (2 \leq m \wedge m < n)$
Proof
12 lines
1.Let $n$ be an element of $\Natural$.
2.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.Nat.minFac_dvd
3.Assume that $2 \leq n$.
4.$n \neq 1$.ne_of_gt 3
5.$\NatminFacMACRoB {n}$ is prime.Nat.minFac_prime 4
6.$2 \leq \NatminFacMACRoB {n}$.Nat.Prime.two_le 5
7.$n$ is not prime, if and only if $\NatminFacMACRoB {n}< n$.Nat.not_prime_iff_minFac_lt 3
8.Assume that $n$ is not prime.
9.$\NatminFacMACRoB {n}< n$.iffEl 7, 8
10.$2 \leq \NatminFacMACRoB {n}< n$.andI 6, 9
11.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$ and $2 \leq \NatminFacMACRoB {n}< n$.andI 2, 10
12.There exists an element $m$ of $\Natural$, such that $\divides {m}{n}$ and $2 \leq m < n$.existsI 11
Proof, French
12 lines
1.Soit $n$ un élément de $\Natural$.
2.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.Nat.minFac_dvd
3.Supposons que $2 \leq n$.
4.$n \neq 1$.ne_of_gt 3
5.$\NatminFacMACRoB {n}$ est premier.Nat.minFac_prime 4
6.$2 \leq \NatminFacMACRoB {n}$.Nat.Prime.two_le 5
7.$n$ n'est pas premier si et seulement si $\NatminFacMACRoB {n}< n$.Nat.not_prime_iff_minFac_lt 3
8.Supposons que $n$ n'est pas premier.
9.$\NatminFacMACRoB {n}< n$.iffEl 7, 8
10.$2 \leq \NatminFacMACRoB {n}< n$.andI 6, 9
11.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$ et $2 \leq \NatminFacMACRoB {n}< n$.andI 2, 10
12.Il existe un élément $m$ de $\Natural$ tel que $\divides {m}{n}$ et $2 \leq m < n$.existsI 11
Proof, Czech
12 lines
1.Nechť $n$ je prvek $\Natural$.
2.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.Nat.minFac_dvd
3.Předpokládejme, že $2 \leq n$.
4.$n \neq 1$.ne_of_gt 3
5.$\NatminFacMACRoB {n}$ je prvočíselné.Nat.minFac_prime 4
6.$2 \leq \NatminFacMACRoB {n}$.Nat.Prime.two_le 5
7.$n$ není prvočíselné, právě tehdy, když $\NatminFacMACRoB {n}< n$.Nat.not_prime_iff_minFac_lt 3
8.Předpokládejme, že $n$ není prvočíselné.
9.$\NatminFacMACRoB {n}< n$.iffEl 7, 8
10.$2 \leq \NatminFacMACRoB {n}< n$.andI 6, 9
11.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$ a $2 \leq \NatminFacMACRoB {n}< n$.andI 2, 10
12.Existuje prvek $m$ $\Natural$, takový, že $\divides {m}{n}$ a $2 \leq m < n$.existsI 11
Proof, German
12 lines
1.Sei $n$ ein Element von $\Natural$.
2.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.Nat.minFac_dvd
3.Nimm an, dass $2 \leq n$.
4.$n \neq 1$.ne_of_gt 3
5.$\NatminFacMACRoB {n}$ ist prim.Nat.minFac_prime 4
6.$2 \leq \NatminFacMACRoB {n}$.Nat.Prime.two_le 5
7.$n$ ist nicht prim, genau dann, wenn $\NatminFacMACRoB {n}< n$.Nat.not_prime_iff_minFac_lt 3
8.Nimm an, dass $n$ nicht prim ist.
9.$\NatminFacMACRoB {n}< n$.iffEl 7, 8
10.$2 \leq \NatminFacMACRoB {n}< n$.andI 6, 9
11.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$ und $2 \leq \NatminFacMACRoB {n}< n$.andI 2, 10
12.Es gibt ein Element $m$ von $\Natural$, derart, dass $\divides {m}{n}$ und $2 \leq m < n$.existsI 11
Proof, Swedish
12 lines
1.Låt $n$ vara ett element av $\Natural$.
2.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$.Nat.minFac_dvd
3.Anta att $2 \leq n$.
4.$n \neq 1$.ne_of_gt 3
5.$\NatminFacMACRoB {n}$ är primt.Nat.minFac_prime 4
6.$2 \leq \NatminFacMACRoB {n}$.Nat.Prime.two_le 5
7.$n$ är inte primt, om och endast om $\NatminFacMACRoB {n}< n$.Nat.not_prime_iff_minFac_lt 3
8.Anta att $n$ inte är primt.
9.$\NatminFacMACRoB {n}< n$.iffEl 7, 8
10.$2 \leq \NatminFacMACRoB {n}< n$.andI 6, 9
11.$\divides {\NatminFacMACRoB {n}}{n}$ och $2 \leq \NatminFacMACRoB {n}< n$.andI 2, 10
12.Det finns ett element $m$ av $\Natural$, så att $\divides {m}{n}$ och $2 \leq m < n$.existsI 11
Nat.not_prime_of_dvd_of_netheoremBasic.lean:73
Lean
theorem not_prime_of_dvd_of_ne {m n : ℕ} (h1 : m ∣ n) (h2 : m ≠ 1) (h3 : m ≠ n) : ¬Prime n :=
  fun h => Or.elim (h.eq_one_or_self_of_dvd m h1) h2 h3
Dedukti
2 lines
def Nat__not_prime_of_dvd_of_ne : (m : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (h1 : Proof (divide m n)) -> (h2 : Proof (Neq m 1)) -> (h3 : Proof (Neq m n)) -> Proof (not (prime n)) :=
  m => n => h1 => h2 => h3 => ifI (prime n) false (h => orE (Eq m 1) (Eq m n) false (Nat__Prime__eq_one_or_self_of_dvd n h m h1) h2 h3).
English
Let $m$ and $n$ be natural numbers such that $m$ divides $n$, $m \neq 1$ and $m \neq n$. Then $n$ is not prime.
French
Soient $m$ et $n$ des nombres naturels tels que $m$ divise $n$, $m \neq 1$ et $m \neq n$. Alors $n$ n'est pas premier.
Czech
Nechť $m$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $m$ dělí $n$, $m \neq 1$ a $m \neq n$. Tedy $n$ není prvočíselné.
German
Seien $m$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass teilt $m$ $n$, $m \neq 1$ und $m \neq n$. Dann ist $n$ nicht prim.
Swedish
Låt $m$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $m$ delar $n$, $m \neq 1$ och $m \neq n$. Då är $n$ inte primt.
Formula
$m , n \in \Natural , \divides {m}{n}, m \neq 1 , m \neq n \vdash \neg \mathrm{prime} (n)$
Proof
8 lines
1.Let $m$ and $n$ be elements of $\Natural$.
2.Assume that $n$ is prime.
3.Assume that $\divides {m}{n}$.
4.$m = 1$ or $m = n$.Nat.Prime.eq_one_or_self_of_dvd 2, 3
5.Assume that $m \neq 1$.
6.Assume that $m \neq n$.
7.We have a contradiction.orE 4, 5, 6
8.If $n$ is prime, then we have a contradiction.ifI 7 [h]
Proof, French
8 lines
1.Soient $m$ et $n$ des éléments de $\Natural$.
2.Supposons que $n$ est premier.
3.Supposons que $\divides {m}{n}$.
4.$m = 1$ ou $m = n$.Nat.Prime.eq_one_or_self_of_dvd 2, 3
5.Supposons que $m \neq 1$.
6.Supposons que $m \neq n$.
7.Nous avons une contradiction.orE 4, 5, 6
8.Si $n$ est premier, alors nous avons une contradiction.ifI 7 [h]
Proof, Czech
8 lines
1.Nechť $m$ a $n$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $n$ je prvočíselné.
3.Předpokládejme, že $\divides {m}{n}$.
4.$m = 1$ nebo $m = n$.Nat.Prime.eq_one_or_self_of_dvd 2, 3
5.Předpokládejme, že $m \neq 1$.
6.Předpokládejme, že $m \neq n$.
7.Máme spor.orE 4, 5, 6
8.Jestliže $n$ je prvočíselné, pak máme spor.ifI 7 [h]
Proof, German
8 lines
1.Seien $m$ und $n$ elemente von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $n$ prim ist.
3.Nimm an, dass $\divides {m}{n}$.
4.$m = 1$ oder $m = n$.Nat.Prime.eq_one_or_self_of_dvd 2, 3
5.Nimm an, dass $m \neq 1$.
6.Nimm an, dass $m \neq n$.
7.Wir haben einen Widerspruch.orE 4, 5, 6
8.Wenn $n$ prim ist, dann haben wir einen Widerspruch.ifI 7 [h]
Proof, Swedish
8 lines
1.Låt $m$ och $n$ vara element av $\Natural$.
2.Anta att $n$ är primt.
3.Anta att $\divides {m}{n}$.
4.$m = 1$ eller $m = n$.Nat.Prime.eq_one_or_self_of_dvd 2, 3
5.Anta att $m \neq 1$.
6.Anta att $m \neq n$.
7.Vi har en kontradiction.orE 4, 5, 6
8.Om $n$ är primt, så har vi en kontradiction.ifI 7 [h]
Nat.not_prime_of_dvd_of_lttheoremBasic.lean:76
Lean
theorem not_prime_of_dvd_of_lt {m n : ℕ} (h1 : m ∣ n) (h2 : 2 ≤ m) (h3 : m < n) : ¬Prime n :=
  not_prime_of_dvd_of_ne h1 (ne_of_gt h2) (ne_of_lt h3)
Dedukti
2 lines
def Nat__not_prime_of_dvd_of_lt : (m : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (h1 : Proof (divide m n)) -> (h2 : Proof (Leq 2 m)) -> (h3 : Proof (Lt m n)) -> Proof (not (prime n)) :=
  m => n => h1 => h2 => h3 => Nat__not_prime_of_dvd_of_ne m n h1 (ne_of_gt Nat m 1 h2) (Nat__ne_of_lt m n h3).
English
Let $m$ and $n$ be natural numbers such that $m$ divides $n$ and $2 \leq m < n$. Then $n$ is not prime.
French
Soient $m$ et $n$ des nombres naturels tels que $m$ divise $n$ et $2 \leq m < n$. Alors $n$ n'est pas premier.
Czech
Nechť $m$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $m$ dělí $n$ a $2 \leq m < n$. Tedy $n$ není prvočíselné.
German
Seien $m$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $m$ $n$ teilt und $2 \leq m < n$. Dann ist $n$ nicht prim.
Swedish
Låt $m$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $m$ delar $n$ och $2 \leq m < n$. Då är $n$ inte primt.
Formula
$m , n \in \Natural , \divides {m}{n}, 2 \leq m , m < n \vdash \neg \mathrm{prime} (n)$
Proof
7 lines
1.Let $m$ and $n$ be elements of $\Natural$.
2.Assume that $\divides {m}{n}$.
3.Assume that $2 \leq m$.
4.$m \neq 1$.ne_of_gt 3
5.Assume that $m < n$.
6.$m \neq n$.Nat.ne_of_lt 5
7.$n$ is not prime.Nat.not_prime_of_dvd_of_ne 2, 4, 6
Proof, French
7 lines
1.Soient $m$ et $n$ des éléments de $\Natural$.
2.Supposons que $\divides {m}{n}$.
3.Supposons que $2 \leq m$.
4.$m \neq 1$.ne_of_gt 3
5.Supposons que $m < n$.
6.$m \neq n$.Nat.ne_of_lt 5
7.$n$ n'est pas premier.Nat.not_prime_of_dvd_of_ne 2, 4, 6
Proof, Czech
7 lines
1.Nechť $m$ a $n$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $\divides {m}{n}$.
3.Předpokládejme, že $2 \leq m$.
4.$m \neq 1$.ne_of_gt 3
5.Předpokládejme, že $m < n$.
6.$m \neq n$.Nat.ne_of_lt 5
7.$n$ není prvočíselné.Nat.not_prime_of_dvd_of_ne 2, 4, 6
Proof, German
7 lines
1.Seien $m$ und $n$ elemente von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $\divides {m}{n}$.
3.Nimm an, dass $2 \leq m$.
4.$m \neq 1$.ne_of_gt 3
5.Nimm an, dass $m < n$.
6.$m \neq n$.Nat.ne_of_lt 5
7.$n$ ist nicht prim.Nat.not_prime_of_dvd_of_ne 2, 4, 6
Proof, Swedish
7 lines
1.Låt $m$ och $n$ vara element av $\Natural$.
2.Anta att $\divides {m}{n}$.
3.Anta att $2 \leq m$.
4.$m \neq 1$.ne_of_gt 3
5.Anta att $m < n$.
6.$m \neq n$.Nat.ne_of_lt 5
7.$n$ är inte primt.Nat.not_prime_of_dvd_of_ne 2, 4, 6
Nat.not_prime_iff_exists_dvd_netheoremBasic.lean:79
Lean
theorem not_prime_iff_exists_dvd_ne {n : ℕ} (h : 2 ≤ n) : (¬Prime n) ↔ ∃ m, m ∣ n ∧ m ≠ 1 ∧ m ≠ n :=
Dedukti
1 lines
Nat__not_prime_iff_exists_dvd_ne : (n : Elem Nat) -> (h : Proof (Leq 2 n)) -> Proof (iff (not (prime n)) (exists Nat (m => and (divide m n) (and (Neq m 1) (Neq m n))))).
English
Let $n$ be a natural number such that $2 \leq n$. Then $n$ is not prime, if and only if there exists a natural number $m$, such that $m$ divides $n$, $m \neq 1$ and $m \neq n$.
French
Soit $n$ un nombre naturel tel que $2 \leq n$. Alors $n$ n'est pas premier si et seulement si il existe un nombre naturel $m$ tel que $m$ divise $n$, $m \neq 1$ et $m \neq n$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo takové, že $2 \leq n$. Tedy $n$ není prvočíselné, právě tehdy, když existuje přirozené číslo $m$, takový, že $m$ dělí $n$, $m \neq 1$ a $m \neq n$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass $2 \leq n$. Dann ist $n$ nicht prim, genau dann, wenn es eine natürliche Zahl $m$ gibt, derart, dass teilt $m$ $n$, $m \neq 1$ und $m \neq n$.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal sådant att $2 \leq n$. Då är $n$ inte primt, om och endast om det finns ett naturligt tal $m$, så att $m$ delar $n$, $m \neq 1$ och $m \neq n$.
Formula
$n \in \Natural , 2 \leq n \vdash \neg \mathrm{prime} (n)\leftrightarrow (\exists m \in \Natural . \divides {m}{n}\wedge (m \neq 1 \wedge m \neq n))$
Nat.not_prime_iff_exists_dvd_lttheoremBasic.lean:82
Lean
theorem not_prime_iff_exists_dvd_lt {n : ℕ} (h : 2 ≤ n) : (¬Prime n) ↔ ∃ m, m ∣ n ∧ 2 ≤ m ∧ m < n :=
Dedukti
1 lines
Nat__not_prime_iff_exists_dvd_lt : (n : Elem Nat) -> (h : Proof (Leq 2 n)) -> Proof (iff (not (prime n)) (exists Nat (m => and (divide m n) (and (Leq 2 m) (Lt m n))))).
English
Let $n$ be a natural number such that $2 \leq n$. Then $n$ is not prime, if and only if there exists a natural number $m$, such that $m$ divides $n$ and $2 \leq m < n$.
French
Soit $n$ un nombre naturel tel que $2 \leq n$. Alors $n$ n'est pas premier si et seulement si il existe un nombre naturel $m$ tel que $m$ divise $n$ et $2 \leq m < n$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo takové, že $2 \leq n$. Tedy $n$ není prvočíselné, právě tehdy, když existuje přirozené číslo $m$, takový, že $m$ dělí $n$ a $2 \leq m < n$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass $2 \leq n$. Dann ist $n$ nicht prim, genau dann, wenn es eine natürliche Zahl $m$ gibt, derart, dass $m$ $n$ teilt und $2 \leq m < n$.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal sådant att $2 \leq n$. Då är $n$ inte primt, om och endast om det finns ett naturligt tal $m$, så att $m$ delar $n$ och $2 \leq m < n$.
Formula
$n \in \Natural , 2 \leq n \vdash \neg \mathrm{prime} (n)\leftrightarrow (\exists m \in \Natural . \divides {m}{n}\wedge (2 \leq m \wedge m < n))$
Nat.not_prime_iff_exists_mul_eqtheoremBasic.lean:85
Lean
theorem not_prime_iff_exists_mul_eq {n : ℕ} (h : 2 ≤ n) :
    (¬Prime n) ↔ ∃ a b, a < n ∧ b < n ∧ a * b = n :=
Dedukti
1 lines
Nat__not_prime_iff_exists_mul_eq : (n : Elem Nat) -> (h : Proof (Leq 2 n)) -> Proof (iff (not (prime n)) (exists Nat (a => exists Nat (b => and (Lt a n) (and (Lt b n) (Eq (times a b) n)))))).
English
Let $n$ be a natural number such that $2 \leq n$. Then $n$ is not prime, if and only if there exist natural numbers $a$ and $b$, such that $a < n$, $b < n$ and $a \times b = n$.
French
Soit $n$ un nombre naturel tel que $2 \leq n$. Alors $n$ n'est pas premier si et seulement si il existent des nombres naturels $a$ et $b$ tel que $a < n$, $b < n$ et $a \times b = n$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo takové, že $2 \leq n$. Tedy $n$ není prvočíselné, právě tehdy, když existují přirozená čísla $a$ a $b$, takový, že $a < n$, $b < n$ a $a \times b = n$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass $2 \leq n$. Dann ist $n$ nicht prim, genau dann, wenn es natürliche Zahlen $a$ und $b$ gibt, derart, dass $a < n$, $b < n$ und $a \times b = n$.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal sådant att $2 \leq n$. Då är $n$ inte primt, om och endast om det finns naturliga tal $a$ och $b$, så att $a < n$, $b < n$ och $a \times b = n$.
Formula
$n \in \Natural , 2 \leq n \vdash \neg \mathrm{prime} (n)\leftrightarrow (\exists a \in \Natural . \exists b \in \Natural . a < n \wedge (b < n \wedge a \times b = n))$
Nat.dvd_of_forall_prime_mul_dvdtheoremBasic.lean:89
Lean
theorem dvd_of_forall_prime_mul_dvd {a b : ℕ}
    (hdvd : ∀ p : ℕ, p.Prime → p ∣ a → p * a ∣ b) : a ∣ b :=
Dedukti
1 lines
Nat__dvd_of_forall_prime_mul_dvd : (a : Elem Nat) -> (b : Elem Nat) -> (hdvd : Proof (forall Nat (p => if (prime p) (if (divide p a) (divide (times p a) b))))) -> Proof (divide a b).
English
Let $a$ and $b$ be natural numbers such that for all natural numbers $p$, if $p$ is prime, then if $p$ divides $a$, then $p \times a$ divides $b$. Then $a$ divides $b$.
French
Soient $a$ et $b$ des nombres naturels tels que pour tous les nombres naturels $p$, si $p$ est premier, alors si $p$ divise $a$, alors $p \times a$ divise $b$. Alors $a$ divise $b$.
Czech
Nechť $a$ a $b$ je přirozené číslo takové, že pro všechna přirozená čísla $p$, jestliže $p$ je prvočíselné, pak jestliže $p$ dělí $a$, pak $p \times a$ dělí $b$. Tedy $a$ dělí $b$.
German
Seien $a$ und $b$ natürliche Zahlen derart, dass für alle natürliche Zahlen $p$, wenn $p$ prim ist, dann wenn $p$ $a$ teilt, dann $p \times a$ $b$ teilt. Dann teilt $a$ $b$.
Swedish
Låt $a$ och $b$ vara naturliga tal sådana att för alla naturliga tal $p$, om $p$ är primt, så om $p$ delar $a$, så delar $p \times a$ $b$. Då delar $a$ $b$.
Formula
$a , b \in \Natural , \forall p \in \Natural . \mathrm{prime} (p)\rightarrow \divides {p}{a}\rightarrow \divides {p \times a}{b}\vdash \divides {a}{b}$
Nat.Prime.even_ifftheoremBasic.lean:96
Lean
theorem Prime.even_iff {p : ℕ} (hp : Prime p) : Even p ↔ p = 2 :=
Dedukti
1 lines
Nat__Prime__even_iff : (p : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> Proof (iff (even p) (Eq p 2)).
English
Let $p$ be a prime natural number. Then $p$ is even, if and only if $p = 2$.
French
Soit $p$ un nombre naturel premier. Alors $p$ est pair si et seulement si $p = 2$.
Czech
Nechť $p$ je prvočíselné přirozené číslo. Tedy $p$ je sudé, právě tehdy, když $p = 2$.
German
Sei $p$ eine prime natürliche Zahl. Dann ist $p$ gerade, genau dann, wenn $p = 2$.
Swedish
Låt $p$ vara ett primt naturligt tal. Då är $p$ jämnt, om och endast om $p = 2$.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash \mathrm{even} (p)\leftrightarrow p = 2$
Nat.Prime.odd_ifftheoremBasic.lean:99
Lean
theorem Prime.odd_iff {p : ℕ} (hp : Prime p) : Odd p ↔ 3 ≤ p :=
Dedukti
1 lines
Nat__Prime__odd_iff : (p : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> Proof (iff (odd p) (Leq 3 p)).
English
Let $p$ be a prime natural number. Then $p$ is odd, if and only if $3 \leq p$.
French
Soit $p$ un nombre naturel premier. Alors $p$ est impair si et seulement si $3 \leq p$.
Czech
Nechť $p$ je prvočíselné přirozené číslo. Tedy $p$ je liché, právě tehdy, když $3 \leq p$.
German
Sei $p$ eine prime natürliche Zahl. Dann ist $p$ ungerade, genau dann, wenn $3 \leq p$.
Swedish
Låt $p$ vara ett primt naturligt tal. Då är $p$ udda, om och endast om $3 \leq p$.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash \mathrm{odd} (p)\leftrightarrow 3 \leq p$
Nat.Prime.odd_of_ne_twotheoremBasic.lean:103
Lean
theorem Prime.odd_of_ne_two {p : ℕ} (hp : p.Prime) (h_two : p ≠ 2) : Odd p :=
  hp.eq_two_or_odd'.resolve_left h_two
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime__odd_of_ne_two : (p : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> (h_two : Proof (Neq p 2)) -> Proof (odd p) :=
  p => hp => h_two => Or__resolve_left (Eq p 2) (odd p) (Nat__Prime__eq_two_or_odd' p hp) h_two.
English
Let $p$ be a natural number such that $p$ is prime and $p \neq 2$. Then $p$ is odd.
French
Soit $p$ un nombre naturel tel que $p$ soit premier et $p \neq 2$. Alors $p$ est impair.
Czech
Nechť $p$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné a $p \neq 2$. Tedy $p$ je liché.
German
Sei $p$ eine natürliche Zahl derart, dass $p$ prim ist und $p \neq 2$. Dann ist $p$ ungerade.
Swedish
Låt $p$ vara ett naturligt tal sådant att $p$ är primt och $p \neq 2$. Då är $p$ udda.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{prime} (p), p \neq 2 \vdash \mathrm{odd} (p)$
Proof
5 lines
1.Let $p$ be an element of $\Natural$.
2.Assume that $p$ is prime.
3.$p = 2$ or $p$ is odd.Nat.Prime.eq_two_or_odd' 2
4.Assume that $p \neq 2$.
5.$p$ is odd.Or.resolve_left 3, 4
Proof, French
5 lines
1.Soit $p$ un élément de $\Natural$.
2.Supposons que $p$ est premier.
3.$p = 2$ ou $p$ est impair.Nat.Prime.eq_two_or_odd' 2
4.Supposons que $p \neq 2$.
5.$p$ est impair.Or.resolve_left 3, 4
Proof, Czech
5 lines
1.Nechť $p$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
3.$p = 2$ nebo $p$ je liché.Nat.Prime.eq_two_or_odd' 2
4.Předpokládejme, že $p \neq 2$.
5.$p$ je liché.Or.resolve_left 3, 4
Proof, German
5 lines
1.Sei $p$ ein Element von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $p$ prim ist.
3.$p = 2$ oder $p$ ist ungerade.Nat.Prime.eq_two_or_odd' 2
4.Nimm an, dass $p \neq 2$.
5.$p$ ist ungerade.Or.resolve_left 3, 4
Proof, Swedish
5 lines
1.Låt $p$ vara ett element av $\Natural$.
2.Anta att $p$ är primt.
3.$p = 2$ eller $p$ är udda.Nat.Prime.eq_two_or_odd' 2
4.Anta att $p \neq 2$.
5.$p$ är udda.Or.resolve_left 3, 4
Nat.Prime.even_sub_onetheoremBasic.lean:106
Lean
theorem Prime.even_sub_one {p : ℕ} (hp : p.Prime) (h2 : p ≠ 2) : Even (p - 1) :=
Dedukti
1 lines
Nat__Prime__even_sub_one : (p : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> (h2 : Proof (Neq p 2)) -> Proof (even (minus p 1)).
English
Let $p$ be a natural number such that $p$ is prime and $p \neq 2$. Then $p - 1$ is even.
French
Soit $p$ un nombre naturel tel que $p$ soit premier et $p \neq 2$. Alors $p - 1$ est pair.
Czech
Nechť $p$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné a $p \neq 2$. Tedy $p - 1$ je sudé.
German
Sei $p$ eine natürliche Zahl derart, dass $p$ prim ist und $p \neq 2$. Dann ist $p - 1$ gerade.
Swedish
Låt $p$ vara ett naturligt tal sådant att $p$ är primt och $p \neq 2$. Då är $p - 1$ jämnt.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{prime} (p), p \neq 2 \vdash \mathrm{even} (p - 1)$
Nat.forall_prime_iff_two_and_oddtheoremBasic.lean:110
A property holds for every prime iff it holds for 2 and for every odd prime.
Lean
theorem forall_prime_iff_two_and_odd {P : ℕ → Prop} :
    (∀ p, p.Prime → P p) ↔ P 2 ∧ ∀ p, p.Prime → Odd p → P p :=
Dedukti
1 lines
Nat__forall_prime_iff_two_and_odd : (P : (Elem Nat -> Prop)) -> Proof (iff (forall Nat (p => if (prime p) (P p))) (and (P 2) (forall Nat (p1 => if (prime p1) (if (odd p1) (P p1)))))).
English
Let $P$ be a function from natural numbers to propositions. Then for all natural numbers $p$, if $p$ is prime, then $P$ holds for $p$, if and only if $P$ holds for $2$ and for all natural numbers $p_{1}$, if $p_{1}$ is prime, then if $p_{1}$ is odd, then $P$ holds for $p_{1}$.
French
Soit $P$ une fonction des nombres naturels à des propositions. Alors pour tous les nombres naturels $p$, si $p$ est premier, alors $P$ tient pour $p$ si et seulement si $P$ tient pour $2$ et pour tous des nombres naturels $p_{1}$, si $p_{1}$ est premier, alors si $p_{1}$ est impair, alors $P$ tient pour $p_{1}$.
Czech
Nechť $P$ je funkce z přirozených čísl do výroků. Tedy pro všechna přirozená čísla $p$, jestliže $p$ je prvočíselné, pak $P$ platí pro $p$, právě tehdy, když $P$ platí pro $2$ a pro všechna přirozená čísla $p_{1}$, jestliže $p_{1}$ je prvočíselné, pak jestliže $p_{1}$ je liché, pak $P$ platí pro $p_{1}$.
German
Sei $P$ eine Funktion aus natürlichen Zahlen nach Propositionen. Dann für alle natürliche Zahlen $p$, wenn $p$ prim ist, dann hält $P$ für $p$, genau dann, wenn $P$ für $2$ hält und für alle natürliche Zahlen $p_{1}$, wenn $p_{1}$ prim ist, dann wenn $p_{1}$ ungerade ist, dann $P$ für $p_{1}$ hält.
Swedish
Låt $P$ vara en funktion från naturliga tal till påståenden. Då för alla naturliga tal $p$, om $p$ är primt, så håller $P$ för $p$, om och endast om $P$ håller för $2$ och för alla naturliga tal $p_{1}$, om $p_{1}$ är primt, så om $p_{1}$ är udda, så håller $P$ för $p_{1}$.
Formula
$P \in \Natural \rightarrow \mathrm{Prop} \vdash (\forall p \in \Natural . \mathrm{prime} (p)\rightarrow P (p))\leftrightarrow P (2)\wedge (\forall p_{1} \in \Natural . \mathrm{prime} (p_{1})\rightarrow \mathrm{odd} (p_{1})\rightarrow P (p_{1}))$
Nat.forall_prime_of_two_of_oddtheoremBasic.lean:118
To prove a property of all primes, it is enough to prove it for 2 and for the odd primes.
Lean
alias ⟨_, forall_prime_of_two_of_odd⟩ := forall_prime_iff_two_and_odd
Dedukti
2 lines
def Nat__forall_prime_of_two_of_odd : (P : (Elem Nat -> Prop)) -> (h : Proof (and (P 2) (forall Nat (p1 => if (prime p1) (if (odd p1) (P p1)))))) -> (p : Elem Nat) -> (h1 : Proof (prime p)) -> Proof (P p) :=
  P => iffEr (forall Nat (p => if (prime p) (P p))) (and (P 2) (forall Nat (p1 => if (prime p1) (if (odd p1) (P p1))))) (Nat__forall_prime_iff_two_and_odd P).
English
Let $P$ be a function from natural numbers to propositions such that $P$ holds for $2$ and for all natural numbers $p_{1}$, if $p_{1}$ is prime, then if $p_{1}$ is odd, then $P$ holds for $p_{1}$. Let $p$ be a prime natural number. Then $P$ holds for $p$.
French
Soit $P$ une fonction des nombres naturels à des propositions telle que $P$ tienne pour $2$ et pour tous des nombres naturels $p_{1}$, si $p_{1}$ est premier, alors si $p_{1}$ est impair, alors $P$ tienne pour $p_{1}$. Soit $p$ un nombre naturel premier. Alors $P$ tient pour $p$.
Czech
Nechť $P$ je funkce z přirozených čísl do výroků taková, že $P$ platí pro $2$ a pro všechna přirozená čísla $p_{1}$, jestliže $p_{1}$ je prvočíselné, pak jestliže $p_{1}$ je liché, pak $P$ platí pro $p_{1}$. Nechť $p$ je prvočíselné přirozené číslo. Tedy $P$ platí pro $p$.
German
Sei $P$ eine Funktion aus natürlichen Zahlen nach Propositionen derart, dass $P$ für $2$ hält und für alle natürliche Zahlen $p_{1}$, wenn $p_{1}$ prim ist, dann wenn $p_{1}$ ungerade ist, dann $P$ für $p_{1}$ hält. Sei $p$ eine prime natürliche Zahl. Dann hält $P$ für $p$.
Swedish
Låt $P$ vara en funktion från naturliga tal till påståenden sådan att $P$ håller för $2$ och för alla naturliga tal $p_{1}$, om $p_{1}$ är primt, så om $p_{1}$ är udda, så håller $P$ för $p_{1}$. Låt $p$ vara ett primt naturligt tal. Då håller $P$ för $p$.
Formula
$P \in \Natural \rightarrow \mathrm{Prop} , P (2)\wedge (\forall p_{1} \in \Natural . \mathrm{prime} (p_{1})\rightarrow \mathrm{odd} (p_{1})\rightarrow P (p_{1})), p \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash P (p)$
Proof
2 lines
1.For all elements $p$ of $\Natural$, if $p$ is prime, then $P$ holds for $p$, if and only if $P$ holds for $2$ and for all elements $p_{1}$ of $\Natural$, if $p_{1}$ is prime, then if $p_{1}$ is odd, then $P$ holds for $p_{1}$.Nat.forall_prime_iff_two_and_odd
2.For all elements $p$ of $\Natural$, if $p$ is prime, then $P$ holds for $p$.iffEr 1
Proof, French
2 lines
1.Pour tous les éléments $p$ de $\Natural$, si $p$ est premier, alors $P$ tient pour $p$ si et seulement si $P$ tient pour $2$ et pour tous des éléments $p_{1}$ de $\Natural$, si $p_{1}$ est premier, alors si $p_{1}$ est impair, alors $P$ tient pour $p_{1}$.Nat.forall_prime_iff_two_and_odd
2.Pour tous les éléments $p$ de $\Natural$, si $p$ est premier, alors $P$ tient pour $p$.iffEr 1
Proof, Czech
2 lines
1.Pro všechny prvky $p$ $\Natural$, jestliže $p$ je prvočíselné, pak $P$ platí pro $p$, právě tehdy, když $P$ platí pro $2$ a pro všechny prvky $p_{1}$ $\Natural$, jestliže $p_{1}$ je prvočíselné, pak jestliže $p_{1}$ je liché, pak $P$ platí pro $p_{1}$.Nat.forall_prime_iff_two_and_odd
2.Pro všechny prvky $p$ $\Natural$, jestliže $p$ je prvočíselné, pak $P$ platí pro $p$.iffEr 1
Proof, German
2 lines
1.Für alle Elemente $p$ von $\Natural$, wenn $p$ prim ist, dann hält $P$ für $p$, genau dann, wenn $P$ für $2$ hält und für alle Elemente $p_{1}$ von $\Natural$, wenn $p_{1}$ prim ist, dann wenn $p_{1}$ ungerade ist, dann $P$ für $p_{1}$ hält.Nat.forall_prime_iff_two_and_odd
2.Für alle Elemente $p$ von $\Natural$, wenn $p$ prim ist, dann hält $P$ für $p$.iffEr 1
Proof, Swedish
2 lines
1.För alla element $p$ av $\Natural$, om $p$ är primt, så håller $P$ för $p$, om och endast om $P$ håller för $2$ och för alla element $p_{1}$ av $\Natural$, om $p_{1}$ är primt, så om $p_{1}$ är udda, så håller $P$ för $p_{1}$.Nat.forall_prime_iff_two_and_odd
2.För alla element $p$ av $\Natural$, om $p$ är primt, så håller $P$ för $p$.iffEr 1
Nat.Prime.mod_two_eq_one_iff_ne_twotheoremBasic.lean:121
A prime p satisfies p % 2 = 1 if and only if p ≠ 2.
Lean
theorem Prime.mod_two_eq_one_iff_ne_two {p : ℕ} (hp : p.Prime) : p % 2 = 1 ↔ p ≠ 2 :=
Dedukti
1 lines
Nat__Prime__mod_two_eq_one_iff_ne_two : (p : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> Proof (iff (Eq (HMod__hMod p 2) 1) (Neq p 2)).
English
Let $p$ be a prime natural number. Then $\HModhModMACRoF {p}{2}= 1$, if and only if $p \neq 2$.
French
Soit $p$ un nombre naturel premier. Alors $\HModhModMACRoF {p}{2}= 1$ si et seulement si $p \neq 2$.
Czech
Nechť $p$ je prvočíselné přirozené číslo. Tedy $\HModhModMACRoF {p}{2}= 1$, právě tehdy, když $p \neq 2$.
German
Sei $p$ eine prime natürliche Zahl. Dann $\HModhModMACRoF {p}{2}= 1$, genau dann, wenn $p \neq 2$.
Swedish
Låt $p$ vara ett primt naturligt tal. Då $\HModhModMACRoF {p}{2}= 1$, om och endast om $p \neq 2$.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash \HModhModMACRoH {p}{2}= 1 \leftrightarrow p \neq 2$
Nat.coprime_of_dvd'theoremBasic.lean:126
Lean
theorem coprime_of_dvd' {m n : ℕ} (H : ∀ k, Prime k → k ∣ m → k ∣ n → k ∣ 1) : Coprime m n :=
  coprime_of_dvd fun k kp km kn => not_le_of_gt kp.one_lt <| le_of_dvd Nat.one_pos <| H k kp km kn
Dedukti
2 lines
def Nat__coprime_of_dvd' : (m : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (H : Proof (forall Nat (k => if (prime k) (if (divide k m) (if (divide k n) (divide k 1)))))) -> Proof (Nat__Coprime m n) :=
  m => n => H => Nat__coprime_of_dvd m n (forallI Nat (k => if (prime k) (if (divide k m) (if (divide k n) false))) (k => ifI (prime k) (if (divide k m) (if (divide k n) false)) (kp => ifI (divide k m) (if (divide k n) false) (km => ifI (divide k n) false (kn => not_le_of_gt Nat 1 k (Nat__Prime__one_lt k kp) (Nat__le_of_dvd k 1 Nat__one_pos (ifE (divide k n) (divide k 1) (ifE (divide k m) (if (divide k n) (divide k 1)) (ifE (prime k) (if (divide k m) (if (divide k n) (divide k 1))) (forallE Nat (k1 => if (prime k1) (if (divide k1 m) (if (divide k1 n) (divide k1 1)))) H k) kp) km) kn))))))).
English
Let $m$ and $n$ be natural numbers such that for all natural numbers $k$, if $k$ is prime, then if $k$ divides $m$, then if $k$ divides $n$, then $k$ divides $1$. Then $m$ and $n$ are coprime.
French
Soient $m$ et $n$ des nombres naturels tels que pour tous les nombres naturels $k$, si $k$ est premier, alors si $k$ divise $m$, alors si $k$ divise $n$, alors $k$ divise $1$. Alors $\NatCoprimeMACRoC {m}{n}$.
Czech
Nechť $m$ a $n$ je přirozené číslo takové, že pro všechna přirozená čísla $k$, jestliže $k$ je prvočíselné, pak jestliže $k$ dělí $m$, pak jestliže $k$ dělí $n$, pak $k$ dělí $1$. Tedy $m$ a $n$ je nesoudělné.
German
Seien $m$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass für alle natürliche Zahlen $k$, wenn $k$ prim ist, dann wenn $k$ $m$ teilt, dann wenn $k$ $n$ teilt, dann $k$ $1$ teilt. Dann $\NatCoprimeMACRoC {m}{n}$.
Swedish
Låt $m$ och $n$ vara naturliga tal sådana att för alla naturliga tal $k$, om $k$ är primt, så om $k$ delar $m$, så om $k$ delar $n$, så delar $k$ $1$. Då $\NatCoprimeMACRoC {m}{n}$.
Formula
$m , n \in \Natural , \forall k \in \Natural . \mathrm{prime} (k)\rightarrow \divides {k}{m}\rightarrow \divides {k}{n}\rightarrow \divides {k}{1}\vdash \NatCoprimeMACRoD {m}{n}$
Proof
9 lines
1.Let $m$, $n$ and $k$ be elements of $\Natural$.
2.Assume that $k$ is prime.
3.$1 < k$.Nat.Prime.one_lt 2
4.It is not the case that $k \leq 1$.not_le_of_gt 3
5.If $\divides {k}{n}$, then we have a contradiction.ifI 4 [kn]
6.If $\divides {k}{m}$, then if $\divides {k}{n}$, then we have a contradiction.ifI 5 [km]
7.If $k$ is prime, then if $\divides {k}{m}$, then if $\divides {k}{n}$, then we have a contradiction.ifI 6 [kp]
8.For all elements $k$ of $\Natural$, if $k$ is prime, then if $\divides {k}{m}$, then if $\divides {k}{n}$, then we have a contradiction.forallI 1, 7 [k]
9.$\NatCoprimeMACRoD {m}{n}$.Nat.coprime_of_dvd 8
Proof, French
9 lines
1.Soient $m$, $n$ et $k$ des éléments de $\Natural$.
2.Supposons que $k$ est premier.
3.$1 < k$.Nat.Prime.one_lt 2
4.Il n'est pas le cas que $k \leq 1$.not_le_of_gt 3
5.Si $\divides {k}{n}$, alors nous avons une contradiction.ifI 4 [kn]
6.Si $\divides {k}{m}$, alors si $\divides {k}{n}$, alors nous avons une contradiction.ifI 5 [km]
7.Si $k$ est premier, alors si $\divides {k}{m}$, alors si $\divides {k}{n}$, alors nous avons une contradiction.ifI 6 [kp]
8.Pour tous les éléments $k$ de $\Natural$, si $k$ est premier, alors si $\divides {k}{m}$, alors si $\divides {k}{n}$, alors nous avons une contradiction.forallI 1, 7 [k]
9.$\NatCoprimeMACRoD {m}{n}$.Nat.coprime_of_dvd 8
Proof, Czech
9 lines
1.Nechť $m$, $n$ a $k$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $k$ je prvočíselné.
3.$1 < k$.Nat.Prime.one_lt 2
4.Není případ že $k \leq 1$.not_le_of_gt 3
5.Jestliže $\divides {k}{n}$, pak máme spor.ifI 4 [kn]
6.Jestliže $\divides {k}{m}$, pak jestliže $\divides {k}{n}$, pak máme spor.ifI 5 [km]
7.Jestliže $k$ je prvočíselné, pak jestliže $\divides {k}{m}$, pak jestliže $\divides {k}{n}$, pak máme spor.ifI 6 [kp]
8.Pro všechny prvky $k$ $\Natural$, jestliže $k$ je prvočíselné, pak jestliže $\divides {k}{m}$, pak jestliže $\divides {k}{n}$, pak máme spor.forallI 1, 7 [k]
9.$\NatCoprimeMACRoD {m}{n}$.Nat.coprime_of_dvd 8
Proof, German
9 lines
1.Seien $m$, $n$ und $k$ elemente von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $k$ prim ist.
3.$1 < k$.Nat.Prime.one_lt 2
4.Es ist nicht der Fall dass $k \leq 1$.not_le_of_gt 3
5.Wenn $\divides {k}{n}$, dann haben wir einen Widerspruch.ifI 4 [kn]
6.Wenn $\divides {k}{m}$, dann wenn $\divides {k}{n}$, dann haben wir einen Widerspruch.ifI 5 [km]
7.Wenn $k$ prim ist, dann wenn $\divides {k}{m}$, dann wenn $\divides {k}{n}$, dann haben wir einen Widerspruch.ifI 6 [kp]
8.Für alle Elemente $k$ von $\Natural$, wenn $k$ prim ist, dann wenn $\divides {k}{m}$, dann wenn $\divides {k}{n}$, dann haben wir einen Widerspruch.forallI 1, 7 [k]
9.$\NatCoprimeMACRoD {m}{n}$.Nat.coprime_of_dvd 8
Proof, Swedish
9 lines
1.Låt $m$, $n$ och $k$ vara element av $\Natural$.
2.Anta att $k$ är primt.
3.$1 < k$.Nat.Prime.one_lt 2
4.Det är inte fallet att $k \leq 1$.not_le_of_gt 3
5.Om $\divides {k}{n}$, så har vi en kontradiction.ifI 4 [kn]
6.Om $\divides {k}{m}$, så om $\divides {k}{n}$, så har vi en kontradiction.ifI 5 [km]
7.Om $k$ är primt, så om $\divides {k}{m}$, så om $\divides {k}{n}$, så har vi en kontradiction.ifI 6 [kp]
8.För alla element $k$ av $\Natural$, om $k$ är primt, så om $\divides {k}{m}$, så om $\divides {k}{n}$, så har vi en kontradiction.forallI 1, 7 [k]
9.$\NatCoprimeMACRoD {m}{n}$.Nat.coprime_of_dvd 8
Nat.Prime.dvd_iff_not_coprimetheoremBasic.lean:129
Lean
theorem Prime.dvd_iff_not_coprime {p n : ℕ} (pp : Prime p) : p ∣ n ↔ ¬Coprime p n :=
  iff_not_comm.2 pp.coprime_iff_not_dvd
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime__dvd_iff_not_coprime : (p : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> Proof (iff (divide p n) (not (Nat__Coprime p n))) :=
  p => n => pp => iffEr (iff (divide p n) (not (Nat__Coprime p n))) (iff (Nat__Coprime p n) (not (divide p n))) (iff_not_comm (divide p n) (Nat__Coprime p n)) (Nat__Prime__coprime_iff_not_dvd p n pp).
English
Let $p$ and $n$ be natural numbers such that $p$ is prime. Then $p$ divides $n$, if and only if $p$ and $n$ are not coprime.
French
Soient $p$ et $n$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier. Alors $p$ divise $n$ si et seulement si $p$ et $n$ ne sont pas premiers entre eux.
Czech
Nechť $p$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné. Tedy $p$ dělí $n$, právě tehdy, když $p$ a $n$ není nesoudělné.
German
Seien $p$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist. Dann teilt $p$ $n$, genau dann, wenn $p$ und $n$ nicht teilerfremd sind.
Swedish
Låt $p$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt. Då delar $p$ $n$, om och endast om $p$ och $n$ inte är relativt prima.
Formula
$p , n \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash \divides {p}{n}\leftrightarrow \neg (\NatCoprimeMACRoD {p}{n})$
Proof
5 lines
1.Let $p$ and $n$ be elements of $\Natural$.
2.$\divides {p}{n}$, if and only if it is not the case that $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$, if and only if $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$, if and only if it is not the case that $\divides {p}{n}$.iff_not_comm
3.Assume that $p$ is prime.
4.$\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$, if and only if it is not the case that $\divides {p}{n}$.Nat.Prime.coprime_iff_not_dvd 3
5.$\divides {p}{n}$, if and only if it is not the case that $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.iffEr 2, 4
Proof, French
5 lines
1.Soient $p$ et $n$ des éléments de $\Natural$.
2.$\divides {p}{n}$ si et seulement si il n'est pas le cas que $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$ si et seulement si $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$ si et seulement si il n'est pas le cas que $\divides {p}{n}$.iff_not_comm
3.Supposons que $p$ est premier.
4.$\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$ si et seulement si il n'est pas le cas que $\divides {p}{n}$.Nat.Prime.coprime_iff_not_dvd 3
5.$\divides {p}{n}$ si et seulement si il n'est pas le cas que $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.iffEr 2, 4
Proof, Czech
5 lines
1.Nechť $p$ a $n$ je prvek $\Natural$.
2.$\divides {p}{n}$, právě tehdy, když není případ že $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$, právě tehdy, když $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$, právě tehdy, když není případ že $\divides {p}{n}$.iff_not_comm
3.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
4.$\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$, právě tehdy, když není případ že $\divides {p}{n}$.Nat.Prime.coprime_iff_not_dvd 3
5.$\divides {p}{n}$, právě tehdy, když není případ že $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.iffEr 2, 4
Proof, German
5 lines
1.Seien $p$ und $n$ elemente von $\Natural$.
2.$\divides {p}{n}$, genau dann, wenn es nicht der Fall dass $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$ ist, genau dann, wenn $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$, genau dann, wenn es nicht der Fall dass $\divides {p}{n}$ ist.iff_not_comm
3.Nimm an, dass $p$ prim ist.
4.$\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$, genau dann, wenn es nicht der Fall dass $\divides {p}{n}$ ist.Nat.Prime.coprime_iff_not_dvd 3
5.$\divides {p}{n}$, genau dann, wenn es nicht der Fall dass $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$ ist.iffEr 2, 4
Proof, Swedish
5 lines
1.Låt $p$ och $n$ vara element av $\Natural$.
2.$\divides {p}{n}$, om och endast om det inte är fallet att $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$, om och endast om $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$, om och endast om det inte är fallet att $\divides {p}{n}$.iff_not_comm
3.Anta att $p$ är primt.
4.$\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$, om och endast om det inte är fallet att $\divides {p}{n}$.Nat.Prime.coprime_iff_not_dvd 3
5.$\divides {p}{n}$, om och endast om det inte är fallet att $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.iffEr 2, 4
Nat.Prime.not_coprime_iff_dvdtheoremBasic.lean:132
Lean
theorem Prime.not_coprime_iff_dvd {m n : ℕ} : ¬Coprime m n ↔ ∃ p, Prime p ∧ p ∣ m ∧ p ∣ n :=
Dedukti
1 lines
Nat__Prime__not_coprime_iff_dvd : (m : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> Proof (iff (not (Nat__Coprime m n)) (exists Nat (p => and (prime p) (and (divide p m) (divide p n))))).
English
Let $m$ and $n$ be natural numbers. Then $m$ and $n$ are not coprime, if and only if there exists a natural number $p$, such that $p$ is prime, $p$ divides $m$ and $p$ divides $n$.
French
Soient $m$ et $n$ des nombres naturels. Alors $m$ et $n$ ne sont pas premiers entre eux si et seulement si il existe un nombre naturel $p$ tel que $p$ soit premier, $p$ divise $m$ et $p$ divise $n$.
Czech
Nechť $m$ a $n$ je přirozené číslo. Tedy $m$ a $n$ není nesoudělné, právě tehdy, když existuje přirozené číslo $p$, takový, že $p$ je prvočíselné, $p$ dělí $m$ a $p$ dělí $n$.
German
Seien $m$ und $n$ natürliche Zahlen. Dann sind $m$ und $n$ nicht teilerfremd, genau dann, wenn es eine natürliche Zahl $p$ gibt, derart, dass ist $p$ prim, $p$ $m$ teilt und $p$ $n$ teilt.
Swedish
Låt $m$ och $n$ vara naturliga tal. Då är $m$ och $n$ inte relativt prima, om och endast om det finns ett naturligt tal $p$, så att $p$ är primt, $p$ delar $m$ och $p$ delar $n$.
Formula
$m , n \in \Natural \vdash \neg (\NatCoprimeMACRoD {m}{n})\leftrightarrow (\exists p \in \Natural . \mathrm{prime} (p)\wedge (\divides {p}{m}\wedge (\divides {p}{n})))$
Nat.coprime_of_lt_minFactheoremBasic.lean:143
If 0 < m < minFac n, then n and m are coprime.
Lean
lemma coprime_of_lt_minFac {n m : ℕ} (h₀ : m ≠ 0) (h : m < minFac n) : Coprime n m :=
Dedukti
1 lines
Nat__coprime_of_lt_minFac : (n : Elem Nat) -> (m : Elem Nat) -> (h : Proof (Neq m 0)) -> (h1 : Proof (Lt m (Nat__minFac n))) -> Proof (Nat__Coprime n m).
English
Let $n$ and $m$ be natural numbers such that $m \neq 0$ and $m$ is less than the smallest prime factor of $n$. Then $n$ and $m$ are coprime.
French
Soient $n$ et $m$ des nombres naturels tels que $m \neq 0$ et $m$ soit inférieur au plus petit facteur premier de $n$. Alors $\NatCoprimeMACRoC {n}{m}$.
Czech
Nechť $n$ a $m$ je přirozené číslo takové, že $m \neq 0$ a $m$ je menší než nejmenší prvočíselný faktor $n$. Tedy $n$ a $m$ je nesoudělné.
German
Seien $n$ und $m$ natürliche Zahlen derart, dass $m \neq 0$ und $m$ kleiner als dem kleinsten primen Faktoren von $n$ ist. Dann $\NatCoprimeMACRoC {n}{m}$.
Swedish
Låt $n$ och $m$ vara naturliga tal sådana att $m \neq 0$ och $m$ är mindre än den minsta prima faktorn av $n$. Då $\NatCoprimeMACRoC {n}{m}$.
Formula
$n , m \in \Natural , m \neq 0 , m < \NatminFacMACRoB {n}\vdash \NatCoprimeMACRoD {n}{m}$
Nat.gcd_eq_one_of_lt_minFactheoremBasic.lean:150
If 0 < m < minFac n, then n and m have gcd equal to 1.
Lean
lemma gcd_eq_one_of_lt_minFac {n m : ℕ} (h₀ : m ≠ 0) (h : m < minFac n) : n.gcd m = 1 :=
  coprime_iff_gcd_eq_one.mp <| coprime_of_lt_minFac h₀ h
Dedukti
2 lines
def Nat__gcd_eq_one_of_lt_minFac : (n : Elem Nat) -> (m : Elem Nat) -> (h : Proof (Neq m 0)) -> (h1 : Proof (Lt m (Nat__minFac n))) -> Proof (Eq (gcd n m) 1) :=
  n => m => h => h1 => iffEl (Nat__Coprime n m) (Eq (gcd n m) 1) (Nat__coprime_iff_gcd_eq_one n m) (Nat__coprime_of_lt_minFac n m h h1).
English
Let $n$ and $m$ be natural numbers such that $m \neq 0$ and $m$ is less than the smallest prime factor of $n$. Then the greatest common divisor of $n$ and $m$ is equal to $1$.
French
Soient $n$ et $m$ des nombres naturels tels que $m \neq 0$ et $m$ soit inférieur au plus petit facteur premier de $n$. Alors le diviseur commun plus grand de $n$ et de $m$ est égal à $1$.
Czech
Nechť $n$ a $m$ je přirozené číslo takové, že $m \neq 0$ a $m$ je menší než nejmenší prvočíselný faktor $n$. Tedy největší společný dělitel $n$ a $m$ je rovný $1$.
German
Seien $n$ und $m$ natürliche Zahlen derart, dass $m \neq 0$ und $m$ kleiner als dem kleinsten primen Faktoren von $n$ ist. Dann ist der große gemeinsame Teiler von $n$ und $m$ gleich $1$.
Swedish
Låt $n$ och $m$ vara naturliga tal sådana att $m \neq 0$ och $m$ är mindre än den minsta prima faktorn av $n$. Då är det största gemensama delaret av $n$ och $m$ lika med $1$.
Formula
$n , m \in \Natural , m \neq 0 , m < \NatminFacMACRoB {n}\vdash \mathrm{gcd} (n , m)= 1$
Proof
6 lines
1.Let $n$ and $m$ be elements of $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {n}{m}$, if and only if the greatest common divisor of $n$ and $m$ is equal to $1$.Nat.coprime_iff_gcd_eq_one
3.Assume that $m \neq 0$.
4.Assume that $m < \NatminFacMACRoB {n}$.
5.$\NatCoprimeMACRoD {n}{m}$.Nat.coprime_of_lt_minFac 3, 4
6.The greatest common divisor of $n$ and $m$ is equal to $1$.iffEl 2, 5
Proof, French
6 lines
1.Soient $n$ et $m$ des éléments de $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {n}{m}$ si et seulement si le diviseur commun plus grand de $n$ et de $m$ est égal à $1$.Nat.coprime_iff_gcd_eq_one
3.Supposons que $m \neq 0$.
4.Supposons que $m < \NatminFacMACRoB {n}$.
5.$\NatCoprimeMACRoD {n}{m}$.Nat.coprime_of_lt_minFac 3, 4
6.Le diviseur commun plus grand de $n$ et de $m$ est égal à $1$.iffEl 2, 5
Proof, Czech
6 lines
1.Nechť $n$ a $m$ je prvek $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {n}{m}$, právě tehdy, když největší společný dělitel $n$ a $m$ je rovný $1$.Nat.coprime_iff_gcd_eq_one
3.Předpokládejme, že $m \neq 0$.
4.Předpokládejme, že $m < \NatminFacMACRoB {n}$.
5.$\NatCoprimeMACRoD {n}{m}$.Nat.coprime_of_lt_minFac 3, 4
6.Největší společný dělitel $n$ a $m$ je rovný $1$.iffEl 2, 5
Proof, German
6 lines
1.Seien $n$ und $m$ elemente von $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {n}{m}$, genau dann, wenn der große gemeinsame Teiler von $n$ und $m$ gleich $1$ ist.Nat.coprime_iff_gcd_eq_one
3.Nimm an, dass $m \neq 0$.
4.Nimm an, dass $m < \NatminFacMACRoB {n}$.
5.$\NatCoprimeMACRoD {n}{m}$.Nat.coprime_of_lt_minFac 3, 4
6.Der große gemeinsame Teiler von $n$ und $m$ ist gleich $1$.iffEl 2, 5
Proof, Swedish
6 lines
1.Låt $n$ och $m$ vara element av $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {n}{m}$, om och endast om det största gemensama delaret av $n$ och $m$ är lika med $1$.Nat.coprime_iff_gcd_eq_one
3.Anta att $m \neq 0$.
4.Anta att $m < \NatminFacMACRoB {n}$.
5.$\NatCoprimeMACRoD {n}{m}$.Nat.coprime_of_lt_minFac 3, 4
6.Det största gemensama delaret av $n$ och $m$ är lika med $1$.iffEl 2, 5
Nat.Prime.not_dvd_multheoremBasic.lean:153
Lean
theorem Prime.not_dvd_mul {p m n : ℕ} (pp : Prime p) (Hm : ¬p ∣ m) (Hn : ¬p ∣ n) : ¬p ∣ m * n :=
  mt pp.dvd_mul.1 <| by simp [Hm, Hn]
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime__not_dvd_mul : (p : Elem Nat) -> (m : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> (Hm : Proof (not (divide p m))) -> (Hn : Proof (not (divide p n))) -> Proof (not (divide p (times m n))) :=
  p => m => n => pp => Hm => Hn => mt (divide p (times m n)) (or (divide p m) (divide p n)) (iffEl (divide p (times m n)) (or (divide p m) (divide p n)) (Nat__Prime__dvd_mul p m n pp)) (of_eq_true (not (or (divide p m) (divide p n))) (Eq__trans Prop (not (or (divide p m) (divide p n))) (not false) True (congrArg Prop Prop (or (divide p m) (divide p n)) false not (Eq__trans Prop (or (divide p m) (divide p n)) (or false false) false (congr Prop Prop (or (divide p m)) (or false) (divide p n) false (congrArg Prop (Prop -> Prop) (divide p m) false or (eq_false (divide p m) Hm)) (eq_false (divide p n) Hn)) (or_self false))) not_false_eq_true)).
English
Let $p$, $m$ and $n$ be natural numbers such that $p$ is prime, $p$ does not divide $m$ and $p$ does not divide $n$. Then $p$ does not divide $m \times n$.
French
Soient $p$, $m$ et $n$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier, $p$ ne divise pas $m$ et $p$ ne divise pas $n$. Alors $p$ ne divise pas $m \times n$.
Czech
Nechť $p$, $m$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné, $p$ nedělí $m$ a $p$ nedělí $n$. Tedy $p$ nedělí $m \times n$.
German
Seien $p$, $m$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass ist $p$ prim, $p$ nicht $m$ teilt und $p$ nicht $n$ teilt. Dann teilt $p$ nicht $m \times n$.
Swedish
Låt $p$, $m$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt, $p$ inte delar $m$ och $p$ inte delar $n$. Då delar $p$ inte $m \times n$.
Formula
$p , m , n \in \Natural , \mathrm{prime} (p), \neg (\divides {p}{m}), \neg (\divides {p}{n})\vdash \neg (\divides {p}{m \times n})$
Proof
17 lines
1.Let $p$, $m$ and $n$ be elements of $\Natural$.
2.Assume that $p$ is prime.
3.$\divides {p}{m \times n}$, if and only if $\divides {p}{m}$ or $\divides {p}{n}$.Nat.Prime.dvd_mul 2
4.$\divides {p}{m}$ or $\divides {p}{n}$.iffEl 3
5.Assume that it is not the case that $\divides {p}{m}$.
6.$\EqtMACRoJ {\divides {p}{m}}{\mathrm{false}}$.eq_false 5
7.$\EqtMACRoJ {\mathrm{or} (\divides {p}{m})}{\mathrm{or} (\mathrm{false})}$.congrArg 6
8.Assume that it is not the case that $\divides {p}{n}$.
9.$\EqtMACRoJ {\divides {p}{n}}{\mathrm{false}}$.eq_false 8
10.$\EqtMACRoJ {\mathrm{or} (\divides {p}{m}, \divides {p}{n})}{\mathrm{or} (\mathrm{false} , \mathrm{false})}$.congr 7, 9
11.$\EqtMACRoJ {\mathrm{or} (\mathrm{false} , \mathrm{false})}{\mathrm{false}}$.or_self
12.$\EqtMACRoJ {\mathrm{or} (\divides {p}{m}, \divides {p}{n})}{\mathrm{false}}$.Eq.trans 10, 11
13.$\EqtMACRoJ {\mathrm{not} (\mathrm{or} (\divides {p}{m}, \divides {p}{n}))}{\mathrm{not} (\mathrm{false})}$.congrArg 12
14.$\EqtMACRoJ {\mathrm{not} (\mathrm{false})}{\mathrm{True}}$.not_false_eq_true
15.$\EqtMACRoJ {\mathrm{not} (\mathrm{or} (\divides {p}{m}, \divides {p}{n}))}{\mathrm{True}}$.Eq.trans 13, 14
16.It is not the case that $\divides {p}{m}$ or $\divides {p}{n}$.of_eq_true 15
17.It is not the case that $\divides {p}{m \times n}$.mt 4, 16
Proof, French
17 lines
1.Soient $p$, $m$ et $n$ des éléments de $\Natural$.
2.Supposons que $p$ est premier.
3.$\divides {p}{m \times n}$ si et seulement si $\divides {p}{m}$ ou $\divides {p}{n}$.Nat.Prime.dvd_mul 2
4.$\divides {p}{m}$ ou $\divides {p}{n}$.iffEl 3
5.Supposons qu'il n'est pas le cas que $\divides {p}{m}$.
6.$\EqtMACRoJ {\divides {p}{m}}{\mathrm{false}}$.eq_false 5
7.$\EqtMACRoJ {\mathrm{or} (\divides {p}{m})}{\mathrm{or} (\mathrm{false})}$.congrArg 6
8.Supposons qu'il n'est pas le cas que $\divides {p}{n}$.
9.$\EqtMACRoJ {\divides {p}{n}}{\mathrm{false}}$.eq_false 8
10.$\EqtMACRoJ {\mathrm{or} (\divides {p}{m}, \divides {p}{n})}{\mathrm{or} (\mathrm{false} , \mathrm{false})}$.congr 7, 9
11.$\EqtMACRoJ {\mathrm{or} (\mathrm{false} , \mathrm{false})}{\mathrm{false}}$.or_self
12.$\EqtMACRoJ {\mathrm{or} (\divides {p}{m}, \divides {p}{n})}{\mathrm{false}}$.Eq.trans 10, 11
13.$\EqtMACRoJ {\mathrm{not} (\mathrm{or} (\divides {p}{m}, \divides {p}{n}))}{\mathrm{not} (\mathrm{false})}$.congrArg 12
14.$\EqtMACRoJ {\mathrm{not} (\mathrm{false})}{\mathrm{True}}$.not_false_eq_true
15.$\EqtMACRoJ {\mathrm{not} (\mathrm{or} (\divides {p}{m}, \divides {p}{n}))}{\mathrm{True}}$.Eq.trans 13, 14
16.Il n'est pas le cas que $\divides {p}{m}$ ou $\divides {p}{n}$.of_eq_true 15
17.Il n'est pas le cas que $\divides {p}{m \times n}$.mt 4, 16
Proof, Czech
17 lines
1.Nechť $p$, $m$ a $n$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
3.$\divides {p}{m \times n}$, právě tehdy, když $\divides {p}{m}$ nebo $\divides {p}{n}$.Nat.Prime.dvd_mul 2
4.$\divides {p}{m}$ nebo $\divides {p}{n}$.iffEl 3
5.Předpokládejme, že není případ že $\divides {p}{m}$.
6.$\EqtMACRoJ {\divides {p}{m}}{\mathrm{false}}$.eq_false 5
7.$\EqtMACRoJ {\mathrm{or} (\divides {p}{m})}{\mathrm{or} (\mathrm{false})}$.congrArg 6
8.Předpokládejme, že není případ že $\divides {p}{n}$.
9.$\EqtMACRoJ {\divides {p}{n}}{\mathrm{false}}$.eq_false 8
10.$\EqtMACRoJ {\mathrm{or} (\divides {p}{m}, \divides {p}{n})}{\mathrm{or} (\mathrm{false} , \mathrm{false})}$.congr 7, 9
11.$\EqtMACRoJ {\mathrm{or} (\mathrm{false} , \mathrm{false})}{\mathrm{false}}$.or_self
12.$\EqtMACRoJ {\mathrm{or} (\divides {p}{m}, \divides {p}{n})}{\mathrm{false}}$.Eq.trans 10, 11
13.$\EqtMACRoJ {\mathrm{not} (\mathrm{or} (\divides {p}{m}, \divides {p}{n}))}{\mathrm{not} (\mathrm{false})}$.congrArg 12
14.$\EqtMACRoJ {\mathrm{not} (\mathrm{false})}{\mathrm{True}}$.not_false_eq_true
15.$\EqtMACRoJ {\mathrm{not} (\mathrm{or} (\divides {p}{m}, \divides {p}{n}))}{\mathrm{True}}$.Eq.trans 13, 14
16.Není případ že $\divides {p}{m}$ nebo $\divides {p}{n}$.of_eq_true 15
17.Není případ že $\divides {p}{m \times n}$.mt 4, 16
Proof, German
17 lines
1.Seien $p$, $m$ und $n$ elemente von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $p$ prim ist.
3.$\divides {p}{m \times n}$, genau dann, wenn $\divides {p}{m}$ oder $\divides {p}{n}$.Nat.Prime.dvd_mul 2
4.$\divides {p}{m}$ oder $\divides {p}{n}$.iffEl 3
5.Nimm an, dass es nicht der Fall dass $\divides {p}{m}$ ist.
6.$\EqtMACRoJ {\divides {p}{m}}{\mathrm{false}}$.eq_false 5
7.$\EqtMACRoJ {\mathrm{or} (\divides {p}{m})}{\mathrm{or} (\mathrm{false})}$.congrArg 6
8.Nimm an, dass es nicht der Fall dass $\divides {p}{n}$ ist.
9.$\EqtMACRoJ {\divides {p}{n}}{\mathrm{false}}$.eq_false 8
10.$\EqtMACRoJ {\mathrm{or} (\divides {p}{m}, \divides {p}{n})}{\mathrm{or} (\mathrm{false} , \mathrm{false})}$.congr 7, 9
11.$\EqtMACRoJ {\mathrm{or} (\mathrm{false} , \mathrm{false})}{\mathrm{false}}$.or_self
12.$\EqtMACRoJ {\mathrm{or} (\divides {p}{m}, \divides {p}{n})}{\mathrm{false}}$.Eq.trans 10, 11
13.$\EqtMACRoJ {\mathrm{not} (\mathrm{or} (\divides {p}{m}, \divides {p}{n}))}{\mathrm{not} (\mathrm{false})}$.congrArg 12
14.$\EqtMACRoJ {\mathrm{not} (\mathrm{false})}{\mathrm{True}}$.not_false_eq_true
15.$\EqtMACRoJ {\mathrm{not} (\mathrm{or} (\divides {p}{m}, \divides {p}{n}))}{\mathrm{True}}$.Eq.trans 13, 14
16.Es ist nicht der Fall dass $\divides {p}{m}$ oder $\divides {p}{n}$.of_eq_true 15
17.Es ist nicht der Fall dass $\divides {p}{m \times n}$.mt 4, 16
Proof, Swedish
17 lines
1.Låt $p$, $m$ och $n$ vara element av $\Natural$.
2.Anta att $p$ är primt.
3.$\divides {p}{m \times n}$, om och endast om $\divides {p}{m}$ eller $\divides {p}{n}$.Nat.Prime.dvd_mul 2
4.$\divides {p}{m}$ eller $\divides {p}{n}$.iffEl 3
5.Anta att det inte är fallet att $\divides {p}{m}$.
6.$\EqtMACRoJ {\divides {p}{m}}{\mathrm{false}}$.eq_false 5
7.$\EqtMACRoJ {\mathrm{or} (\divides {p}{m})}{\mathrm{or} (\mathrm{false})}$.congrArg 6
8.Anta att det inte är fallet att $\divides {p}{n}$.
9.$\EqtMACRoJ {\divides {p}{n}}{\mathrm{false}}$.eq_false 8
10.$\EqtMACRoJ {\mathrm{or} (\divides {p}{m}, \divides {p}{n})}{\mathrm{or} (\mathrm{false} , \mathrm{false})}$.congr 7, 9
11.$\EqtMACRoJ {\mathrm{or} (\mathrm{false} , \mathrm{false})}{\mathrm{false}}$.or_self
12.$\EqtMACRoJ {\mathrm{or} (\divides {p}{m}, \divides {p}{n})}{\mathrm{false}}$.Eq.trans 10, 11
13.$\EqtMACRoJ {\mathrm{not} (\mathrm{or} (\divides {p}{m}, \divides {p}{n}))}{\mathrm{not} (\mathrm{false})}$.congrArg 12
14.$\EqtMACRoJ {\mathrm{not} (\mathrm{false})}{\mathrm{True}}$.not_false_eq_true
15.$\EqtMACRoJ {\mathrm{not} (\mathrm{or} (\divides {p}{m}, \divides {p}{n}))}{\mathrm{True}}$.Eq.trans 13, 14
16.Det är inte fallet att $\divides {p}{m}$ eller $\divides {p}{n}$.of_eq_true 15
17.Det är inte fallet att $\divides {p}{m \times n}$.mt 4, 16
Nat.coprime_two_lefttheoremBasic.lean:156
Lean
@[simp] lemma coprime_two_left : Coprime 2 n ↔ Odd n :=
Dedukti
1 lines
Nat__coprime_two_left : (n : Elem Nat) -> Proof (iff (Nat__Coprime 2 n) (odd n)).
English
Let $n$ be a natural number. Then $2$ and $n$ are coprime, if and only if $n$ is odd.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Alors $\NatCoprimeMACRoC {2}{n}$ si et seulement si $n$ est impair.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Tedy $2$ a $n$ je nesoudělné, právě tehdy, když $n$ je liché.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann $\NatCoprimeMACRoC {2}{n}$, genau dann, wenn $n$ ungerade ist.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Då $\NatCoprimeMACRoC {2}{n}$, om och endast om $n$ är udda.
Formula
$n \in \Natural \vdash \NatCoprimeMACRoD {2}{n}\leftrightarrow \mathrm{odd} (n)$
Nat.coprime_two_righttheoremBasic.lean:159
Lean
@[simp] lemma coprime_two_right : n.Coprime 2 ↔ Odd n := coprime_comm.trans coprime_two_left
Dedukti
2 lines
def Nat__coprime_two_right : (n : Elem Nat) -> Proof (iff (Nat__Coprime n 2) (odd n)) :=
  n => Iff__trans (Nat__Coprime n 2) (Nat__Coprime 2 n) (odd n) (Nat__coprime_comm n 2) (Nat__coprime_two_left n).
English
Let $n$ be a natural number. Then $n$ and $2$ are coprime, if and only if $n$ is odd.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Alors $\NatCoprimeMACRoC {n}{2}$ si et seulement si $n$ est impair.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Tedy $n$ a $2$ je nesoudělné, právě tehdy, když $n$ je liché.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann $\NatCoprimeMACRoC {n}{2}$, genau dann, wenn $n$ ungerade ist.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Då $\NatCoprimeMACRoC {n}{2}$, om och endast om $n$ är udda.
Formula
$n \in \Natural \vdash \NatCoprimeMACRoD {n}{2}\leftrightarrow \mathrm{odd} (n)$
Proof
4 lines
1.Let $n$ be an element of $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$, if and only if $\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$.Nat.coprime_comm
3.$\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$, if and only if $n$ is odd.Nat.coprime_two_left
4.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$, if and only if $n$ is odd.Iff.trans 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soit $n$ un élément de $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$ si et seulement si $\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$.Nat.coprime_comm
3.$\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$ si et seulement si $n$ est impair.Nat.coprime_two_left
4.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$ si et seulement si $n$ est impair.Iff.trans 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $n$ je prvek $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$, právě tehdy, když $\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$.Nat.coprime_comm
3.$\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$, právě tehdy, když $n$ je liché.Nat.coprime_two_left
4.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$, právě tehdy, když $n$ je liché.Iff.trans 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Sei $n$ ein Element von $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$, genau dann, wenn $\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$.Nat.coprime_comm
3.$\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$, genau dann, wenn $n$ ungerade ist.Nat.coprime_two_left
4.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$, genau dann, wenn $n$ ungerade ist.Iff.trans 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $n$ vara ett element av $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$, om och endast om $\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$.Nat.coprime_comm
3.$\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$, om och endast om $n$ är udda.Nat.coprime_two_left
4.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$, om och endast om $n$ är udda.Iff.trans 2, 3
Odd.coprime_two_lefttheoremBasic.lean:161
*Alias* of the reverse direction of Nat.coprime_two_left.
Lean
protected alias ⟨Coprime.odd_of_left, _root_.Odd.coprime_two_left⟩ := coprime_two_left
Dedukti
2 lines
def Odd__coprime_two_left : (n : Elem Nat) -> (h : Proof (odd n)) -> Proof (Nat__Coprime 2 n) :=
  n => iffEr (Nat__Coprime 2 n) (odd n) (Nat__coprime_two_left n).
English
Let $n$ be an odd natural number. Then $2$ and $n$ are coprime.
French
Soit $n$ un nombre naturel impair. Alors $\NatCoprimeMACRoC {2}{n}$.
Czech
Nechť $n$ je liché přirozené číslo. Tedy $2$ a $n$ je nesoudělné.
German
Sei $n$ eine ungerade natürliche Zahl. Dann $\NatCoprimeMACRoC {2}{n}$.
Swedish
Låt $n$ vara ett udda naturligt tal. Då $\NatCoprimeMACRoC {2}{n}$.
Formula
$n \in \Natural , \mathrm{odd} (n)\vdash \NatCoprimeMACRoD {2}{n}$
Proof
3 lines
1.Let $n$ be an element of $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$, if and only if $n$ is odd.Nat.coprime_two_left
3.$\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$.iffEr 2
Proof, French
3 lines
1.Soit $n$ un élément de $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$ si et seulement si $n$ est impair.Nat.coprime_two_left
3.$\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$.iffEr 2
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $n$ je prvek $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$, právě tehdy, když $n$ je liché.Nat.coprime_two_left
3.$\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$.iffEr 2
Proof, German
3 lines
1.Sei $n$ ein Element von $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$, genau dann, wenn $n$ ungerade ist.Nat.coprime_two_left
3.$\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$.iffEr 2
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $n$ vara ett element av $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$, om och endast om $n$ är udda.Nat.coprime_two_left
3.$\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$.iffEr 2
Nat.Coprime.odd_of_lefttheoremBasic.lean:161
*Alias* of the forward direction of Nat.coprime_two_left.
Lean
protected alias ⟨Coprime.odd_of_left, _root_.Odd.coprime_two_left⟩ := coprime_two_left
Dedukti
2 lines
def Nat__Coprime__odd_of_left : (n : Elem Nat) -> (h : Proof (Nat__Coprime 2 n)) -> Proof (odd n) :=
  n => iffEl (Nat__Coprime 2 n) (odd n) (Nat__coprime_two_left n).
English
Let $n$ be a natural number such that $2$ and $n$ are coprime. Then $n$ is odd.
French
Soit $n$ un nombre naturel tel que $\NatCoprimeMACRoC {2}{n}$. Alors $n$ est impair.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo takové, že $2$ a $n$ je nesoudělné. Tedy $n$ je liché.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass $\NatCoprimeMACRoC {2}{n}$. Dann ist $n$ ungerade.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal sådant att $\NatCoprimeMACRoC {2}{n}$. Då är $n$ udda.
Formula
$n \in \Natural , \NatCoprimeMACRoD {2}{n}\vdash \mathrm{odd} (n)$
Proof
3 lines
1.Let $n$ be an element of $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$, if and only if $n$ is odd.Nat.coprime_two_left
3.$n$ is odd.iffEl 2
Proof, French
3 lines
1.Soit $n$ un élément de $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$ si et seulement si $n$ est impair.Nat.coprime_two_left
3.$n$ est impair.iffEl 2
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $n$ je prvek $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$, právě tehdy, když $n$ je liché.Nat.coprime_two_left
3.$n$ je liché.iffEl 2
Proof, German
3 lines
1.Sei $n$ ein Element von $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$, genau dann, wenn $n$ ungerade ist.Nat.coprime_two_left
3.$n$ ist ungerade.iffEl 2
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $n$ vara ett element av $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {2}{n}$, om och endast om $n$ är udda.Nat.coprime_two_left
3.$n$ är udda.iffEl 2
Odd.coprime_two_righttheoremBasic.lean:162
*Alias* of the reverse direction of Nat.coprime_two_right.
Lean
protected alias ⟨Coprime.odd_of_right, _root_.Odd.coprime_two_right⟩ := coprime_two_right
Dedukti
2 lines
def Odd__coprime_two_right : (n : Elem Nat) -> (h : Proof (odd n)) -> Proof (Nat__Coprime n 2) :=
  n => iffEr (Nat__Coprime n 2) (odd n) (Nat__coprime_two_right n).
English
Let $n$ be an odd natural number. Then $n$ and $2$ are coprime.
French
Soit $n$ un nombre naturel impair. Alors $\NatCoprimeMACRoC {n}{2}$.
Czech
Nechť $n$ je liché přirozené číslo. Tedy $n$ a $2$ je nesoudělné.
German
Sei $n$ eine ungerade natürliche Zahl. Dann $\NatCoprimeMACRoC {n}{2}$.
Swedish
Låt $n$ vara ett udda naturligt tal. Då $\NatCoprimeMACRoC {n}{2}$.
Formula
$n \in \Natural , \mathrm{odd} (n)\vdash \NatCoprimeMACRoD {n}{2}$
Proof
3 lines
1.Let $n$ be an element of $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$, if and only if $n$ is odd.Nat.coprime_two_right
3.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$.iffEr 2
Proof, French
3 lines
1.Soit $n$ un élément de $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$ si et seulement si $n$ est impair.Nat.coprime_two_right
3.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$.iffEr 2
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $n$ je prvek $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$, právě tehdy, když $n$ je liché.Nat.coprime_two_right
3.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$.iffEr 2
Proof, German
3 lines
1.Sei $n$ ein Element von $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$, genau dann, wenn $n$ ungerade ist.Nat.coprime_two_right
3.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$.iffEr 2
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $n$ vara ett element av $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$, om och endast om $n$ är udda.Nat.coprime_two_right
3.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$.iffEr 2
Nat.Coprime.odd_of_righttheoremBasic.lean:162
*Alias* of the forward direction of Nat.coprime_two_right.
Lean
protected alias ⟨Coprime.odd_of_right, _root_.Odd.coprime_two_right⟩ := coprime_two_right
Dedukti
2 lines
def Nat__Coprime__odd_of_right : (n : Elem Nat) -> (h : Proof (Nat__Coprime n 2)) -> Proof (odd n) :=
  n => iffEl (Nat__Coprime n 2) (odd n) (Nat__coprime_two_right n).
English
Let $n$ be a natural number such that $n$ and $2$ are coprime. Then $n$ is odd.
French
Soit $n$ un nombre naturel tel que $\NatCoprimeMACRoC {n}{2}$. Alors $n$ est impair.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo takové, že $n$ a $2$ je nesoudělné. Tedy $n$ je liché.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl derart, dass $\NatCoprimeMACRoC {n}{2}$. Dann ist $n$ ungerade.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal sådant att $\NatCoprimeMACRoC {n}{2}$. Då är $n$ udda.
Formula
$n \in \Natural , \NatCoprimeMACRoD {n}{2}\vdash \mathrm{odd} (n)$
Proof
3 lines
1.Let $n$ be an element of $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$, if and only if $n$ is odd.Nat.coprime_two_right
3.$n$ is odd.iffEl 2
Proof, French
3 lines
1.Soit $n$ un élément de $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$ si et seulement si $n$ est impair.Nat.coprime_two_right
3.$n$ est impair.iffEl 2
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $n$ je prvek $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$, právě tehdy, když $n$ je liché.Nat.coprime_two_right
3.$n$ je liché.iffEl 2
Proof, German
3 lines
1.Sei $n$ ein Element von $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$, genau dann, wenn $n$ ungerade ist.Nat.coprime_two_right
3.$n$ ist ungerade.iffEl 2
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $n$ vara ett element av $\Natural$.
2.$\NatCoprimeMACRoD {n}{2}$, om och endast om $n$ är udda.Nat.coprime_two_right
3.$n$ är udda.iffEl 2
Nat.Prime.dvd_of_dvd_powtheoremBasic.lean:164
Lean
theorem Prime.dvd_of_dvd_pow {p m n : ℕ} (pp : Prime p) (h : p ∣ m ^ n) : p ∣ m :=
  pp.prime.dvd_of_dvd_pow h
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime__dvd_of_dvd_pow : (p : Elem Nat) -> (m : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> (h : Proof (divide p (pow m n))) -> Proof (divide p m) :=
  p => m => n => pp => h => Prime__dvd_of_dvd_pow Nat p (Nat__Prime__prime p pp) m n h.
English
Let $p$, $m$ and $n$ be natural numbers such that $p$ is prime and $p$ divides $m ^ {n}$. Then $p$ divides $m$.
French
Soient $p$, $m$ et $n$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier et $p$ divise $m ^ {n}$. Alors $p$ divise $m$.
Czech
Nechť $p$, $m$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné a $p$ dělí $m ^ {n}$. Tedy $p$ dělí $m$.
German
Seien $p$, $m$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist und $p$ $m ^ {n}$ teilt. Dann teilt $p$ $m$.
Swedish
Låt $p$, $m$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt och $p$ delar $m ^ {n}$. Då delar $p$ $m$.
Formula
$p , m , n \in \Natural , \mathrm{prime} (p), \divides {p}{m ^ {n}}\vdash \divides {p}{m}$
Proof
5 lines
1.Let $p$, $m$ and $n$ be elements of $\Natural$.
2.Assume that $p$ is prime.
3.$p$ is prime.Nat.Prime.prime 2
4.Assume that $\divides {p}{m ^ {n}}$.
5.$\divides {p}{m}$.Prime.dvd_of_dvd_pow 3, 4
Proof, French
5 lines
1.Soient $p$, $m$ et $n$ des éléments de $\Natural$.
2.Supposons que $p$ est premier.
3.$p$ est premier.Nat.Prime.prime 2
4.Supposons que $\divides {p}{m ^ {n}}$.
5.$\divides {p}{m}$.Prime.dvd_of_dvd_pow 3, 4
Proof, Czech
5 lines
1.Nechť $p$, $m$ a $n$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
3.$p$ je prvočíselné.Nat.Prime.prime 2
4.Předpokládejme, že $\divides {p}{m ^ {n}}$.
5.$\divides {p}{m}$.Prime.dvd_of_dvd_pow 3, 4
Proof, German
5 lines
1.Seien $p$, $m$ und $n$ elemente von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $p$ prim ist.
3.$p$ ist prim.Nat.Prime.prime 2
4.Nimm an, dass $\divides {p}{m ^ {n}}$.
5.$\divides {p}{m}$.Prime.dvd_of_dvd_pow 3, 4
Proof, Swedish
5 lines
1.Låt $p$, $m$ och $n$ vara element av $\Natural$.
2.Anta att $p$ är primt.
3.$p$ är primt.Nat.Prime.prime 2
4.Anta att $\divides {p}{m ^ {n}}$.
5.$\divides {p}{m}$.Prime.dvd_of_dvd_pow 3, 4
Nat.Prime.not_prime_pow'theoremBasic.lean:167
Lean
theorem Prime.not_prime_pow' {x n : ℕ} (hn : n ≠ 1) : ¬(x ^ n).Prime :=
  not_irreducible_pow hn
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime__not_prime_pow' : (x : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (hn : Proof (Neq n 1)) -> Proof (not (prime (pow x n))) :=
  x => n => hn => not_irreducible_pow Nat x n hn.
English
Let $x$ and $n$ be natural numbers such that $n \neq 1$. Then $x ^ {n}$ is not prime.
French
Soient $x$ et $n$ des nombres naturels tels que $n \neq 1$. Alors $x ^ {n}$ n'est pas premier.
Czech
Nechť $x$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $n \neq 1$. Tedy $x ^ {n}$ není prvočíselné.
German
Seien $x$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $n \neq 1$. Dann ist $x ^ {n}$ nicht prim.
Swedish
Låt $x$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $n \neq 1$. Då är $x ^ {n}$ inte primt.
Formula
$x , n \in \Natural , n \neq 1 \vdash \neg \mathrm{prime} (x ^ {n})$
Proof
3 lines
1.Let $x$ and $n$ be elements of $\Natural$.
2.Assume that $n \neq 1$.
3.$x ^ {n}$ is not irreducible.not_irreducible_pow 2
Proof, French
3 lines
1.Soient $x$ et $n$ des éléments de $\Natural$.
2.Supposons que $n \neq 1$.
3.$x ^ {n}$ n'est pas irréductible.not_irreducible_pow 2
Proof, Czech
3 lines
1.Nechť $x$ a $n$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $n \neq 1$.
3.$x ^ {n}$ není ireducibilní.not_irreducible_pow 2
Proof, German
3 lines
1.Seien $x$ und $n$ elemente von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $n \neq 1$.
3.$x ^ {n}$ ist nicht irreduzibl.not_irreducible_pow 2
Proof, Swedish
3 lines
1.Låt $x$ och $n$ vara element av $\Natural$.
2.Anta att $n \neq 1$.
3.$x ^ {n}$ är inte irreducibelt.not_irreducible_pow 2
Nat.Prime.not_prime_powtheoremBasic.lean:170
Lean
theorem Prime.not_prime_pow {x n : ℕ} (hn : 2 ≤ n) : ¬(x ^ n).Prime :=
  not_prime_pow' ((two_le_iff _).mp hn).2
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime__not_prime_pow : (x : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (hn : Proof (Leq 2 n)) -> Proof (not (prime (pow x n))) :=
  x => n => hn => Nat__Prime__not_prime_pow' x n (andEr (Neq n 0) (Neq n 1) (iffEl (Leq 2 n) (and (Neq n 0) (Neq n 1)) (Nat__two_le_iff n) hn)).
English
Let $x$ and $n$ be natural numbers such that $2 \leq n$. Then $x ^ {n}$ is not prime.
French
Soient $x$ et $n$ des nombres naturels tels que $2 \leq n$. Alors $x ^ {n}$ n'est pas premier.
Czech
Nechť $x$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $2 \leq n$. Tedy $x ^ {n}$ není prvočíselné.
German
Seien $x$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $2 \leq n$. Dann ist $x ^ {n}$ nicht prim.
Swedish
Låt $x$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $2 \leq n$. Då är $x ^ {n}$ inte primt.
Formula
$x , n \in \Natural , 2 \leq n \vdash \neg \mathrm{prime} (x ^ {n})$
Proof
6 lines
1.Let $x$ and $n$ be elements of $\Natural$.
2.$2 \leq n$, if and only if $n \neq 0$ and $n \neq 1$.Nat.two_le_iff
3.Assume that $2 \leq n$.
4.$n \neq 0$ and $n \neq 1$.iffEl 2, 3
5.$n \neq 1$.andEr 4
6.$x ^ {n}$ is not prime.Nat.Prime.not_prime_pow' 5
Proof, French
6 lines
1.Soient $x$ et $n$ des éléments de $\Natural$.
2.$2 \leq n$ si et seulement si $n \neq 0$ et $n \neq 1$.Nat.two_le_iff
3.Supposons que $2 \leq n$.
4.$n \neq 0$ et $n \neq 1$.iffEl 2, 3
5.$n \neq 1$.andEr 4
6.$x ^ {n}$ n'est pas premier.Nat.Prime.not_prime_pow' 5
Proof, Czech
6 lines
1.Nechť $x$ a $n$ je prvek $\Natural$.
2.$2 \leq n$, právě tehdy, když $n \neq 0$ a $n \neq 1$.Nat.two_le_iff
3.Předpokládejme, že $2 \leq n$.
4.$n \neq 0$ a $n \neq 1$.iffEl 2, 3
5.$n \neq 1$.andEr 4
6.$x ^ {n}$ není prvočíselné.Nat.Prime.not_prime_pow' 5
Proof, German
6 lines
1.Seien $x$ und $n$ elemente von $\Natural$.
2.$2 \leq n$, genau dann, wenn $n \neq 0$ und $n \neq 1$.Nat.two_le_iff
3.Nimm an, dass $2 \leq n$.
4.$n \neq 0$ und $n \neq 1$.iffEl 2, 3
5.$n \neq 1$.andEr 4
6.$x ^ {n}$ ist nicht prim.Nat.Prime.not_prime_pow' 5
Proof, Swedish
6 lines
1.Låt $x$ och $n$ vara element av $\Natural$.
2.$2 \leq n$, om och endast om $n \neq 0$ och $n \neq 1$.Nat.two_le_iff
3.Anta att $2 \leq n$.
4.$n \neq 0$ och $n \neq 1$.iffEl 2, 3
5.$n \neq 1$.andEr 4
6.$x ^ {n}$ är inte primt.Nat.Prime.not_prime_pow' 5
Nat.Prime.eq_one_of_powtheoremBasic.lean:173
Lean
theorem Prime.eq_one_of_pow {x n : ℕ} (h : (x ^ n).Prime) : n = 1 :=
  not_imp_not.mp Prime.not_prime_pow' h
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime__eq_one_of_pow : (x : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (h : Proof (prime (pow x n))) -> Proof (Eq n 1) :=
  x => n => h => iffEl (if (not (Eq n 1)) (not (prime (pow x n)))) (if (prime (pow x n)) (Eq n 1)) (not_imp_not (Eq n 1) (prime (pow x n))) (Nat__Prime__not_prime_pow' x n) h.
English
Let $x$ and $n$ be natural numbers such that $x ^ {n}$ is prime. Then $n = 1$.
French
Soient $x$ et $n$ des nombres naturels tels que $x ^ {n}$ soit premier. Alors $n = 1$.
Czech
Nechť $x$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $x ^ {n}$ je prvočíselné. Tedy $n = 1$.
German
Seien $x$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $x ^ {n}$ prim ist. Dann $n = 1$.
Swedish
Låt $x$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $x ^ {n}$ är primt. Då $n = 1$.
Formula
$x , n \in \Natural , \mathrm{prime} (x ^ {n})\vdash n = 1$
Proof
4 lines
1.Let $x$ and $n$ be elements of $\Natural$.
2.If it is not the case that $n = 1$, then $x ^ {n}$ is not prime, if and only if if $x ^ {n}$ is prime, then $n = 1$.not_imp_not
3.$x ^ {n}$ is not prime.Nat.Prime.not_prime_pow'
4.If $x ^ {n}$ is prime, then $n = 1$.iffEl 2, 3
Proof, French
4 lines
1.Soient $x$ et $n$ des éléments de $\Natural$.
2.S'il n'est pas le cas que $n = 1$, alors $x ^ {n}$ n'est pas premier si et seulement si si $x ^ {n}$ est premier, alors $n = 1$.not_imp_not
3.$x ^ {n}$ n'est pas premier.Nat.Prime.not_prime_pow'
4.Si $x ^ {n}$ est premier, alors $n = 1$.iffEl 2, 3
Proof, Czech
4 lines
1.Nechť $x$ a $n$ je prvek $\Natural$.
2.Jestliže není případ že $n = 1$, pak $x ^ {n}$ není prvočíselné, právě tehdy, když jestliže $x ^ {n}$ je prvočíselné, pak $n = 1$.not_imp_not
3.$x ^ {n}$ není prvočíselné.Nat.Prime.not_prime_pow'
4.Jestliže $x ^ {n}$ je prvočíselné, pak $n = 1$.iffEl 2, 3
Proof, German
4 lines
1.Seien $x$ und $n$ elemente von $\Natural$.
2.Wenn es nicht der Fall dass $n = 1$ ist, dann ist $x ^ {n}$ nicht prim, genau dann, wenn wenn $x ^ {n}$ prim ist, dann $n = 1$.not_imp_not
3.$x ^ {n}$ ist nicht prim.Nat.Prime.not_prime_pow'
4.Wenn $x ^ {n}$ prim ist, dann $n = 1$.iffEl 2, 3
Proof, Swedish
4 lines
1.Låt $x$ och $n$ vara element av $\Natural$.
2.Om det inte är fallet att $n = 1$, så är $x ^ {n}$ inte primt, om och endast om om $x ^ {n}$ är primt, så $n = 1$.not_imp_not
3.$x ^ {n}$ är inte primt.Nat.Prime.not_prime_pow'
4.Om $x ^ {n}$ är primt, så $n = 1$.iffEl 2, 3
Nat.Prime.pow_eq_ifftheoremBasic.lean:176
Lean
theorem Prime.pow_eq_iff {p a k : ℕ} (hp : p.Prime) : a ^ k = p ↔ a = p ∧ k = 1 :=
Dedukti
1 lines
Nat__Prime__pow_eq_iff : (p : Elem Nat) -> (a : Elem Nat) -> (k : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> Proof (iff (Eq (pow a k) p) (and (Eq a p) (Eq k 1))).
English
Let $p$, $a$ and $k$ be natural numbers such that $p$ is prime. Then $a ^ {k}= p$, if and only if $a = p$ and $k = 1$.
French
Soient $p$, $a$ et $k$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier. Alors $a ^ {k}= p$ si et seulement si $a = p$ et $k = 1$.
Czech
Nechť $p$, $a$ a $k$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné. Tedy $a ^ {k}= p$, právě tehdy, když $a = p$ a $k = 1$.
German
Seien $p$, $a$ und $k$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist. Dann $a ^ {k}= p$, genau dann, wenn $a = p$ und $k = 1$.
Swedish
Låt $p$, $a$ och $k$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt. Då $a ^ {k}= p$, om och endast om $a = p$ och $k = 1$.
Formula
$p , a , k \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash a ^ {k}= p \leftrightarrow a = p \wedge k = 1$
Nat.Prime.mul_eq_prime_sq_ifftheoremBasic.lean:181
Lean
theorem Prime.mul_eq_prime_sq_iff {x y p : ℕ} (hp : p.Prime) (hx : x ≠ 1) (hy : y ≠ 1) :
    x * y = p ^ 2 ↔ x = p ∧ y = p :=
Dedukti
1 lines
Nat__Prime__mul_eq_prime_sq_iff : (x : Elem Nat) -> (y : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> (hx : Proof (Neq x 1)) -> (hy : Proof (Neq y 1)) -> Proof (iff (Eq (times x y) (pow p 2)) (and (Eq x p) (Eq y p))).
English
Let $x$, $y$ and $p$ be natural numbers such that $p$ is prime, $x \neq 1$ and $y \neq 1$. Then $x \times y = p ^ {2}$, if and only if $x = p$ and $y = p$.
French
Soient $x$, $y$ et $p$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier, $x \neq 1$ et $y \neq 1$. Alors $x \times y = p ^ {2}$ si et seulement si $x = p$ et $y = p$.
Czech
Nechť $x$, $y$ a $p$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné, $x \neq 1$ a $y \neq 1$. Tedy $x \times y = p ^ {2}$, právě tehdy, když $x = p$ a $y = p$.
German
Seien $x$, $y$ und $p$ natürliche Zahlen derart, dass ist $p$ prim, $x \neq 1$ und $y \neq 1$. Dann $x \times y = p ^ {2}$, genau dann, wenn $x = p$ und $y = p$.
Swedish
Låt $x$, $y$ och $p$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt, $x \neq 1$ och $y \neq 1$. Då $x \times y = p ^ {2}$, om och endast om $x = p$ och $y = p$.
Formula
$x , y , p \in \Natural , \mathrm{prime} (p), x \neq 1 , y \neq 1 \vdash x \times y = p ^ {2}\leftrightarrow x = p \wedge y = p$
Nat.Prime.coprime_pow_of_not_dvdtheoremBasic.lean:206
Lean
theorem Prime.coprime_pow_of_not_dvd {p m a : ℕ} (pp : Prime p) (h : ¬p ∣ a) : Coprime a (p ^ m) :=
  (pp.coprime_iff_not_dvd.2 h).symm.pow_right _
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime__coprime_pow_of_not_dvd : (p : Elem Nat) -> (m : Elem Nat) -> (a : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> (h : Proof (not (divide p a))) -> Proof (Nat__Coprime a (pow p m)) :=
  p => m => a => pp => h => Nat__Coprime__pow_right a p m (Nat__Coprime__symm p a (iffEr (Nat__Coprime p a) (not (divide p a)) (Nat__Prime__coprime_iff_not_dvd p a pp) h)).
English
Let $p$, $m$ and $a$ be natural numbers such that $p$ is prime and $p$ does not divide $a$. Then $a$ and $p ^ {m}$ are coprime.
French
Soient $p$, $m$ et $a$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier et $p$ ne divise pas $a$. Alors $\NatCoprimeMACRoC {a}{p ^ {m}}$.
Czech
Nechť $p$, $m$ a $a$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné a $p$ nedělí $a$. Tedy $a$ a $p ^ {m}$ je nesoudělné.
German
Seien $p$, $m$ und $a$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist und $p$ nicht $a$ teilt. Dann $\NatCoprimeMACRoC {a}{p ^ {m}}$.
Swedish
Låt $p$, $m$ och $a$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt och $p$ inte delar $a$. Då $\NatCoprimeMACRoC {a}{p ^ {m}}$.
Formula
$p , m , a \in \Natural , \mathrm{prime} (p), \neg (\divides {p}{a})\vdash \NatCoprimeMACRoD {a}{p ^ {m}}$
Proof
7 lines
1.Let $p$, $m$ and $a$ be elements of $\Natural$.
2.Assume that $p$ is prime.
3.$\NatCoprimeMACRoD {p}{a}$, if and only if it is not the case that $\divides {p}{a}$.Nat.Prime.coprime_iff_not_dvd 2
4.Assume that it is not the case that $\divides {p}{a}$.
5.$\NatCoprimeMACRoD {p}{a}$.iffEr 3, 4
6.$\NatCoprimeMACRoD {a}{p}$.Nat.Coprime.symm 5
7.$\NatCoprimeMACRoD {a}{p ^ {m}}$.Nat.Coprime.pow_right 6
Proof, French
7 lines
1.Soient $p$, $m$ et $a$ des éléments de $\Natural$.
2.Supposons que $p$ est premier.
3.$\NatCoprimeMACRoD {p}{a}$ si et seulement si il n'est pas le cas que $\divides {p}{a}$.Nat.Prime.coprime_iff_not_dvd 2
4.Supposons qu'il n'est pas le cas que $\divides {p}{a}$.
5.$\NatCoprimeMACRoD {p}{a}$.iffEr 3, 4
6.$\NatCoprimeMACRoD {a}{p}$.Nat.Coprime.symm 5
7.$\NatCoprimeMACRoD {a}{p ^ {m}}$.Nat.Coprime.pow_right 6
Proof, Czech
7 lines
1.Nechť $p$, $m$ a $a$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
3.$\NatCoprimeMACRoD {p}{a}$, právě tehdy, když není případ že $\divides {p}{a}$.Nat.Prime.coprime_iff_not_dvd 2
4.Předpokládejme, že není případ že $\divides {p}{a}$.
5.$\NatCoprimeMACRoD {p}{a}$.iffEr 3, 4
6.$\NatCoprimeMACRoD {a}{p}$.Nat.Coprime.symm 5
7.$\NatCoprimeMACRoD {a}{p ^ {m}}$.Nat.Coprime.pow_right 6
Proof, German
7 lines
1.Seien $p$, $m$ und $a$ elemente von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $p$ prim ist.
3.$\NatCoprimeMACRoD {p}{a}$, genau dann, wenn es nicht der Fall dass $\divides {p}{a}$ ist.Nat.Prime.coprime_iff_not_dvd 2
4.Nimm an, dass es nicht der Fall dass $\divides {p}{a}$ ist.
5.$\NatCoprimeMACRoD {p}{a}$.iffEr 3, 4
6.$\NatCoprimeMACRoD {a}{p}$.Nat.Coprime.symm 5
7.$\NatCoprimeMACRoD {a}{p ^ {m}}$.Nat.Coprime.pow_right 6
Proof, Swedish
7 lines
1.Låt $p$, $m$ och $a$ vara element av $\Natural$.
2.Anta att $p$ är primt.
3.$\NatCoprimeMACRoD {p}{a}$, om och endast om det inte är fallet att $\divides {p}{a}$.Nat.Prime.coprime_iff_not_dvd 2
4.Anta att det inte är fallet att $\divides {p}{a}$.
5.$\NatCoprimeMACRoD {p}{a}$.iffEr 3, 4
6.$\NatCoprimeMACRoD {a}{p}$.Nat.Coprime.symm 5
7.$\NatCoprimeMACRoD {a}{p ^ {m}}$.Nat.Coprime.pow_right 6
Nat.coprime_primestheoremBasic.lean:209
Lean
theorem coprime_primes {p q : ℕ} (pp : Prime p) (pq : Prime q) : Coprime p q ↔ p ≠ q :=
  pp.coprime_iff_not_dvd.trans <| not_congr <| dvd_prime_two_le pq pp.two_le
Dedukti
2 lines
def Nat__coprime_primes : (p : Elem Nat) -> (q : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> (pq : Proof (prime q)) -> Proof (iff (Nat__Coprime p q) (Neq p q)) :=
  p => q => pp => pq => Iff__trans (Nat__Coprime p q) (not (divide p q)) (Neq p q) (Nat__Prime__coprime_iff_not_dvd p q pp) (not_congr (divide p q) (Eq p q) (Nat__dvd_prime_two_le q p pq (Nat__Prime__two_le p pp))).
English
Let $p$ and $q$ be prime natural numbers. Then $p$ and $q$ are coprime, if and only if $p \neq q$.
French
Soient $p$ et $q$ des nombres naturels premiers. Alors $\NatCoprimeMACRoC {p}{q}$ si et seulement si $p \neq q$.
Czech
Nechť $p$ a $q$ je prvočíselné přirozené číslo. Tedy $p$ a $q$ je nesoudělné, právě tehdy, když $p \neq q$.
German
Seien $p$ und $q$ prime natürliche Zahlen. Dann $\NatCoprimeMACRoC {p}{q}$, genau dann, wenn $p \neq q$.
Swedish
Låt $p$ och $q$ vara prima naturliga tal. Då $\NatCoprimeMACRoC {p}{q}$, om och endast om $p \neq q$.
Formula
$p , q \in \Natural , \mathrm{prime} (p), \mathrm{prime} (q)\vdash \NatCoprimeMACRoD {p}{q}\leftrightarrow p \neq q$
Proof
8 lines
1.Let $p$ and $q$ be elements of $\Natural$.
2.Assume that $p$ is prime.
3.$\NatCoprimeMACRoD {p}{q}$, if and only if it is not the case that $\divides {p}{q}$.Nat.Prime.coprime_iff_not_dvd 2
4.Assume that $q$ is prime.
5.$2 \leq p$.Nat.Prime.two_le 2
6.$\divides {p}{q}$, if and only if $p = q$.Nat.dvd_prime_two_le 4, 5
7.It is not the case that $\divides {p}{q}$, if and only if it is not the case that $p = q$.not_congr 6
8.$\NatCoprimeMACRoD {p}{q}$, if and only if $p \neq q$.Iff.trans 3, 7
Proof, French
8 lines
1.Soient $p$ et $q$ des éléments de $\Natural$.
2.Supposons que $p$ est premier.
3.$\NatCoprimeMACRoD {p}{q}$ si et seulement si il n'est pas le cas que $\divides {p}{q}$.Nat.Prime.coprime_iff_not_dvd 2
4.Supposons que $q$ est premier.
5.$2 \leq p$.Nat.Prime.two_le 2
6.$\divides {p}{q}$ si et seulement si $p = q$.Nat.dvd_prime_two_le 4, 5
7.Il n'est pas le cas que $\divides {p}{q}$ si et seulement si il n'est pas le cas que $p = q$.not_congr 6
8.$\NatCoprimeMACRoD {p}{q}$ si et seulement si $p \neq q$.Iff.trans 3, 7
Proof, Czech
8 lines
1.Nechť $p$ a $q$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
3.$\NatCoprimeMACRoD {p}{q}$, právě tehdy, když není případ že $\divides {p}{q}$.Nat.Prime.coprime_iff_not_dvd 2
4.Předpokládejme, že $q$ je prvočíselné.
5.$2 \leq p$.Nat.Prime.two_le 2
6.$\divides {p}{q}$, právě tehdy, když $p = q$.Nat.dvd_prime_two_le 4, 5
7.Není případ že $\divides {p}{q}$, právě tehdy, když není případ že $p = q$.not_congr 6
8.$\NatCoprimeMACRoD {p}{q}$, právě tehdy, když $p \neq q$.Iff.trans 3, 7
Proof, German
8 lines
1.Seien $p$ und $q$ elemente von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $p$ prim ist.
3.$\NatCoprimeMACRoD {p}{q}$, genau dann, wenn es nicht der Fall dass $\divides {p}{q}$ ist.Nat.Prime.coprime_iff_not_dvd 2
4.Nimm an, dass $q$ prim ist.
5.$2 \leq p$.Nat.Prime.two_le 2
6.$\divides {p}{q}$, genau dann, wenn $p = q$.Nat.dvd_prime_two_le 4, 5
7.Es ist nicht der Fall dass $\divides {p}{q}$, genau dann, wenn es nicht der Fall dass $p = q$ ist.not_congr 6
8.$\NatCoprimeMACRoD {p}{q}$, genau dann, wenn $p \neq q$.Iff.trans 3, 7
Proof, Swedish
8 lines
1.Låt $p$ och $q$ vara element av $\Natural$.
2.Anta att $p$ är primt.
3.$\NatCoprimeMACRoD {p}{q}$, om och endast om det inte är fallet att $\divides {p}{q}$.Nat.Prime.coprime_iff_not_dvd 2
4.Anta att $q$ är primt.
5.$2 \leq p$.Nat.Prime.two_le 2
6.$\divides {p}{q}$, om och endast om $p = q$.Nat.dvd_prime_two_le 4, 5
7.Det är inte fallet att $\divides {p}{q}$, om och endast om det inte är fallet att $p = q$.not_congr 6
8.$\NatCoprimeMACRoD {p}{q}$, om och endast om $p \neq q$.Iff.trans 3, 7
Nat.coprime_pow_primestheoremBasic.lean:212
Lean
theorem coprime_pow_primes {p q : ℕ} (n m : ℕ) (pp : Prime p) (pq : Prime q) (h : p ≠ q) :
    Coprime (p ^ n) (q ^ m) :=
  ((coprime_primes pp pq).2 h).pow _ _
Dedukti
2 lines
def Nat__coprime_pow_primes : (p : Elem Nat) -> (q : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (m : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> (pq : Proof (prime q)) -> (h : Proof (Neq p q)) -> Proof (Nat__Coprime (pow p n) (pow q m)) :=
  p => q => n => m => pp => pq => h => Nat__Coprime__pow p q n m (iffEr (Nat__Coprime p q) (Neq p q) (Nat__coprime_primes p q pp pq) h).
English
Let $p$, $q$, $n$ and $m$ be natural numbers such that $p$ and $q$ are prime and $p \neq q$. Then $p ^ {n}$ and $q ^ {m}$ are coprime.
French
Soient $p$, $q$, $n$ et $m$ des nombres naturels tels que $p$ et $q$ soient premiers et $p \neq q$. Alors $\NatCoprimeMACRoC {p ^ {n}}{q ^ {m}}$.
Czech
Nechť $p$, $q$, $n$ a $m$ je přirozené číslo takové, že $p$ a $q$ je prvočíselné a $p \neq q$. Tedy $p ^ {n}$ a $q ^ {m}$ je nesoudělné.
German
Seien $p$, $q$, $n$ und $m$ natürliche Zahlen derart, dass sowohl $p$ als auch $q$ prim ist und $p \neq q$. Dann $\NatCoprimeMACRoC {p ^ {n}}{q ^ {m}}$.
Swedish
Låt $p$, $q$, $n$ och $m$ vara naturliga tal sådana att $p$ och $q$ är prima och $p \neq q$. Då $\NatCoprimeMACRoC {p ^ {n}}{q ^ {m}}$.
Formula
$p , q , n , m \in \Natural , \mathrm{prime} (p), \mathrm{prime} (q), p \neq q \vdash \NatCoprimeMACRoD {p ^ {n}}{q ^ {m}}$
Proof
7 lines
1.Let $p$, $q$, $n$ and $m$ be elements of $\Natural$.
2.Assume that $p$ is prime.
3.Assume that $q$ is prime.
4.$\NatCoprimeMACRoD {p}{q}$, if and only if $p \neq q$.Nat.coprime_primes 2, 3
5.Assume that $p \neq q$.
6.$\NatCoprimeMACRoD {p}{q}$.iffEr 4, 5
7.$\NatCoprimeMACRoD {p ^ {n}}{q ^ {m}}$.Nat.Coprime.pow 6
Proof, French
7 lines
1.Soient $p$, $q$, $n$ et $m$ des éléments de $\Natural$.
2.Supposons que $p$ est premier.
3.Supposons que $q$ est premier.
4.$\NatCoprimeMACRoD {p}{q}$ si et seulement si $p \neq q$.Nat.coprime_primes 2, 3
5.Supposons que $p \neq q$.
6.$\NatCoprimeMACRoD {p}{q}$.iffEr 4, 5
7.$\NatCoprimeMACRoD {p ^ {n}}{q ^ {m}}$.Nat.Coprime.pow 6
Proof, Czech
7 lines
1.Nechť $p$, $q$, $n$ a $m$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
3.Předpokládejme, že $q$ je prvočíselné.
4.$\NatCoprimeMACRoD {p}{q}$, právě tehdy, když $p \neq q$.Nat.coprime_primes 2, 3
5.Předpokládejme, že $p \neq q$.
6.$\NatCoprimeMACRoD {p}{q}$.iffEr 4, 5
7.$\NatCoprimeMACRoD {p ^ {n}}{q ^ {m}}$.Nat.Coprime.pow 6
Proof, German
7 lines
1.Seien $p$, $q$, $n$ und $m$ elemente von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $p$ prim ist.
3.Nimm an, dass $q$ prim ist.
4.$\NatCoprimeMACRoD {p}{q}$, genau dann, wenn $p \neq q$.Nat.coprime_primes 2, 3
5.Nimm an, dass $p \neq q$.
6.$\NatCoprimeMACRoD {p}{q}$.iffEr 4, 5
7.$\NatCoprimeMACRoD {p ^ {n}}{q ^ {m}}$.Nat.Coprime.pow 6
Proof, Swedish
7 lines
1.Låt $p$, $q$, $n$ och $m$ vara element av $\Natural$.
2.Anta att $p$ är primt.
3.Anta att $q$ är primt.
4.$\NatCoprimeMACRoD {p}{q}$, om och endast om $p \neq q$.Nat.coprime_primes 2, 3
5.Anta att $p \neq q$.
6.$\NatCoprimeMACRoD {p}{q}$.iffEr 4, 5
7.$\NatCoprimeMACRoD {p ^ {n}}{q ^ {m}}$.Nat.Coprime.pow 6
Nat.coprime_or_dvd_of_primetheoremBasic.lean:216
Lean
theorem coprime_or_dvd_of_prime {p} (pp : Prime p) (i : ℕ) : Coprime p i ∨ p ∣ i :=
Dedukti
1 lines
Nat__coprime_or_dvd_of_prime : (p : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> (i : Elem Nat) -> Proof (or (Nat__Coprime p i) (divide p i)).
English
Let $p$ and $i$ be natural numbers such that $p$ is prime. Then $p$ and $i$ are coprime or $p$ divides $i$.
French
Soient $p$ et $i$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier. Alors $\NatCoprimeMACRoC {p}{i}$ ou $p$ divise $i$.
Czech
Nechť $p$ a $i$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné. Tedy $p$ a $i$ je nesoudělné nebo $p$ dělí $i$.
German
Seien $p$ und $i$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist. Dann $\NatCoprimeMACRoC {p}{i}$ oder $p$ teilt $i$.
Swedish
Låt $p$ och $i$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt. Då $\NatCoprimeMACRoC {p}{i}$ eller $p$ delar $i$.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{prime} (p), i \in \Natural \vdash \NatCoprimeMACRoD {p}{i}\vee \divides {p}{i}$
Nat.coprime_of_lt_primetheoremBasic.lean:219
Lean
theorem coprime_of_lt_prime {n p} (ne_zero : n ≠ 0) (hlt : n < p) (pp : Prime p) : Coprime p n :=
  (coprime_or_dvd_of_prime pp n).resolve_right fun h => Nat.lt_le_asymm hlt
    (le_of_dvd (Nat.pos_of_ne_zero ne_zero) h)
Dedukti
2 lines
def Nat__coprime_of_lt_prime : (n : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> (ne_zero : Proof (Neq n 0)) -> (hlt : Proof (Lt n p)) -> (pp : Proof (prime p)) -> Proof (Nat__Coprime p n) :=
  n => p => ne_zero => hlt => pp => Or__resolve_right (Nat__Coprime p n) (divide p n) (Nat__coprime_or_dvd_of_prime p pp n) (ifI (divide p n) false (h => Nat__lt_le_asymm n p hlt (Nat__le_of_dvd p n (Nat__pos_of_ne_zero n ne_zero) h))).
English
Let $n$ and $p$ be natural numbers such that $n \neq 0$, $n < p$ and $p$ is prime. Then $p$ and $n$ are coprime.
French
Soient $n$ et $p$ des nombres naturels tels que $n \neq 0$, $n < p$ et $p$ soit premier. Alors $\NatCoprimeMACRoC {p}{n}$.
Czech
Nechť $n$ a $p$ je přirozené číslo takové, že $n \neq 0$, $n < p$ a $p$ je prvočíselné. Tedy $p$ a $n$ je nesoudělné.
German
Seien $n$ und $p$ natürliche Zahlen derart, dass $n \neq 0$, $n < p$ und $p$ prim ist. Dann $\NatCoprimeMACRoC {p}{n}$.
Swedish
Låt $n$ och $p$ vara naturliga tal sådana att $n \neq 0$, $n < p$ och $p$ är primt. Då $\NatCoprimeMACRoC {p}{n}$.
Formula
$n , p \in \Natural , n \neq 0 , n < p , \mathrm{prime} (p)\vdash \NatCoprimeMACRoD {p}{n}$
Proof
7 lines
1.Let $n$ and $p$ be elements of $\Natural$.
2.Assume that $p$ is prime.
3.$\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$ or $\divides {p}{n}$.Nat.coprime_or_dvd_of_prime 2
4.Assume that $n < p$.
5.It is not the case that $p \leq n$.Nat.lt_le_asymm 4
6.If $\divides {p}{n}$, then we have a contradiction.ifI 5 [h]
7.$\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.Or.resolve_right 3, 6
Proof, French
7 lines
1.Soient $n$ et $p$ des éléments de $\Natural$.
2.Supposons que $p$ est premier.
3.$\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$ ou $\divides {p}{n}$.Nat.coprime_or_dvd_of_prime 2
4.Supposons que $n < p$.
5.Il n'est pas le cas que $p \leq n$.Nat.lt_le_asymm 4
6.Si $\divides {p}{n}$, alors nous avons une contradiction.ifI 5 [h]
7.$\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.Or.resolve_right 3, 6
Proof, Czech
7 lines
1.Nechť $n$ a $p$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
3.$\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$ nebo $\divides {p}{n}$.Nat.coprime_or_dvd_of_prime 2
4.Předpokládejme, že $n < p$.
5.Není případ že $p \leq n$.Nat.lt_le_asymm 4
6.Jestliže $\divides {p}{n}$, pak máme spor.ifI 5 [h]
7.$\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.Or.resolve_right 3, 6
Proof, German
7 lines
1.Seien $n$ und $p$ elemente von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $p$ prim ist.
3.$\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$ oder $\divides {p}{n}$.Nat.coprime_or_dvd_of_prime 2
4.Nimm an, dass $n < p$.
5.Es ist nicht der Fall dass $p \leq n$.Nat.lt_le_asymm 4
6.Wenn $\divides {p}{n}$, dann haben wir einen Widerspruch.ifI 5 [h]
7.$\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.Or.resolve_right 3, 6
Proof, Swedish
7 lines
1.Låt $n$ och $p$ vara element av $\Natural$.
2.Anta att $p$ är primt.
3.$\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$ eller $\divides {p}{n}$.Nat.coprime_or_dvd_of_prime 2
4.Anta att $n < p$.
5.Det är inte fallet att $p \leq n$.Nat.lt_le_asymm 4
6.Om $\divides {p}{n}$, så har vi en kontradiction.ifI 5 [h]
7.$\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.Or.resolve_right 3, 6
Nat.eq_or_coprime_of_le_primetheoremBasic.lean:223
Lean
theorem eq_or_coprime_of_le_prime {n p} (ne_zero : n ≠ 0) (hle : n ≤ p) (pp : Prime p) :
    p = n ∨ Coprime p n :=
  hle.eq_or_lt.imp Eq.symm fun h => coprime_of_lt_prime ne_zero h pp
Dedukti
2 lines
def Nat__eq_or_coprime_of_le_prime : (n : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> (ne_zero : Proof (Neq n 0)) -> (hle : Proof (Leq n p)) -> (pp : Proof (prime p)) -> Proof (or (Eq p n) (Nat__Coprime p n)) :=
  n => p => ne_zero => hle => pp => Or__imp (Eq n p) (Eq p n) (Lt n p) (Nat__Coprime p n) (Eq__symm Nat n p) (ifI (Lt n p) (Nat__Coprime p n) (h => Nat__coprime_of_lt_prime n p ne_zero h pp)) (LE__le__eq_or_lt Nat n p hle).
English
Let $n$ and $p$ be natural numbers such that $n \neq 0$, $n \leq p$ and $p$ is prime. Then $p = n$ or $p$ and $n$ are coprime.
French
Soient $n$ et $p$ des nombres naturels tels que $n \neq 0$, $n \leq p$ et $p$ soit premier. Alors $p = n$ ou $\NatCoprimeMACRoC {p}{n}$.
Czech
Nechť $n$ a $p$ je přirozené číslo takové, že $n \neq 0$, $n \leq p$ a $p$ je prvočíselné. Tedy $p = n$ nebo $p$ a $n$ je nesoudělné.
German
Seien $n$ und $p$ natürliche Zahlen derart, dass $n \neq 0$, $n \leq p$ und $p$ prim ist. Dann $p = n$ oder $\NatCoprimeMACRoC {p}{n}$.
Swedish
Låt $n$ och $p$ vara naturliga tal sådana att $n \neq 0$, $n \leq p$ och $p$ är primt. Då $p = n$ eller $\NatCoprimeMACRoC {p}{n}$.
Formula
$n , p \in \Natural , n \neq 0 , n \leq p , \mathrm{prime} (p)\vdash p = n \vee \NatCoprimeMACRoD {p}{n}$
Proof
10 lines
1.Let $n$ and $p$ be elements of $\Natural$.
2.$\EqtMACRoJ {p}{n}$.Eq.symm
3.Assume that $n \neq 0$.
4.Assume that $n < p$.
5.Assume that $p$ is prime.
6.$\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.Nat.coprime_of_lt_prime 3, 4, 5
7.If $n < p$, then $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.ifI 6 [h]
8.Assume that $n \leq p$.
9.$\EqtMACRoJ {n}{p}$ or $n < p$.LE.le.eq_or_lt 8
10.$p = n$ or $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.Or.imp 2, 7, 9
Proof, French
10 lines
1.Soient $n$ et $p$ des éléments de $\Natural$.
2.$\EqtMACRoJ {p}{n}$.Eq.symm
3.Supposons que $n \neq 0$.
4.Supposons que $n < p$.
5.Supposons que $p$ est premier.
6.$\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.Nat.coprime_of_lt_prime 3, 4, 5
7.Si $n < p$, alors $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.ifI 6 [h]
8.Supposons que $n \leq p$.
9.$\EqtMACRoJ {n}{p}$ ou $n < p$.LE.le.eq_or_lt 8
10.$p = n$ ou $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.Or.imp 2, 7, 9
Proof, Czech
10 lines
1.Nechť $n$ a $p$ je prvek $\Natural$.
2.$\EqtMACRoJ {p}{n}$.Eq.symm
3.Předpokládejme, že $n \neq 0$.
4.Předpokládejme, že $n < p$.
5.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
6.$\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.Nat.coprime_of_lt_prime 3, 4, 5
7.Jestliže $n < p$, pak $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.ifI 6 [h]
8.Předpokládejme, že $n \leq p$.
9.$\EqtMACRoJ {n}{p}$ nebo $n < p$.LE.le.eq_or_lt 8
10.$p = n$ nebo $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.Or.imp 2, 7, 9
Proof, German
10 lines
1.Seien $n$ und $p$ elemente von $\Natural$.
2.$\EqtMACRoJ {p}{n}$.Eq.symm
3.Nimm an, dass $n \neq 0$.
4.Nimm an, dass $n < p$.
5.Nimm an, dass $p$ prim ist.
6.$\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.Nat.coprime_of_lt_prime 3, 4, 5
7.Wenn $n < p$, dann $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.ifI 6 [h]
8.Nimm an, dass $n \leq p$.
9.$\EqtMACRoJ {n}{p}$ oder $n < p$.LE.le.eq_or_lt 8
10.$p = n$ oder $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.Or.imp 2, 7, 9
Proof, Swedish
10 lines
1.Låt $n$ och $p$ vara element av $\Natural$.
2.$\EqtMACRoJ {p}{n}$.Eq.symm
3.Anta att $n \neq 0$.
4.Anta att $n < p$.
5.Anta att $p$ är primt.
6.$\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.Nat.coprime_of_lt_prime 3, 4, 5
7.Om $n < p$, så $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.ifI 6 [h]
8.Anta att $n \leq p$.
9.$\EqtMACRoJ {n}{p}$ eller $n < p$.LE.le.eq_or_lt 8
10.$p = n$ eller $\NatCoprimeMACRoD {p}{n}$.Or.imp 2, 7, 9
Nat.prime_eq_prime_of_dvd_powtheoremBasic.lean:227
Lean
theorem prime_eq_prime_of_dvd_pow {m p q} (pp : Prime p) (pq : Prime q) (h : p ∣ q ^ m) : p = q :=
  (prime_dvd_prime_iff_eq pp pq).mp (pp.dvd_of_dvd_pow h)
Dedukti
2 lines
def Nat__prime_eq_prime_of_dvd_pow : (m : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> (q : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> (pq : Proof (prime q)) -> (h : Proof (divide p (pow q m))) -> Proof (Eq p q) :=
  m => p => q => pp => pq => h => iffEl (divide p q) (Eq p q) (Nat__prime_dvd_prime_iff_eq p q pp pq) (Nat__Prime__dvd_of_dvd_pow p q m pp h).
English
Let $m$, $p$ and $q$ be natural numbers such that $p$ and $q$ are prime and $p$ divides $q ^ {m}$. Then $p = q$.
French
Soient $m$, $p$ et $q$ des nombres naturels tels que $p$ et $q$ soient premiers et $p$ divise $q ^ {m}$. Alors $p = q$.
Czech
Nechť $m$, $p$ a $q$ je přirozené číslo takové, že $p$ a $q$ je prvočíselné a $p$ dělí $q ^ {m}$. Tedy $p = q$.
German
Seien $m$, $p$ und $q$ natürliche Zahlen derart, dass sowohl $p$ als auch $q$ prim ist und $p$ $q ^ {m}$ teilt. Dann $p = q$.
Swedish
Låt $m$, $p$ och $q$ vara naturliga tal sådana att $p$ och $q$ är prima och $p$ delar $q ^ {m}$. Då $p = q$.
Formula
$m , p , q \in \Natural , \mathrm{prime} (p), \mathrm{prime} (q), \divides {p}{q ^ {m}}\vdash p = q$
Proof
7 lines
1.Let $m$, $p$ and $q$ be elements of $\Natural$.
2.Assume that $p$ is prime.
3.Assume that $q$ is prime.
4.$\divides {p}{q}$, if and only if $p = q$.Nat.prime_dvd_prime_iff_eq 2, 3
5.Assume that $\divides {p}{q ^ {m}}$.
6.$\divides {p}{q}$.Nat.Prime.dvd_of_dvd_pow 2, 5
7.$p = q$.iffEl 4, 6
Proof, French
7 lines
1.Soient $m$, $p$ et $q$ des éléments de $\Natural$.
2.Supposons que $p$ est premier.
3.Supposons que $q$ est premier.
4.$\divides {p}{q}$ si et seulement si $p = q$.Nat.prime_dvd_prime_iff_eq 2, 3
5.Supposons que $\divides {p}{q ^ {m}}$.
6.$\divides {p}{q}$.Nat.Prime.dvd_of_dvd_pow 2, 5
7.$p = q$.iffEl 4, 6
Proof, Czech
7 lines
1.Nechť $m$, $p$ a $q$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $p$ je prvočíselné.
3.Předpokládejme, že $q$ je prvočíselné.
4.$\divides {p}{q}$, právě tehdy, když $p = q$.Nat.prime_dvd_prime_iff_eq 2, 3
5.Předpokládejme, že $\divides {p}{q ^ {m}}$.
6.$\divides {p}{q}$.Nat.Prime.dvd_of_dvd_pow 2, 5
7.$p = q$.iffEl 4, 6
Proof, German
7 lines
1.Seien $m$, $p$ und $q$ elemente von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $p$ prim ist.
3.Nimm an, dass $q$ prim ist.
4.$\divides {p}{q}$, genau dann, wenn $p = q$.Nat.prime_dvd_prime_iff_eq 2, 3
5.Nimm an, dass $\divides {p}{q ^ {m}}$.
6.$\divides {p}{q}$.Nat.Prime.dvd_of_dvd_pow 2, 5
7.$p = q$.iffEl 4, 6
Proof, Swedish
7 lines
1.Låt $m$, $p$ och $q$ vara element av $\Natural$.
2.Anta att $p$ är primt.
3.Anta att $q$ är primt.
4.$\divides {p}{q}$, om och endast om $p = q$.Nat.prime_dvd_prime_iff_eq 2, 3
5.Anta att $\divides {p}{q ^ {m}}$.
6.$\divides {p}{q}$.Nat.Prime.dvd_of_dvd_pow 2, 5
7.$p = q$.iffEl 4, 6
Nat.dvd_prime_powtheoremBasic.lean:230
Lean
theorem dvd_prime_pow {p : ℕ} (pp : Prime p) {m i : ℕ} : i ∣ p ^ m ↔ ∃ k ≤ m, i = p ^ k :=
Dedukti
1 lines
Nat__dvd_prime_pow : (p : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> (m : Elem Nat) -> (i : Elem Nat) -> Proof (iff (divide i (pow p m)) (exists Nat (k => and (Leq k m) (Eq i (pow p k))))).
English
Let $p$, $m$ and $i$ be natural numbers such that $p$ is prime. Then $i$ divides $p ^ {m}$, if and only if there exists a natural number $k$, such that $k \leq m$ and $i = p ^ {k}$.
French
Soient $p$, $m$ et $i$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier. Alors $i$ divise $p ^ {m}$ si et seulement si il existe un nombre naturel $k$ tel que $k \leq m$ et $i = p ^ {k}$.
Czech
Nechť $p$, $m$ a $i$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné. Tedy $i$ dělí $p ^ {m}$, právě tehdy, když existuje přirozené číslo $k$, takový, že $k \leq m$ a $i = p ^ {k}$.
German
Seien $p$, $m$ und $i$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist. Dann teilt $i$ $p ^ {m}$, genau dann, wenn es eine natürliche Zahl $k$ gibt, derart, dass $k \leq m$ und $i = p ^ {k}$.
Swedish
Låt $p$, $m$ och $i$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt. Då delar $i$ $p ^ {m}$, om och endast om det finns ett naturligt tal $k$, så att $k \leq m$ och $i = p ^ {k}$.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{prime} (p), m , i \in \Natural \vdash \divides {i}{p ^ {m}}\leftrightarrow (\exists k \in \Natural . k \leq m \wedge i = p ^ {k})$
Nat.Prime.dvd_mul_of_dvd_netheoremBasic.lean:233
Lean
theorem Prime.dvd_mul_of_dvd_ne {p1 p2 n : ℕ} (h_ne : p1 ≠ p2) (pp1 : Prime p1) (pp2 : Prime p2)
    (h1 : p1 ∣ n) (h2 : p2 ∣ n) : p1 * p2 ∣ n :=
  Coprime.mul_dvd_of_dvd_of_dvd ((coprime_primes pp1 pp2).mpr h_ne) h1 h2
Dedukti
2 lines
def Nat__Prime__dvd_mul_of_dvd_ne : (p1 : Elem Nat) -> (p2 : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (h_ne : Proof (Neq p1 p2)) -> (pp1 : Proof (prime p1)) -> (pp2 : Proof (prime p2)) -> (h1 : Proof (divide p1 n)) -> (h2 : Proof (divide p2 n)) -> Proof (divide (times p1 p2) n) :=
  p1 => p2 => n => h_ne => pp1 => pp2 => h1 => h2 => Nat__Coprime__mul_dvd_of_dvd_of_dvd p1 p2 n (iffEr (Nat__Coprime p1 p2) (Neq p1 p2) (Nat__coprime_primes p1 p2 pp1 pp2) h_ne) h1 h2.
English
Let $p_{1}$, $p_{2}$ and $n$ be natural numbers such that $p_{1} \neq p_{2}$, $p_{1}$ and $p_{2}$ are prime, $p_{1}$ divides $n$ and $p_{2}$ divides $n$. Then $p_{1} \times p_{2}$ divides $n$.
French
Soient $p_{1}$, $p_{2}$ et $n$ des nombres naturels tels que $p_{1} \neq p_{2}$, $p_{1}$ et $p_{2}$ soient premiers, $p_{1}$ divise $n$ et $p_{2}$ divise $n$. Alors $p_{1} \times p_{2}$ divise $n$.
Czech
Nechť $p_{1}$, $p_{2}$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $p_{1} \neq p_{2}$, $p_{1}$ a $p_{2}$ je prvočíselné, $p_{1}$ dělí $n$ a $p_{2}$ dělí $n$. Tedy $p_{1} \times p_{2}$ dělí $n$.
German
Seien $p_{1}$, $p_{2}$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $p_{1} \neq p_{2}$, ist sowohl $p_{1}$ als auch $p_{2}$ prim, $p_{1}$ $n$ teilt und $p_{2}$ $n$ teilt. Dann teilt $p_{1} \times p_{2}$ $n$.
Swedish
Låt $p_{1}$, $p_{2}$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $p_{1} \neq p_{2}$, $p_{1}$ och $p_{2}$ är prima, $p_{1}$ delar $n$ och $p_{2}$ delar $n$. Då delar $p_{1} \times p_{2}$ $n$.
Formula
$p_{1} , p_{2} , n \in \Natural , p_{1} \neq p_{2} , \mathrm{prime} (p_{1}), \mathrm{prime} (p_{2}), \divides {p_{1}}{n}, \divides {p_{2}}{n}\vdash \divides {p_{1} \times p_{2}}{n}$
Proof
9 lines
1.Let $p_{1}$, $p_{2}$ and $n$ be elements of $\Natural$.
2.Assume that $p_{1}$ is prime.
3.Assume that $p_{2}$ is prime.
4.$\NatCoprimeMACRoD {p_{1}}{p_{2}}$, if and only if $p_{1} \neq p_{2}$.Nat.coprime_primes 2, 3
5.Assume that $p_{1} \neq p_{2}$.
6.$\NatCoprimeMACRoD {p_{1}}{p_{2}}$.iffEr 4, 5
7.Assume that $\divides {p_{1}}{n}$.
8.Assume that $\divides {p_{2}}{n}$.
9.$\divides {p_{1} \times p_{2}}{n}$.Nat.Coprime.mul_dvd_of_dvd_of_dvd 6, 7, 8
Proof, French
9 lines
1.Soient $p_{1}$, $p_{2}$ et $n$ des éléments de $\Natural$.
2.Supposons que $p_{1}$ est premier.
3.Supposons que $p_{2}$ est premier.
4.$\NatCoprimeMACRoD {p_{1}}{p_{2}}$ si et seulement si $p_{1} \neq p_{2}$.Nat.coprime_primes 2, 3
5.Supposons que $p_{1} \neq p_{2}$.
6.$\NatCoprimeMACRoD {p_{1}}{p_{2}}$.iffEr 4, 5
7.Supposons que $\divides {p_{1}}{n}$.
8.Supposons que $\divides {p_{2}}{n}$.
9.$\divides {p_{1} \times p_{2}}{n}$.Nat.Coprime.mul_dvd_of_dvd_of_dvd 6, 7, 8
Proof, Czech
9 lines
1.Nechť $p_{1}$, $p_{2}$ a $n$ je prvek $\Natural$.
2.Předpokládejme, že $p_{1}$ je prvočíselné.
3.Předpokládejme, že $p_{2}$ je prvočíselné.
4.$\NatCoprimeMACRoD {p_{1}}{p_{2}}$, právě tehdy, když $p_{1} \neq p_{2}$.Nat.coprime_primes 2, 3
5.Předpokládejme, že $p_{1} \neq p_{2}$.
6.$\NatCoprimeMACRoD {p_{1}}{p_{2}}$.iffEr 4, 5
7.Předpokládejme, že $\divides {p_{1}}{n}$.
8.Předpokládejme, že $\divides {p_{2}}{n}$.
9.$\divides {p_{1} \times p_{2}}{n}$.Nat.Coprime.mul_dvd_of_dvd_of_dvd 6, 7, 8
Proof, German
9 lines
1.Seien $p_{1}$, $p_{2}$ und $n$ elemente von $\Natural$.
2.Nimm an, dass $p_{1}$ prim ist.
3.Nimm an, dass $p_{2}$ prim ist.
4.$\NatCoprimeMACRoD {p_{1}}{p_{2}}$, genau dann, wenn $p_{1} \neq p_{2}$.Nat.coprime_primes 2, 3
5.Nimm an, dass $p_{1} \neq p_{2}$.
6.$\NatCoprimeMACRoD {p_{1}}{p_{2}}$.iffEr 4, 5
7.Nimm an, dass $\divides {p_{1}}{n}$.
8.Nimm an, dass $\divides {p_{2}}{n}$.
9.$\divides {p_{1} \times p_{2}}{n}$.Nat.Coprime.mul_dvd_of_dvd_of_dvd 6, 7, 8
Proof, Swedish
9 lines
1.Låt $p_{1}$, $p_{2}$ och $n$ vara element av $\Natural$.
2.Anta att $p_{1}$ är primt.
3.Anta att $p_{2}$ är primt.
4.$\NatCoprimeMACRoD {p_{1}}{p_{2}}$, om och endast om $p_{1} \neq p_{2}$.Nat.coprime_primes 2, 3
5.Anta att $p_{1} \neq p_{2}$.
6.$\NatCoprimeMACRoD {p_{1}}{p_{2}}$.iffEr 4, 5
7.Anta att $\divides {p_{1}}{n}$.
8.Anta att $\divides {p_{2}}{n}$.
9.$\divides {p_{1} \times p_{2}}{n}$.Nat.Coprime.mul_dvd_of_dvd_of_dvd 6, 7, 8
Nat.eq_prime_pow_of_dvd_least_prime_powtheoremBasic.lean:241
If p is prime, and a doesn't divide p^k, but a does divide p^(k+1) then a = p^(k+1).
Lean
theorem eq_prime_pow_of_dvd_least_prime_pow {a p k : ℕ} (pp : Prime p) (h₁ : ¬a ∣ p ^ k)
    (h₂ : a ∣ p ^ (k + 1)) : a = p ^ (k + 1) :=
Dedukti
1 lines
Nat__eq_prime_pow_of_dvd_least_prime_pow : (a : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> (k : Elem Nat) -> (pp : Proof (prime p)) -> (h : Proof (not (divide a (pow p k)))) -> (h1 : Proof (divide a (pow p (plus k 1)))) -> Proof (Eq a (pow p (plus k 1))).
English
Let $a$, $p$ and $k$ be natural numbers such that $p$ is prime, $a$ does not divide $p ^ {k}$ and $a$ divides $p ^ {(k + 1)}$. Then $a = p ^ {(k + 1)}$.
French
Soient $a$, $p$ et $k$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier, $a$ ne divise pas $p ^ {k}$ et $a$ divise $p ^ {(k + 1)}$. Alors $a = p ^ {(k + 1)}$.
Czech
Nechť $a$, $p$ a $k$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné, $a$ nedělí $p ^ {k}$ a $a$ dělí $p ^ {(k + 1)}$. Tedy $a = p ^ {(k + 1)}$.
German
Seien $a$, $p$ und $k$ natürliche Zahlen derart, dass ist $p$ prim, $a$ nicht $p ^ {k}$ teilt und $a$ $p ^ {(k + 1)}$ teilt. Dann $a = p ^ {(k + 1)}$.
Swedish
Låt $a$, $p$ och $k$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt, $a$ inte delar $p ^ {k}$ och $a$ delar $p ^ {(k + 1)}$. Då $a = p ^ {(k + 1)}$.
Formula
$a , p , k \in \Natural , \mathrm{prime} (p), \neg (\divides {a}{p ^ {k}}), \divides {a}{p ^ {(k + 1)}}\vdash a = p ^ {(k + 1)}$
Nat.ne_one_iff_exists_prime_dvdtheoremBasic.lean:247
Lean
theorem ne_one_iff_exists_prime_dvd : ∀ {n}, n ≠ 1 ↔ ∃ p : ℕ, p.Prime ∧ p ∣ n
Dedukti
1 lines
Nat__ne_one_iff_exists_prime_dvd : (n : Elem Nat) -> Proof (iff (Neq n 1) (exists Nat (p => and (prime p) (divide p n)))).
English
Let $n$ be a natural number. Then $n \neq 1$, if and only if there exists a natural number $p$, such that $p$ is prime and $p$ divides $n$.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Alors $n \neq 1$ si et seulement si il existe un nombre naturel $p$ tel que $p$ soit premier et $p$ divise $n$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Tedy $n \neq 1$, právě tehdy, když existuje přirozené číslo $p$, takový, že $p$ je prvočíselné a $p$ dělí $n$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann $n \neq 1$, genau dann, wenn es eine natürliche Zahl $p$ gibt, derart, dass $p$ prim ist und $p$ $n$ teilt.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Då $n \neq 1$, om och endast om det finns ett naturligt tal $p$, så att $p$ är primt och $p$ delar $n$.
Formula
$n \in \Natural \vdash n \neq 1 \leftrightarrow (\exists p \in \Natural . \mathrm{prime} (p)\wedge (\divides {p}{n}))$
Nat.eq_one_iff_not_exists_prime_dvdtheoremBasic.lean:256
Lean
theorem eq_one_iff_not_exists_prime_dvd {n : ℕ} : n = 1 ↔ ∀ p : ℕ, p.Prime → ¬p ∣ n :=
Dedukti
1 lines
Nat__eq_one_iff_not_exists_prime_dvd : (n : Elem Nat) -> Proof (iff (Eq n 1) (forall Nat (p => if (prime p) (not (divide p n))))).
English
Let $n$ be a natural number. Then $n = 1$, if and only if for all natural numbers $p$, if $p$ is prime, then $p$ does not divide $n$.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Alors $n = 1$ si et seulement si pour tous les nombres naturels $p$, si $p$ est premier, alors $p$ ne divise pas $n$.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Tedy $n = 1$, právě tehdy, když pro všechna přirozená čísla $p$, jestliže $p$ je prvočíselné, pak $p$ nedělí $n$.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann $n = 1$, genau dann, wenn für alle natürliche Zahlen $p$, wenn $p$ prim ist, dann $p$ nicht $n$ teilt.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Då $n = 1$, om och endast om för alla naturliga tal $p$, om $p$ är primt, så delar $p$ inte $n$.
Formula
$n \in \Natural \vdash n = 1 \leftrightarrow (\forall p \in \Natural . \mathrm{prime} (p)\rightarrow \neg (\divides {p}{n}))$
Nat.succ_dvd_or_succ_dvd_of_succ_sum_dvd_multheoremBasic.lean:259
Lean
theorem succ_dvd_or_succ_dvd_of_succ_sum_dvd_mul {p : ℕ} (p_prime : Prime p) {m n k l : ℕ}
    (hpm : p ^ k ∣ m) (hpn : p ^ l ∣ n) (hpmn : p ^ (k + l + 1) ∣ m * n) :
    p ^ (k + 1) ∣ m ∨ p ^ (l + 1) ∣ n :=
Dedukti
1 lines
Nat__succ_dvd_or_succ_dvd_of_succ_sum_dvd_mul : (p : Elem Nat) -> (p_prime : Proof (prime p)) -> (m : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (k : Elem Nat) -> (l : Elem Nat) -> (hpm : Proof (divide (pow p k) m)) -> (hpn : Proof (divide (pow p l) n)) -> (hpmn : Proof (divide (pow p (plus (plus k l) 1)) (times m n))) -> Proof (or (divide (pow p (plus k 1)) m) (divide (pow p (plus l 1)) n)).
English
Let $p$, $m$, $n$, $k$ and $l$ be natural numbers such that $p$ is prime, $p ^ {k}$ divides $m$, $p ^ {l}$ divides $n$ and $\divides {p ^ {(k + l + 1)}}{m \times n}$. Then $p ^ {(k + 1)}$ divides $m$ or $\divides {p ^ {(l + 1)}}{n}$.
French
Soient $p$, $m$, $n$, $k$ et $l$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier, $p ^ {k}$ divise $m$, $p ^ {l}$ divise $n$ et $\divides {p ^ {(k + l + 1)}}{m \times n}$. Alors $p ^ {(k + 1)}$ divise $m$ ou $\divides {p ^ {(l + 1)}}{n}$.
Czech
Nechť $p$, $m$, $n$, $k$ a $l$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné, $p ^ {k}$ dělí $m$, $p ^ {l}$ dělí $n$ a $\divides {p ^ {(k + l + 1)}}{m \times n}$. Tedy $p ^ {(k + 1)}$ dělí $m$ nebo $\divides {p ^ {(l + 1)}}{n}$.
German
Seien $p$, $m$, $n$, $k$ und $l$ natürliche Zahlen derart, dass ist $p$ prim, teilt $p ^ {k}$ $m$, $p ^ {l}$ $n$ teilt und $\divides {p ^ {(k + l + 1)}}{m \times n}$. Dann teilt $p ^ {(k + 1)}$ $m$ oder $\divides {p ^ {(l + 1)}}{n}$.
Swedish
Låt $p$, $m$, $n$, $k$ och $l$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt, $p ^ {k}$ delar $m$, $p ^ {l}$ delar $n$ och $\divides {p ^ {(k + l + 1)}}{m \times n}$. Då delar $p ^ {(k + 1)}$ $m$ eller $\divides {p ^ {(l + 1)}}{n}$.
Formula
$p \in \Natural , \mathrm{prime} (p), m , n , k , l \in \Natural , \divides {p ^ {k}}{m}, \divides {p ^ {l}}{n}, \divides {p ^ {(k + l + 1)}}{m \times n}\vdash \divides {p ^ {(k + 1)}}{m}\vee \divides {p ^ {(l + 1)}}{n}$

Mathlib.Data.Nat.Prime.Factorial source

Nat.Prime.dvd_factorialtheoremFactorial.lean:24
Lean
theorem Prime.dvd_factorial : ∀ {n p : ℕ} (_ : Prime p), p ∣ n ! ↔ p ≤ n
Dedukti
1 lines
Nat__Prime__dvd_factorial : (n : Elem Nat) -> (p : Elem Nat) -> (h : Proof (prime p)) -> Proof (iff (divide p (factorial n)) (Leq p n)).
English
Let $n$ and $p$ be natural numbers such that $p$ is prime. Then $p$ divides $n !$, if and only if $p \leq n$.
French
Soient $n$ et $p$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier. Alors $p$ divise $n !$ si et seulement si $p \leq n$.
Czech
Nechť $n$ a $p$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné. Tedy $p$ dělí $n !$, právě tehdy, když $p \leq n$.
German
Seien $n$ und $p$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist. Dann teilt $p$ $n !$, genau dann, wenn $p \leq n$.
Swedish
Låt $n$ och $p$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt. Då delar $p$ $n !$, om och endast om $p \leq n$.
Formula
$n , p \in \Natural , \mathrm{prime} (p)\vdash \divides {p}{n !}\leftrightarrow p \leq n$
Nat.coprime_factorial_ifftheoremFactorial.lean:32
Lean
theorem coprime_factorial_iff {m n : ℕ} (hm : m ≠ 1) :
    m.Coprime n ! ↔ n < m.minFac :=
Dedukti
1 lines
Nat__coprime_factorial_iff : (m : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (hm : Proof (Neq m 1)) -> Proof (iff (Nat__Coprime m (factorial n)) (Lt n (Nat__minFac m))).
English
Let $m$ and $n$ be natural numbers such that $m \neq 1$. Then $m$ and $n !$ are coprime, if and only if $n$ is less than the smallest prime factor of $m$.
French
Soient $m$ et $n$ des nombres naturels tels que $m \neq 1$. Alors $\NatCoprimeMACRoC {m}{n !}$ si et seulement si $n$ est inférieur au plus petit facteur premier de $m$.
Czech
Nechť $m$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $m \neq 1$. Tedy $m$ a $n !$ je nesoudělné, právě tehdy, když $n$ je menší než nejmenší prvočíselný faktor $m$.
German
Seien $m$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $m \neq 1$. Dann $\NatCoprimeMACRoC {m}{n !}$, genau dann, wenn $n$ kleiner als dem kleinsten primen Faktoren von $m$ ist.
Swedish
Låt $m$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $m \neq 1$. Då $\NatCoprimeMACRoC {m}{n !}$, om och endast om $n$ är mindre än den minsta prima faktorn av $m$.
Formula
$m , n \in \Natural , m \neq 1 \vdash \NatCoprimeMACRoD {m}{n !}\leftrightarrow n < \NatminFacMACRoB {m}$
Nat.Prime.coprime_factorial_of_lttheoremFactorial.lean:41
Lean
lemma Prime.coprime_factorial_of_lt {p n : ℕ} (hp : p.Prime) (hn : n < p) :
    p.Coprime n.factorial :=
Dedukti
1 lines
Nat__Prime__coprime_factorial_of_lt : (p : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> (hn : Proof (Lt n p)) -> Proof (Nat__Coprime p (factorial n)).
English
Let $p$ and $n$ be natural numbers such that $p$ is prime and $n < p$. Then $p$ and $n !$ are coprime.
French
Soient $p$ et $n$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier et $n < p$. Alors $\NatCoprimeMACRoC {p}{n !}$.
Czech
Nechť $p$ a $n$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné a $n < p$. Tedy $p$ a $n !$ je nesoudělné.
German
Seien $p$ und $n$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist und $n < p$. Dann $\NatCoprimeMACRoC {p}{n !}$.
Swedish
Låt $p$ och $n$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt och $n < p$. Då $\NatCoprimeMACRoC {p}{n !}$.
Formula
$p , n \in \Natural , \mathrm{prime} (p), n < p \vdash \NatCoprimeMACRoD {p}{n !}$
Nat.Prime.coprime_descFactorial_of_lt_of_letheoremFactorial.lean:45
Lean
lemma Prime.coprime_descFactorial_of_lt_of_le {p n k : ℕ} (hp : p.Prime) (hn : n < p) (hk : k ≤ n) :
    p.Coprime (n.descFactorial k) :=
Dedukti
1 lines
Nat__Prime__coprime_descFactorial_of_lt_of_le : (p : Elem Nat) -> (n : Elem Nat) -> (k : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> (hn : Proof (Lt n p)) -> (hk : Proof (Leq k n)) -> Proof (Nat__Coprime p (Nat__descFactorial n k)).
English
Let $p$, $n$ and $k$ be natural numbers such that $p$ is prime, $n < p$ and $k \leq n$. Then $p$ and $\NatdescFactorialMACRoE {n}{k}$ are coprime.
French
Soient $p$, $n$ et $k$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier, $n < p$ et $k \leq n$. Alors $\NatCoprimeMACRoC {p}{\NatdescFactorialMACRoE {n}{k}}$.
Czech
Nechť $p$, $n$ a $k$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné, $n < p$ a $k \leq n$. Tedy $p$ a $\NatdescFactorialMACRoE {n}{k}$ je nesoudělné.
German
Seien $p$, $n$ und $k$ natürliche Zahlen derart, dass ist $p$ prim, $n < p$ und $k \leq n$. Dann $\NatCoprimeMACRoC {p}{\NatdescFactorialMACRoE {n}{k}}$.
Swedish
Låt $p$, $n$ och $k$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt, $n < p$ och $k \leq n$. Då $\NatCoprimeMACRoC {p}{\NatdescFactorialMACRoE {n}{k}}$.
Formula
$p , n , k \in \Natural , \mathrm{prime} (p), n < p , k \leq n \vdash \NatCoprimeMACRoD {p}{\NatdescFactorialMACRoF {n}{k}}$

Mathlib.Data.Nat.Prime.Infinite source

Nat.exists_infinite_primestheoremInfinite.lean:36
Euclid's theorem on the *infinitude of primes*. Here given in the form: for every n, there exists a prime number p ≥ n.
Lean
theorem exists_infinite_primes (n : ℕ) : ∃ p, n ≤ p ∧ Prime p :=
  let p := minFac (n ! + 1)
  have f1 : n ! + 1 ≠ 1 := ne_of_gt <| succ_lt_succ <| factorial_pos _
  have pp : Prime p := minFac_prime f1
  have np : n ≤ p :=
    le_of_not_ge fun h =>
      have h₁ : p ∣ n ! := dvd_factorial (minFac_pos _) h
      have h₂ : p ∣ 1 := (Nat.dvd_add_iff_right h₁).2 (minFac_dvd _)
      pp.not_dvd_one h₂
  ⟨p, np, pp⟩
Dedukti
2 lines
def Nat__exists_infinite_primes : (n : Elem Nat) -> Proof (exists Nat (p => and (Leq n p) (prime p))) :=
  n => existsI Nat (p => and (Leq n p) (prime p)) (Nat__minFac (plus (factorial n) 1)) (andI (Leq n (Nat__minFac (plus (factorial n) 1))) (prime (Nat__minFac (plus (factorial n) 1))) (le_of_not_ge Nat (Nat__minFac (plus (factorial n) 1)) n (ifI (Leq (Nat__minFac (plus (factorial n) 1)) n) false (h => Nat__Prime__not_dvd_one (Nat__minFac (plus (factorial n) 1)) (Nat__minFac_prime (plus (factorial n) 1) (ne_of_gt Nat (plus (factorial n) 1) 1 (Nat__succ_lt_succ 0 (factorial n) (Nat__factorial_pos n)))) (iffEr (divide (Nat__minFac (plus (factorial n) 1)) 1) (divide (Nat__minFac (plus (factorial n) 1)) (plus (factorial n) 1)) (Nat__dvd_add_iff_right (Nat__minFac (plus (factorial n) 1)) (factorial n) 1 (Nat__dvd_factorial (Nat__minFac (plus (factorial n) 1)) n (Nat__minFac_pos (plus (factorial n) 1)) h)) (Nat__minFac_dvd (plus (factorial n) 1)))))) (Nat__minFac_prime (plus (factorial n) 1) (ne_of_gt Nat (plus (factorial n) 1) 1 (Nat__succ_lt_succ 0 (factorial n) (Nat__factorial_pos n))))).
English
Let $n$ be a natural number. Then there exists a natural number $p$, such that $n \leq p$ and $p$ is prime.
French
Soit $n$ un nombre naturel. Alors il existe un nombre naturel $p$ tel que $n \leq p$ et $p$ soit premier.
Czech
Nechť $n$ je přirozené číslo. Tedy existuje přirozené číslo $p$, takový, že $n \leq p$ a $p$ je prvočíselné.
German
Sei $n$ eine natürliche Zahl. Dann gibt es eine natürliche Zahl $p$, derart, dass $n \leq p$ und $p$ prim ist.
Swedish
Låt $n$ vara ett naturligt tal. Då finns det ett naturligt tal $p$, så att $n \leq p$ och $p$ är primt.
Formula
$n \in \Natural \vdash \exists p \in \Natural . n \leq p \wedge \mathrm{prime} (p)$
Proof
14 lines
1.Let $n$ be an element of $\Natural$.
2.$0 < n !$.Nat.factorial_pos
3.The successor of $0$ is less than the successor of $n !$.Nat.succ_lt_succ 2
4.$n ! + 1 \neq 1$.ne_of_gt 3
5.$\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$ is prime.Nat.minFac_prime 4
6.It is not the case that $\divides {\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}}{1}$.Nat.Prime.not_dvd_one 5
7.If $\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}\leq n$, then we have a contradiction.ifI 6 [h]
8.$n \leq \NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$.le_of_not_ge 7
9.$0 < n !$.Nat.factorial_pos
10.The successor of $0$ is less than the successor of $n !$.Nat.succ_lt_succ 9
11.$n ! + 1 \neq 1$.ne_of_gt 10
12.$\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$ is prime.Nat.minFac_prime 11
13.$n \leq \NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$ and $\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$ is prime.andI 8, 12
14.There exists an element $p$ of $\Natural$, such that $n \leq p$ and $p$ is prime.existsI 13
Proof, French
14 lines
1.Soit $n$ un élément de $\Natural$.
2.$0 < n !$.Nat.factorial_pos
3.Le successeur de $0$ est inférieur au successeur de $n !$.Nat.succ_lt_succ 2
4.$n ! + 1 \neq 1$.ne_of_gt 3
5.$\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$ est premier.Nat.minFac_prime 4
6.Il n'est pas le cas que $\divides {\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}}{1}$.Nat.Prime.not_dvd_one 5
7.Si $\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}\leq n$, alors nous avons une contradiction.ifI 6 [h]
8.$n \leq \NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$.le_of_not_ge 7
9.$0 < n !$.Nat.factorial_pos
10.Le successeur de $0$ est inférieur au successeur de $n !$.Nat.succ_lt_succ 9
11.$n ! + 1 \neq 1$.ne_of_gt 10
12.$\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$ est premier.Nat.minFac_prime 11
13.$n \leq \NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$ et $\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$ est premier.andI 8, 12
14.Il existe un élément $p$ de $\Natural$ tel que $n \leq p$ et $p$ soit premier.existsI 13
Proof, Czech
14 lines
1.Nechť $n$ je prvek $\Natural$.
2.$0 < n !$.Nat.factorial_pos
3.Následník $0$ je menší než následník $n !$.Nat.succ_lt_succ 2
4.$n ! + 1 \neq 1$.ne_of_gt 3
5.$\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$ je prvočíselné.Nat.minFac_prime 4
6.Není případ že $\divides {\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}}{1}$.Nat.Prime.not_dvd_one 5
7.Jestliže $\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}\leq n$, pak máme spor.ifI 6 [h]
8.$n \leq \NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$.le_of_not_ge 7
9.$0 < n !$.Nat.factorial_pos
10.Následník $0$ je menší než následník $n !$.Nat.succ_lt_succ 9
11.$n ! + 1 \neq 1$.ne_of_gt 10
12.$\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$ je prvočíselné.Nat.minFac_prime 11
13.$n \leq \NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$ a $\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$ je prvočíselné.andI 8, 12
14.Existuje prvek $p$ $\Natural$, takový, že $n \leq p$ a $p$ je prvočíselné.existsI 13
Proof, German
14 lines
1.Sei $n$ ein Element von $\Natural$.
2.$0 < n !$.Nat.factorial_pos
3.Der Nachfolger von $0$ ist kleiner als dem Nachfolger von $n !$.Nat.succ_lt_succ 2
4.$n ! + 1 \neq 1$.ne_of_gt 3
5.$\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$ ist prim.Nat.minFac_prime 4
6.Es ist nicht der Fall dass $\divides {\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}}{1}$.Nat.Prime.not_dvd_one 5
7.Wenn $\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}\leq n$, dann haben wir einen Widerspruch.ifI 6 [h]
8.$n \leq \NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$.le_of_not_ge 7
9.$0 < n !$.Nat.factorial_pos
10.Der Nachfolger von $0$ ist kleiner als dem Nachfolger von $n !$.Nat.succ_lt_succ 9
11.$n ! + 1 \neq 1$.ne_of_gt 10
12.$\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$ ist prim.Nat.minFac_prime 11
13.$n \leq \NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$ und $\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$ ist prim.andI 8, 12
14.Es gibt ein Element $p$ von $\Natural$, derart, dass $n \leq p$ und $p$ prim ist.existsI 13
Proof, Swedish
14 lines
1.Låt $n$ vara ett element av $\Natural$.
2.$0 < n !$.Nat.factorial_pos
3.Efterföljaret av $0$ är mindre än efterföljaret av $n !$.Nat.succ_lt_succ 2
4.$n ! + 1 \neq 1$.ne_of_gt 3
5.$\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$ är primt.Nat.minFac_prime 4
6.Det är inte fallet att $\divides {\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}}{1}$.Nat.Prime.not_dvd_one 5
7.Om $\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}\leq n$, så har vi en kontradiction.ifI 6 [h]
8.$n \leq \NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$.le_of_not_ge 7
9.$0 < n !$.Nat.factorial_pos
10.Efterföljaret av $0$ är mindre än efterföljaret av $n !$.Nat.succ_lt_succ 9
11.$n ! + 1 \neq 1$.ne_of_gt 10
12.$\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$ är primt.Nat.minFac_prime 11
13.$n \leq \NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$ och $\NatminFacMACRoB {(n ! + 1)}$ är primt.andI 8, 12
14.Det finns ett element $p$ av $\Natural$, så att $n \leq p$ och $p$ är primt.existsI 13
Nat.not_bddAbove_setOfPred_primetheoremInfinite.lean:48
A version of Nat.exists_infinite_primes using the BddAbove predicate.
Lean
theorem not_bddAbove_setOfPred_prime : ¬BddAbove { p | Prime p } :=
Dedukti
1 lines
Nat__not_bddAbove_setOfPred_prime : Proof (not (BddAbove (Set__ofPred (p => prime p)))).
English
$\operatorname{ofPred}$ applied to the function that maps $p$ to the proposition that $p$ is prime is not bounded above.
French
$\operatorname{ofPred}$ appliqué à la fonction qui envoie $p$ à la proposition que $p$ est premier n'est pas majoré.
Czech
$\operatorname{ofPred}$ aplikovaný na funkci která zobrazuje $p$ na výrok že $p$ je prvočíselné není shora omezené.
German
$\operatorname{ofPred}$ angewandt auf die Funktion, die $p$ als der Satz, dass $p$ prim ist, abbildet, ist nicht nach oben beschränkt.
Swedish
$\operatorname{ofPred}$ applicerat på funktionen som avbildar $p$ som påståendet att $p$ är primt är inte uppåt begränsat.
Formula
$\neg \mathrm{BddAbove} (\operatorname{ofPred} (\lambda p . \mathrm{prime} (p)))$

Mathlib.Data.Nat.Prime.Pow source

Nat.pow_minFactheoremPow.lean:22
Lean
theorem pow_minFac {n k : ℕ} (hk : k ≠ 0) : (n ^ k).minFac = n.minFac :=
Dedukti
1 lines
Nat__pow_minFac : (n : Elem Nat) -> (k : Elem Nat) -> (hk : Proof (Neq k 0)) -> Proof (Eq (Nat__minFac (pow n k)) (Nat__minFac n)).
English
Let $n$ and $k$ be natural numbers such that $k \neq 0$. Then the smallest prime factor of $n ^ {k}$ is equal to the smallest prime factor of $n$.
French
Soient $n$ et $k$ des nombres naturels tels que $k \neq 0$. Alors le plus petit facteur premier de $n ^ {k}$ est égal au plus petit facteur premier de $n$.
Czech
Nechť $n$ a $k$ je přirozené číslo takové, že $k \neq 0$. Tedy nejmenší prvočíselný faktor $n ^ {k}$ je rovný nejmenšímu prvočíselnému faktoru $n$.
German
Seien $n$ und $k$ natürliche Zahlen derart, dass $k \neq 0$. Dann ist der kleinste prime Faktor von $n ^ {k}$ gleich dem kleinsten primen Faktoren von $n$.
Swedish
Låt $n$ och $k$ vara naturliga tal sådana att $k \neq 0$. Då är den minsta prima faktorn av $n ^ {k}$ lika med den minsta prima faktorn av $n$.
Formula
$n , k \in \Natural , k \neq 0 \vdash \NatminFacMACRoB {(n ^ {k})}= \NatminFacMACRoB {n}$
Nat.Prime.pow_minFactheoremPow.lean:31
Lean
theorem Prime.pow_minFac {p k : ℕ} (hp : p.Prime) (hk : k ≠ 0) : (p ^ k).minFac = p :=
Dedukti
1 lines
Nat__Prime__pow_minFac : (p : Elem Nat) -> (k : Elem Nat) -> (hp : Proof (prime p)) -> (hk : Proof (Neq k 0)) -> Proof (Eq (Nat__minFac (pow p k)) p).
English
Let $p$ and $k$ be natural numbers such that $p$ is prime and $k \neq 0$. Then the smallest prime factor of $p ^ {k}$ is equal to $p$.
French
Soient $p$ et $k$ des nombres naturels tels que $p$ soit premier et $k \neq 0$. Alors le plus petit facteur premier de $p ^ {k}$ est égal à $p$.
Czech
Nechť $p$ a $k$ je přirozené číslo takové, že $p$ je prvočíselné a $k \neq 0$. Tedy nejmenší prvočíselný faktor $p ^ {k}$ je rovný $p$.
German
Seien $p$ und $k$ natürliche Zahlen derart, dass $p$ prim ist und $k \neq 0$. Dann ist der kleinste prime Faktor von $p ^ {k}$ gleich $p$.
Swedish
Låt $p$ och $k$ vara naturliga tal sådana att $p$ är primt och $k \neq 0$. Då är den minsta prima faktorn av $p ^ {k}$ lika med $p$.
Formula
$p , k \in \Natural , \mathrm{prime} (p), k \neq 0 \vdash \NatminFacMACRoB {(p ^ {k})}= p$